1.9 整值函数的整除性
数字的奇偶性与整除性知识点总结
数字的奇偶性与整除性知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中的基础概念，具有广泛的应用。
它们在算术、代数以及其他数学分支中起着重要的作用。
本文将对数字的奇偶性和整除性进行总结和说明。
1. 奇偶性奇偶性是指一个数字是奇数还是偶数。
奇数是无法被2整除的自然数，而偶数则可以被2整除。
以下是关于奇偶性的一些重要知识点：1.1 奇数和偶数的性质- 奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。
- 奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数。
- 任何数乘以2都是偶数。
1.2 奇偶数的判断判断一个数字的奇偶性有多种方法，包括：- 观察数字的个位数（个位数为0、2、4、6、8则是偶数，为1、3、5、7、9则是奇数）- 使用求模运算（将数字除以2，如果余数为0则是偶数，为1则是奇数）- 利用奇偶性质（对于大于0的整数，奇数的前一位数字必定是偶数，偶数的前一位数字必定是奇数）2. 整除性整除性是指一个数字能否被另一个数字整除，即没有余数。
以下是关于整除性的一些重要知识点：2.1 整除和余数当一个数字x能够被另一个数字y整除时，x称为y的倍数，y称为x的约数。
如果x不能被y整除，则称x与y互质。
例如，4是8的约数，8是24的倍数。
2.2 整除的性质- 如果一个数字能被2整除，那么它一定是偶数。
- 如果一个数字能被5整除，并且个位数是0或5，那么它一定能被10整除。
- 一个数字能被2和3整除，那么它一定能被6整除。
2.3 整除的判断判断一个数字x能否被另一个数字y整除的方法有：- 观察x和y的因数，如果x包含了y的全部因数，则x能被y整除。
- 使用求模运算（将x对y取余，如果余数为0，则x能被y整除）。
- 判断x和y是否互质，即它们没有相同的因数。
在实际问题中，数字的奇偶性和整除性经常被应用于解决各种问题。
例如，在计算机科学中，奇偶性可用于判断二进制数中最低位的值。
整除性则经常用于进行因式分解、求解最大公约数和最小公倍数等。
1.9 整式的除法
1.9整式的除法19 整式的除法在数学的奇妙世界里，整式的除法就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多复杂问题的谜团。
让我们先来了解一下整式的概念。
整式包括单项式和多项式。
单项式，就像是一个孤独的战士，比如 5x 、－3y²；而多项式呢，则是一群战士的组合，像 2x ＋ 3y 、 4x² 5x ＋ 6 。
那么，整式的除法到底是怎么一回事呢？我们先从最简单的单项式除以单项式说起。
比如， 6x³ ÷ 2x 。
这就好比把 6 个苹果分成 2 份，每份是 3 个。
同样的，对于式子中的 x³和x ，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，所以 x³ ÷ x ＝x²。
那么整个式子 6x³ ÷ 2x 的结果就是 3x²。
再来看一个例子，－15a²b³ ÷ 3ab 。
首先，系数相除，－15 ÷ 3 ＝－5 。
然后，对于字母部分， a² ÷ a ＝ a ， b³ ÷ b ＝ b²。
所以最终的结果就是－5ab²。
接下来，我们挑战一下多项式除以单项式。
比如说，（ 12x³ 8x²＋ 4x ）÷ 4x 。
我们可以把这个式子拆分成三个部分分别除以 4x 。
12x³ ÷ 4x ＝ 3x²，－8x² ÷ 4x ＝－2x ， 4x ÷ 4x ＝ 1 。
所以最终的结果就是 3x² 2x ＋ 1 。
是不是感觉还挺简单的？但有时候，我们还会遇到多项式除以多项式的情况。
这就像是一场更激烈的战斗，需要我们更加小心谨慎地应对。
比如，（ x²＋ 3x ＋ 2 ）÷（ x ＋ 1 ）。
我们可以用长除法来解决。
先将 x²除以 x ，得到 x ，然后乘以除数 x ＋ 1 ，得到 x²＋ x 。
数字的奇偶性与整除性质知识点总结
数字的奇偶性与整除性质知识点总结数字的奇偶性与整除性知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中非常基础但重要的概念。
它们在数论、代数和计算机科学等各个领域都有重要应用。
本文将总结数字的奇偶性与整除性的相关知识点，并探讨其应用。
一、数字的奇偶性在自然数集中，数字可以被分为奇数和偶数两类。
奇数是不能被2整除的数，偶数则可以被2整除。
1. 奇数的性质：- 任何奇数都可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
- 任意两个奇数的和是偶数。
- 任意奇数与偶数的积是偶数。
2. 偶数的性质：- 任何偶数都可以表示为2n的形式，其中n为整数。
- 任意两个偶数的和是偶数。
- 任意偶数与奇数的积是偶数。
奇偶性在数学推导和计算中有重要的应用。
例如，在判断数字是否可以整除时，我们可以利用奇偶性质来简化计算。
二、数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，也可以称为倍数关系。
1. 整除的定义：给定两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，则称a能够被b整除（或b是a的约数），记作b|a。
其中符号“|”表示整除关系。
2. 整除的性质：- 对任意整数a，a|0，0|a。
- 如果a|b，且b|c，则a|c（传递性）。
- 如果a|b且a|c，则a|(b + c)和a|(b - c)。
- 如果a|b，且a|c，则a|（b + c）和a|（b - c）。
整除性是数论中重要的概念，它与素数、因数分解等概念密切相关。
在计算中，我们常常利用整除性质来简化计算或判断数的性质。
三、奇偶性与整除性的关系数字的奇偶性与整除性之间有一些重要的联系。
1. 奇偶数的乘积：- 任何偶数与偶数的乘积是偶数。
- 任何奇数与奇数的乘积是奇数。
- 任何奇数与偶数的乘积是偶数。
2. 偶数与整除性：- 一个整数能够被2整除，当且仅当它是偶数。
- 如果一个整数能够被另一个偶数整除，那么它也能够被2整除。
通过运用奇偶性与整除性的关系，我们可以简化计算、推导和证明过程，提高解题效率。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。
例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。
我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。
由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。
例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。
共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。
数论与对称性知识点总结
