整除性判断+裂项计算
整数裂项方法总结
整数裂项方法总结1. 引言整数裂项方法是一种数学技巧，用于处理包含整数的问题。
它的基本思想是将一个整数拆分成多个整数的和，从而简化问题的求解过程。
本文将对整数裂项方法进行总结和介绍。
2. 整数裂项方法的基本原理整数裂项方法的基本原理是将一个整数拆分成多个整数的和，通过对这些整数进行运算得到所需的结果。
裂项的数量和裂项的大小取决于具体的问题和求解目标。
3. 整数裂项方法的应用场景整数裂项方法可以应用于各种数学问题中，尤其是在组合数学、离散数学和计算机科学领域。
以下是一些常见的应用场景：a) 分解问题整数裂项方法可以用于将一个整数分解成多个整数的和，以满足某种条件。
例如，可以将一个整数分解成若干个质数的和，以满足给定的条件。
b) 组合问题整数裂项方法可以用于求解组合问题。
例如，在从一组数字中选取若干个数字，使其和等于给定的目标值的问题中，可以使用整数裂项方法。
c) 递归问题整数裂项方法可以用于递归问题的求解。
递归问题通常需要将一个问题分解成多个子问题，并对子问题进行求解。
整数裂项方法可以将一个整数拆分成多个整数的和，以便递归求解。
4. 整数裂项方法的实现步骤整数裂项方法的实现可以分为以下几个步骤：a) 确定裂项的个数根据具体的问题和求解目标，确定裂项的个数。
裂项的个数决定了问题的解的形式和求解过程的复杂度。
b) 确定裂项的大小确定裂项的大小，即裂项的取值范围。
裂项的大小决定了问题的解的空间和解的个数。
c) 列出裂项的所有可能组合根据裂项的个数和大小，列出裂项的所有可能组合。
这可以通过遍历所有可能的裂项组合来实现，也可以使用动态规划等方法来优化求解过程。
d) 进行裂项运算对裂项进行运算，得到所需的结果。
裂项的运算可以是简单的加法运算，也可以是复杂的乘法、除法等运算。
5. 实例分析为了更好地理解整数裂项方法，我们以一个实例进行分析。
假设有一个整数N，我们的目标是将N分解成k个小于等于M的整数的和，并求解满足条件的分解方式的个数。
有理数巧算裂项法
有理数巧算裂项法
有理数是数学中一类重要的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。
在进行有理数加减乘除运算时，需要用到裂项法，这是一种巧妙的方法，可以将有理数化简，以方便进行运算。
裂项法的基本思想是将一个分数拆分成多个分数之和或之差，这样就能够消去一些因数，从而使计算更为简便。
以下是一些常见的裂项法示例：
1. 裂项法求和
例如，计算2/3 + 7/9
首先，我们找到这两个分数的公共分母，即9，然后将分母拆分成3×3，得到：
2/3 + 7/9 = 2/3×3/3 + 7/9×3/3
= (2×3)/9 + (7×1)/9
= 13/9
= (5×1)/(2×2×3) - (1×3)/(2×2×3)
= 5/12 - 3/12
我们可以将3/4和5/6都分别拆分成若干个分数之积，然后再合并起来，得到：
= 5/4
2/3÷4/5 = 2/3×5/4
总之，裂项法是一种十分常用且实用的方法，可以帮助我们更加方便地进行有理数的计算，提高计算效率。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结一、简单分数裂项法：1.若分数的分母为n，则可将该分数表示为n等分之和，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{ 1}{n}\)这种情况下，裂项个数为分母的值。
2.若分数的分母为n，且分子a能被n整除，则可以将该分数表示为n等分之和，裂项个数为分子的值，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{a}{n}+\frac{a}{n}+...+\frac{a}{n}\)二、特殊分数裂项法：1.若分母为n(n≥2)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\)若此时n=2，则该分数可表示为：\(\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\)2.若分母为n(n≥3)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}\)若此时n=3，则该分数可表示为：\(\frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\)三、通用分数裂项法：1.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}+\frac{-b}{b}\)如将 \(\frac{7}{3}\) 进行裂项，可得：\(\frac{7}{3}=\frac{7+3}{3}+\frac{-3}{3}=\frac{10}{3}+\frac{-1}{3}\)2.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b的平方，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b^2}=\frac{a}{b^2}+\frac{a}{b^2}+...+\frac{a}{b^2}\)裂项的个数为分子的值。
整数裂项方法
整数裂项方法
整数裂项方法，那可真是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！你知道吗，它就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似复杂难解的数学大门。
我们来看看整数裂项到底是怎么一回事。
比如说，有一个数列 1，2，3，4，5……那怎么通过裂项来找到其中的规律和奥秘呢？这就好像是在一个大宝藏中寻找隐藏的宝贝一样刺激！
把一个整数拆分成几个数的和或差，这就是裂项的核心啊！这不就像是把一个大拼图拆成小块，然后再重新组合，发现它原本的模样吗？比如说 5 可以拆成 2 和 3，也可以拆成 1 和 4，这多有趣啊！
通过裂项，我们可以把复杂的计算变得简单易懂。
就好像原本是一团乱麻，突然就被理清了头绪。
这难道不令人惊叹吗？比如计算从 1 到 100 的所有整数的和，要是直接一个个加，那得累死人啊！但用裂项方法，就轻松多了。
而且啊，整数裂项方法在解决很多实际问题中也大显身手呢！它就像是一个万能工具，不管遇到什么难题，都能派上用场。
