概率论中几种具有可加性的分布及其关系

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概率论中几种具有可加性的分布及其关系

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1 几种常见的具有可加性的分布 (1)

1.1 二项分布 (2)

1.2 泊松分布(Possion分布) (3)

1.3 正态分布 (4)

1.4 伽玛分布 (6)

1.5 柯西分布 (7)

1.6 卡方分布 (7)

2 具有可加性的概率分布间的关系 (8)

2.1 二项分布的泊松近似 (8)

2.2 二项分布的正态近似 (9)

2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10)

2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)

3 小结 (12)

参考文献 (12)

致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点,这里给出了概率论中几种具有可加性的分布:二项分布,泊松分布,正态分布,柯西分布,卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明,这里给出了证明分布可加性的两种方法,即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外,文章就可加性分布之间的各种关系,如二项分布的泊松近似,棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等,进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数

Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship

with Additive

概率论中三个重要分布

概率论中三个重要分布

F分布
χ2分布的α分为点

对于给定的α(0<α<1) ,称满足条件
P( (n) (n))
2 2
的点 (n) 为χ2(n)分布的α分为点
2
χ2分布α分为点的求法

χ2分布α分为点的求法:

对于n≤45的α分为点可查表求得; 当n充分大(n>45)时,近似地有
1 (n) (u 2n 1) 2 2

Γ (s) x s 1e x dx
0来自百度文库

χ2分布的统计特性



χ2分布的变量值始终为正 χ2(n)分布的形状取决于其自由度n的大 小,通常为不对称的右偏分布,但随着 自由度的增大逐渐趋于对称 χ2分布的期望为:E(χ2(n))=n,方差为: D(χ2(n))=2n χ2分布具有可加性。若U~χ2(n1), V~χ2(n2),则U+V~χ2(n1+n2)

是自由度为n-1的卡方分布,记作χ2(n-1)。 注意: 整个χ2是一个符号,并不是χ的平方
χ2统计量

χ2统计量也可表示成
2
( xi X ) 2
i 1 n

2

(n 1) s 2
2
χ2分布的概率密度函数

χ2(n)分布的概率密度为

概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布

概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布

再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2
近似
即当n足够大时,t ~ N (0,1).
3. t分布的分位点 对于给定的,0 1,称满足条件
Pt t (n)
f (t)dt
t (n)
的点t (n)为t (n)分布的上分位点.如图所示.
数理统计
y
数理统计
t分布的上分位点的性质:
P(F
1 )
P( 1 F
1 ) 0.025
1
1 ~ F (15, 24) F
1
1 F0.025 (15, 24)
1
1 F0.025 (15, 24)
1 2.44
0.41
1
n1
)2
n1 1 2
( y)
1
n1 n2
y
n1
n2 2
0
y0
数理统计
y0
数理统计
定义7.8: 对于给定的,0 1,称满足条件
P
F F (n1 , n2 )
f ( y)dy
F ( n1 ,n2 )
的点F(n1,n2 )为F (n1,n2 )分布的上分位点.如图所示.
F(n1,n2 )
(1) t0.01(15) 2.6025
(2) t0.05(15) 1.7531 (3) t0.95(15) 1.7531

概率论常见的几种分布

概率论常见的几种分布

概率论常见的几种分布

常见的几种概率分布

概率论是研究随机现象的数学理论,其中涉及到许多常见的概率分布。概率分布描述了随机变量在不同取值上的概率分布情况。本文将介绍几种常见的概率分布,包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。

一、均匀分布

均匀分布是最简单的概率分布之一,也被称为矩形分布。在均匀分布中,随机变量在一定的取值范围内的概率是相等的。例如,抛一枚公正的硬币,正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。均匀分布通常用于模拟随机数发生器的输出,或者在一定范围内随机选择一个数值。

二、正态分布

正态分布是最重要的概率分布之一,也被称为高斯分布。在正态分布中,随机变量在取值范围内的概率密度函数呈钟形曲线状。正态分布具有许多重要的性质,例如均值、标准差等。正态分布在自然界和社会科学中广泛应用,例如身高、体重、考试成绩等都符合正态分布。

