最新初中北师大版九年级数学上册2.1认识一元二次方程

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北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程教学案

学科讲义·初三数学上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。

3.体会方程的模型思想。

（难点）知识点1：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

知识点解析学科讲义·初三数学数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

北师大版九年级数学上册第二章_2.1.1一元二次方程电子教案

第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程2.1.1一元二次方程1.要求学生会根据具体问题列出一元二次方程.通过“未铺地毯区域有多宽”,“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出,让学生列出方程,体会方程的模型思想,培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力.2.通过教师的讲解和引导,使学生抽象出一元二次方程的概念,培养学生归纳分析的能力.一元二次方程的概念.如何把实际问题转化为数学方程.导语:小学五年级学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程,二元一次方程组,可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题,是一种常见的数学方法.从这节课开始学习一元二次方程知识,先来学习一元二次方程的有关概念.播放“未铺地毯区域有多宽”的课件幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯(如图2-1-1),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.你能求出这个宽度吗?教师:根据这一情境,结合已知量你想求哪些量?学生:想求出地毯的长和宽.教师:根据条件,你能列出关于这个量的什么关系式?学生:地毯的长×地毯的宽=18.教师:如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?学生:地毯的长为(8-2x)m,地毯的宽为(5-2x)m,根据题意,可列方程为(8-2x)(5-2x)=18.板书等式102+112+122=132+142,提出问题观察下面等式:102+112+122=132+142,你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?教师:如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?学生:第二个数是x+1,第三个数是x+2,第四个数是x+3,第五个数是x+4.教师:根据题意,你能列出怎样的方程?学生:x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.播放“梯子的底端滑动多少米”的课件如图2-1-2,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?教师:你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?学生:根据勾股定理,可以知道滑动前梯子底端距墙的距离为6 m.教师:如果设梯子底端滑动x m.那么你能列出怎样的方程?学生:(x+6)2+72=102.·议一议由上面三个问题,我们可以得到三个方程:(8-2x)(5-2x)=18.x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.(x+6)2+72=102.教师:这三个方程有什么共同特点?学生:这三个方程都只含有一个未知数,未知数的最高次数是2.教师:还有没有其他的共性?比如:从整式和分式的角度,展开、整理后的形式的角度.学生:它们都是整式.由此得到一元二次方程的概念:只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式:我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.例1将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），因此，方程3x（x-1）=5（x+2）必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2 （学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得x2+2x+1+x2-4=1.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2+x-2=0.其中二次项为x2，二次项系数为1，一次项为x，一次项系数为1，常数项为-2.一元二次方程的根的概念：（1）类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念.（2）下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．【巩固练习】教材第4页练习第1，2题.补充练习：1.判断下列方程是否为一元二次方程.（1）3x+2=5y-3；（2）x2=4；=0；（4）x2-4=（x+2）2；（3）3x2-5x（5）ax2+bx+c=0.解：（1）（3）（4）（5）不是一元二次方程.（2）是一元二次方程.2．以-2为根的一元二次方程是（ D ）.A．x2+2x-1=0 B.x2-x-2=0 C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=03．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为-13 .例3 求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1，∵（m-4）2≥0，∴（m-4）2+1>0，∴（m-4）2+1≠0，即m2-8m+17≠0.∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【巩固练习】补充练习:1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2-6x=0;(2)2x2-5xy+6y=0;(3)2x2-13x-1=0;(4)y22=0;(5)x2+2x-3=1+x2.2.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1=0,当k时,该方程是一元二次方程.3.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2=0,当k时,该方程是一元二次方程,当k时,该方程是一元一次方程.本节课要掌握:1.一元二次方程的概念:只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式:我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.课本习题2.1。

北师大版九年级数学上册一元二次方程的解及其估算

2. 验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只需将这个未知数的值分别代入方程两边，若所得的值相等，则这个未知数的值就是方程的根，否则就不是方程的根．
知1－讲
例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
总结
知1－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
知1－讲
例2 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，那么字母b的值为( B ) A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
知2－讲
(2)步骤： ①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； ②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围； ③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围．
知2－讲
例3 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0. (1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ (4)x的整数部分是几？十分位是几？
解：小亮把他的求解过程整理如下：
x
0 0.5 1 1.5 2
x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13
所以1<x<1.5.

