第六章 扭转
圆轴的扭转
截面法求扭矩 的一般步骤
第六章 圆轴的扭转 例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和 截面的扭矩， 求如图所示传动轴 截面和2-2截面的扭矩， 截面和 截面的扭矩 并画扭矩图。 并画扭矩图。 解：用截面法求扭矩 1）取1-1截面左侧 ） 截面左侧
=1.8kN⋅m ⋅ 1 1 =3kN⋅m ⋅ 2 2 1.2kN⋅m ⋅ =1.2kN⋅m ⋅
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后， 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变， 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。 圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA′ Rdϕ γ ≈ tanγ = = KA dx BB′ dϕ =ρ γ ρ ≈ tanγ ρ = LB dx
I p = ∫d / 2 ρ 2πρ ⋅ dρ 4 πD 4 = (1 − α ) 32
D/2 2
WP =
πD 3
16
(1 − α 4 )
第六章 圆轴的扭转 第四节 圆轴扭转时的强度计算 一、强度条件 圆轴扭转时 的强度条件
τ max
T = ≤ [τ ] WP
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 三类问题 强度校核 设计截面尺寸 确定许用载荷
K
A A'
L
B B'
dϕ/dx=γ/R，所以在同一横截面上 ϕ/dx是一个常数， 是一个常数， ，所以在同一横截面上d 是一个常数 正比。 因此各点的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
第六章 扭转
2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；
3、比较实心轴和空心轴的重量。
解：1、校核轴的强度
符轴
α = D − 2t = 90 − 2× 2.5 ≈ 0.944
合的
D
90
WP
=
π D3
16
(1−α 4 )
=
π
16
× 903
× (1−
0.9444 )
≈
29400mm4
要 求
强 度
[ ] τ max
Wp
=
Ip
D
2
⎜⎛α = d ⎟⎞
⎝ D⎠
( ) = πD3 1 − α 4 16
∫ 3、薄壁圆环截面
Ip =
ρ 2dA
A
D = 2r0 + δ
δ
d = 2r0 − δ
τ
r0
I p ≈ 2πr03δ
d D
Wp ≈ 2πr02δ
dρ
τ
ρ
δ
dρ
τ
τ
ρ
r0
d
I
p
=
πd 4
32
Wp
=
πd 3
16
d D
( ) I p
A
∫
A
ρGρ
dϕ
dx
dA
=
T
G
dϕ
dx
∫
ρ 2dA
=
T
A
∫ 令I p = ρ 2dA
A
τ ρdA ρ dA
o
∫ I p = ρ 2dA 极 惯 性 矩
A
则 dϕ = T
dx GI p
dϕ = T
dx G I p
圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5
m
因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
解： 1） 计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
第六章 圆轴的扭转
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1 2 3
T1 M B 468N m
弹塑性力学课件第六章
图 6.2 非圆形截面等直杆的扭转实验
2018/10/31
8
第六章 柱体扭转问题
柱体扭转问题的实验研究
为了简化问题，圣维南（ Saint Venant）由实验观察中假定，任
意截面形状的柱体在发生自由扭转变形时，各个横截面的翘曲程度都
相同。这就是圣维南等翘曲假定。如果我们把轴取在柱体的轴线上， 根据等翘曲假定，就有
w w( x, y) ( x, y)
u zy v xz
刚性转动假定
u zy
v xz w ( x, y )
2 2
MT KT
MT KT
KT G ( x 2 y 2 x
A
y )dxdy y x y )dxdy y x
截面翘曲影响项
扭转刚度
G r 2 dxdy G ( x
第六章 柱体扭转问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
1
第六章 柱体扭转问题
引
言
柱体扭转问题的实验研究 基本方程
几个典型例子
柱体扭转问题的实验比拟方法
薄壁杆件的扭转问题
其他说明
2018/10/31
2
第六章 柱体扭转问题
引 言
柱体扭转问题在土木、机械等工程中是常见的一类问题。 所谓柱体扭转，是指圆柱体和棱柱体仅在端部受到扭矩的作 用，而且扭矩矢量与柱体的轴线方向重合。 本章将专门分析柱体扭转问题中较为简单的一类问题： 任意截面形状柱体的 自由扭转问题 ，即允许柱体在受扭变形 后的横截面自由翘曲的情形。关于柱体的 约束扭转问题 ，即 横截面的翘曲受到约束的情形，这里不进行讨论 。
建筑力学6-扭转
(2) 计算各段的扭矩 AB段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭 矩的规律有 TAB=mA=1756N·m BC段：考虑右侧 TBC=mC=702.4N·m (3) 画扭矩图 根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图6.3(b))。 由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大，其值 Tmax=TAB=1756N·m