三、泊松分布

泊松分布描述了单位时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。

泊松分布的特点是,事件之间相互独立且平均发生率恒定。泊松分布通常用于描述稀有事件的发生情况,例如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的交通事故次数等。

四、指数分布

指数分布描述了连续随机变量首次达到某一值的时间间隔的概率分布情况。指数分布的特点是,事件之间相互独立且事件发生的概率与时间间隔成反比。指数分布通常用于模拟随机事件的发生时间间隔,例如单位时间内的电话呼叫间隔、单位距离内的交通事故间隔等。

除了上述几种常见的概率分布外,还有许多其他概率分布,例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。每种概率分布都有其特定的应用场景和数学性质,对于不同的问题可以选择适合的概率分布进行建模和分析。

数学概率多种分布的可加性原理

数学概率多种分布的可加性原理

精心整理

精心整理

数学概率多种分布的可加性

1、0-1分布

作为离散变量,0-1分布的变量取值范围是0,1,两个0-1分布相加后取值范围变为0、1、2,显然与原来不一样,所以不满足可加性。 2、二项分布b (n ,p )

设()~,X b n p ,()~,Y b m p ,且X ,Y 相互独立,令Z=X+Y 。由卷积公式,

(P Z a =i

-,

b

i a

=∑3设X (P Z (P Z i m

=(P ∴。因此,负二项分布有可加性。 4 5设X ()()()Z X

Y

P z P z y P y dy +∞

-∞

=

-⎰,1

2

2

1

max{,},min(,)a z b a b b z a =-=-

则1122()()()()()

Z X Y b a

P z P z y P y dy b a b a +∞

-∞

-=

-=

--⎰

。因此,均匀分布没有可加性。

6、指数分布

设X、Y分别满足参数为λσ和的指数分布且相互独立,令Z=X+Y,由卷积公式得

精心整理

精心整理

()()()exp{()}Z X

Y

P z P z y P y dy z y dy λσλλσ+∞

+∞

-∞

=

-=-+-⎰⎰,这里根据λσ-的符号不同有多种结果。

因此指数分布不满足可加性。 7、2χ分布

设X、Y分别满足参数为m和n的2χ分布且相互独立,令Z=X+Y,由卷积公式 (

/21/210

(/2)(/2)()(()/2)

z

m n m n z y y dy m n --ΓΓ-=

Γ+⎰

()/21

m n z

+-)

概率论知识点总结

概率论知识点总结

概率论知识点总结

概率论知识点总结 1

1. 随机试验

确定性现象:在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象:在个别实验中呈现不确定性,在大量实验中呈现统计规律性,这种现象称为随机现象。

随机试验:为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。随机试验的`特点:

1)可以在相同条件下重复进行;

2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现;

2. 样本空间、随机事件

样本空间:我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S。样本点:构成样本空间的元素,即E中的每个结果,称为样本点。事件之间的基本关系:包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B:包含A不包含B)、互斥事件(交集是空集,并集不一定是全集)、对立事件(交集是空集,并集是全集,称为对立事件)。事件之间的运算律:交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理)

3. 频率与概率

频数:事件A发生的次数频率:频数/总数

概率:当重复试验的次数n逐渐增大,频率值就会趋于某一稳定值,这个值就是概率。概率的特点:

1)非负性。

2)规范性。

3)可列可加性。

概率性质:

1)P(空集)=0,

2)有限可加性,

3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

4. 古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题,超几何分布,分配问题,插空问题,捆绑问题等等)

5. 条件概率

定义:A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A) 全概率公式与贝叶斯公式

概率知识点复习

概率知识点复习

第一章概率论的基本概念

1、掌握事件的关系及运算(6种关系4个运算律):会利用事件的关系表示事件,会利用事件的运算律变换事件并计算事件的概率。

6种关系:包含B A ⊂、和(并)B A ⋃、积(交)B A ⋂、差B A AB A B A ⋂=-=-、

互不相容(互斥)Φ=AB 、对立(互斥)Φ=AB 且S B A =⋃。

4个运算律:(1)交换律、(2)结合律、(3)分配率、(4)对偶律(德摩根律)2、掌握概率的性质(3条基本性质6条一般性质):会利用概率的性质计算事件的概率。3条基本性质:(1)非负性:0)(≥A P ;