数论与对称性知识点总结数论是研究整数性质和整数间的关系的数学分支，它是数学中非常重要的一个领域，其应用范围涉及到密码学、信息安全、密码分析、数据压缩、数字信号处理等许多方面。
对称性则是数学中一个重要的概念，它广泛应用于几何、物理等领域。
本文将对数论和对称性的基本概念、基本原理和应用进行总结。
一.数论1.1 整数和因子整数是数学中的一个基本概念，它包括自然数、负整数和零。
整数可以按照其性质进行分类，如偶数、奇数、素数、合数等。
而因子则是整数的一种特殊性质，它是整数的一个约数，即能够整除给定整数的整数。
1.2 质数和素数分解质数是指在大于1的自然数中，除了1和自身以外没有其他因子的数。
素数分解则是将一个合数分解为若干个质数的乘积的过程，这是数论中一个基本的定理之一。
1.3 算术基本定理算术基本定理是数论中的一个重要结论，它指出每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干质数之积。
1.4 最大公约数和最小公倍数最大公约数是指两个整数共有约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公倍数中最小的一个，这两个概念在数论中有着重要的应用。
1.5 同余和模运算同余是指两个整数除以一个公共整数所得的余数相等的性质，模运算则是一种同余关系的扩展，它用来研究整数之间的一些基本性质。
1.6 二次剩余二次剩余是数论中一个重要的概念，它涉及到模p的二次剩余的性质和应用，例如在密码学中的RSA算法中就用到了二次剩余的特性。
1.7 素数分布素数的分布是数论中的一个基本问题，包括素数定理、梅森素数等重要结论。
1.8 数论函数数论函数是数论中的一个重要概念，它包括欧拉函数、ζ函数等，这些函数在数论研究、密码学等领域有重要应用。
1.9 模重复和离散对数模重复和离散对数是数论中的两个重要问题，它们分别涉及到同余方程组的解和离散对数的计算。
1.10 算术函数和数论函数的性质算术函数和数论函数有着许多重要的性质，如莫比乌斯函数的性质、欧拉函数的性质等，这些性质在数论研究中有着重要的应用。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
整除特性
公务员考试数学运算考点汇总：整除特性（一）整除特性是公务员考试，考生必须掌握的一个知识点，这个知识看似简单，没有依托的题型，但是由于其灵活多变，隐藏在试题中间，所以掌握起来并不容易，不过当我们做题的题量达到一定程度的时候，就很容易的把握住里面的一些关键信息，找到整除的突破口，快速得到正确答案。
一、基本整除性质一般地，如果a、b、c为整数，b≠0，且a/b=c，那么称a能被b整除（或者说b能整除a）。
对于我们来说，通常会用到以下性质：（1）如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。
【例如】36/9=4，45/9=5，而36+45=81，且81/9=9；同时有45-36=9，且9/9=1，所以和差均能被9整除。
（2）如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。
【例如】84/21=4，84/42=2，而21、42的最小公倍数是42，且有84/42=2。
【注】由于数a能同时被数b和数c整除，则数a的约数中必然包括数b和数c，那肯定数b和数c的最小公倍数必然小于等于数a。
（3）如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。
【例如】18/9=2，而36/9=（18×2）/9=2×2=4，也同样可以被9整除。
二、常用数字整除性质（1）被2整除的数字的特性：末位数为0、2、4、6、8。
（2）被3（或9）整除的数字的特性：各位数字之和能被3（或9）整除。
（3）被4（或25）整除的数字的特性：末两位数字能被4（或25）整除。
（4）被8（或125）整除的数字的特性：末三位数字能被8（或125）整除。
（5）被5整除的数字的特性：末位数字是0或5。
（6）被7（或13）整除的数字的特性：末三位与末三位之前的数字之差能被7（或13）整除（对于位数较多的数字，可反复使用）。
（7）被11整除的数字的特性：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
数字的整除性
数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。
整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。
了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。
1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。
例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。
2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。
2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。
2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。
2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。
例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。
3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。
3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。
例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。
3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。
最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。
例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。
3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。
最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。
例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。
整除性质及规律总结
整除性质及规律总结整除性质是指一个数能够被另一个数整除的特性。
在数学中，整除性质是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决一些数学问题，特别是在解决整数运算、因式分解等问题时起到重要的作用。
整除性质的基本概念是“整除”。