6.3.3 横截面上的变形
圆轴扭转时的变形，用两个横截面间绕轴线的相 对扭转角φ来度量。由上节式（e)可得相距为l的两个截 面之间的扭转角为 l T ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx l 0 GI P 当轴在l长度范围内T、G和Ip均为常量时，有
T ϕ= GI P T Tl ∫0 GI P dx = GI P
第六章 扭转
6-1，概述
1，扭转的概念： 杆件在一对大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的外力偶 矩T的作用下，杆件任意两截面挠杆轴线发生相对转动，这种基本变 形称为扭转。 共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的 轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。 杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转 变形为主的杆件称为轴。 ：
l
GIp称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转 变形的能力。
从上式可知，φ的大小与轴的长度有关， 为了消除长度的影响，用单位长度扭转角θ 来表示扭转变形的程度，即
T θ= = l GI P
ϕ
式中θ的单位是弧度每米(rad/m)，由于 工程上θ的单位常用度每米（°/m），则
T 180 θ= GI P π
图6.2
∑mx(F)=0,T1-mA=0 T1=mA=1910N·m (3) 计算2-2截面的扭矩 假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截 面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.2(c)所示。 由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2+mB-mA=0 T2=mA-mB=716N·m 若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.2(d) 所示。由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2-mC=0 T2=mC=716N·m
第六章圆轴的扭转
第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算
圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角 来度量：
即
MTl
GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用 单位扭转角[ ]，即
max
MT GI p
(rad/m)
或
max
MT 180
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度γ 。
圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平 面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间 的距离不变。
结论： 1. 扭转变形的实质是剪切变形；
2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力τ ，没有正应力σ。
第二节 剪切——剪切胡克定律
一.剪切的概念
剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力的 合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。
常见的剪切变形
键 轴
轮
F
mn
Fm
F
n
F
(a)
(b)
实用计算中，通常假设剪切应力τ在剪切面上是 均匀分布的，如图d。则:
Q
A
不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为:
几何量，单位：mm3或m3。
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即
max
M T max W
许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并考 虑安全系数后加以确定。
圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题
采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承受 能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切应 力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁厚 尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有较 高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。
第六章圆轴的扭转.doc
第六章圆轴的扭转一、填空题1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。
2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。
3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。
