圆周运动中有趣的绳杆模型

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圆周运动中的绳杆模型

当环对小球的弹力向下时：
解得小球的速率
21
例6、如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是（）
A．数据a与小球的质量无关 B．数据b与小球的质量无关 C．比值只与小球的质量有关，
与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量
和圆周轨道半径
.
练4、如图所示，质量为M＝1kg的薄壁细圆管竖直放置在固定的底座上，圆管内部光
滑，圆半径比细管的内径大得多．已知圆的半径R＝0.4m，一质量m＝0.5kg的小球，
二、杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周
运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，
杆的受力与速度的关系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度为v1时，
杆的受力与速度的关系怎样？
A
杆球模型：
B
F3 v2
mg F2
o
F1
v1 A mg
最低点：最高点：
F1
A．2m/s C．4m/s
B．3m/s D．5m/s
例2、如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝
0.4m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给小球一水平向右的初
速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足（g＝10m/s2）（） ①v0≥0 ②v0≥4m/s ③v0≥2 m/s ④v0≤2 m/s
圆周运动的绳杆模型

竖直面圆周运动绳杆模型

高中物理必修二
5.7 生活中的圆周运动
竖直面圆周运动最高点的临界问题
一、细绳模型二、细杆模型
1）对下图四副图小球在最高点和最低点进行受力分
析
D
A
F
K
} }
B
C
（1）
（2
）
绳子模型
小球在竖直平面内做圆周运动时，物体不能被支持
E
G
（3
（4
）
）
杆子模型
小球在竖直平面内做圆周运动时，物体能被支持
点自由转动，细杆长0.5m，小球质量为0.5kg，现
给小球一初速度使它做竖直面圆周运动，求:小球
通过最高点时,下列两种情况下杆对球作用力的大
小。(g=10m/s2)
（1）过最高点时小球的速率为1.0m/s;
mv
（2）过最高点时小球的速率为4.0m/s.
o
(1)FN 2N (2)F拉15N
轻杆模型
(2) v2=4m/s > v0 球应受到外壁向下的支持力N2 如图所示:
则 mg+ FN2 =mv22/l 得 FN2 =4.4 N
由牛顿第三定律,球对管壁的作用力分别为:(1)对内壁1.6N向下的压力;(2)对外壁 4.4N向上的压力。
m
A mg
FN2O
小结：竖直面圆周运动最高点的临界问题
mA r
O
B
重力、绳的拉力
vA gr
mA r
O
B
重力、杆的拉力或支持力
vA 0
B 小球通过最高点的最小速度为零
C 小球在水平线ab以下的管道中运动时外
侧管壁对小球一定无作用力
D 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对

圆周运动——绳球杆球模型.

当v=v0，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点；当v>v0，小球能够通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。试分析： B （1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的受力与速度的关系怎样？（2）当小球在最高点B的速度为v1时，杆的受力与速度的关系怎样？
A
问题2：杆球模型： B
F2
F3
v2
mg
o
v1
F1
A mg
v1 最低点：F1 mg m L 2 v2 最高点：F2 mg m 拉力 L 2 v2 mg - F3 m 支持力 L 思考:最高点的最小速度是多少?
2
最小速度v=0，此时mg=F3
问题2：杆球模型： 2 v2 F3 最高点：F2 mg m 拉力 B v2 L 2 v2 mg mg - F3 m 支持力 F2 L o 思考:在最高点时，何时杆表现为 F1 拉力？何时表现为支持力？试求其临界速度。 v1 A mg 临界速度：F 0, v0 gL 当v<v0，杆对球有向上的支持力；当v>v0，杆对球有向下的拉力。
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。问：（1）小球运动到最高点时，速度与受力的关系如何？（2）小球运动到最低点时，速度与受力的关系又是如何？
F3
V2
G F2
;
2 v1 最低点：F 1 mg m R

圆周运动绳杆模型

悬索桥
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球连接，通过地球引力与绳杆模型的拉力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月球连接，通过月球引力与绳杆模型的拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时，若没有向心力作用，物体将沿切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心力与向心力大小相等、方向相反。
离心力的大小与物体的质量、速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析

圆周运动中的绳杆模型

• 对应力的计算
结
• 对应能量的计算
- mg
=
mv 2 r
G
24
竖
物理情景
直
平
细绳拉着小球在竖直平面内运动
面
内
圆
小球在竖直放置的光
周
滑圆环内侧运动
运
动
小球固定在轻杆上在
的
竖直面内运动
临
界
问
小球在竖直放置的光滑管中运动
题
图示
在最高点的临界特点
T=0
mg
v2 m
r
v gr
N=0
mg
v2 m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
【解答】解：A、B、在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T＝m
得：T＝
- mg…①
由图象知，T＝0时，v2＝b．图象的斜率k＝，则得：＝
得绳长 L＝当v2＝0时，T＝﹣a，由①得：﹣a＝﹣mg，得 g＝；故A正确，B正确；
C、只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：
A．①④ C．③④
B．②④ D．②③
.
【解答】解：对于第（1）种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤m ，又根据机械能守恒定律有
mv2+2mgr＝
，可求得v0≥2 m/s；
对于第（2）种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr≥
则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
.

