概率统计练习3

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概率统计练习题3答案

概率统计练习题3答案《概率论与数理统计》练习题3答案考试时间：120分钟题目部分，一、选择题1、设A,B,C 为随机试验中的三个事件，则A?B?C等于()。

A、A?B?C B、A?B?C C、A?B?C D、A?B?C 答案：B 2、同时抛掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为()。

A、B、C、0125.D、答案：D 3、设?是一个连续型变量，其概率密度为?(x)，分布函数为F(x)，则对于任意x 值有()。

A、P(??0)?0 B、F?(x)??(x)C、P(??x)??(x)D、P(??x)?F(x) 答案：A 4、设?,?相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则()。

A、?????服从[0，2]上的均匀分布，B、?????服从[??1，1]上的均匀分布，C、??Max{?,?}服从[0，1]上的均匀分布，D、(?,?)服从区域?答案：D5、随机变量?服从[?3, 3]上的均匀分布，则E(?)?()。

A、3 B、2?0?x?1上的均匀分布0?y?1?9 C、9D、18 2答案：A 试卷答案第 1 页6、D??4, D??1, ????，则D(3??2?)?()。

A、40B、34C、D、答案：C7、设?1,?2,???,?100服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么n??P?0???i?4n??()。

i?1??A、12n?111B、C、D、2n22nn答案：B8、设T~t(n),则T2~()。

A、t(2n) 答案：D9、设某种零件的寿命Y~N(?,?2)，其中?和?均未知。

现随机抽取4只，测得寿命(单位小时)为1502,1453,1367,1650，则用矩法估计可求得2B、?2(n) C、F(n,1)D、F(1, n) ?2=___________。

?=________ __,??答案：1493,14069 10、设对统计假设H0构造了一种显著性检验方法,则下列结论错误的是()。

第三部分概率统计同步练习

第三部分概率统计同步练习一、填空1、A、B是两个随机事件，且P(A)0.4,P(AB)0.7，若A与B互不相容，则P（B）=；若A与B相互独立，则P（B）=2、事件A与B满P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8，则P(AB)=3、设在一次试验中事件A发生的概率为p，重复进行n次试验，则事件A至少发生一次的概率为；事件A至多发生一次的概率为4、事件A与B互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(AB)=5、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白80球的概率是，则袋中白球的个数是816、A、B为两个随机事件，AB(AB)A=7、若事件A与B有关系AB，则P(A-B)=；P(B-A)=8、10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为9、一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品1(i1,2,3)，则3个零件中恰有2个合格的概率为的概率为pi1i111110、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,,，则5436密码能被译出的概率是二、单项选择1、A、B为随机事件，且P(AB)=0，则（）。

A、ABB、AB未必是不可能事件C、A与B对立D、P(A)=0或P(B)=02、设A、B、C是三个相互独立的事件，且0A、AB与CB、AB与CC、AC与CD、AB与C3、同时掷3枚均匀的硬币，则恰有2枚正面向上的概率为（）。

A、0.5B、0.25C、0.125D、0.3754、10张奖券中含有3张中奖的奖券，现有3人每人购买一张，则恰有一人中奖的概率为（）。

2173A、B、C、0.3D、C100.720.340405、对于任意二事件A和B，有P(A-B)=（）。

A、P(A)-P(B)B、P(A)-P(B)+P(AB)C、P(A)-P(AB)D、P(A)+P(B)-P(AB)6、设A、B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论肯定正确的是（）。