4、在扭转杆上作用集中外力偶的地方，所对应的扭矩图要发生________,_________值的大小和杆件上集中外力偶之矩相同。
5、圆轴扭转时，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成___________。
6、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。
7、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其剪应变必然_________。
8、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。
9、圆轴扭转时，横截面上剪应力的大小沿半径呈______规律分布。
10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的剪应力应垂直于_________。
11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的剪应力大小是_______的。
12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。
13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。
14、对于_______性材料的圆杆，扭转破坏断面是与丁轴线成45°的螺旋面，对于______性材料，扭转破坏断面是垂直于杆轴线的横截面。
15、一级减速箱中的齿轮直径大小不等，在满足相同条件的强度条件下，高速齿轮轴的直径要比低速齿轮轴的直径_________。
16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。
建筑力学_高职06
【例6.1】已知传动轴的转速n＝300r／min，主动 轮A的输入功率PA＝29kW，从动轮B、C、D的输 出功率分别为PB＝7 kW，PC＝PD＝11kW。绘制 该轴的扭矩图。
【解】1）计算外力偶矩。轴上的外力偶矩为：
M eA
M eB
PA 29kW 9549 9549 923N m n 300r / min
式中：[ ]－材料的许用切应力。
利用上式可以对圆轴进行强度校核、设计截 面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题。
【例 6.3 】如图所示的空心圆轴，外径 D =100 mm ,内径d=80 mm，外力偶矩Me1 =6 kN· m、 Me2 =4 kN· m 。材料的许用切应力[]=50 MPa ， 试进行强度校核。
2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为
85 103 T d 6 2 内 A Pa 48.3 10 Pa 48.4MPa 6 12 Ip 2 1.32 10 10 1.5 103
外
90 1.5 10 103 T D 2 B Pa 6 12 Ip 2 1.32 10 10
6.2.2 扭矩
确定了作用于轴上的外力偶矩，可用截面法求横 截面上的内力。 取左段为研 究对象。由于左 端有外力偶作用， 为使其保持平衡， m —m 横截面上 必存在一个内力偶矩。它是截面上分布内力的合力偶 矩，称为扭矩，用 T 来表示。列空间力系平衡方程： ∑M x ＝ 0 T－Me ＝0 ∴ T＝Me
6.1 工程实例与计算简图 工程中承受扭 转的杆件：汽车方 向盘的操纵杆[图 (a)] ，机器中的传 动轴 [图(b)]，钻机 的钻杆 [ 图 (c)] 以及 房屋中的雨篷梁和 边梁[图(d)、(e)] 等。工程中常把以 扭转为主要变形的 杆件称为轴。
第六章 柱形体的扭转PPT课件
uu ,vv,w w (5-a)
应力边界条件：给定表面上的面力为 Tx ,Ty ,Tz
xl xym xzn Tx
xy
l
y
m
yzn
Ty
(5-b)
xz l
yzm
zn
Tz
§6-1 等截面直杆的扭转
• 设等截面直杆，体力不计，在两端平面内受到 转向相反的两个力偶矩M作用。
max( ) zx yb/2 3aM b2
最大剪应力在矩形截面的狭长周边上。
单位长度扭转角
C 3M 2Gab3G
（d） （e） （f）
（g）
• 二. 一般矩形截面的情况 一般矩形的应力函数满足微分方程（6-11），即
边界上满足
22G
（6-11）
()x a /2 0 , ()y b /2 0 （a）
az, m m 'rz
O
sinby，cobsx
r
r
umm'rzsin by z vmm'rzcobsxz （6-8） y
比较式（6-7）和（6-8）得：
K
（6-9）
B A
x
b
am m’
• 几何方程
u0,v0,w0, vu0
x y z
x y
wv1 , uw1
y z Gx z x Gy
• 将式（6-8）代入上式的后两式，得
采用分离变量法求解。设
1(x,y)X (x)Y (y)
代入式（b）得
Y d2X X d2Y 0 或
22G
m G
6a
Gx 3 3 x2y 3 a (x 2 y 2 ) 4 a 3 6 a
《建筑力学》第六章-剪切与扭转
04
剪切与扭转的实验研究
实验设备与实验方法
实验设备
包括剪切试验机、扭转试验机、 应变计、扭矩计等。
实验方法
采用标准试件进行剪切和扭转实 验，记录相关数据，分析其力学 性能。
实验结果与分析
实验结果
通过实验，得到了试件在剪切和扭转 作用下的应力-应变曲线，以及相应 的力学性能参数。
结果分析
总结词
高层建筑的剪切与扭转分析是提高其抗震性能的重要手段。
详细描述
高层建筑由于其高度和结构特点，更容易受到地震等外部载荷的影响，发生剪切和扭转。为了提高高层建筑的抗 震性能，需要进行剪切与扭转分析，优化结构设计和加强构造措施。
大跨度结构的剪切与扭转分析
总结词
大跨度结构的剪切与扭转分析是实现其跨度和结构优化的关键步骤。
