第6章 扭转

平面假设 物理关系
观察变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力公式 ①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面源自171、等直圆杆扭转实验观察
（1）实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 （2）实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。

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（3）实验结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、
的边缘各点处，即该轴最大切应力为 τmax=71.3MPa。
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[例题6.3]
实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传
递功率，如图所示。已知轴的转速n＝100r／min，传递 的功率P＝7.5kW。实心圆轴的直径d1=45mm；空心圆轴 的内、外直径之比(d2／D2)＝0.5，D2=46mm。试确定实 心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。
9
5、
扭矩图的意义
① 反映出扭矩沿截面位置变化关系，较直观； ② 确定出最大扭矩的数值及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
10
[例6.1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮1输入功率
NK1=500kW，从动轮2、3、4输出 功率分别为NK2=150kW， NK3=150kW，NK4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
T2
T3
T1 n
T4
N K1 T1 9.55 n 2 3 1 500 9.55 15.93(kN m) 300 NK2 150 T2 T3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 NK4 200 T4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
4
工程中的扭转问题
5
§ 6 –2
外力偶矩T与内力扭矩MT
一、外力偶矩T的计算
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
NK T 9.55 (kN m) n N T 7.024 (kN m) n
其中：NK — 功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（rpm）
其中：N— 功率，马力（HP）
n — 转速，转/分（rpm）
1马力= 0.735 kW =735.5 N· m/s
6
二、扭矩及扭矩图 1、 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“MT”。 2、 截面法求扭矩
m
x
0
T
T
MT T 0
MT
MT T
T
MT
T
7
3
扭矩的符号规定
“MT”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为 正，反之为负。
I p A dA
2
WT I p R
对于空心圆截面：
Ip
对于实心圆截面：
32 D3 WT 16
Ip单位：mm4，m4。 WT单位：mm3，m3。
Ip
D4

32
(D4 d 4 )
D4
32
(1 4 )
d ( ) D
WT
D 3
16
(1 4 )
3-1 段为危险截面:
1 2 MT 3
2 1 n
3
MT3=6.37
MT max 9.56 kN m
1
2
6.37 – 4.78 9.56
3

4 x
15.93
4.78
扭矩图的特点：突变值 = 外力偶矩
14
§6–3 等直圆杆在扭转时的应力与变形
一、切应力互等定理、剪切胡克定律
图为某构件上绕某点所取一微 小的正六面体，可以证明
1
第六章
扭 转
3学时
§ 6 –1
§ 6 –2
概述
外力偶矩T与内力扭矩MT
§ 6 –3
§ 6 –4
等直圆杆在扭转时的应力与变形
圆轴扭转时的强度与刚度计算
§ 6 –5
切应力互等定律的证明
2
§ 6 –1
概
述
1. 扭转变形：是杆件的一种基本变形形式。在垂直于杆件 轴线的平面内有力偶作用时，各横截面将绕杆轴线作相对转
千万不要出错！
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[例题6.2 ] 图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC 段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m ，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。 解（1）作扭矩图
用截面法求得AB 段、BC
段的扭矩分别为
MT1=MeA=22kN•m MT2=－MeC=－14kN•m

´
´
当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切 应力与切应变成正比关系，称为剪切胡克定律。
G
比例常数G称为材料的切变模量，它反映材料抵抗剪切 变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。 E G 2( 1 )
16
二、 圆轴扭转时横截面上的应力
应力分析方法与过程：
d MT dx GI p
GIp--- 扭转刚度
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横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式:
MT Ip
式中：MT—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，由截面的形状、大小而定。 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面（实心或空心）直杆。
D2 d2
d1
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例题6.3
已知： n＝100r／min，功率P＝7.5kW。d1=45mm；d2 ／D2＝0.5，D2=46mm。
解：（1）计算外力偶矩和扭矩 D2 d2
Nk 7.5 0.7162 kN m M T M e 9.55 9.55 n 100 M （2）计算横截面上的剪应力 max T Wp 实心圆轴：
大小和间距均未改变，只是绕轴
线作了相对转动。 横截面变形后 仍为平面，轴向无伸缩； ②各纵向线均倾斜了同一微小角 a
´
dx
´
b
dy 度。 两截面发生相对错动（剪切变形）。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大
小的平行四边形。 横截面的圆周线上各 点的切应力均相等。

c

d
19
（4）圆轴扭转的平面假设
16 716.2 MT 16 MT 6 4 10 Pa 4MPa max 3 3 3 (45 10 ) Wp d1 空心圆轴：
d1
MT 16 MT 16 716.2 6 max 4 10 Pa 4MPa 3 4 3 3 4 W p D2 (1 ) (46 10 ) (1 0.5 )
MT
令 Wp I p R
max
MT Wp
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
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MT Ip
MT
MT
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重 量轻，结构轻便，应用广泛。
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三、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量WT
可见，如果轴的长度相同，在最大剪应力相同的情 形下，实心圆轴所用材料要比空心轴多。
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四、 等直圆杆在扭转时的变形
1、扭转时的变形 由公式
将变形协调方程代入上式得：
d dx
d d G G G dx dx
MT
d G dx
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（3） 静力学方程
d G dx
横截面上剪应力形成分布力系，该力系向截面中心简化结 果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。
M
M
M
M
用截面法确定扭矩时，可先假设所求截面的扭矩为正值， 如果计算得到的扭矩为正值，表示假设的扭矩方向与实际的 一致；为负值，表示假设的扭矩方向与实际的相反。
8
4
扭矩图
扭矩沿轴线方向变化的图形称为扭矩图。
MT –
+ Me1
Me4
x
Me1+ Me2
扭矩图的X横坐标轴平行于杆件轴线，表示轴相应的 横截面位置；纵坐标表示该横截面的扭矩值。正扭矩画 在X轴上方，负扭矩画在X轴下方。 扭矩图中需标明(+)、(-)以表示扭矩的正负。
2、等直圆杆扭转时横截面上的应力 （1） 变形几何关系：
G1G d tg dx dx
A
B B’
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
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（2） 物理方程——剪切虎克定律 剪切虎克定律： G
MT 2 T2 T3
(4.78 4.78) 9.56kN m
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②用截面法求扭矩（扭矩按正方向设） 截面3
T2 =4.78 T3=4.78 T1= 15.93 T4=6.37
1
2
3
m
X
0 ,
MT 3 T1 T3 T2 0 ,
MT 3 6.37kN m
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（4）圆轴扭转时横截面上应力分布特点
MT Ip
MT
（1) 横截面上只有剪应力而无正应力——纯剪状态； （2）剪应力沿半径方向线性发布，其方向与半径垂直， 且与扭矩转向一致。
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5、确定最大剪应力：
由

MT 知：当 Ip MT R max Ip
d R , max 2
dMT dA
MT
MT A dA --- 静力学方程
d d A G dA G A 2dA dx dx