数学概率多种分布的可加性原理

数学概率多种分布的可加性
1、0-1分布
作为离散变量，0-1分布的变量取值范围是0,1，两个0-1分布相加后取值范围变为0、1、2，显然与原来不一样，所以不满足可加性。

2、二项分布b （n ，p ）
设()~,X b n p ，()~,Y b m p ，且X ，Y 相互独立，令Z=X+Y 。

由卷积公式，
()0()()k
i P Z k P X i P Y k i =====-∑。

因为可能性的缘故，i<=n ，k-i<=m ，因此
max{0,},min{,}a k m b n k =-=。

则
()()()(1)
b
b
k
m n k
i m n
k i
i a i a
P Z k P X i P Y k i p p C C
+--======-=-∑∑，b
i m k n k i m n i a
C C C -+==∑Q ，
()(1)
k k m n k
m n P Z k C p p +-+∴==-。

因此，二项分布有可加性。

3、 负二项分布
设X 、Y 为满足系数为m 、n 的负二项分布且独立，令Z=X+Y 。

有卷积公式
()0()()k
i P Z k P X i P Y k i =====-∑，由于可能性，m<=i<=k-n ，则
()1111()()(1)
b k n
k
k m n
m n i k i i a
i m
P Z k P X i P Y k i p p C
C --------======-=-∑∑，
111111k n
m n m n i k i k i m
C C C ---+-----==∑Q ，()11
(1)m n k k m n
k P Z k C p p +----∴==-。

因此，负二项分布有可加性。

4、几何分布
变量的取值范围相加后不再是1、2、3……而是2、3……，所以不再是几何分布，没有可加性。

5、均匀分布
设X ，Y 满足均匀分布X 对应a1、a2，Y 对应b1、b2，且相互独立。

令Z=X+Y ，则a1+a2<=z<=b1+b2.卷积公式
()()()Z X
Y
P z P z y P y dy +∞
-∞
=
-⎰，1
2
2
1
max{,},min(,)a z b a b b z a =-=-
则1122()()()()()
Z X Y b a
P z P z y P y dy b a b a +∞
-∞
-=
-=
--⎰。

因此，均匀分布没有可加性。

6、指数分布
设Ｘ、Ｙ分别满足参数为λσ和的指数分布且相互独立，令Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，由卷积
公式得0
()()()exp{()}Z X
Y
P z P z y P y dy z y dy λσλλσ+∞
+∞
-∞
=
-=-+-⎰⎰，这里根据λσ
-的符号不同有多种结果。

因此指数分布不满足可加性。

７、2χ分布
设Ｘ、Ｙ分别满足参数为ｍ和ｎ的2χ分布且相互独立，令Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，由卷积公式
/2
/21
/21
/20
2
2
1
1
()()()()
(/2)(/2)2
(()/2)2
z
z m n z Z X
Y
m n m n P z P z y P y dy e
z y y
dy e m n m n +∞
----++-∞
=
-=
-=
ΓΓΓ+⎰⎰
（/21/210
(/2)(/2)()(()/2)
z
m n m n z y y dy m n --ΓΓ-=
Γ+⎰Q ()/21
m n z
+-） 因此，有可加性。

８、贝塔分布
因为取Ｚ＝Ｘ＋Ｙ之后，变量的取值范围发生改变，不再是０到１，所以没有可加性。

()/21m n z +-。