对实验结果进行统计分析，得出试件 在不同条件下的剪切和扭转强度、弹 性模量等力学性能指标，并对其变化 规律进行探讨。
实验结论与建议
结论
通过实验研究，验证了剪切和扭转理论的正确性，并得出了试件在不同条件下的 剪切和扭转力学性能指标。
建议
为进一步深入研究剪切和扭转理论，建议采用不同材料、不同尺寸、不同形状的 试件进行实验研究，以获得更全面的数据和结论。同时，加强实验设备的维护和 更新，提高实验精度和可靠性。
详细描述
大跨度结构如大型体育场馆、会展中心等，需要承受较大的载荷和变形。通过剪切与扭转分析，可以 优化结构设计，减小变形和应力集中现象，提高结构的承载能力和稳定性。
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剪切与扭转的基本概念
剪切应力
剪切面上的正应力称为剪切应力。 剪切应力的大小与剪切力成正比，
与剪切面面积成反比。
第六章 圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴的扭转一、填空题1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。
2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。
3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。
4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。
5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。
6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。
7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。
8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。
10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。
11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。
12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。
13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。
16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。
17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的_________。
18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用_________轴更为合理些。
二、判断题1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。
第六章 材料力学剪切与扭转
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
第六章扭转与弯曲的强度计算
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉绘制剪力图
①分段定形
根据梁受外力和支承情况,全梁可分为AC 和BC两段 两段梁上无均布载荷作用，故FQ图均为水平线
②定点绘图
因两段梁上的剪力图均为水平线，故只需分 别在两段内确定任一横截面上的剪力值。
FQ1
FAy
Gb l
FQ 2
FBy
Ga l
3〉绘制弯矩图
①分段定形 全梁仍可分为两段。且两段梁上无均布 载荷作用，故M图均为斜直线 AC段：FQ＞0，M图直线斜率为正 BC段：FQ＜0，M图直线斜率为负
截面A、B、C处受集中力作用，M图有折角且无突变
②定点绘图 求特殊截面上的弯矩值并绘图
由于梁的两端均无集中力偶作用，故MA=0，MB=0
利用上述规律,可不必列出剪力方程和弯矩方程, 而更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图。
其步骤如下： （1）分段定形
根据梁上载荷和支承情况将梁分成若干段，由各段内 的载荷情况判断剪力图和弯矩图的形状；
（2）定点绘图
求出某些特殊横截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘 制梁的剪力图和弯矩图。
典型例题1
❖ 已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比 例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是 剪切虎克定律。
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
T
IP
M Pa
T — 横截面上的扭矩（N.mm）
第六章 圆轴扭转练习带答案
第六章??圆轴的扭转一、填空题1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。
2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。
3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。
4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。
5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。