19秋《概率论与数理统计》作业3答卷

A.0.8664
B.0.7996
C.0.5547
D.0.3114
答案:A
4.在区间（2,8）上服从均匀分布的随机变量的数学期望为（）
A.8
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7
C.6
D.5
答案:D
5.设随机变量X与Y相互独立，方差分别为6和3，则D(2X-Y)=( )
A.9
B.27
C.21
D.13
答案:B
6.从1, 2,…,10 共10个数中任取7个数，取后放回，每次取一个，则数字10恰好出现2次的概率（）
A.0.4560
B.0.2340
C.0.1240
D.0.0870
答案:C
7.已知随机变量Z服从区间[0,2π] 上的均匀分布，且X＝sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数，则X与Y的相关系数为（）
X －5 2 3 4
P 0.4 0.3 0.1 0.2
则它的方差为（）。
A.25.64
B.14.36
C.15.21
D.46.15
答案:C
3.测量轴的直径之长度不会引起系统误差，而直径长度的偶然误差这一随机变量X服从均方差σ=10毫米的正态分布。则测量轴的直径的长度发生的偏差绝对值不超过15毫米的概率为（）
19秋《概率论与数理统计》作业3
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 100 分)
1.一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为
A.7/45

2020概率统计模拟题3

2019-2020(2)《概率论与数理统计》模拟题3一.填空题1．将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为2.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,若A,B 互不相容，则P(A-B)=3.设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次实验中出现的概率是4.设随机变量X ，Y 独立同分布，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则=≥}1),(min {Y X P ________5.设D(X)=25,D(Y)=36,,4.0=XY ρ则D(X-Y)=.6.设D(X)=0.004,则由切比雪夫不等式得≥<-}2.0)({X E X P .7.设123,,X X X 为来自泊松分布总体()X πλ (其中λ未知)的一个样本，11231()3X X X λ=++， 212311()42X X X λ=++， 312312()63X X X λ=++均为参数λ的估计量，其中最有效的估计量是.8.设654321,,,,,X X X X X X 是来自总体)1,0(N 的样本，则262524321X X X X X X +++-服从____________分布（注明自由度）二、设A,B 是两个事件，已知21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ,求(1)A,B 至少发生一个的概率(2)A,B 全不发生的概率。

三.某人去外地开会，他乘坐火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4。

如果他乘火车、轮船、汽车去的话，迟到的概率分别为1/4,1/3,1/12，而乘飞机不会迟到。

结果他迟到了，试问他是乘火车去的概率是多少？四.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(分钟)服从指数分布，期望为5。

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。

他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。

《概率论与数理统计》习题三答案解析

《概率论与数理统计》习题及答案习题二1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以丫表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以丫表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.3.设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为F（x, y）Jsinxsiny,。

沁兰才gy 写L0, 其他.求二维随机变量（X, Y）在长方形域｛o<x< -,n y<内的概率.I 4 6 3., n n n【解】如图P{0 cx < - —c Y<—}公式（3.2）4 6 3F（n，n）-F（n n-F（o, n+F（o, n4 3 4 6 3 6n n n — n厂n厂n=sin — 0n — —sin — sin — -sin0sin — + sin 比sin — 4 3 4" 6 3 6出(屁1). 4[k(6 - X - y),0 c X c 2, 2 c y c 4, (x ，y )=( 0,其他.确定常数求 P{X <1 , Y v 3}; 求 P{X<1.5}; 求 P{X+Y W 4}. 【解】(1)由性质有说明：也可先求出密度函数, 4.设随机变量求：(1)(2) (3) 【解】(1)(X , 丫)的分布密度f (X , y )=0,,XA0,yA0,其他.常数A ;随机变量(X , 丫)的分布函数； P{0 <X<1 , 0<丫<2}.-be -be -be -be由 L LcfXyMxdy^ .0 Ae严d y)dxdy=4=112 得(2) A=12由定义，有y XF (x, y) = LcL f (u,v)dudv」「［任4和dudv 10,"(1-e 」X )(1-e"4y )y A 0,XA 0,0,其他⑶ P{0 <X <1,0 < 丫 <2}= P{0 cX <1,0cY <2}1「0[12e 5.设随机变量(仲枷)dxdy =(1-e 冷(1-e*“ 0.9499.Y ) 的概率密度为(1)(2) (3) (4) k ;-be -be2 4f f f(x,y)dxdy = r r k(6-x-y)dydx=8k=1,・0・21 R = -81 3-UU f (x ,y)d y d x1 313=0 L8k (6_x-y )dydx=8⑶ P{X v 1.5} = JJ f (x, y)dxdy 如图 a JJ f (x, y)dxdyx £5D 11.541 27=f dx f -(6 — x- y)dy =——. 0 28、 ” y 32⑷ P{X + Y <4} = ff f (x,y)dxdy 如图b JJ f (x, y)dxdyX -Y <D224_x12 =[dx f -(6 - X - y)dy =-. 0」2 8 3y,1.5 2 fa)求：（1） X 与丫的联合分布密度；（2） P{Y^X}.题6图【解】（1）因X 在（0, 0.2 ）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为I 1I ——,0ex <0.2, fx (X )= \ 0.2 0,其他.(2) P{X <1,Yc3} 6.设X 和丫是两个相互独立的随机变量,0.2）上服从均匀分布，丫的密度函数为 yf Y ( y )=y>o,其他.题5图X 在（0，y=yf(x,y X Y 独立f x xCf Y y()(2) P(Y <X) = ff f (x,y)dxdy 如图仃25e'y dxdyy < D0.2 x50.2 5=f 0 dx 0 25e ydy = J o (-5e +5)dx-1=e 止 0.3679.7.设二维随机变量(X ，Y )的联合分布函数为「(1—e"x )(1 —e 'y ), XA 0, y 》。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率统计练习3--高考真题解答题--比赛问题学生版