难道你不想掌握这样神奇的方法吗？
在学习整数裂项方法的过程中，可能会遇到一些困难，但这有什么可怕的呢？不经历风雨怎么见彩虹，对吧？就像爬山一样，虽然过程中会累会辛苦，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值得了。
整数裂项方法就是这样独特又精彩，它让我们看到数学的魅力和无限可能。
不用它，那不是太可惜了吗？所以啊，大家都要好好去探索和运用整数裂项方法，让自己在数学的海洋中畅游，去发现更多的奇妙和惊喜！这就是我的观点，毋庸置疑！。
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx
整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。
知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a ba b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
重难点（1）复整数裂的特点及灵活运用（2）分子蔽的裂和型运算。
例题精讲一、整数裂【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288【巩固】 3 3 3 4 4 4 L 79 7979【例 4】计算：1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100【例 5】1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L100【巩固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L300二、分数裂和【例 6】填空：51，71，91 62123204 111， 131， 151 3054265675791113151719【巩固】计算： 1122030425672906【例7】 5 6 6 7 78 8 9 9 1056677889910【巩固】36579111357612203042【例 8】计算：132579101119 3457820212435【巩固】12379111725 3571220283042【例 9】111112010263827 2330314151119120123124【巩固】3549637791105 1 316122030425688【例10】122222321821921922021223181919201212221222321222324212 2 2262【巩固】1323132333132333431323263 13课堂检测1、1 4 4 7 7 10 L 4952 =_________57911131517192、计算： 11220304256729063 、1179817512 22 22 32 20042 20052 20052 200624、22 3L20052005 20061 20045、 11 11L 11111223299 2家庭作业1、 1 1 2 2 3 3 L 50 502、 2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、 1 2 3 7911 21 313 5 7 12 20 28 40 564 、(11) (22) (33) L(88) (99 ) 2349105、 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 502 23 2 34 2 3 L 50教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。
1-2-3裂项与通项归纳
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合 （1）、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+知识点拨教学目标1-2-3裂项与通项归纳（2）裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。
数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。
本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。
首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。
这个特征指的是数的各位数字之和。
例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。
例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。
其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。
这个方法利用了约数的概念。
约数是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。
如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。
再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。
这个方法利用了因子的概念。
因子是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。
如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。
最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。
这个方法利用了位数的概念。
位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。
例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。
小学奥数教程整数裂项.教师版 全国通用
