北邮研究生泛函分析 - 加强版 - 最终稿--2016修改

泛函分析基础(2015年加强版) ,设(,d x]0,1为闭区间]0,1上赋予度量]为定义在3的哪些子集构成3的线性子空间【[0,2],Cπ【为赋范空间,,,n nx Xαα∈[0,1]上的∞和1不为等价范数∞中除有限个坐标之外均为.p【19】.X '∈【190E 是X 的真闭子空间.y X ∈【23固定,考虑3的线性子空间}33:0x =为赋范空间,M 为X 的线性子空间】 为赋范空间*,.f X ∈【31】Banach 空间Y 为赋范空间为一系列有界线性算子【1,【34】】存在唯一的[0,1],x C ∈,<∞-∞<},n e 为和{:n f n ≥的子空间,,M N ⊥是线性子空间并对于∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间,,n x 是赋范空间(,)B xε≠∈使得M,=根据下确界的重要条件，得0inf{d. (略)n n a t .对于n n na t -+2n n b t nb t -++)()g t -<是一个有理数,且().t{()|s f t s 中任何两个不同元素之间的距离均为且有不可数多个.,则这些不相交的小球每一个必含有,,n n x y ∃∈).→+∞②2中元素e 1,0,1,0,.n⎫-⎪⎭{|n e n =≥,0,).下面证明M 是有界闭集但不是紧集.2(,0)1,n d e =<故M 是有界集有2(,)n m d e e ⎛= 2时,则必有0,0,N ∃>当.M .,)d 是完备的的闭子集定义映射,T Tx =,)|Tx Ty Tx =3的哪些子集构成3的线性子空间3).2,x =且3x 11x =+的0≥且2x ≤},1,2.i =)1,0,y M ∈,,1,2,3i =2,1,M α=}:,[,].n n i a t a t a b +∈∈容易验证在通常多项式的加法和与实数的乘法运算下有()(p t p t α且易验证加法与数乘满足线性空间的八个条件},n t 线性无关},n t 是X 的不是Y 的线性子空间∈K ,有()p t α为赋范空间,,n n x y ,y α→→∞和1不为等价范数110|()|max t x t dt ∈=≤⎰⎰使得()[0,1],x t C ∀∈[0,1],C 使得nx ∞>∞中除有限个坐标之外均为不为Banach ∞的线性子空间.1111,,,,,0,0,.23n⎫⎪⎭则()n x ∈})n 是一个Cauchy 列.,n >则()()1110,,0,,,,,0,,12n m x x n n m⎛⎫-= ⎪++⎝⎭10(,).1n m n =→→+∞+故{}()n x 是Cauchy 111,,,,12n n n ⎫⎪++⎭,则()()11sup 0(1n n k k k x x x x n n ≥-=-=→+),n →+∞但x M ∉,故M 不完备.}}:lim 0n n x ∞→∞∈=,由例1.3.6知0C)10,,,,,n n x x C +∈存在),,,0,0,,n x M ∈()11sup sup n k k k k k n x x x ≥≥+-=→时).中稠密.故0C 是M 的完备化空间上定义线性泛函(=(),[1,1].f x x t dt x C ∈-） sup ()sup 212n n f x n ∈∈=- ⎪⎝⎭()x t ⇔在(1,0)-上符号相同且},n e 为,1,i j n ≤≤唯一确定,,n α∈K ,n β∈K 1111n n n nx e e y e e αααββ=++=++,11,,,nni ii i i j i i ij i j ee e βαβαβγ===∑∑∑00,x ⇔=),,n α∈K 12212222120,n n n n n nn n γγαγγγα⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭①满足①式,则由11nni i ij i j αβγ==∑∑所定义的映射是一个内积Hilbert 空间为H 的闭线性子空间.求证:M 为H[1,1]odd C -[1,1],even C ∈-Hilbert 空间{sup,x y =,,n k 有0,=即j e ),j j x e e e 固定,考虑3的线性子空间}33:0Z x =上的线性泛函2311(,)f x x x a x =到3上的所有保范延拓的有界线性泛函.3中定义范数1x x =首先证{12max ,f a a =因为对12(,,0)x x Z ∀∈∈又若取(sgn x =3,定义F ,Z 有()F x }时,有F故,此时F 是f 到3上的保范延拓.32★4-4.设X 为赋范空间,M 为X 的线性子空间,0.x X ∈ 求证0x M ∈当且仅当任取,0,Mf X f'∈=都有0()0.f x ="":⇒若0,x M ∈则{},n x M ∃⊂且0().n x x n →→∞ 因,f X '∈且0,Mf=则()()0()lim lim 0.n n n n f x f x x →∞→∞===""⇐:反证法.若0,x M ∉因为M 是闭集,故()0,0.x M d ρ=> 则根据定理4.1.7,则,f X '∃∈使得01,0,()0Mf ff x d ===>，与条件矛盾. 34●4-17.设X 为Banach 空间,Y 为赋范空间,(,)n T B X Y ∈为一系列有界线性算子,设任取{},n x X T x ∈都是Y 中的Cauchy 列,求证:存在常数0,C ≥使得任取1,.n n T C ≥≤35 ●4-18.在上题中又设Y 为Banach 空间,求证:存在(,),T B X Y ∈使得任取,,n x X T x Tx ∈→且1sup .n n T T ≥≤因为{}n T x 是Y 中的Cauchy 列,则{}n T x 是有界集,即,x X ∀∈有sup .n n T x ∈<+∞因为X 是Banach 空间,故由一致有界原则有sup ,n n T ∈<+∞即0,c ∃>使得对,n ∀有.n T c ≤若Y 完备,则,Tx Y ∃∈使得n T x Tx →(参考定理2.4.5的证明), 且lim lim sup ,n n n n n n Tx T x T x T x →∞→∞∈==≤⋅故sup .n n T T ∈≤36★4-20.设X 为赋范空间,,,n n x x X x ∈⇀.x 求证:{:1}.n x span x n ∈≥ 若n x ⇀x ,则,f X '∀∈有()().n f x f x →若{}:1,n x span x n ∉≥则{}(),:10.n d x span x n d ≥=> 根据定理4.1.7知,存在{}:1,1,0,n span x n f X f f≥'∈==且()0f x d =>与()()n f x f x →相矛盾.1,级数1n ≥∑.∞)1,,,n x ∈定义1()nn i i i f x y x ==∑是定义在1上的线性泛函且1max n f ≤=1,级数1n n n y x +∞=∑收敛,故lim n →∞1,都有sup (n n f x ∈根据一致有界原则,得sup ,n n f ∈<+∞即1sup max sup .i n i nn y y ≤≤∈∈=<+∞∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间)()1,,,,,,,n n x y y y →=式中k y =并计算;T 逆算子定理矛盾?21∞有Tx (1,1,,1,)x =(全为1),111,,,,,2Tx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,1,x Tx == 1sup 1,x Tx Tx >=≥=故 1.T =()()1121212:,,,,,2,,,,,,k k k k T y y y y x y y ky ky ky -++=→= 111,1,,1,,,,k k y k k ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭项故,k y X ∈且()11,2,,,1,1,,k T y k X -=∈ 11,(),k k k y x T y k k -===→+∞→+∞故1T -无界.这与开映射定理不矛盾,因为X 不完备.取1010,0,,0,,,n n x X n -⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭个因为110,(,),n m x n m n m =-→→∞所以但是当n →∞时,有(0,0,,0,),n x X →∉故。