概率统计练习3——比赛问题1.（2022·全国甲（理）T19）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2.（2022·北京卷T18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.5．（2012大纲理）乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.0.6ξξ。

概率统计练习题(第2版)(3)

26. 共有 18 名射手，其中 5 名命中靶的概率为 0.8，7 名命中靶的概率为 0.7，4 名命中靶的概率为 0.6，2 名命中靶的概率为 0.5。任意选一名射手进行一次射击，结果未能中靶，试问该射手属于哪一组最为可能。
27. 设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患高血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%，瘦者患高血压病的概率为 5%，试求：（1）该地区居民患高血压病的概率；（2）若知某人患高血压，可否断定他属于肥胖者？
5. 盒中有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只测试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 10 次测试时发现的概率。
6. 盒中装有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只测试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 5 次测试时发现的概率。
10. 从一付扑克的 13 张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取 3 次，求抽到有同号的概率。
11. 已知 P(B) = b, P( A B) = c ， 0 ≤ b ≤ c ，求 P( AB )
12. 设 A，B，C 是三个事件，且 P( A) = P(B) = P(C) = 1 ， P( AB) = P(BC) = 0 ， 5
（1）求系数
A，B
的值；（2）计算 P−
a 2
<
X
≤
a 2

。
3. 设随机变量 X 的分布函数为
F ( x)
=
a
+
b (1 + x)2

概率论与数理统计习题三及答案

2
当 x 0, y 1 时， F x, y 1 dx0
0 2
2 x 1
4dy 1
（2）X 的边缘密度函数为
f X x f x, y dy

3
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
1 x0 = 2 0, 其他 Y 的边缘密度函数为
=
0
2 x 1
4dy,
1 42 x 1, x 0 2 0, 其他
f Y y f x, y dx

=
y 1 4dx, 0 y 1
2
0
0,
其他
=
21 y , 0 y 1 0,
其他
1 1 1 1 4 1 1 1 1 （3）f , 4 ，而 f X 2, f Y ，易见 f , f X f Y ， 4 3 4 3 3 4 3 4 3
或写成 X\Y 1 2 3 1 0 2 3
1 6 1 12
1 6 1 6 1 6
1 12 1 6
0
P X Y P X 1, Y 1 P X 2, Y 2 P X 3, Y 3
1
1 。 6
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
当
1 x 2 x 1 x 0, y 2 x 1 时， F x, y 1 dx0 4dy 4 x 2 4 x 1 ； 2 2
y 0
当 x 0,0 y 1 时， F x, y 0 dy y 1 4dx 2 y y 2 ；