(2)规范性:1)(=S P ;

(3)可列可加性: n A A A ,,,21两两互斥,则∑+∞

=+∞

==

1

1

)

()(

i i

i i A P A P 6条一般性质:(1)不可能事件的概率:0

)(=ΦP (2)互斥事件和事件的概率(可列可加性):n A A A ,,,21 两两互斥,则∑===

n

i i

n i i A P A P 1

1

)

()((3)任意事件的概率:1)(≤A P (4)逆事件的概率:)

(1)(A P A P -=(5)差事件的概率(减法公式):,B A ⊂则)

()()(A P B P A B P -=-,B A ⊄则)

()()(AB P B P A B P -=-(6)和事件的概率(加法公式):)

()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)

()

1()()()(

2111

1

n n

n

j i j

i

n

i i

n i i

A A A P A A P A P A P -++-=∑∑≤<≤==3、掌握古典概型及相应的计算公式:会利用公式计算古典概型中事件的概率。

社会统计学第6章_概率与概率分布

社会统计学第6章_概率与概率分布
记为
P( A)
事件A所包含的基本事件个数 样本空间所包含的基本 事件个数
=m n
概率的古典定义(实例)
某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人,问:
(1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率
某钢铁公司所属企业职工人数
工厂
男职工
女职工
合计
炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂
4000 3200 900
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个,但试验的所有
可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前,不能确定该次试验的确切结果
基本事件(样本点):随机试验的每一个可能的结果。
样本空间
1. 基本事件 • 一个不可能再分的随机事件 • 例如:掷一枚骰子出现的点数
2. 样本空间 • 一个试验中所有基本事件的集合,用表示 • 例如:在掷枚骰子的试验中,{1,2,3,4,5,6} • 在投掷硬币的试验中,{正面,反面}
• 简单事件:随机事件仅包含样本空间中的一个样本 点。
• 复合事件:随机事件包含样本空间中的一个以上的 样本点。复合事件是样本空间的某个子集。
• 必然事件:每次试验一定出现的事件,用表示
例如:掷一枚骰子出现的点数小于7
• 不可能事件:每次试验一定不出现的事件,用表 示
例如:掷一枚骰子出现的点数大于6

概率论与数理统计:常用统计分布

概率论与数理统计:常用统计分布

y 2
,
0,
x 0, 其它.
2 (n)-分布的性质与数字特征 2 (n)-分布的可加性:
X ~ 2(n1),Y ~ 2(n2),且X ,Y独立 X Y ~ 2(n1 n2)
2 (n)-分布的期望与方差为:
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
三、t-分布
定义 设 X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n), 且X与Y独立,则称
设 X1, X2,..., Xn 是独立同分布的随机变量,且都服从 N (0, 2) ,试证:
1
(1) 2
n i 1
X
2 i
~ 2(n) ;
1n
(2) n 2 ( i1
Xi )2
~ 2(1)
谢谢聆听!
服从正态分布,且
i 1
i 1
一、正态分布
定理2 若( X1, X 2 ,, X n )是来自总体X ~ N(,2) 的一个
样本,X 为样本均值,则 (1) X ~ N (, 2 ) ,(由上述结论可知:X 的期望与 X 的期望相同,而 X
n
的方差却比 X 的方差小的多,即 X 的取值将更向 集中.)
随机变量
t X Y /n
服从自由度为n的t-分布,记为 t ~ t(n).
t-分布的概率密度为
f
(x)
[(n 1)

概率论第六章

概率论第六章
2
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性,因 而从理论上讲,只要对随机现象进行足够多次观 察,被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈 现出来. (大数定律)
但一般只允许我们对随机现象进行次数不多的观察 试验,也就是说, 我们获得的只是局部观察数据.
数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、 分析所获得的有限的数据;对所研究的对象的性质、 特点作出推断和预测(统计推断)。