如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么我们就说a被b整除，记作a，b。
换句话说，如果存在一个整数c使得a=bc，那么我们就可以说a被b整除。
整除性质有以下几个重要的规律：1.任何整数都能被1整除。
对于任意整数a，都有a，12.任何整数都能整除它自己。
对于任意整数a，都有a，a。
3.如果整数a能被整数b整除，那么a也能被b的所有因数整除。
即如果a，b，且b，c，则a，c。
4.如果整数a能够整除整数b，且整数b能够整除整数a，那么a和b相等或它们都是0。
即如果a，b且b，a，那么a=b或a=b=0。
5.如果一个整数a能够整除整数b，那么a的绝对值一定小于或等于b的绝对值。
即如果a，b，则，a，≤，b。
这些整除性质和规律可以帮助我们解决许多数学问题。
以下是一些例子：1.素数判定：根据整除性质，如果一个数除了1和它本身外没有其他因数，那么这个数一定是素数。
因为只有1和它本身能够整除它。
例如，判断一个数a是否为素数，我们只需要从2到a的平方根遍历，看是否有能够整除a的数。
2.因式分解：根据整除性质，如果一个数a能够整除另一个数b，那么a就是b的因数。
因此，我们可以通过找出一个数的所有因数，然后对这些因数进行组合，得到这个数的因式分解式。
例如，将一个数b进行因式分解，我们可以从2开始遍历到b的平方根，找出所有能够整除b的数，然后将它们进行组合。
3.取模运算：取模运算是指将一个数除以另一个数，所得到的余数。
根据整除性质，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么b模a的结果一定为0。
因此，我们可以利用取模运算来判断一个数能否被另一个数整除。
例如，判断一个数b能否被3整除，我们只需要计算b模3的结果，如果结果为0，则说明b能够被3整除。
1.9 整值函数的整除性
§1.9 整值函数的整除性所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。
例如，f(n)=n2-6,f(n)=n(n+1)(32n+1+1)F(a,b)= a2-b2都是整值函数。
本节将讨论整值函数被整数整除的问题。
我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。
一、分类法一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。
例1 若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n±1(n∈N∗)若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.例2 设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。
求证：24|（a2-b2）.分析要证24|（a2-b2），只要判定a2，b2被24除所得余数相同即可。
证明：设a=24q+r(0≤r<24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为： 24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,无论出现哪一种情况a2被24除余数都是1.同理可得，b2被24除余数也是1.所以a2-b2被24除余数是0，即24|（a2-b2）.例1 a,b均为整数，若7|(a2+b2),求证：7|a且7|b.分析要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.证明：设a=7m+α，b=7n+β,α≥0,β<7,可知α,β取值0,1,2,3,4,5,6.因为a2+b2=49(m2+n2)+14(αm+βm)+α2+β2所以7|(a2+b2) α2+β2,但α2和β2只能取0,1,4,9,16,25,36.α2+β2取值如表所列：从表中可知，当且仅当α=0，β=0时才有α2+β2被7整除.此时a=7m 且b=7n,所以7|a 且7|b 成立.例22n n 8(08)r 0,1,4Z q r r ∈=+≤≤当且时，只能是 例32n n 40r 4)q r ∈=+≤≤当Z 且（时,r 只能是0,1 例4 []a 6|a(1)(21).a a ++求证：若为整数，则 二、公式法这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式： 1.若n 为正整数，则a n -b n =(a-b)(a n−1+a n−2b+a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1) 2.若n 为正偶数，则a n -b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯+ab n−2-b n−1) 3.若n 为正奇数，则a n +b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯−ab n−2+b n−1) 例3 若n ∈Z ,求证：73|f(n)=8n+2+92n+1. 证明： 因为f(n)=64×8n +9×81n=(64×8n +9×8n )+( 9×81n −9×8n ) =73×8n +9(81n −8n ),由公式可知73|（81n −8n )，所以73|f(n)=8n+2+92n+1. 例4 当n 为正奇数时，求证：60|f(n)=6n −3n −2n −1. 分析 60=3×4×5，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除f(n).证明： f(n)=6n −3n −2n −1 =6n −3n −（2n +1）因为n 为正奇数，所以3|（6n −3n ），3|(2n +1)，从而3| f(n). 同理4| f(n)，5|f(n).因为3,4,5两两互质，所以60| f(n)=6n −3n −2n −1. 例5 求证：n 2|[(n +1)n −1]. 证明： 因为(n +1)n =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+C n n−1n +1 =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2+1, 所以(n +1)n −1=n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2，于是n 2|[(n +1)n −1].例1 设n 为非负整数，求证: f(n)=52n+1+2n+4+2n+1被23整除。
整除与同余解析
定理２ (加减法与乘法)
a b(mod m), c d(mod m) a c b d(mod m)
定理３ (除法)
a c b d(mod m)
a c b c(mod m),c 0 a b(mod m )
特别地
(c, m)
a c b c(mod m), (c,m) 1 a b(mod m)
(a b)2 (a2 b2 )(4ab 1)
由此可得 a b (a b)(4ab 1) a b,
这显然是矛盾的. ∴ a b.