67810直于11121316同的，扭转角是17。
18、1234、（??????5）6、只要知道了作用在受扭杆件某横截面以左部分或以右部分所有外力偶矩的代数和，就可以确定该横截面上的扭矩。
?? （?????? ）7、扭矩的正负号可按如下方法来规定：运用右手螺旋法则，四指表示扭矩的转向，当拇指指向与截面外法线方向相同时规定扭矩为正；反之，规定扭矩为负。
（?????? ）8、用截面法求杆件的扭矩时，无论取截面以左还是以右部分来研究，按历手螺旋法则规定的扭矩正负总是相同的，从左、右两部分的作用与反作用关系看，二者方向也是相同的。
? （??????? ）9、对于产生扭转变形的圆杆，无论处于弹性变形阶段还是塑性变形阶段，其剪应力总是与庐点到圆心的距离成正比。
（）10、横截面为圆形的直杆在产生扭转变形时作出的平面假设仅在弹性范围内成立。
（）11、扭转剪应力公式τρ＝Ｔρ／Ｉρ的适用范围是：变形体为各向同性、最大剪应力不超过材料的剪切比例极限并属于小变形情况的等圆截面直杆，同时承受的外力偶作用面垂直于杆轴线。
（?????? ）12、已知钢材的剪变模量G=80Gpa，剪切屈服极限τs=120Mpa，由此钢材制成的轴在产生扭转变形时的剪应力变为γ=τs/G=1.5X10-3rad。
? （?????? ）13、一空心圆轴在产生扭转变形时，其危险截面外缘处具有全轴的最大剪应力，而危险截面内缘处的剪应力为零。
6第六章 扭 转
第六章 扭转以横截面绕轴线作相作旋转为主要特征的变形式（图6-1），称为扭转。
横截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角。
凡是以扭转变形为主要变形的直杆，称为轴。
本章研究轴的内力、应力与变形，并在此基础上研究轴的强度与刚度问题。
研究对象以圆截面轴为主，包括实心与空心圆截面轴，同时也研究薄壁截面轴，并简要介绍矩形与椭圆等非圆截面实心轴的应力与变形。
此外，本章既研究静定轴也研究超静定轴。
并讨论了弹簧的应力与变形。
图6-1扭转轴§6.1 扭矩一、外力偶矩的计算作用在轴上的扭力偶矩，一般可通过力的平移，并利用平衡条件确定。
但是，对于传动轴等转动构件，通常只知道它们的转速与所传递的功率。
因此，在分析传动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根据转递与功率计算轴所受承受的扭力偶矩。
由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即功率P ，等于该力偶之矩e M 与相应角速度Ω的乘积，即Ω=e M P (a)在工程实际中，功率P 的常用单位为kW ，力偶矩e M 与转速n 的常用单位分别为m N ⋅与min r ，于是式(a)变为6021000e n M P π⨯=⨯ (b) 由此得 {}{}{}minr kW m N e 5499n P M =⋅ (6-1) 二、扭矩1．扭矩的符号规定作用在轴上的外力偶矩确定后，现在研究轴的内力。
在矩为M 的扭力偶作用下（图6-2a ），横截面上的分布内力必构成一力偶（图6-2b ），而且，该力偶的矢量方向垂直于截面。
矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，即扭矩，并用T 表示。
通常规定：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则该扭矩为正，“+”。
按此规定，图6-2b 所示扭矩为正。
2．截面法用截面假想地把轴分成两部分，以显示并确定扭矩的方法称为截面法。
可将其归纳为以下四个步骤：① 截． 欲求某一截面上的扭矩时，就沿该截面假想．．地把轴分成两部分。
② 取． 原则上取受力简单．．的部分作为研究对象，并弃去另一部分。
圆轴扭转
d1
A
1.外力 解： 外力 1.
M e2 =
C
M e2
d2
B
M e3
M e1
M e1 = 9549
160 M e1 400
P 400 1 = 9549 × = 7640 N ⋅ m n 500 240 = 3060 N ⋅ m M e3 = M e1 = 4580 N ⋅ m 400
38
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
7
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
8
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
P k
P k
在确定外力偶矩的方向时， 注意输入功率的齿轮、 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为主 输入功率的齿轮 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为阻力 矩，方向与轴的转向相反。 方向与轴的转向相反。
34
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
单位长度扭转角
扭转刚度条件
许用单位扭转角
35
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 扭转强度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 已知 τ]， •已知T 和[τ]， 已知 τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷 已知 τ]，
τ max
Mn = Wn
W — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
第六章 轴心受压构件的扭转屈曲和弯曲屈曲
6.1 概述
6.2 开口薄壁构件截面的剪力中心