北师大版数学九年级上册第二章《2.1 认识一元二次方程》课件

知识模块二一元二次方程有关概念的应用
(一)自主探究
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )
A．x2＋2y－1＝0 C．2x2＝2x－1
B．x＋2y2＝5
D．x2＋ 1 －2＝0 x
2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为__x_2－__2_x_＋__9_＝__0___，其二次项系数为__1____，一次项系数是_－__2___，常数项是 __9____ ．
练习
1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是_a_≠__1__ ．
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_m__＝__－__2 时，它是一元一次方程；当m满足_m_≠_－__2__ 时，它是一元二次方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二
xm
3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ (1)(100－2x)(50－2x)＝3600 (2)(x＋6)2＋72＝102
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a 是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(二)合作探究
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
答：由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600

2.1认识一元二次方程说课稿-北师大版九年级数学上册

2.1 认识一元二次方程说课稿-北师大版九年级数学上册一、教材分析本节课是北师大版九年级数学上册的第二单元第一节课，主要内容是认识一元二次方程。

通过本节课的学习，旨在让学生了解一元二次方程的特点和解法，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学目标1.知识目标：–了解一元二次方程的定义和基本特点；–掌握一元二次方程的一般形式和标准形式；–掌握一元二次方程的解的概念和求解方法。

2.能力目标：–能够分析和解决与一元二次方程相关的问题；–能够运用一元二次方程解决实际问题。

3.情感目标：–培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；–培养学生的数学兴趣和学习兴趣。

三、教学重难点1.教学重点：–了解一元二次方程的定义和基本特点；–掌握一元二次方程的一般形式和标准形式；–掌握一元二次方程的解的概念和求解方法。

2.教学难点：–进一步理解一元二次方程的解的概念和求解方法；–能够运用一元二次方程解决实际问题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）首先，教师可通过提问和引入实际问题的方式，引起学生对一元二次方程的兴趣和注意。

如：你还记得在何种情况下会遇到一元二次方程吗？在实际生活中，我们能用到一元二次方程解决哪些问题呢？2. 新知引入（10分钟）教师可通过讲解一元二次方程的定义和基本特点，帮助学生了解一元二次方程的概念。

然后，引入一元二次方程的一般形式和标准形式，并对其进行详细解释。

同时，通过数学公式和实例演示，让学生掌握一元二次方程的基本形式和特点。

3. 学习活动（25分钟）学生通过小组合作的方式，完成教科书上的练习题，加深对一元二次方程的理解和掌握。

同时，教师在课堂上进行指导和解答，引导学生思考和讨论。

4. 拓展应用（10分钟）教师设计拓展应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

通过讨论和答题的方式，检验学生掌握情况，培养学生的应用能力。

5. 归纳总结（5分钟）教师对本节课的内容进行归纳总结，强调一元二次方程的定义、特点以及解的概念和求解方法。

新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt

5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …

九年级数学(北师大版)上册教案：认识一元二次方程

第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程（一）课题 2.1 认识一元二次方程课型新授课教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“未铺地毯区域有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。

教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程学情分析本课通过丰富的实例：未铺地毯区域有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。

学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。

通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。

教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、通过实例引入新课1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。

2．进人本单元的第一节：认识一元二次方程? 板书课题，明确本节课的中心任务。

3．播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。

4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量？5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。

6．继续进行下二个问题：板书P31的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?8．让学生说出自己的答案，点评，其他学1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。

2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；3．很有兴趣地观看课件，对“未铺地毯区域有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程1认识一元二次方程教学课件新版北师大版

相同点：方程两边都是整式;都含有一个未知数
不同点：方程①中的未知数x最高次是1次方程②中的未知数x最高次是2次
你能结合方程①给方程②起一个名字吗？
一元二次方程的定义
方程x2-16x+25=0的两边都是整式，只含有一个未知
数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。
①方程a≠0，b,c可以为零？
当a=0时
bx+c=0
当a≠0，b=0时
ax2+c=0
当a≠0，c=0时
ax2+bx=0
当a≠0，b=0,c=0时 ax2=0
一元二次方程的一般情势 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般情势。
教学课件
数学九年级上册北师大版
第二章一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
认识一元二次方程
问题1 5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）
问题 2 XXX休闲中心有一个长为10m，宽为6m的游泳池，
数；
一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
现想将游泳池的面积改造成35m2，若长宽同时减
10
解：设少减相少同x米的，长则度长，为问(减10少-x多) 少米？
x
米，宽为(6-x)米
10-x
6
6-x
(10-x)(6-x)=35

北师大版九年级上册211 认识一元二次方程(教案)