整数裂项基本公式(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++L采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L 这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7例题精讲 知识点拨整数裂项7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×1049×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++L 【答案】2970【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++L 1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+L而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++L L L21351910100++++==L ，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项： 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L ，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯L其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=L 得出【答案】2008008【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++-L 2009!=【答案】2009!【例 4】 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
裂项计算
裂项法在上一学期的第一讲，我们提到古埃及人很喜欢使用单位分数，除了32以外，他们将所有的分数都用若干个分母不同的单位分数和的形式来表达。
以81为例，你能将其分成4个不同的单位分数和的形式吗？在解决这个问题之前，我们先学习和探讨一些分数和整数求和的方法与技巧。
对于某些有一定规律的分数(整数)求和，我们往往使用“裂项”的方法来求解。
所谓“裂项”是指把所需求值的每个数或部分数拆成两个或以上的数和或差的形式。
如：4131121-=。
这样就为后面的相抵消创造了条件。
如：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯31121311；⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯431321214321等等。
而这种方法的实质是分数通分的逆运用，我们在验证式子是否正确的时候，也可以通分后再看两边是否相等。
常见的方法有如下两种：1．直接裂项即一般而言先直接裂项，然后才开始计算前面应该乘以多少。
如：6421⨯⨯ ①先确定分成两个数差的形式，641421⨯-⨯；②再确定是否需要在括号⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯641421前，乘上某个数； 4816421=⨯⨯，641421⨯-⨯＝12124181=-，显然⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯≠⨯⨯6414216421，但是48141241=⨯。
所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯641421416421； ③最后看看这种形式的分数是否都可以这么拆。
如：10861⨯⨯，按上面的规律应该是⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯10818614110861； 验证，480110861=⨯⨯，480112014180148141108186141=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯，满足。
于是，我们就可以说，我们上面的拆法是正确的。
当然还可以更一般的证明。
运用上面的三步走，我们还可以写出：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=+⨯d k k d d k k 111)(1；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1k k k k k k k ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋯⨯+⨯+⨯+--+⋯++⨯=+⨯⋯⨯+⨯+⨯)()3()2()1(1)1()2)(1(11)()2()1(1n k k k k n k k k k n n k k k k2．利用通项裂项对于那些不易直接裂项的求值问题，可以试试通项法。
小学奥数-整数裂项
小学奥数--整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
裂项公式例题
裂项公式例题裂项公式在数学学习中可是个很有趣的小法宝呢！咱们一起来瞅瞅那些让人又爱又恨的裂项公式例题。
先来说说什么是裂项公式。
简单来讲，就是把一个分数拆分成两个或多个分数的差或和，这样就能让计算变得更简单、更巧妙。
比如说，有这么一道题：计算1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + …… +1/(99×100) 。
这要是一个一个去通分计算，那可真是太麻烦啦！但是，咱们用裂项公式，就能轻松解决。
1/(1×2) 可以写成 1 - 1/2 ，1/(2×3) 可以写成 1/2 - 1/3 ，1/(3×4) 可以写成 1/3 - 1/4 ，以此类推，1/(99×100) 可以写成 1/99 - 1/100 。
这样一来，原式就变成了：(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + …… + (1/99 - 1/100) 。
咱们仔细观察，就会发现中间的很多项都可以消掉，最后只剩下 1 - 1/100 ，结果就是 99/100 。
我记得之前给学生们讲这道题的时候，他们一开始都被这长长的式子给吓住了。
