高等数学函数

高等数学函数
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§1 函数
本节内容:
一、邻域
二、函数的概念
三、基本初等函数
四、复合函数
五、初等函数
一、邻域
1. 定义1: 设
,a R R
δ+
∈∈, 则
—点
a 的δ邻域
a —(,)U a δ的中心,
δ—(,)U a δ的半径.
2. 定义2:
—点
a 的去心δ邻域
二、函数的概念
f ——定义在D 上的函数; D ——定义域;
x ——自变量;
y ——因变量;
()f x 0——x 0处的函数值;
{}(),W y y f x x D ==∈——值域.
注意: 函数的两个要素——定义域和对应法则.
补例1 求下列函数的定义域.
(1)
y =
1;
(2)
ln
y x =+12
. 三、基本初等函数
基本初等函数指下列5类:
幂函数 是常数()y x μμ=
指数函数
是常数(,,)x
y a a a a =>≠01
对数函数
是常数log (,,)a y x a a a =>≠01
三角函数
sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x
======
反三角函数
arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x ====
(一) 幂函数
1. 幂函数的定义:
2. 幂函数的图形与性质:
(a)
μ
取不同值, 幂函数的定义域与值域均可能不同;
(b) 对任意
μ, 函数图形都过点(1,1); 当0μ>时, 图形过点
(0,0)和
(1,1);
(c) 当
0μ>时, 幂函数在(0,)+∞为单调递增函数; 而0μ<时, 幂函数在(0,)+∞为单调递减函数; (d) 幂函数为无界函数. 3. 幂函数的运算性质:
(a) a a a αβαβ+⋅=;
2
x -1
图 1-1
2
(b)
a
a a α
αββ
-=;
(c) ()a a αβαβ
=;
(d) ()a b a b μμμ
⋅=⋅.
(二) 指数函数
1. 指数函数的定义:
2. 指数函数的图形与性质:
(a) 定义域为R , 值域为R +;
(b)
a 不论取何值, 函数图形都过点(0,1); (c) 当1a >时, 指数函数为单调递增函数, 而01a <<时, 指数函数为单调递减函
数;
(d) 指数函数为无界函数; (e) 指数函数是非奇非偶函数.
3. 指数函数的运算性质:
与幂函数的运算性质相似, 略.
(三) 对数函数
1. 对数函数的定义:
其中a ——底数.
一种特殊对数:
ln y x =.
2. 对数函数的图形与性质:
(a) 定义域为R
+
, 值域为
R ;
(b)
a 不论取何值, 函数图形都过点(1,0); (c) 当1a >时, 对数函数为单调递增函数; 而01a <<时, 对数函数为单调递减函
数;
(d) 对数函数为无界函数;
(e) 对数函数是非奇非偶函数.
3. 对数函数的运算性质:
图 1-3
图 1-4
x
(a) log ()log log a a a uv u v =+;
(b) log log log a a a u
u v v =-;
(c) log log v
a a u v u =;
(d) ln log ln a x
x a
=.
(四) 三角函数
1.
sin ,cos y x y x ==: sin y x =——正弦函数; cos y x =——余弦函数. sin ,cos y x y x ==的图形与性质:
(a) 定义域均为
R , 值域均为[1,1]-;
(b) sin ,cos y x y x ==均为非单调函数; (c) sin ,cos y x y x ==均为有界函数; (d) sin y x =为奇函数, cos y x =为偶函数; (e) sin ,cos y x y x ==均为周期函数. 2. tan ,cot y x y x ==:
tan y x =——正切函数; cot y x =——余切函数.
tan ,cot y x y x ==的图形与性质:
(a) tan y x =定义域为1
\{()}2
R k π+, cot y x =定义域为
\{}R k π, 值域均为R ;
(b) tan ,cot y x y x ==均为非单调函数; (c) tan ,cot y x y x ==均为无界函数; (d) tan ,cot y x y x ==均为奇函数; (e) tan ,cot y x y x ==均为周期函数. 3. sec ,csc y x y x ==:
1
sec cos y x x ==
——正割函数; 1
csc sin y x x
==
——余割函数. (五) 反三角函数
1.
arcsin ,arccos y x y x ==: arcsin y x =——反正弦函数; arccos y x =——反余
弦函数.
图 1-6
arcsin ,arccos y x y x ==的图形与性质:
(a) arcsin ,arccos y x y x ==定义域均为[1,1]-, arcsin y x =的值域为[2,2]ππ-, arccos y x =的值域为[0,]π;
(b) arcsin ,arccos y x y x ==均为单调函数; (c) arcsin ,arccos y x y x ==均为有界函数;
(d) arcsin y x =为奇函数, arccos y x =为非奇非偶函数.
2.
arctan ,arccot y x y x ==: arctan y x =——反正切函数; arccot y x =——反余切函数.
arctan ,arccot y x y x ==的图形与性质:
图 1-7
(a)
arctan ,arccot y x y x ==的定义域均为R , arctan y x =的值域为(2,2)ππ-,
arccot y x =的值域为(0,)π;
(b) arctan ,arccot y x y x ==均为单调函数; (c) arctan ,arccot y x y x ==均为有界函数;
(d) arctan y x =为奇函数, arccot y x =为非奇非偶函数.
四、复合函数
设
ln y u =, tan u x =, 则ln(tan )y x =.
1. 定义: 设有函数链
且(),(),()y f u u D u x x D D D ϕϕ=∈⎧⎪
=∈⎨⎪⋂≠Φ
⎩
1221, 则
函数
[()]y f x ϕ=称为由
()y f u =及()u x ϕ=复合而成的复合函数, 其中u 称为中间变量.
图 1-8
O
π
2
π
y =
1
1-y 2
π-
2
π
x
arctan y x
=y
1
-1
O
2. 写出下列复合函数的复合过程, 并求其定义域.
(1)arctan()y x =2
;
(2)
sin()y x =2
;
(3)(sin )y x =2
.
五、初等函数
1.定义: 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数. 如:
sin ln y x x =
+, y =
1
ln y x =+1
2,.
思考题: ||y x =是否是初等函数
小结:
邻域的定义;
函数的定义及定义域;
五类基本初等函数的图形与性质;
复合函数的定义与复合函数的分解;
初等函数的定义.。