二.奇偶性分析与同余分析
同余理论是确定整数问题的重要而有力的 工具之一,用途十分广泛.同余理论的应用几乎 遍及数论的大多数问题. 同余分析是带余除法 的变形和深入,实质就是通过余数将研究的整 数进行分类,使它们余数的特征展现出来,方便 了问题的解决.
n
m
2.若在 ai bi中,除某一项外,其余各项都能
c c 被 整i除1 ,则i1这一项也能被 整除.
3.若 (a,b) 1,且a bc,则 a c.
4.若 (a,b) 1, 且a c,b c, 则 ab c.
5.若 p为素数,且 p bc,则 p b 或 p c.
例1 求证:对整数 x和 y,若 2x 3y、9x 5y中一
b3c bc3 bc(b2 c2 ), c3a ca3 ca (c2 a2 )
a3b ab3、b3c bc3、c3a ca3 中至少有一个能被5
整除. 综上,结论成立.
注：上述证明先利用整除性质简化问题, 再根 据给定数的特征, 采用分类讨论、考察完全平 方数的特征性质等方法, 使整除性逐步暴露出 来.本题如果用余数分析法则比较方便(见后面 同余分析).
奇偶性分析实质是模为 2 的一种特殊的同 余分析.
数字整除知识点总结
数字整除知识点总结1. 整除的定义设a, b是两个不全为0的整数，当且仅当存在一个整数c使得a = b * c时，称b整除a，记作b | a。
这里c就是整除时的商。
例如，6整除12，记作6 | 12，因为12 = 6 * 2。
整除的定义可以简单总结为：当且仅当存在一个整数c使得b * c = a时，b整除a。
这里c 就是整除时的商。
2. 整除的性质（1）自整除性：任何整数都能被1整除，并且0不能被任何数整除。
（2）传递性：设a, b, c是整数，如果a整除b，b整除c，那么a也整除c。
（3）整除的基本性质：如果a整除b且a整除c，则a整除（mb + nc），其中m, n是任意整数。
（4）偶数与奇数的整除性：如果一个数能被2整除，则称其为偶数；如果一个数不能被2整除，则称其为奇数。
偶数能被2整除，奇数不能被2整除。
另外，如果一个数能被4整除，则称其为4的倍数。
3. 整除的判定方法（1）整除的判定法则：a整除b，当且仅当b是a的倍数。
也就是说，如果存在一个整数c使得b = a * c，那么a整除b。
（2）整除的判定规律：如果一个整数能被另一个整数整除，那么这两个整数的除数一定是其公约数。
（3）整除的判定定理：对于整数a, b, c，如果a整除b且a整除c，则a整除(b + c)和(b - c)。
这是因为b = a * m，c = a * n，则b + c = a * (m + n)，b - c = a * (m - n)。
4. 整除的应用（1）公因数与最大公因数：对于两个整数a, b，a的约数是指能整除a的数，b的约数是指能整除b的数。
a, b的公因数是指既是a的约数又是b的约数的数；a, b的最大公因数是指a, b的公因数中最大的那个数。
（2）互质数与最小公倍数：如果两个整数的最大公因数是1，则这两个数称为互质数。
两个数的最小公倍数是指能同时整除这两个数的最小的正整数。
（3）整除的运算性质：整除运算具有传递性、交换性、结合性等基本运算性质。
1.9整式的除法
am am 2am 合并同类项
a m a n a mn 同底数幂的乘法
(a m ) n a mn 幂的乘方
(ab) n a nb n 积的乘方
am an amn (a 0) 同底数幂的除法
a 0 1(a 0) 零指数幂性质
a p 1 (a 0) 负整数指数幂性质 ap
想一想
如何进行单项式乘以单项式 的运算？
单项式乘以单项式的三个要点： ①系数相乘 ②同底数幂相乘 ③单独在一个项里含有的字母 连同它的指数照搬。
怎么计算(8a8)÷(2a4)? (8a8)÷(2a4)=4a4
怎么计算(6a3b4c)÷(3a2b)? (6a3b4c)÷(3a2b)=2ab3c
单项式相除， 把系1数、、系同数底？数相除幂相除，作为商的 因式2，、同底数幂？相除 对于3只、在只被在除被式除里式含里有的的幂字？不母变，则
课后作业
“北大绿卡” p27—28 18 19
2010年3月24日 周三
(1) (625+125+50)÷25 =(625)÷(25)+(125)÷(25)+( 50)÷(25) =(25 )+( 5 )+( 2 )=( 32 )
(2) (4a+6)÷2=(4a )÷2+(6 )÷2=(2a+3)
(3) (2a2-4a)÷(-2a) =(2a2 )÷(-2a)+(-4a )÷(-2a) =( -a+2 )
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这 个单项式，再把所得的商相加。
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m (m≠0)
(1) (14a3-7a2)÷(7a)
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
数字的整除和余数的计算
数字的整除和余数的计算在数学中，整除是指一个数能够被另一个数除尽，而余数则是指除法中未被除尽的部分。
整除和余数的计算在数学运算和解题过程中经常会遇到，下面将介绍数字的整除和余数的计算方法。
一、整除的计算当一个数字能够被另一个数字整除时，我们可以使用除法运算来验证整除关系。
以数字a能否被数字b整除为例，如果a除以b的商为整数，即没有余数，那么a就能被b整除。
例如，判断数字12能否被数字3整除，我们进行12除以3的运算。
12 ÷ 3 = 4，由于商4是一个整数，没有余数，所以12能够被3整除。
在实际问题中，我们常常会遇到整除关系的判断和应用，比如判断一个数是否是另一个数的倍数，或者计算一个数能够被几个数整除等。
通过整除的计算，我们可以更好地解决这些问题。
二、余数的计算当一个数字除以另一个数字不能整除时，我们会得到一个余数。
余数是除法运算中未被除尽的部分，通常用符号"%"表示。
以数字a除以数字b并求余为例，我们可以通过求得的余数判断两个数字之间的关系。
例如，计算8除以3的余数，我们进行8除以3的运算。
8 ÷3 = 2，余数为2。
余数的计算在实际问题中常常会被用到。