2.1.1 认识一元二次方程教学目标知识技能:1、理解一元二次方程的概念.2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.过程与方法：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.4、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.情感态度与价值观：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 教学重难点：【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.教学过程：一、新课导入：问题1：①2021年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。

现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。

②某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。

若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题3:我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.在第(2)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程.活动中教师应重点关注:学生对题目的理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导学会列出满足条件的方程通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.此题是与实际问题结合的题目，通过演示高度关系，帮助学生理解题意，从而列出符合题意的方程。

北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程同步练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程同步练习题第1课时一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22，整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0；在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0；在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0；在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0，由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0，得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。

北师大版九年级数学上册2.1认识一元二次方程(教案)

-掌握一元二次方程的解的概念：学生可能会对解的含义感到困惑，不理解解的实质。
-突破方法：通过图形演示和解的代入验证，让学生直观理解解的含义。
-体会直接开平方法和配方法的原理：这些解法对于学生来说是新的，理解其原理可能存在困难。
-突破方法：通过动态演示和逐步推导，让学生跟随步骤理解解法的原理和步骤。
-将解法应用于具体问题中：学生在面对具体问题时，可能不知道如何选择合适的解法。
在新课讲授环节，我注意到学生在理解一元二次方程的定义时存在一些困难，尤其是对a≠0这个条件的理解。我通过举例和图形演示来帮助他们理解，但从学生的反馈来看，可能还需要更多的时间和练习来巩固这一概念。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们的积极参与让我感到欣慰，他们通过实际操作对一元二次方程有了更直观的认识。然而，我也观察到一些学生在操作过程中遇到了难题，这提示我在未来的教学中需要提供更多的指导和鼓励。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.一元二次方程的一般形式：引导学生掌握一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0（a≠0），并了解各部分名称及意义。
4.举例说明一元二次方程在现实生活中的应用：通过实际例子，让学生感受一元二次方程在实际问题中的应用价值。
5.解一元二次方程的方法：初步介绍解一元二次方程的几种常用方法，如直接开平方法、配方法等。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教学设计：2.1 认识一元二次方程

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教学设计：2.1 认识一元二次方程一. 教材分析《认识一元二次方程》是北师大版九年级数学上册第二章的第一节内容。

本节内容主要让学生了解一元二次方程的概念、特点及解法，培养学生解决实际问题的能力。

教材通过引入实际问题，引导学生认识一元二次方程，并学会用配方法求解一元二次方程。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数的基础知识，具备了一定的解题技巧。

但他们在面对复杂的一元二次方程时，可能会感到困惑，不善于寻找解题思路。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生掌握一元二次方程的解法，提高他们解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念、特点及解法。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生对代数方程的解答技巧。

四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的概念、特点及解法。

2.难点：如何引导学生运用配方法求解一元二次方程。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生认识一元二次方程。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生思考、讨论，提高学生解决问题的能力。

3.实践教学法：让学生通过动手操作，掌握一元二次方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程的实际问题。

2.准备一元二次方程的解法教程。

3.准备教学课件和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，让学生初步了解一元二次方程。

例如：一个长方形的长比宽多2米，如果长方形的周长是18米，求长方形的长和宽。

2.呈现（10分钟）教师呈现一元二次方程的定义和特点，让学生认识一元二次方程。

同时，引导学生思考如何解决实际问题中的一元二次方程。

3.操练（10分钟）教师引导学生运用配方法求解一元二次方程。

首先，教师给出一个简单的一元二次方程，如x^2 - 4x + 3 = 0，引导学生用配方法求解。

然后，让学生分组讨论，尝试解决实际问题中的一元二次方程。

北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》课件

通过上表，你能确定方程2x2 –13x+11=-4的一个解吗？
方程2x2 –13x+11=-7的一个解呢？
一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的垂直距离为 8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端向右滑动多少米？
1.滑动前，梯子的底端距离墙 6 m 2.滑动过程中，梯子的长度有没有变？ 3.滑动后梯子的顶端距离地面 7 m
x(6-x)= 1/3(10x+6-x)
化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6
x12 3 456 Nhomakorabeax2 -3x+2
0 0 2 6 12 20
x =1 或 x=2 当x =1 时这个两位数是15
当x =2时这个两位数是24
练习：
解设苗圃的宽为x,则长为(x+2)根据题意得:
程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的数，这个数就是方程精确到十分位的取值。
X的大致范围是1.1< x <1.2，因此的整数部分是1,十分位是1
练习：
有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个数字的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数.
设:这个两位数的十位数字是x,则个位数字是(6-x)
2.1 .2认识一元二次方程
1一元二次方程的定义
经过变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程
2一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0 ，a，b，c 为常数 )
3方程ax2+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。