228 , 196 , 235 , 200 , 199 )
x 1 (230 243 185 240 215 228 196 235 200 199) 217.19 10
s 2
1 9
10 i1
( xi
来自百度文库
x)2
433.43
A2
1 10
10 i 1
xi 2
47522 .5
B2
1 10
n
x4
1 x2 e 2d
2
x12n31
2n
28
2 分布的分位点
对 于 给 定 的 正 数 a, 0a1, 称 满 足 条 件 P {2a 2(n)}a
(X 1,X 2, ,X n)是 来 自 总 体 的 样 本 ,求 样 本 (X 1,X 2, ,X n)的 分 布 律 .
解 总体X的分布律P 为 {X x}px(1p )1 (x x 0, 1)

(概率论与数理统计茆诗松)第5章统计量及其分布

(概率论与数理统计茆诗松)第5章统计量及其分布

定义:无偏估计量是对于总体参数 的一个无偏估计
构造方法:通过样本数据和适当的 统计量计算得到无偏估计量
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性质:无偏估计量的期望值等于总 体参数的真实值
应用:在统计学和数据分析中广泛 应用
定义:有效估 计是对总体参 数的点估计其 方差达到最小

性质:有效估 计具有无偏性、 一致性和有效
在心理学中统计学 用于研究人类行为 、认知和心理过程 。
在政治学中统计学 用于研究政治行为 、选举结果、民意 调查等方面。
统计量在医学研究中用于描述和推断疾病的发生率和治疗效果。 统计量在医学诊断中用于评估和比较不同治疗方法的效果。 统计量在流行病学研究中用于分析疾病在人群中的分布和传播规律。 统计量在临床试验中用于评估新药或治疗方法的疗效和安全性。
位数等
尺度统计量: 描述数据的尺 度如方差、标
准差等
定义:正态分布 是一种常见的概 率分布其概率密 度函数呈钟形曲 线且具有对称性。
特征:期望值、 方差和标准差是 确定的分别为μ、 σ^2和σ。
应用:在统计学、 自然和社会科学等 领域有广泛应用如 人类的身高、考试 分数等很多现象都 可以用正态分布来 描述。
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目录
01.
02.
03.
04.
05.
定义:统计量是用于描述数据特征的量如均值、方差等。 性质:统计量具有无偏性、一致性和有效性。 作用:统计量用于估计总体参数、检验假设和进行统计推断等。 分类:根据不同的分类标准统计量可分为不同的类型如参数、非参数、线性、非线性等。

概率论中的伽马分布与

概率论中的伽马分布与

在机器学习中的应用
图像识别:用于目标检测和 图像分割
自然语言处理:用于文本分 类和情感分析
推荐系统:用于用户行为分 析和个性化推荐
金融领域:用于股票价格预 测和风险管理
在其他领域的应用
金融:用于衍生品定价和风 险评估
统计学:用于估计未知参数 和构建置信区间
物理学:研究粒子在能量分 布中的行为
工程学:优化设计结构和控 制系统
其他拟合优度检验方法
卡方检验:通过比较理论频数与实际频数的差异来评估拟合程度 柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验:基于概率分布的理论特征与样本数据的比较 洛伦兹-斯密特检验:通过比较理论概率与样本数据的累积分布来评估拟合程度 威尔科克森符号秩检验:用于检验两个独立样本数据是否来自具有相同分布的总体
应用:在概率论、统计学、计量 经济学等领域广泛应用。
矩估计法
矩估计法:利用样本矩来估计总体参数的方法 极大似然估计法:通过求解使得似然函数最大的参数值来估计参数的方法 贝叶斯估计法:基于贝叶斯定理和样本信息的概率方法来估计参数 经验分布函数法:利用经验分布函数来估计参数的方法
贝叶斯估计法
定义:基于贝叶斯定理对未知参数进行估计的方法
变量伽马分布
定义:变量伽马分布是伽马分布 的一种扩展,允许参数为随机变 量
应用:在统计学、贝叶斯推断等 领域有广泛应用
添加标题