例如，判断一个数的奇偶性，如果一个数除以2的余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
通过余数的计算，我们可以更好地理解和应用数学知识。
三、整数的特性与运算规律在整除和余数的计算中，我们还可以利用整数的特性和运算规律来简化计算过程。
下面列举几个常用的整数特性和运算规律：1. 整数的基本运算法则：加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
2. 整除关系的传递性：如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。
3. 余数的性质：如果a被b整除，那么a和b有相同的余数；如果a除以b的余数为m，那么a加上或减去任意整数倍的b，余数仍然为m。
4. 余数的加法性质：如果a除以b的余数为m，c除以b的余数为n，则(a+c)除以b的余数为(m+n)除以b的余数。
《整除性检定》课件
03
整除性在数学中的应用
在数论中的应用
整除性是数论中的基本概念之一，它在证明一些数学定理和 解决一些数学问题中有着广泛的应用。例如，在证明费马小 定理和欧拉定理等重要定理时，整除性发挥了关键作用。
整除性还可以用于研究一些特殊的数列，如素数、完全数等 ，通过整除性可以发现这些数列的一些有趣的性质和规律。
《整除性检定》ppt课件
contents
目录
• 整除性检定的基本概念 • 整除性的判定方法 • 整除性在数学中的应用 • 整除性在日常生活中的应用 • 整除性的未来发展与展望
01
整除性检定的基本概念
整除性的定义
01
02Leabharlann 03整除性定义整除性是指一个数能被另 一个数整除，即一个数除 以另一个数的余数为0的 性质。
整除性在工程学中的应用还包括航空航 天、汽车和船舶制造等方面。通过整除 性，可以更好地满足产品的性能要求和
使用需求。
05
整除性的未来发展与展望
整除性在数学中的发展趋势
整除性在数学中一直是一个重要的研究领域，随着数学理论的发展，整除性的研究也在不断深入。未 来，整除性研究可能会更加注重与其他数学领域的交叉融合，如代数、几何、分析等，以探索更广泛 的应用和更深层次的理论。
在计算机科学中，整除性被广泛应用于各种算法和数据结 构的设计。例如，在快速排序、归并排序等排序算法中， 整除性被用于确定元素的位置和顺序。
整除性还可以用于实现一些高效的算法和数据结构，如哈 希表、二叉搜索树等，通过整除性可以有效地实现数据的 检索、插入和删除等操作。
04
整除性在日常生活中的应用
在金融中的应用
中国剩余定理
总结词
解决同余方程组的强大工具
1.9 整值函数的整除性
§1.9整值函数的整除性所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。
例如，-6,f(n)=n(n+1)(+1)F(a,b)=-都是整值函数。
本节将讨论整值函数被整数整除的问题。
我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。
一、分类法一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。
例1若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n±1(n∈)若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.例2设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。
求证：24|（-）.分析要证24|（-），只要判定被24除所得余数相同即可。
证明：设a=24q+r(0≤r<24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为：24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,无论出现哪一种情况被24除余数都是1.同理可得，被24除余数也是1.所以-被24除余数是0，即24|（-）.例1a,b均为整数，若7|(),求证：7|a且7|b.分析要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.证明：设a=7m+，b=7n+,可知取值0,1,2,3,4,5,6.因为+=49()+14(m+m)++所以7|(+)?+,但和只能取0,1,4,9,16,25,36.+取值如表所列：+从表中可知，当且仅当=0，=0时才有+被7整除.此时a=7m 且b=7n,所以7|a且7|b成立.例22n n8(08)r0,1,4Z q r r∈=+≤≤当且时，只能是例32n n 40r 4)q r ∈=+≤≤当Z 且（时,r 只能是0,1 例4[]a 6|a(1)(21).a a ++求证：若为整数，则 二、公式法这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式： 1.若n 为正整数，则-=(a-b)(+b++)2.若n 为正偶数，则-=(a+b)(-b+-)3.若n 为正奇数，则+=(a+b)(-b++)例3若n ∈Z ,求证：73|f(n)=.证明：因为f(n)==()+(=73,由公式可知73|（，所以73|f(n)=.例4当n 为正奇数时，求证：60|. 分析60=3，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除. 证明：因为n 为正奇数，所以3|（.同理4|，5|.因为3,4,5两两互质，所以60|.例5求证：.证明：因为所以于是.例1设n 为非负整数，求证:f(n)=被23整除。
1.9 整值函数的整除性
§1.9 整值函数的整除性所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。
例如，f(n)=n2-6,f(n)=n(n+1)(32n+1+1)F(a,b)= a2-b2都是整值函数。
本节将讨论整值函数被整数整除的问题。
我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。