一个个愁眉苦脸的，感觉像是面前有一座大山。
我就引导他们去发现式子中的规律，当他们突然领悟到可以用裂项公式来解决时，那眼睛里瞬间闪着光，兴奋得不行。
那种从困惑到豁然开朗的表情转变，让我觉得当老师可真有成就感！再来看一道稍微有点难度的：计算 2/(1×3) + 2/(3×5) + 2/(5×7)+ …… + 2/(97×99) 。
这道题同样可以用裂项公式，2/(1×3) 可以写成 1 - 1/3 ，2/(3×5) 可以写成 1/3 - 1/5 ，2/(5×7) 可以写成 1/5 - 1/7 ，以此类推，2/(97×99) 可以写成 1/97 - 1/99 。
数的整除性了解整除的概念和判断方法
数的整除性了解整除的概念和判断方法整除是数学中常见的概念，它用来描述一个数能够被另一个数整除的性质。
在本文中，我们将深入探讨整除的概念和判断方法。
一、什么是整除？整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数除以另一个数时，得到的商是整数。
例如，当我们说「6可以被2整除」时，意思是6除以2的商是整数3。
在整除的概念中，有两个重要的要素，分别是被除数和除数。
被除数是需要被整除的数，而除数则是用来除以被除数的数。
在上面的例子中，6是被除数，2是除数。
二、整除的判断方法那么，如何判断一个数能否被另一个数整除呢？下面我们将介绍几种常见的判断方法。
1. 除法运算法则最常用的判断方法是使用除法运算法则。
当被除数除以除数能够得到一个整数的商时，那么被除数就能被除数整除。
例如，当我们计算12除以3时，得到的商是4，而4是一个整数，因此我们可以说12可以被3整除。
2. 余数判断法则除法运算法则是最常见和直观的判断方法，但有时我们也可以使用余数判断法则来判断整除性。
当被除数除以除数得到的余数为0时，我们可以判断被除数能够被除数整除。
例如，当我们计算15除以5时，得到的余数是0，因此我们可以说15可以被5整除。
三、整除的性质除了了解整除的概念和判断方法，我们还应该了解整除的一些重要性质。
1. 传递性整除关系具有传递性，也就是说，如果一个数能够被另一个数整除，而这个另一个数又能够被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果6能够被2整除，而2又能够被1整除，那么我们可以得出结论：6能够被1整除。
2. 1的整除性每个数都能被1整除。
这是因为对于任意一个数n，我们都可以将n除以1得到n本身，而n本身是一个整数。
3. 0的整除性0不能被除数整除，因为对于任意一个数n（n≠0），当我们将n除以0时，无法得到一个确定的商，所以没有意义。
四、小结在本文中，我们深入了解了整除的概念和判断方法。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是两个数之间存在整除关系。
高中数学整除性的应用及解题技巧
高中数学整除性的应用及解题技巧在高中数学中，整除性是一个基础而重要的概念。
它不仅在代数、数论等数学领域中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
本文将从整除性的定义入手，通过具体的题目举例，分析解题技巧，并探讨一些相关的应用。
一、整除性的定义和性质整除性是指一个数能够被另一个数整除，即被除数能够被除数整除，或者说除数能够整除被除数。
我们用符号“|”表示整除关系，若a能被b整除，则记作b|a。
例如，4能够被2整除，即2|4。
整除性具有以下性质：1. 任何数都能被1整除，即1|a。
2. 任何数都能整除自身，即a|a。
3. 若a|b，且b|c，则a|c。
这意味着若一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差、积等。
二、解题技巧1. 整除性的判断在解题过程中，判断一个数能否被另一个数整除是非常关键的。
为了判断整除性，我们可以利用以下几个技巧：（1）质因数分解法：将一个数进行质因数分解，然后观察两个数的质因数是否有交集。
如果有交集，那么这两个数是整除关系。
例如，判断36能否被12整除。
首先，将36和12分别进行质因数分解，得到36=2^2 * 3^2，12=2^2 * 3。
可以看到，36的质因数中包含了12的质因数，因此12能够整除36。
（2）整除规律：观察一个数的末尾几位数字，判断它能否被2、3、5、9等整除。
例如，判断1350能否被9整除。
根据整除规律，一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
因此，1350的各位数字之和为1+3+5+0=9，能被9整除，所以1350能够被9整除。
2. 整除性的应用整除性在解决实际问题时也有着广泛的应用。
下面通过几个例子来说明：（1）商和余数问题商和余数问题是整除性的一个常见应用。
例如，某数除以3的商为8，余数为2，求这个数。
根据整除性的定义，我们可以列出等式：被除数=除数×商+余数。
代入已知条件，得到被除数=3×8+2=26。
第5讲简便计算——裂项相消法
第5 讲简便计算（四）——列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。
：列项相消公式2）5）22a b b aa b a b三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
（2）数列中的每一个数叫做这个数列的项。
依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二项、、、、、、第n 项（末项）。
（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。
四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
而这个常数叫做等差数列的公差。