5.7生活中的圆周运动(轻绳轻杆模型)

A （2）当小球在最高点B的速度为v1 时，杆的受力与速度的关系怎样？
轻杆模型
B
F3 v2
mg
F2
o
F1
v1 A mg
最低点： F1

mg

m
v12 L
最高点：
F2 mg
m v22 L
mg
-
F3

m
v22 L
轻杆模型
B F3
v2
最高点：F2

mg

m
v22 L
拉力
mg
F2
o
mg
-
F3

m
grvf??00gv2gf1v1f2f3结论当当????????????内壁对球有向上的支持力力当当????????????外壁对外壁对球有向下的支持力轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下也可能等于零弹力可能向下可能向上也可能等于零轻绳模型轻杆模型受力示意图力学方程mgftmv2rmgfnmv2r临界特征ft0即mgmv2r得得vgrv0即f向0此时时fnmgvgr的意义物体能否过最高点的临界点fn表现为拉力还是支持力的临界点剧终
A
mg FN
v2 mg FN m r
思考：小球过最高点的最小速度是多少?
FN 0, v0 gr
结论
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须
满足： v gr
轻杆模型
轻杆模型
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的受力与速度的关系怎样？
临界速度：F 0,v0 gR
结论

微课：绳杆模型圆周运动最高点分析(罗新勇)

专题：绳、杆模型最高点受力分析（竖直平面内圆周运动）
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时，即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时，即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展：若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：

竖直面内的绳杆模型

竖直平面内的圆周运动——绳杆模型一．“绳模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：（2）小球能过最高点条件：（3）不能过最高点条件：例1.用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示。

试分析：（1）当小球在最低点A 的速度为V1时，其绳的张力为多大？（2）当小球在最高点B 的速度为V2时，其绳的张力与速度的关系怎样？例2．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？练习1.长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2v m LD2.如图所示，质量为m 的小球，用长为L 的细绳，悬于光滑斜面上的0点，小球在这个倾角为θ的光滑斜面上做圆周运动，若小球在最高点和最低点的速率分别是vl 和v2，则绳在这两个位置时的张力大小分别是多大?3.小丽在运动场上荡秋千。

已知小丽的质量为40 kg ，每根系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大张力是300N 。

如右图，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s 。

（g =10m/s 2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（1）此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？（2）此时，小丽对底座的压力是多少？每根绳子受到拉力T 是多少？（3）如果小丽到达最低点的速度为5m/s ，绳子会断吗？a b4.如图示，质量m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到F＝18 N时就会被拉断。

匀速圆周运动之绳杆模型

第3讲匀速圆周运动及其应用
匀速圆周运动角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动

5.7竖直面圆周运动(绳杆模型)

自由转动，细杆长0.5m，小球质量为0.5kg，现给小
球一初速度使它做竖直面圆周运动，求:小球通过最
高点时,下列两种情况下杆对球作用力的大小。
(g=10m/s2) （1）过最高点时小球的速率为1.0m/s;
(1)FN

2N
（2）过最高点时小球的速率为4.0m/s. (2)F拉 15N
学以致用
练习：小球在最高点的速度由零逐减增大的过程中
BD
C 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无
作用力
D 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对
小球一定有作用力
小结：竖直面圆周运动最高点的临界问题
模型图
细绳
mA
r O
细杆
mA
r O
小球的受力情况
最高点的速度
B
重力、绳的拉力
vA gr
B
重力、杆的拉力或支持力
vA 0

m v临 2 r
v临＝ gr vmin
mv r
O
v临＝ gr vmin
m
v
(1)当v
gr时，mg

m
v2 r
即：F拉 0
O
r
物体恰能做完整的圆周运动
(2)当v＞
gr时，mg

F拉

m
v2 r
即：F拉

v2 m
r
mg
物体能做完整的圆周运动,F拉随v的增大而增大。
(3)当v gr时，物体不能做完整的圆周运动，即还未到达最高点就已经脱离了轨道
【演示】水流星
学以致用
O
例1:绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”，水的质量m=0.5kg,绳长 L=0.4m,求：(g=10m/s2) ⑴求水桶经过最高点时水不流出的最小速率？ ⑵水在最高点速率V=4m/s时，桶底对水的压力？

