数学概率多种分布的可加性原理

数学概率多种分布的可加性

1、0-1分布

作为离散变量，0-1分布的变量取值范围是0,1，两个0-1分布相加后取值范围变为0、1、2，显然与原来不一样，所以不满足可加性。

2、二项分布b （n ，p ）

设()~,X b n p ，()~,Y b m p ，且X ，Y 相互独立，令Z=X+Y 。由卷积公式，

()0()()k

i P Z k P X i P Y k i =====-∑。因为可能性的缘故，i<=n ，k-i<=m ，因此

max{0,},min{,}a k m b n k =-=。则

()()()(1)

b

b

k

m n k

i m n

k i

i a i a

P Z k P X i P Y k i p p C C

+--======-=-∑∑，b

i m k n k i m n i a

C C C -+==∑Q ，

()(1)

k k m n k

m n P Z k C p p +-+∴==-。因此，二项分布有可加性。 3、 负二项分布

设X 、Y 为满足系数为m 、n 的负二项分布且独立，令Z=X+Y 。有卷积公式

()0()()k

i P Z k P X i P Y k i =====-∑，由于可能性，m<=i<=k-n ，则

()1111()()(1)

b k n

k

k m n

m n i k i i a

i m

P Z k P X i P Y k i p p C

C --------======-=-∑∑，

111111k n

m n m n i k i k i m

C C C ---+-----==∑Q ，()11

(1)m n k k m n

k P Z k C p p +----∴==-。因此，负二项分布有可加性。 4、几何分布

变量的取值范围相加后不再是1、2、3……而是2、3……，所以不再是几何分布，没有可加性。 5、均匀分布

设X ，Y 满足均匀分布X 对应a1、a2，Y 对应b1、b2，且相互独立。令Z=X+Y ，则a1+a2<=z<=b1+b2.卷积公式

()()()Z X

Y

P z P z y P y dy +∞

-∞

=

-⎰，1

2

2

1

max{,},min(,)a z b a b b z a =-=-

则1122()()()()()

Z X Y b a

P z P z y P y dy b a b a +∞

-∞

-=

-=

--⎰

。因此，均匀分布没有可加性。

6、指数分布

设Ｘ、Ｙ分别满足参数为λσ和的指数分布且相互独立，令Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，由卷积

公式得0

()()()exp{()}Z X

Y

P z P z y P y dy z y dy λσλλσ+∞

+∞

-∞

=

-=-+-⎰⎰，这里根据λσ

-的符号不同有多种结果。因此指数分布不满足可加性。 ７、2χ分布

设Ｘ、Ｙ分别满足参数为ｍ和ｎ的2χ分布且相互独立，令Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，由卷积公式

/2

/21

/21

/20

2

2

1

1

()()()()

(/2)(/2)2

(()/2)2

z

z m n z Z X

Y

m n m n P z P z y P y dy e

z y y

dy e m n m n +∞

----++-∞

=

-=

-=

ΓΓΓ+⎰⎰

（/21/210

(/2)(/2)()(()/2)

z

m n m n z y y dy m n --ΓΓ-=

Γ+⎰Q ()/21

m n z

+-） 因此，有可加性。 ８、贝塔分布

因为取Ｚ＝Ｘ＋Ｙ之后，变量的取值范围发生改变，不再是０到１，所以没有可加性。

()/21m n z +-