（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1 、1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 （例 1 、例2、例 3 的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式11 n(n 1) n 1n11） 1 1 1n(n 1) n n 13） 1n(n k)1)1kk4）11 n n 1 n 2 n n 1 11 n 1 n 2 2 6）1 11 1 1 11 +9 +11 +13 +15 +17 +19 20 3042 56 72 901101 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 131 1 1 1 1 1 12 6 12 20 30 42 56例 2 、3 15 35 63 9911+3 1 +5 1 +7 1 +9 13 15 35 63 9911 1+3 +5 +76 1222+2001 2003 2003 2005例 9 和例 10 的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个ab 1 1数相加的和。
(完整版)整数裂项
整数裂项整数裂项基本公式（1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2） 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这是整数的裂项.裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消.设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ 1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1)＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×(5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×(51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形:()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解:由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330=采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×(10－1)＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×(13－4）＝7×10×13－4×7×10 …………。
裂项相消法公式它的原理是什么
裂项相消法公式它的原理是什么数列裂项相消公式是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，裂项相消法是把每项都拆成两项，然后这两项跟前后的有关系，可以消掉。
变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
裂项相消法公式数列裂项相消公式是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，裂项相消法是把每项都拆成两项，然后这两项跟前后的有关系，可以消掉。
变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）倍数的关系。
通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
裂项相消法的原理裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。
举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。
因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法，此外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可以采用裂项相消法求解Sn。
裂项相消法能达到化繁为简的效果。
求Sn前先观察通项公式，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。
整数裂项公式口诀
整数裂项公式口诀
整数裂项公式是一种将多项式拆分成更简单形式的方法。
其主要应用在高中和大学的代数学中，特别是在学习多项式因式分解和解方程时。
裂项公式有很多种，其中最基本的是整数裂项公式。
整数裂项公式的口诀为“先积后和，后积先减”，即将多项式拆分成两个部分，将每个部分的项分别相乘，然后将相乘得到的结果相加或相减。
其中，先积后和指的是先将两个部分的项分别相乘，得到两个新的多项式，然后将它们相加；后积先减指的是将两个部分的项分别相乘，得到两个新的多项式，然后将第一个多项式的项依次与第二个多项式的项相减。
具体来说，设多项式为f(x)，将其拆分为g(x)和h(x)两个部分，其中g(x)和h(x)的次数之和等于f(x)的次数。
然后，将g(x)和h(x)的每一项分别相乘，得到两个新
的多项式G(x)和H(x)，然后将它们相加或相减，即得到f(x)的一个拆分形式。
如
果拆分正确，就可以使用代数学的其他方法对g(x)和h(x)进行进一步的分解和求解。
需要注意的是，整数裂项公式虽然是一种有效的多项式拆分方法，但并不是所有多项式都可以使用它进行拆分。
有些多项式需要使用其他的拆分方法才能得到
正确的结果。
此外，使用整数裂项公式进行拆分时需要仔细计算，以确保结果正确无误。
整数裂项的原理
整数裂项的原理整数裂项是一个数学概念，它描述了将一个整数拆分成一系列正整数的方式。
这个概念在数论和组合数学中有着广泛的应用，被广泛研究和探索。
整数裂项的原理可以通过以下几个方面来解释和理解。
1. 整数裂项的概念整数裂项是将一个整数拆分成一系列正整数的方式。
例如，对于整数6，可以将其拆分为1+1+1+1+1+1、2+1+1+1+1或者3+3等等。
每一种拆分方式都被称为整数的一种裂项。
裂项的数量是有限的，但具体的数量取决于整数本身。
2. 不同的裂项方式对于任意一个正整数，可以有多种不同的裂项方式。
例如，对于整数6，可以有以下5种不同的裂项方式：6、5+1、4+2、4+1+1和3+2+1。
对于更大的整数，裂项的方式会更加多样化和复杂。
这是因为整数裂项的原理与组合数学和数论有着密切的关系。
3. 裂项的计算方法为了计算一个整数的裂项，可以使用递归或动态规划的方法。