6.2.1 开口薄壁截面的剪力流
6.2.2 截面的剪力中心坐标
6.3 开口薄壁构件的扭转
6.3.1扭转的形式
6.3.2开口薄壁构件的自由扭转
6.3.3 开口薄壁构件的约束扭转
6.4 轴心受压构件的弹性扭转屈曲
6.4.1 轴心受压构件的弹性扭转屈曲荷载
6.4.2 残余应力对扭转屈曲荷载的影响
6.4.3 构件两端边界条件的影响
6.5 轴心受压构件的弹塑性扭转屈曲
6.5.1切线模量扭转屈曲荷载
6.5.2 钢材为理想弹塑性体的屈曲荷载
6.6 轴心受压构件的弹性弯扭屈曲
6.6.1单轴对称截面轴心受压构件的平衡方程
6.6.2两端简支轴心受压构件的的弯扭屈曲荷载
6.6.3 两端固定的轴心受压构件的弯扭屈曲荷载
6.6.4 不对称截面手心受压构件的弯扭屈曲荷载
6.7 轴心受压构件的弹塑性弯扭屈曲
6.7.1 切线模量弯扭屈曲荷载
6.7.2考虑残余应力的单轴对称截面轴心受压构件弹塑性弯扭屈曲荷载
6.7.3 不对称截面轴心受压构件的弹塑性弯扭屈曲荷载
6.8轴心受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲理论在钢结构设计中的应用
6.8.1 双轴对称截面轴心受压构件、
6.8.2 单轴对称截面轴心受压构件
6.8.3 单面连接的单角钢轴心受压构件。
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图 3）绘出扭矩图如图所示。
350 ＋
－ 223
573 T图(单位：N ·m)
由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各横截面上,其值为
T 573N m max
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
6.3.1 圆轴的扭转试验
1. 扭转试验现象与分析 图（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线， 形成矩形网格。扭转变形后[图（b）]，在弹性范围内，可以观察到 以下现象：
点G的纵向线EG的倾斜角为， 即为E点处的切应变。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
令G点到轴线的距离为，由几何关系知
tan
GG EG
d
dx
由于在同一横截面处 d 为一个常量，因此上式表明，横截
dx
面上任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。这就是变形
1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行
四边形。 2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转
动了不同的角度。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： ① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆 轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴 线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。 ② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了 相对转动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于 半径。
上式就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。切 应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
当=R时，切应力最大，最大切应力为
m
a
＝TR x Ip
令 则有
Wp＝IRp
m
a
＝T x Wp
式中；WP——扭转截面系数，单位为mm3或m3。
极惯性矩IP和扭转截面系数WP是只与横截面形状、尺寸有关的 几何量。利用高等数学知识可算得，直径为D的圆形截面和外径为 D、内径为d的圆环形截面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数 分别为
D
应该注意，扭转时应力的计算公式只适用于圆轴。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
【例6.2】 空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横 截面上的扭矩T=1.5kN·m（如图）。求横截面上内外边缘处的切应 力，绘制横截面上切应力的分布图。
O
T
d
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
【解】 1）计算极惯性矩。极惯性矩为
Ip
(D4
32
d4)
(904
32
804 ) mm4
1.32106
mm4
2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为
内
A
T 10 3 2
1.32 106 10 12
Pa
48.3106 Pa
（1）几何关系 从圆轴中截取长为dx的一段进行分析， 如图所示。假想横截面m—m固定不动， 则横截面n—n相对横截面m—m绕轴线转
动了一个角度d，其上的半径O2D也转过 了角度d ，而到达位置O2D′。相应地， 纵向线AD倾斜了一个微小角度，
该倾斜角即为圆轴表面A点处的切应变。同理，设半径O2D上任一
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
圆形截面： 圆环形截面：