初三数学上册(北师大版)《2.1一元二次方程(2) 一元二次方程的解及其估算》【教案匹配版】最新中

（2) x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由. 8-2x 和5-2x分别表示地毯的长和宽, 所以8-2x>0, 因此x不可能大于4，也不可能大于2.5.
（3）你能确定 x 的大致范围吗？ 0<x<2.5
5-2x>0,
第三步：在x范围内取整数值，分别代入方程，如果有一个数能够使方程
的左边等于0，则这个数就是方程的一个解。
列表
x
0
1
2
2x 2-13x+11
11
0
-7
由此看出,当x=1时，2x 2-13x+11=0，所以方程的解为x=1
故所求的宽为1m.
若在x的许可范围内取整数值，没有一个整数能够使方程左边等于 0怎么办?
问题2：如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
练一练
已知关于x 的一元二次方程x2+ax+a=0的一个解是3，
求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
知识点 2 一元二次方程解的估算
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为你能5 m设，法现估准计备四在周地面正
x x 2－x
－2 －1 0 1 2 3 … 6 2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
当堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的一个近似解取值范围（ C ）

北师大版九年级数学上册说课稿：2.1认识一元二次方程

北师大版九年级数学上册说课稿：2.1 认识一元二次方程一. 教材分析《认识一元二次方程》是人教版九年级数学上册第二单元的第一课时，也是初中数学的重要内容之一。

本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、性质、解法以及应用。

通过本节课的学习，使学生能够了解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。

但在解决实际问题时，还需要进一步引导学生将实际问题转化为数学问题，利用一元二次方程来解决问题。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习需求，引导学生积极参与，提高学生的学习兴趣。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的定义、性质和解法。

2.教学难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，培养学生的抽象思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，提高课堂教学的效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实际问题，引导学生发现一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的定义和性质，培养学生独立解决问题的能力。

3.合作交流：分组讨论一元二次方程的解法，分享解题心得，提高学生的团队合作精神。

4.教师讲解：针对学生探究过程中遇到的问题，进行讲解和指导，突破教学难点。

5.巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识。

北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程(教案)

2.教学难点
（1）判别式的计算：学生在计算过程中可能会忘记判别式的公式，或者在进行平方根运算时出错。
例：求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0的判别式。需要强调先计算b^2，再乘以4，最后减去4ac。
（2）求解公式中“±”的取值：学生在应用求解公式时，可能会对“±”取值的情况产生疑惑，不理解何时取正，何时取负。
（2）掌握一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，以及其与方程根的关系。理解判别式大于0、等于0和小于0时方程的根的情况。
（3）熟练运用一元二次方程的求解公式：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a。注意强调公式中“±”的取值问题。
例：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。引导学生根据定义识别这是一元二次方程，然后使用判别式判断方程的根的情况，最后应用公式求解。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过分析一元二次方程的定义、判别式及求解公式，让学生掌握数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理能力。
2.培养学生的数学运算能力：让学生熟练运用一元二次方程的求解公式，解决实际问题，提高数学运算速度和准确度。
3.培养学生的数学建模素养：通过实际例题，让学生学会将现实问题抽象为一元二次方程模型，体会数学在现实生活中的应用，提高数学建模素养。
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学上册第二章第一节“认识一元二次方程”。教学内容主要包括以下方面：
1.了解一元二次方程的定义：形如ax^2 + bx + c = 0（a, b, c是常数，且a ≠ 0）的方程。
2.掌握一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，并了解其与方程根的关系。

北师大版数学九年级上册2.1.1一元二次方程的概念教案

第二章一元二次方程 1．认识一元二次方程（1）一、学情分析学生在七年级已学习了一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程，在八年级又学习了二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程，从而使学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。

同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教材分析本节内容是北师大版九年级上册第二章第一节《认识一元二次方程》。

教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2、会识别一元二次方程及各部分名称。

从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

教学目标：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．3．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．教学重点：一元二次方程的有关概念．教学难点：培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力．三、教学过程本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节：自主探究问题二；第三环节：自主探究问题三；第四环节：总结归纳；第五环节：学以致用；第六环节：反思；第七环节：布置作业。

第一环节：自主探究活动问题一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？师生互动、引导与探究：教学中，为了帮助学生理解题意，可以先提出问题：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。