递归是指将一个问题分解成更小的子问题来解决，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
动态规划是一种将问题分解成相互重叠的子问题的方法，并使用表格或数组来存储子问题的解，以避免重复计算。
4. 裂项的应用领域整数裂项的原理在组合数学、数论、计算机科学和密码学等领域有着广泛的应用。
在组合数学中，裂项被用于计算排列组合的数量。
在数论中，裂项被用于研究整数的性质和特征。
在计算机科学中，裂项被用于算法设计和问题求解。
在密码学中，裂项被用于设计和分析加密算法。
5. 裂项的性质和特点整数裂项具有一些有趣的性质和特点。
首先，裂项的数量是有限的，但具体的数量随着整数的增加而增加。
其次，每个整数都至少有一种裂项方式，即它本身。
第三，裂项的顺序并不重要，即拆分成1+2和拆分成2+1是等价的。
最后，裂项的方式可以用图形化的方式表示，例如使用树状图或分区图。
整数裂项的原理是将一个整数拆分成一系列正整数的方式。
这个概念在数论和组合数学中有着广泛的应用，并且可以通过递归或动态规划的方法来计算。
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整除一、基本概念整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，且没有余数，那么叫做a能被b整除或b整除a，记作b二、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，则a+b、a-b也能c整除2.如果a能被b整除，c位整数，则a×c也能被b整除3.如果a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除4.如果a能被b、c整除，则a也能被b、c的最小公倍数整除。
三、整除性判断1：任何整数2：偶数3：各位数之和为3的倍数4、25：末两位能被4、25整除5：个位为5或06：既能被2整除又能被3整除，即各位数之和是3的倍数的偶数。
7：截去个位，（余下数-2x截下数）能被7整除，可重复进行直至能判断例：36155——3615-2×5=3605——360-2×5=350能被7整除8、125：末3位能被8、125整除9：各位数之和为3的倍数10：末位是011：奇偶数的和-偶位数的和的结果能被11整除12：既能被3整除又能被4整除，即即各位数之和是3的倍数，且末两位能被4整除13：截去个位，（余下数+4×截下数）能被13整除，可重复进行直至能判断例：116402——11640+4×2=11648——1164+4×8=1196——119+24=143——14+12=26能被13整除17：截去个位，（余下数-5×截下数）能被17整除，可重复进行直至能判断例：7786——778-5×6=748——74-40=34能被17整除19：截去个位，（余下数+2×截下数）能被19整除，可重复进行直至能判断例：16416——1641+2×6=1653——165+6=171——17+2=19能被19整除23、29：截去末四位，末4位与5倍余下数的差能被23、29整除例：135118054——13511×5-8054=59501——9501-5×5=9476——9476/23=412能被23整除。
33、99：两位截断求和（从后往前），若和能被33、99整除，该数就能被33、99整除，若不能被33、99整除，则该和除以33、99的余数就是该数除以33、99的余数。
若求得的和大于三位数，可继续用此方法判断。
证明：（以4位数abcd为例）abcd=ab×100+cd=ab×99+(ab+cd)，这时就可以看到，ab×99肯定是33、99的倍数，只要看ab+cd是不是33、99的倍数就可判断原数是不是33、99的倍数了，且原数与拆分和同余数。
更多位，推理与此类似，就是利用了100=99+1、10000=9999+1来进行拆分。
27、37、111、333、999：三位截断求和（从后往前），若和能被27、37、111、333、999整除，该数就能被27、37、111、333、999整除。
若求得的和大于三位数，可继续用此方法判断。
证明：（以8位数abcdefg为例）abcdefgh=ab×1000000+cde×1000+fgh=ab×(999999+1)+cde×(999+1)+fgh=ab×999999+cde×999+(ab+cde+fgh)因27×37=3×333=9×111=999，999能被27、37、111、333、999整除，所以若(ab+cde+fgh)能被27、37、111、333、999整除，则abcdefgh就能被27、37、111、333、999整除。
且原数与拆分和同余数。
7、11、13、1001：三位截断求差（从后往前），若差能被7、11、13、1001整除，该数就能被7、11、13、1001整除。
证明：（以8位数abcdefg为例）abcdefg=abcde×(1001-1)+fgh=abcde×1001+fgh-abcde=abcde×1001+fgh-[ab×(1001-1)+cde]=abcde×1001+fgh-[ab×1001-ab+cde]=abcde×1001-ab×1001+（fgh+ab-cde）因1001能被7、11、13、1001整除，所以若（fgh+ab-cde）能被7、11、13、1001整除，则abcdefgh就能被7、11、13、1001整除。
更多位，推理与此类似，就是利用了1000=1001-1来进行拆分。
若不能整除，余数为奇数项之和-偶数项之和的的差，如差为负数，则+除数。
例：73901825除以13三位截断求差：825+73-901=-3，则余数为-3+13=10。
101：两位截断求差（从后往前），若差能被101整除，该数就能被101整除。
证明方法及余数求法与1001类似。
裂项一、整数列项 定义和作用在整数计算过程中，将一个整数算式分裂成几个算式，用以跟其他算式进行抵消，以达到简便计算的目的。
适用范围它的使用有严格限制，它必须是等差数列里相邻几项首尾相接相乘的算式，比如2×4+4×6+6×8或者2×4×6+4×6×8+6×8×10就可以用整数裂项的方法，但是像1×3+2×4+5×7或者2×4+6×8+8×10+12×14就不行。
