整除性判断+裂项计算

整除

一、基本概念

整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，且没有余数，那么叫做a能被b整除或b整除a，记作b

二、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，则a+b、a-b也能c整除

2.如果a能被b整除，c位整数，则a×c也能被b整除

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除

4.如果a能被b、c整除，则a也能被b、c的最小公倍数整除。

三、整除性判断

1：任何整数

2：偶数

3：各位数之和为3的倍数

4、25：末两位能被4、25整除

5：个位为5或0

6：既能被2整除又能被3整除，即各位数之和是3的倍数的偶数。

7：截去个位，（余下数-2x截下数）能被7整除，可重复进行直至能判断

例：36155——3615-2×5=3605——360-2×5=350能被7整除

8、125：末3位能被8、125整除

9：各位数之和为3的倍数

10：末位是0

11：奇偶数的和-偶位数的和的结果能被11整除

12：既能被3整除又能被4整除，即即各位数之和是3的倍数，且末两位能被4整除

13：截去个位，（余下数+4×截下数）能被13整除，可重复进行直至能判断例：116402——11640+4×2=11648——1164+4×8=1196——119+24=143——14+12=26能被13整除

17：截去个位，（余下数-5×截下数）能被17整除，可重复进行直至能判断

例：7786——778-5×6=748——74-40=34能被17整除

19：截去个位，（余下数+2×截下数）能被19整除，可重复进行直至能判断

例：16416——1641+2×6=1653——165+6=171——17+2=19能被19整除

23、29：截去末四位，末4位与5倍余下数的差能被23、29整除

例：135118054——13511×5-8054=59501——9501-5×5=9476——9476/23=412

能被23整除。

33、99：两位截断求和（从后往前），若和能被33、99整除，该数就能被33、99整除，若不能被33、99整除，则该和除以33、99的余数就是该数除以33、99的余数。若求得的和大于三位数，可继续用此方法判断。

证明：（以4位数abcd为例）

abcd=ab×100+cd=ab×99+(ab+cd)，这时就可以看到，ab×99肯定是33、99的倍数，只要看ab+cd是不是33、99的倍数就可判断原数是不是33、99的倍数了，且原数与拆分和同余数。

更多位，推理与此类似，就是利用了100=99+1、10000=9999+1来进行拆分。27、37、111、333、999：三位截断求和（从后往前），若和能被27、37、111、333、999整除，该数就能被27、37、111、333、999整除。若求得的和大于三位数，可继续用此方法判断。

证明：（以8位数abcdefg为例）

abcdefgh=ab×1000000+cde×1000+fgh=ab×(999999+1)+cde×(999+1)+fgh

=ab×999999+cde×999+(ab+cde+fgh)

因27×37=3×333=9×111=999，999能被27、37、111、333、999整除，所以若(ab+cde+fgh)能被27、37、111、333、999整除，则abcdefgh就能被27、37、111、333、999整除。且原数与拆分和同余数。

7、11、13、1001：三位截断求差（从后往前），若差能被7、11、13、1001整除，该数就能被7、11、13、1001整除。

证明：（以8位数abcdefg为例）

abcdefg=abcde×(1001-1)+fgh=abcde×1001+fgh-abcde

=abcde×1001+fgh-[ab×(1001-1)+cde]

=abcde×1001+fgh-[ab×1001-ab+cde]

=abcde×1001-ab×1001+（fgh+ab-cde）

因1001能被7、11、13、1001整除，所以若（fgh+ab-cde）能被7、11、13、1001整除，则abcdefgh就能被7、11、13、1001整除。

更多位，推理与此类似，就是利用了1000=1001-1来进行拆分。

若不能整除，余数为奇数项之和-偶数项之和的的差，如差为负数，则+除数。例：73901825除以13

三位截断求差：825+73-901=-3，则余数为-3+13=10。

101：两位截断求差（从后往前），若差能被101整除，该数就能被101整除。证明方法及余数求法与1001类似。

裂项

一、整数列项 定义和作用

在整数计算过程中，将一个整数算式分裂成几个算式，用以跟其他算式进行抵消，以达到简便计算的目的。 适用范围

它的使用有严格限制，它必须是等差数列里相邻几项首尾相接相乘的算式，比如2×4+4×6+6×8或者2×4×6+4×6×8+6×8×10就可以用整数裂项的方法，但是像1×3+2×4+5×7或者2×4+6×8+8×10+12×14就不行。 常见整数裂项形式

1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)×31

通项：n×(n+1)

裂项：n×(n+1)=[n×(n+1)(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]×31

例：1×2+2×3+3×4+...+99×100

=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+99×100×101-98×99×100]×3

1

=[98×99×100-0×1×2]×3

1

=323400

1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+n×(n+1)×(n+2)=n×(n+1)×(n+2)×(n+3)×31

通项：n×(n+1)×(n+2)

裂项：n×(n+1)×(n+2)=[n×(n+1)×(n+2)×(n+3)-(n-1)×n×(n+1)×(n+2)]×41

例：1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+9×10×11

=[1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+...+9×10×11×12-8×9×10×11]×4

1

=[9×10×11×12-0×1×2×3]×41

=2970

1×3×5×7+3×5×7×9+5×7×9×11+...+(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)

=[(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)×(2n+7)-(-1)×1×3×5×7]×101

通项：(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5) 裂项：(2n-1)×(2n+1)×(2n+3)×(2n+5)