一、分类法一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。
例1 若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n±1(n∈N∗)若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.例2 设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。
求证：24|（a2-b2）.分析要证24|（a2-b2），只要判定a2，b2被24除所得余数相同即可。
证明：设a=24q+r(0≤r<24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为： 24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,无论出现哪一种情况a2被24除余数都是1.同理可得，b2被24除余数也是1.所以a2-b2被24除余数是0，即24|（a2-b2）.例1 a,b均为整数，若7|(a2+b2),求证：7|a且7|b.分析要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.证明：设a=7m+α，b=7n+β,α≥0,β<7,可知α,β取值0,1,2,3,4,5,6.因为a2+b2=49(m2+n2)+14(αm+βm)+α2+β2所以7|(a2+b2) α2+β2,但α2和β2只能取0,1,4,9,16,25,36.α2+β2取值如表所列：从表中可知，当且仅当α=0，β=0时才有α2+β2被7整除.此时a=7m 且b=7n,所以7|a 且7|b 成立.例22n n 8(08)r 0,1,4Z q r r ∈=+≤≤当且时，只能是 例32n n 40r 4)q r ∈=+≤≤当Z 且（时,r 只能是0,1 例4 []a 6|a(1)(21).a a ++求证：若为整数，则 二、公式法这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式： 1.若n 为正整数，则a n -b n =(a-b)(a n−1+a n−2b+a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1) 2.若n 为正偶数，则a n -b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯+ab n−2-b n−1) 3.若n 为正奇数，则a n +b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯−ab n−2+b n−1) 例3 若n ∈Z ,求证：73|f(n)=8n+2+92n+1. 证明： 因为f(n)=64×8n +9×81n=(64×8n +9×8n )+( 9×81n −9×8n ) =73×8n +9(81n −8n ),由公式可知73|（81n −8n )，所以73|f(n)=8n+2+92n+1. 例4 当n 为正奇数时，求证：60|f(n)=6n −3n −2n −1. 分析 60=3×4×5，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除f(n).证明： f(n)=6n −3n −2n −1 =6n −3n −（2n +1）因为n 为正奇数，所以3|（6n −3n ），3|(2n +1)，从而3| f(n). 同理4| f(n)，5|f(n).因为3,4,5两两互质，所以60| f(n)=6n −3n −2n −1. 例5 求证：n 2|[(n +1)n −1]. 证明： 因为(n +1)n =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+C n n−1n +1 =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2+1, 所以(n +1)n −1=n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2，于是n 2|[(n +1)n −1].例1 设n 为非负整数，求证: f(n)=52n+1+2n+4+2n+1被23整除。
整除特性和整数幂特性
整除特性和整数幂特性
*整除特性*
能够被2整除的数其个位一定是偶数。
能够被3整除的数是各位数的和能够被3整除。
能够被4整除的数是最后两位数能够被4整除。
能够被5整除的数的个位是0或5。
能够被8整除的数是最后三位能够被8整除。
能够被9整除的数是各位数的和能够被9整除。
能够被11整除的数是其奇数位的和减去偶数位的和的差值可以被11整除。
记住：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。
*整数n次幂尾数特性*
尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6循环
尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环
尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环
尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环
尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环
尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环。
整除以9的规律
整除以9的规律在数学中，整除以9的规律是一项有趣的性质。
这个规律是一个简单的数论属性，可以应用于各种数学问题。
在本文中，我们将介绍整除以9的一些基本概念和规律。
首先，整除以9的规律是指，如果一个数可以被9整除，那么它的数位和也必须可以被9整除。
为了理解这个规律，我们需要先介绍一下数的数位和。
数的数位和指的是一个数各位数字的和。
例如，数123的数位和是1 + 2 + 3 = 6。
我们可以使用数位和来验证一个数是否可以被9整除。