常见整数裂项形式1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)×31通项：n×(n+1)裂项：n×(n+1)=[n×(n+1)(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]×31例：1×2+2×3+3×4+...+99×100=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+99×100×101-98×99×100]×31=[98×99×100-0×1×2]×31=3234001×2×3+2×3×4+3×4×5+...+n×(n+1)×(n+2)=n×(n+1)×(n+2)×(n+3)×31通项：n×(n+1)×(n+2)裂项：n×(n+1)×(n+2)=[n×(n+1)×(n+2)×(n+3)-(n-1)×n×(n+1)×(n+2)]×41例：1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+9×10×11=[1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+...+9×10×11×12-8×9×10×11]×41=[9×10×11×12-0×1×2×3]×41=29701×3×5×7+3×5×7×9+5×7×9×11+...+(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)=[(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)×(2n+7)-(-1)×1×3×5×7]×101通项：(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5) 裂项：(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)=[(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)×(2n+7)-(2n-3)×(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)]×101例：1×3×5×7+3×5×7×9+5×7×9×11+...+11×13×15×17=[1×3×5×7×9-(-1)×1×3×5×7+3×5×7×9×11-1×3×5×7×9+...+11×13×15×17×19-9×11×13×15×17]×101=[11×13×15×17×19-(-1)×1×3×5×7]×101=7584总结解题方法把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，两者的差除以公差和因数个数+1的成绩 变形有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
12+22+32+...+n 2 通项：n 2变形：n 2=(n-1)×n+n裂项：n 2=(n-1)×n+n=[(n-1)×n×(n+1)-(n-2)×(n-1)×n]×31+n12+22+32+...+n 2=[0×1+1×2+2×3+...+(n-1)×n]+[1+2+3+...+n]=[(n-1)×n×(n+1)-0]×31+2n ×)(1n +=n×(n+1)×(2n+1)×61例：12+22+32+...+102=[0×1+1×2+2×3+...+9×10]+[1+2+3+ (10)=[9×10×11-0]×31+210×)10(1+=38513+23+23+...+n 3 通项：n 3变形：n 3=(n-1)×n×(n+1)+n裂项：n 2=(n-1)×n×(n+1)+n=[(n-1)×n×(n+1)×(n+2)-(n-2)×(n-1)×n×(n+1)]×41+n13+23+33+...+n 3=[0×1×2+1×2×3+2×3×4+...+(n-1)×n×(n+1)]+[1+2+3+...+n]=[(n-1)×n×(n+1)×(n+2)-0]×41+2n ×)(1n +=[2n ×)(1n +]2例：13+23+33+...+103=[0×1×2+1×2×3+2×3×4+...+9×10×11]+[1+2+3+ (10)=[9×10×11×12-0]×41+210×)10(1+=30251+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n) 通项：1+2+3+...+n变形：1+2+3+...+n=2n×)(1n + 裂项：1+2+3+...+n=2n ×)(1n +=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]×31×211+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+...+n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]×31×21=n×(n+1)×(n+2)×61例：1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+ (10)=21×[1×2+2×3+3×4+...+10×11] =[10×11×12-0×1×2]×31×21=2201×2+3×4+5×6+...+n×(n+1)<n 为奇数> 通项：n×(n+1)变形：n×(n+1)=n×(n+2)-n裂项：n×(n+1)=n×(n+2)-n=[n×(n+2)×(n+4)-(n-2)×n×(n+2)]×61-n1×2+3×4+5×6+...+n×(n+1) =1×3-1+3×5-3+5×7-5+...+n×(n+2)-n =[1×3+3×5+5×7+...+n×(n+2)]-(1+3+5+...+n)=[n×(n+2)×(n+4)-(-1)×1×3]×61-(1+n)×21n +×21例：1×2+3×4+5×6+...+99x100 =1×3-1+3×5-3+5×7-5+...+99×101-99 =[1×3+3×5+5×7+...+99×101]-(1+3+5+ (99)=[99×101×103-(-1)×1×3]×61-(1+99)×2199+×21=171650-2500=169150 二、分数裂项 定义和作用在分数计算过程中，将一个分数算式分裂成几个算式，用以跟其他算式进行抵消，以达到简便计算的目的。