1.9 整值函数的整除性

§1.9 整值函数的整除性

所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。

例如，f(n)=n2-6,f(n)=n(n+1)(32n+1+1)

F(a,b)= a2-b2都是整值函数。

本节将讨论整值函数被整数整除的问题。我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。

一、分类法

一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。

例1 若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).

证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n±1(n∈N∗)

若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.

例2 设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。

求证：24|（a2-b2）.

分析要证24|（a2-b2），只要判定a2，b2被24除所得余数相同即可。

证明：设a=24q+r(0≤r<24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为： 24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,

24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,

无论出现哪一种情况a2被24除余数都是1.同理可得，b2被24除余数也是1.所以a2-b2被24除余数是0，即24|（a2-b2）.

例1 a,b均为整数，若7|(a2+b2),求证：7|a且7|b.

分析要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.

证明：设a=7m+α，b=7n+β,α≥0,β<7,可知α,β取值0,1,2,3,4,5,6.因为a2+b2=49(m2+n2)+14(αm+βm)+α2+β2

所以7|(a2+b2) α2+β2,但α2和β2只能取0,1,4,9,16,25,36.α2+β2取值如表所列：

从表中可知，当且仅当α=0，β=0时才有α2+β2被7整除.此时

a=7m 且b=7n,所以7|a 且7|b 成立.

例2

2

n n 8(08)r 0,1,4Z q r r ∈=+≤≤当且时，只能是 例3

2n n 40r 4)q r ∈=+≤≤当Z 且（时,r 只能是0,1 例4 []a 6|a(1)(21).a a ++求证：若为整数，则 二、公式法

这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式： 1.若n 为正整数，则

a n -

b n =(a-b)(a n−1+a n−2b+a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1) 2.若n 为正偶数，则

a n -

b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯+ab n−2-b n−1) 3.若n 为正奇数，则

a n +

b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯−ab n−2+b n−1) 例3 若n ∈Z ,求证：73|f(n)=8n+2+92n+1. 证明： 因为f(n)=64×8n +9×81n

=(64×8n +9×8n )+( 9×81n −9×8n ) =73×8n +9(81n −8n ),

由公式可知73|（81n −8n )，所以73|f(n)=8n+2+92n+1. 例4 当n 为正奇数时，求证：60|f(n)=6n −3n −2n −1. 分析 60=3×4×5，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除f(n).

证明： f(n)=6n −3n −2n −1 =6n −3n −（2n +1）

因为n 为正奇数，所以3|（6n −3n ），3|(2n +1)，从而3| f(n). 同理4| f(n)，5|f(n).

因为3,4,5两两互质，所以60| f(n)=6n −3n −2n −1. 例5 求证：n 2|[(n +1)n −1]. 证明： 因为

(n +1)n =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+C n n−1n +1 =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2+1, 所以(n +1)n −1=n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2，

于是n 2|[(n +1)n −1].

例1 设n 为非负整数，求证: f(n)=52n+1+2n+4+2n+1被23整除。

21412n+1421n ()522=52(22)51825251822325182)

n n n n n n n n n n f n ++++=++++=+⋅=⋅+⋅=⋅--（25

2n+141(252)|(252),23|(252)23|2325,23|22).

n n n n n n n ++---⋅++即，所以（5

例2 n 221n |67n N +++∈+当时，求证：43

例3 n 221n 133|1112).n +++求证：当为非负整数时，

（ 例4 a,,a ,).n n b Z b n b ∈≠--当且是偶数时，（a+b)|(a 例5 a,,a ,+).n n

b Z b n b ∈≠-当且是奇数时，（a+b)|(a

三、贾宪数法

形如

n (n−1)(n−2)⋯(n−r+1)

r!

(n ∈Z ,r ∈N)的数叫做贾宪数。

易见：

1. 贾宪数是r 个连续整数之积n (n −1)(n −2)⋯(n −r +