例如，数27可以被9整除，因为它的数字和是2 + 7 = 9。
同样地，数153可以被9整除，因为它的数字和是1 + 5 + 3 = 9。
那么，为什么整除以9又如何呢？我们可以使用数字的位置概念来解释这个问题。
举个例子，在一个三位数中，百位数可以看作是10的二次方，十位数可以看作是10的一次方，个位数可以看作是10的零次方。
因此，一个三位数，如abc可以表示为a×10² +b×10¹ + c×10⁰。
如果我们将它拆分为各个数字的加法形式，则可以表示为a×(10²)+b×(10¹)+c×(10⁰)，也可以表示为(a×9 + a) + (b×9 + b) + (c×9 + c)。
接着，我们可以分解出公因数9，得到(a + b + c)×9 + (a + b + c)×1，这个结果可以写成(a + b + c)×10。
这个规律可以帮助我们解决一些数字问题。
例如，一个数是否可以被9整除，如果它的数位和可以被9整除，那么就可以得出这个结论。
同样地，我们可以利用这个规律来解决一些竞赛数学问题。
例如：问题：一个四位数XYZW，每个数位上的数字都不相同，且X、Y、Z、W均是小于等于5的正整数。
问有多少个四位数XYZW可以被9整除？解析：由于X、Y、Z、W都是小于等于5的正整数，因此它们的数字和的范围是9至20。
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§1.9 整值函数的整除性所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。
例如，f(n)=n2-6,f(n)=n(n+1)(32n+1+1)F(a,b)= a2-b2都是整值函数。
本节将讨论整值函数被整数整除的问题。
我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。
一、分类法一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。
例1 若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n±1(n∈N∗)若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.例2 设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。
求证：24|（a2-b2）.分析要证24|（a2-b2），只要判定a2，b2被24除所得余数相同即可。
证明：设a=24q+r(0≤r<24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为： 24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,无论出现哪一种情况a2被24除余数都是1.同理可得，b2被24除余数也是1.所以a2-b2被24除余数是0，即24|（a2-b2）.例1 a,b均为整数，若7|(a2+b2),求证：7|a且7|b.分析要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.证明：设a=7m+α，b=7n+β,α≥0,β<7,可知α,β取值0,1,2,3,4,5,6.因为a2+b2=49(m2+n2)+14(αm+βm)+α2+β2所以7|(a2+b2) α2+β2,但α2和β2只能取0,1,4,9,16,25,36.α2+β2取值如表所列：从表中可知，当且仅当α=0，β=0时才有α2+β2被7整除.此时a=7m 且b=7n,所以7|a 且7|b 成立.例22n n 8(08)r 0,1,4Z q r r ∈=+≤≤当且时，只能是 例32n n 40r 4)q r ∈=+≤≤当Z 且（时,r 只能是0,1 例4 []a 6|a(1)(21).a a ++求证：若为整数，则 二、公式法这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式： 1.若n 为正整数，则a n -b n =(a-b)(a n−1+a n−2b+a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1) 2.若n 为正偶数，则a n -b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯+ab n−2-b n−1) 3.若n 为正奇数，则a n +b n =(a+b)(a n−1-a n−2b+a n−3b 2−⋯−ab n−2+b n−1) 例3 若n ∈Z ,求证：73|f(n)=8n+2+92n+1. 证明： 因为f(n)=64×8n +9×81n=(64×8n +9×8n )+( 9×81n −9×8n ) =73×8n +9(81n −8n ),由公式可知73|（81n −8n )，所以73|f(n)=8n+2+92n+1. 例4 当n 为正奇数时，求证：60|f(n)=6n −3n −2n −1. 分析 60=3×4×5，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除f(n).证明： f(n)=6n −3n −2n −1 =6n −3n −（2n +1）因为n 为正奇数，所以3|（6n −3n ），3|(2n +1)，从而3| f(n). 同理4| f(n)，5|f(n).因为3,4,5两两互质，所以60| f(n)=6n −3n −2n −1. 例5 求证：n 2|[(n +1)n −1]. 证明： 因为(n +1)n =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+C n n−1n +1 =n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2+1, 所以(n +1)n −1=n n +C n 1n n−1+C n 2n n−2+⋯+n 2，于是n 2|[(n +1)n −1].例1 设n 为非负整数，求证: f(n)=52n+1+2n+4+2n+1被23整除。