圆周运动绳杆模型

竖直平面内的圆周运动的临界问题：对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学阶段只研究最高点和最低点，并且经常出现临界问题。

现分析如下：一、绳：用轻绳系一小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点，如图（在轨道内侧圆周运动的小球也属于这种情况）1）临界条件：球在最高点的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力充当圆周运动的向心力，设V0是球能通过最高点的最小速度，则：2)能过最高点的条件：V≥V0；3）不能通过最高点的条件V＜V0，实际上球在达到最高点之前就脱离圆轨道。

典型例题：1、绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，求：(1)在最高点水不流出的最小速率； (2）水在最高点速率V=3m/s时，水对桶底的压力。

2、如图，质量为0.5kg杯子里盛有1kg的水，用绳子系住水杯在竖直面内做“水流星”表演，转动半径为1m，水杯通过最高点的速度为4m/s，则此时绳子的拉力为 N，水对杯底的压力为 N。

(g=10m/s2)3、在图示光滑轨道上，球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧半径为R，则（）A、最高点A时，球受到重力和向心力B、最高点A时，球受重力和圆弧的压力C、最高点A时，球的速度为D、最高点A时，球的加速度为2g二、杆：有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动情况，如图（在管内轨道上运动的小球也属于这种情况）1）临界条件：由于硬杆或者管壁的支撑作用，球能到达最高点的临界速度V=0，轻杆或轨道对小球有支持力：F支=mg；（重点）2）当时，杆对球的力3）当时，杆对球的力4）当时，杆对球的力杆：由于杆既可以提供拉力也既可以提供支持力，故求作用力时先利用临界条件判断力的方向，或先假设力朝某一方向，然后再根据所求结果判断其实际方向。

1、如图，长为L的轻杆，一端固定小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内圆周运动，球经过最高点时的速度为V，则下列叙述不正确的是（）A、V的数值可以小于B、当V由零逐渐增大时，球在最高点所需要的向心力也逐渐增大C、当V由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D、当V由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小2、长度为L=0.5m的轻杆OA，A端有一质量为3kg的小球，球以O点位圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时球的速率为2m/s，（g=10m/s2）此时细杆受到（）A、6N的拉力B、6N的压力C、24N的拉力D、24N的压力3、长L=0.5m的轻杆，其一端连接一个零件A，A的质量m为2kg，现让A在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图，在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：(1）A的速率为1m/s时；(2）A的速率为4m/s时（g=10m/s2）4、如图，球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，则正确的是（）A、球通过最高点的最小速率为B、球通过最高点的最小速率为零C、球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对球一定有作用力D、球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对球一定有作用力。

圆周运动绳杆模型

圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力于小球的重力；③当v＝gr 时，杆对小球的支持力于零； ④当v >gr时，杆对小球提供力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（） A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。

022竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题

一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，mg－F N＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心，并随v的增大而增大3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练（一）例题例1：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小答案 A解析当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．（二）杆—球模型对点演练：1.如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( ) A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L ，解得：F ＝1.5mg ，根据牛顿第三定律可知，C 正确，D 错误．2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。

圆周运动中的绳杆模型

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一、绳球模型
长为L的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动。
试分析：
（1）当小球在最低点A 的速度为v1时，绳
的拉力与速度的关系如何？
（2）当小球在最高点B 的速度为v2 时，绳
的拉力与速度的关系又如何？
v2 B
o
L
A
v1
.
v2 mg
T2
o
T1
v1 mg
最低点： T1
mg
m
v12 L
最高点：T2
2
教
• 绳球模型
学
• 杆球模型
目
• 模型推广及应用
标
知识回顾：
向心加速度公式： a
r 2
v2 r
向心力公式： F
ma
mr2
m v2 r
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置 ──最高点和最低点。两类模型——轻绳类和轻杆类。
最高点：T1+mg＝m
②
最低点：T2﹣mg＝m
③
从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：
＝2mgL…④
联立②③④解得：T2﹣T1＝6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a，故C错误； D、若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中开始时杆对小球的作用力为支持力；当转过90°后，小球的向心力必定由杆的拉力提供，所以可知，在小球从最高点由静止转过90°的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力。故D错误。故选：AB。
A．2m/s C．4m/s

(完整word版)圆周运动绳杆模型

圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力于小球的重力；③当v＝gr 时，杆对小球的支持力于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？vR 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（） A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。