概率论常用统计分布

概率论常用统计分布

1. 2 分布
正态分布是自然界中最常见的一类概率 分布,例如测量的误差;人的生理尺寸:身
高,体重等都近似服从正态分布.常见的问题 是关于这些正态随机变量的平方以及平方和 的概率分布问题.
例如在统计物理中,若气体分子速度是随 机向量 V(X ,Y,Z)各分量相互独立,且均服 从 N(0,1.5), 要求该分子运动动能
<3> T的数字特征
E(T)0, D (T) n (n2).
n2
例3 设总体X和Y相互独立,且都服从N(0,9)
X1, X2,, X9和Y1,Y2,,Y9来自总体X ,Y的样本,
求统计量T的分布,其中
9
9
T Xi / Yi2 .
i 1
i 1
解 从抽样分X布 ~N知 (0,1)
而 Y i~ N ( 0 , 9 ) 故 Y ,i/3 ~ N ( 0 , 1 ) ,
样本均值的分布将随样本量
增大而接近正态分布,
但是Cosset在实验中遇到的样本容量仅有5~6
个,在其中他发现实际数据的分布情况与
正态分布有着较大的差异.
y
Cosset样本曲线
正态曲线
O
x
于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的 其他分布,通过学习终于得到了新的密度曲线, 并在1908年以"Student"笔名发表了此项结果,

概率论分布

概率论分布

性质: K ~ 2 (n)
K Xi ;
2 i 1
n
其中X i ~ N (0,1), 且相互独立, 1,2,, n i
上分位点
对于给定的正数(0<<1),若存在点t 使得


t
f ( y )dy
则称点t 为2(n)分布的上分位点,记为2 (n)。 当n≤40时,可查表(P 304);
Y12 Y12 / 10 Y ~ F (10,5), 2 2 2Y2 Y2 / 5

2 ( X 12 ... X 10 ) Y ~ F (10,5). 2 2 2( X 11 ... X 15 )
n2
)
说明:以上结论除了常常作为统计方法中的依据之外,还可以
与我们在概率论中学的一些性质结合起来,推导出另外一些有关 统计量的分布的性质。
例3
设总体X服从N(0,22),X1,X2,…,X15是来自总体X的简单随机样本,
2 ( X 12 ... X 10 ) Y , 2 2 2( X 11 ... X 15 )
X T , Y n
其中 X ~ N (0,1), Y ~ 2(n),
X、Y相互独立
上分位点t(n)
n≤45时,可查表(P303)求得; n >45时, t(n)≈ z
注意: t 1- (n)= - t (n) 双侧分位点 t / 2 ( n)

概率论知识点总结

概率论知识点总结

概率论知识点总结

概率论知识点总结

在我们的学习时代,是不是听到知识点,就立刻清醒了?知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。还在苦恼没有知识点总结吗?下面是小编收集整理的概率论知识点总结,仅供参考,大家一起来看看吧。

概率论知识点总结 1

1. 随机试验

确定性现象:在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象:在个别实验中呈现不确定性,在大量实验中呈现统计规律性,这种现象称为随机现象。

随机试验:为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。随机试验的特点:

1)可以在相同条件下重复进行;

2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现;

2. 样本空间、随机事件

样本空间:我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S。样本点:构成样本空间的元素,即E中的每个结果,称为样本点。事件之间的基本关系:包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B:包含A不包含B)、互斥事件(交集是空集,并集不一定是全集)、对立事件(交集是空集,并集是全集,称为对立事件)。事件之间的运算律:交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理)

3. 频率与概率

频数:事件A发生的次数频率:频数/总数

概率:当重复试验的次数n逐渐增大,频率值就会趋于某一稳定值,这个值就是概率。概率的特点:

1)非负性。

2)规范性。

3)可列可加性。

概率性质:

1)P(空集)=0,

2)有限可加性,

3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

随机变量可加性及在概率论与数理统计教学中的应用

随机变量可加性及在概率论与数理统计教学中的应用

设 - a, ) Ⅳ ,: , 。 相互独立, N(。 , ( o )且 与 ~ r 则
74 + Ⅳ(l , +r ) / 1 ~ Ⅱ+ t( . = 2 结 论 34 . 分布具有可加性. ( , m) () 则 :。 n , ( n m+ )
尚 未形 成 系 统 、 完 善 的 论 述 , 必 要 对 该 方 面 的 内 容 做 一 些 较 深 入 较 有 的研 究 . 文 给 出 了 二 项 分 布 、 松 分 布 、 态 分 布 、‘ 布 、 一 布 , 本 泊 正 X分 r 分 柯 西 分 布 、 合 泊 松 分 布 以 及 泊 松 过 程 都 具 有 可 加 性 . 后 讨 论 了 随 复 最 机 变 量 可 加 性 在 概 率 论 与 q理 统 计 教 学 中 的 应 用 .
【 b ta tT eadt epoet o ad m vr be savr o at otn rb it n ttt s u ot f etokdn t ics A src]h d iv rp r f n o ai lsi eyi r n ne tnPo a lyadSai i , tm s o xbo o ’ dsus i y r a mp t c i b i sc b t
ti rb e h sp o lm.I ti p p r Bio a d srb t n、 oso dsrbuin t e n r ld srb t n,h — q ae itiuin F— srb t n、 u h n hs a e n mil itiui P is n iti to 、h oma itiui c i s u r dsrb t Dit ui Ca c y o o o i o
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目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1 几种常见的具有可加性的分布 (1)

1.1 二项分布 (2)

1.2 泊松分布(Possion分布) (3)

1.3 正态分布 (4)

1.4 伽玛分布 (6)

1.5 柯西分布 (7)

1.6 卡方分布 (7)

2 具有可加性的概率分布间的关系 (8)

2.1 二项分布的泊松近似 (8)

2.2 二项分布的正态近似 (9)

2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10)

2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)

3 小结 (12)

参考文献 (12)

致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点,这里给出了概率论中几种具有可加性的分布:二项分布,泊松分布,正态分布,柯西分布,卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明,这里给出了证明分布可加性的两种方法,即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外,文章就可加性分布之间的各种关系,如二项分布的泊松近似,棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等,进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数

Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship

with Additive

Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on,

has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function

引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科,在概率论与数理统计中,有时候我们需要求一些随机变量的和的分布,在这些情形中,有一种求和类型比较特殊,即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变,这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念,本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布,包括二项分布,泊松分布,正态分布,伽玛分布,柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系,如二项分布的泊松近似,正态近似等等.

1 几种常见的具有可加性的分布

在讨论概率分布的可加性之前,我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]:

①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立,且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(⋅⋅⋅===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ⋅⋅⋅===ξ则ξζϑ+=的概率分布列可表示

.2,1,0,)()()(0

⋅⋅⋅==-====-==∑∑k b a i k P i P k P i k k

i i k

i ξζϑ

②连续场合的卷积公式 设连续型随机变量ξζ,彼此独立,且它们的密度函数分别是)(),(y f x f ξζ,则它们的和ξζϑ+=的密度函数如下

.)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞

∞-ξζξζϑ )2(

其证明如下:

ξζϑ+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z

y x )()()()(ξζϑξζ⎰⎰≤+=≤+=

{}dx x f dy y f x

z )()(ζξ⎰

+∞

--∞

-=

.)()(dx x f x z F ζξ-=⎰+∞

-

其中)(x F ζ为ζ的分布函数,对上式两端进行求导,则可得到ξζϑ+=的密度函数: .)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞

∞-ξζξζϑ 即证.

在概率分布可加性的证明中,除了卷积公式,我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.

下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用. 1.1 二项分布

1.1.1 二项分布),(p n B 的概念

如果记ζ为n 次伯努利试验中成功(记为事件A )的次数,则ζ的可能取值为0,1,2,……,n.记p 为事件A 发生的概率,则,)(p A p =(p A ),1p -=记为.q 即.1p q -=

因n 次伯努利试验的基本结果可以记作 ѡ=(w 1,w 2,…ѡn ),w i 或为A 或为A ,这样的w 共有2n 个,这2n 个样本点w 组成了样本空间Ω.

下求ζ的分布列,即求事件{ζk =}的概率.若某个样本点 ѡ=(w 1,w 2,…ѡn )∈{k =ζ},意味着w 1,w 2,…ѡn 中有k 个A ,k n -个A ,由独立性即可得:P (ζ).)1(k n k p p --=

而事件{ζ=k }中这样的w 共有⎪⎭

⎝⎛n k 个,所以ζ的分布列为

)(k P =ζ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛n k p k

(1-p )k n -,.,1,0n k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

此分布即称为二项分布,记作),(~p n B ζ.且我们易验证其和恒为.1.也就是

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