21412n+1421n ()522=52(22)51825251822325182)n n n n n n n n n n f n ++++=++++=+⋅=⋅+⋅=⋅--（252n+141(252)|(252),23|(252)23|2325,23|22).n n n n n n n ++---⋅++即，所以（5例2 n 221n |67n N +++∈+当时，求证：43例3 n 221n 133|1112).n +++求证：当为非负整数时，（ 例4 a,,a ,).n n b Z b n b ∈≠--当且是偶数时，（a+b)|(a 例5 a,,a ,+).n nb Z b n b ∈≠-当且是奇数时，（a+b)|(a三、贾宪数法形如n (n−1)(n−2)⋯(n−r+1)r!(n ∈Z ,r ∈N)的数叫做贾宪数。
易见：1. 贾宪数是r 个连续整数之积n (n −1)(n −2)⋯(n −r +1)被r!除所得的商数。
2. 当n ∈N 且0≤r ≤n 时，贾宪数就是组合数，即它是组合数的推广。
定理1 贾宪数是整数。
证明： （1）当n ∈N 且0≤r ≤n 时，贾宪数就是组合数，由组合数的意义可知，贾宪数是整数；当n ∈N 且n<r 时，在n,n-1,n-2,⋯,n-r+1共r 个连续整数中，n 非负，n-r+1非正，故其中必有一个为0，所以N (n −1)(n −2)⋯(n −r +1)=0， 则此时贾宪数等于0.（2）当n<0时，设 –n =m ,则n (n−1)(n−2)⋯(n−r+1)r!=−m (−m−1)(−m−2)⋯(−m−r+1)r!=（−1）r m (m+1)(m+2)⋯(m+r−1)r!=（−1）r(m+r−1)(m+r )⋯(m+1)mr!=（−1）rC m+r−1r显然m+r-1≥r,所以C m+r−1r是一个组合数， 所以（−1）rC m+r−1r是一个整数。
贾宪数是整数，这说明任意r 个连续整数之积可被r!整除。
例如，3！|75×74×73；3！|19×20×21；4！8×7×6×5. 例6 求证：（1）6|(n 3−n )；（2）若n 为奇数，则8|(n 2−1).证明：（1）因为n3−n=n(n2−1)=(n−1)n(n+1),所以6|(n3−n)。
（2）设n=2m+1(m∈Z),则n2−1=4m(m+1).因为2=2！|m(m+1),所以8|4m(m+1)，故8|（n2-1）. 例7 求证：30|（n5−n)分析30不是某数之阶乘，故不能直接应用贾宪数法，但可分解为两个或几个两两互质数，然后分别证明每个数能整除n5−n.证明：n5−n=n(n4−1)=n(n2-1) (n2+1)=n(n-1)(n+1)[(n2−4)+5]=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1).因为5！|（n-2）(n-1)n(n+1)(n+2),所以5|（n-2）(n-1)n(n+1)(n+2).又因为5|5（n-1）n(n+1),所以5|（n5−n）.因为3！=6|n(n-1)(n+1),所以6|（n5−n）.由（5,6）=1，得5×6=30|（n5−n）.同理可证10|（n5−n），这说明10除n5和n所得的余数相同，即n5和n的个位数字相同。
例如7565和756的末位数字都是6.由n5和n指数差4，猜想10|（n4q+r−n r),(q,r∈N∗)(请读者自己证明)。
如果结论成立，19102的末位数字是多少？例1 证明：f(n)=13n3+12n2+16n是整值函数.分析 f(n)=2n3+3n2+n6,要证f(n)是整值函数，只需证明6|(2n3+3n3+n)即可.证明 f(n)=13n3+12n2+16n=2n3+3n2+n6=n(2n 2+3n+n)6=n(n+1)(2n+1)6=n(n+1)[(n+2)+(n−1)]6=n(n+1)(n+2)+(n−1)n(n+1)6由于n(n+1)(n+2)及(n-1)n(n+1)都是3个连续整数的乘积，必有6|n(n+1)(n+2),6|(n-1)n(n+1),所以6|[n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)],即f(n)=n(n+1)(n+2)+(n−1)n(n+1)6是整数，所以 f(n)=13n3+12n2+16n是整值函数.例2()!m,n,km!!!m n kNn k+++∈证明：当时，的值总是整数例3证明：32nn326n nz∈-+当时，的值是整数四、递推法此处的递推法，特指把整值函数式转化为递推公式，进而通过递推来证明一个整数整除一个整值函数.例8 若n∈N,求证：9|[(3n+1)×7n-1].证明：设f(n)=(3n+1)×7n-1,则f(n-1)=(3n-2)×7n−1-1,所以f(n)-f(n-1)=9(2n+1)×7n−1, 即f(n)=f(n-1)+9(2n+1)×7n−1,从而 9|f(n) 9|f(n-1).因为9|f(0)=0,所以9|f(1),9|f(2),⋯,9|f(n-1),9|f(n).例9 若n ∈N ,求证：f(n)=√5[((1+√52)n+1)- (1−√52)n+1]是正整数. 证明： 设a=1+√52,b=1−√52,则a+b=1,ab=-1,所以a,b 是方程X 2−X −1=0 的两个根，则a 2=a+1,b 2=b +1.所以a n+1=a 2a n−1=(a +1)a n−1=a n +a n−1;同理b n+1=b n +b n−1.从而 √5(a n+1−b n+1)=√5(a n −b n )+√5(a n−1−b n−1),即f(n)=f(n-1)+ f(n-2)(n ≥2). 于是f(0)=1,f(1)=1,f(2)=f(0)+f(1)=2,f(3)=f(1)+f(2)=3,⋯ 都是正整数.例1 n 是自然数，证明13|93k+1+33k+1+144443k+13k+13k+1+13k+1+13k+43k+43k+13k+13k+13k+13k 1:(1)n 131664313511,13|+3+1).(2)|+3+1n=k+1 9+3+1=9+3+1=7299+273+1=279+273+27+7029-n k +=++==⨯=⋅⋅⋅⋅⋅（）（）证明当时，有9所以（9设时，命题成立，即13（9），下面证明，时命题也成立。