Ip
D4
32
Wp
D3
16
Ip
D4－d 4
32
D4 1 4
32
Wp
D4－d 4
16D
D3
16
1 4
式中： d ——内、外径的比值。
径的变化dx规律如图所示。在同一半径的圆周上各点处的切应力相同， 截面边缘各点处的切应力最大。
（3）静力平衡关系
如图所示，距圆心为的微面积上的微
dA
内力为dA，其对圆心的矩为 dA 。因扭
矩T为截面上的分布内力的合力，则有
将式
d A＝T A
＝G
d
dx
代入上式，整理得
线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向则共同指向或背 离该两面的交线。这一结论称为切应力互等定理。
图示单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情 况称为纯剪切。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3.2 圆轴扭转时横截面上的切应力
下面从变形的几何关系、力和变形的物理关系及静力学关系推 导横截面上切应力的分布规律。
350 N m
目录
第六章 扭转\扭矩与扭矩图
2）计算各段轴 内横截面上的扭矩 。
利用截面法，取1—1横截面以左部分为 研究对象[如图]，由平衡方程
M x＝0 T1 MeB 0
得 T1 －M eB －223 N m T1为负值表示假设的扭矩方向与实际方向相反。
目录
第六章 扭转\扭矩与扭矩图
第六章 扭转
第六章 扭转
本章介绍受扭杆件的外力和内力计算，圆轴扭转时的应力和变 形，以及强度和刚度计算。简单介绍矩形截面杆自由扭转时的应力 和变形。
6.1 工程实例和计算简图 6.2 扭矩和扭矩图 6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算 6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算 6.5 矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
切应力，故单元体左、右面上有切 应力 。根据平衡条件，两个面上的
切应力大小相等、方向相反，组成一
个力偶，其矩为( dydz)dx。
为了保持单元体的平衡，在上、下面上必定还存在着切应力 ´，组 成一个方向相反的力偶，其矩为（ ´ dxdz）dy。由平衡方程ΣMz=
０，得
故
=´
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算 上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算 【例6.3】 如图所示的空心圆轴，外径D=100 mm ,内径d=80
mm，外力偶矩Me1 =6 kN·m 、Me2 =4 kN·m 。材料的许用切应力
W＝2nM e
目录
第六章 扭转\扭矩与扭矩图
若功率用P表示，单位为kW（千瓦），则外力偶每分钟所作的 功也可表示为
W＝60 103 P(N m)
由此可得外力偶矩的计算公式为
M e＝9549
P n
式中：Me——轴上某处的外力偶矩，单位为N·m； P——轴上某处输入或输出的功率，单位为kW；
n——轴的转速，单位为r/min。
轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。 变形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两
横截面之间的相对角位移称为扭转角，用表示。图示是受扭杆的 计算简图，其中表示截面B相对于截面A的扭转角。扭转时，杆的 纵向线发生微小倾斜，表面纵向线的倾斜角用表示。
目录
第六章 扭转\扭矩与扭矩图
的几何关系。
（2）物理关系
设横截面上距圆心为点处的切应力为，由剪切胡克定律，有
＝G
将式
tan
GG EG
d
d x 代入式
＝G
，得
＝G
d
dx
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
因为 G d 常数，所以上式表明切应力的大小与成正比，沿任一半
目录
第六章 扭转\扭矩与扭矩图 【解】 1）计算外力偶矩。作用于轴上的外力偶矩为
M eA
9549 PA n
9549 29kW 300r / min
923N m
M eB
9549 PB n
9549 7 kW 300 r/min
223N m
M eC
M
eD
9549
PC n
9549 11kW 300 r/min
目录
第六章 扭转\扭矩与扭矩图
6.2.2 扭矩
确定了作用于轴上的外力偶矩 之后，就可应用截面法求其横截面 上的内力。
取左段为研究对象。
由于左端有外力偶作用，为使其 保持平衡，m—m横截面上必存在 一个内力偶矩。它是截面上分布 内力的合力偶矩，称为扭矩，用T 来表示。由空间力系的平衡方程
∑M x =0 T－Me＝０
48.4MPa
外
B
T Ip
D 2
1.5103 90 10 3 2
1.32 10 6 10 12
Pa
51.1106 Pa 51.1MPa
横截面上切应力的分布图如图所示。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3.3 圆轴的扭转强度计算
为使圆轴扭转时能正常工作，必须要求轴内的最大切应力max 不超过材料的许用切应力[]，若用Tmax表示危险截面上的扭矩，则
6.1 工程实例和计算简图
在工程中，有很多承受 扭转的杆件。例如汽车方向 盘的操纵杆[图（a）]，机器 中的传动轴[图（b）]，钻机 的钻杆[图（c）]以及房屋中 的雨篷梁和边梁[图（d）、 （e）] 等。工程中常把以扭 转为主要变形的杆件称为轴。
目录
第六章 扭转\工程实例与计算简图 受扭杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