概率论与数理统计03-第三章作业及答案

习题3-1而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰44201d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=. 图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z zzz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩ (3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰. 其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .p .j 成立. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立？解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它， 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x μσ--=,),(+∞-∞∈x ;⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a μσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=.因此得到下表3.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )xyu v x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩ 显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此X与Y不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P 3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P , 31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d zz yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1. 故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0;当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Z z f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+.当x >1, 0<y ≤2时,10(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3y u uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62Xx y x yy xy xϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d dx yP X Y x y x yϕ+>+>=⎰⎰12201165d()d.372xx x xy y-=+=⎰⎰同理, 参见图3-11.{}(,)d dy xP Y X x y x yϕ>>=⎰⎰122117d()d.324xx x xy y=+=⎰⎰1111{,}(,)112222{|}1122{}()22XP X Y FP Y XP X F<<<<==<211(,)22121()534.32()d|Xyx y xx xϕ+==⎰如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

概率与数理统计习题选3

第三章随机变量与分布函数r宜线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率"或l-p向右或向左務动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是柑互独立的.试用随机变量来描述这质点的运动(以»表示时间n时质点的位置)。

2、设§为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长，试求§的概率分布。

C3*3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：(1) /伙)=—我=12…,N；(2)/伙)= R=12・・・・N k'・2>0。

4、证明函数/(X)= -『”(-S<X<oO)是一个密度函数。

25、若§的分布函数为N (10, 4),求§落在下列范用的概率：(1〉(6. 9)； (2) (7, 12)； (3) (13. 15〉。

6、若§ 的分布函数为N (5, 4),求a 使：(1) P{^<«} = 0.90： (2) P{I §-5 卜a} = 0.01 °7、设F(x) = P{^ < x] > 试证F(x)具有下列性质：(1)非降；(2)右连续：(3) F(-oo) = 0, F(+s) = l。

8、试证：若P{|<xJ>l-/7, P{§>xj>l-a,则Pg <§<£}>1-9 + 0)。

9、设随机变量§取值于［0, 1］,若P｛x<^<y｝只与长度y-X有关(对一切0<x<y<l),试证§服从［0. 1)均匀分布。

10.若存在©上的实值函数2(&)及D(&)以及T(x)及S(x),使fe W = exp{e(^)r(x) + D(0) + S(x)].则称& €0｝是一个单参数的指数族0证明(1)正态分布N 已知加0,关于参数CT;(2〉正态分布/V("门bo、，已知关于参数”八(3)普阿松分布p(5关于几都是一个单参数的指数族。

概率论与数理统计习题三(1)

习题三3.1 函数21(),1f x x x =-∞<<+∞+，可否是连续型随机变量X 的分布函数？解：21()|1101f x dx dx arctgx x+∞+∞+∞-∞-∞-∞===-≠+⎰⎰ ()f x 不是连续型随机变量X 的分布函数。

3.2 设随机变量X 的概率密度为||1()0,||1x f x x <=≥⎩求（1）系数A;(2)随机变量X 落在区间11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内的概率；（3）随机变量X 的分布函数。

解：（1）1=111()arcsin |f x dx A A x A π+∞--∞-===⎰⎰1A π∴=所以||1();0,|| 1.x f x x <=≥⎩（2）11212111()arcsin |22P x x π--<<==⎰=111()6633πππππ+=⨯=.（3）()()()xF x F x f x dt -∞=X ≤=⎰当x<-1时，有()0F x = 当11x -≤≤时，11()arcsin |xxF x t π--==⎰=11arcsin 2x π+ 当x>1时111()arcsin |1x F x t π--===⎰ 0,1;11()arcsin ,11;21,1.x F x x x x π<-⎧⎪⎪∴=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩1111111()()()(arcsin )222222P x F F π-<<=--=+1111(arcsin())223π--+=. 3.3 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0;(),01;1,1,x F x Ax x x ≤⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）系数（A ）；（2）X 的概率密度；（3）X 落在区间（0.1，0.7）内的概率。

解：（1）由分布函数的连续性 F(1)=1， 211lim ()lim x x F x x A →→== 1A ∴=(2)由于()F x 除0x =和1处处可导，且在x =0,1处连续。

2020概率统计模拟题3-答案(1)

7. 设 X1, X 2 , X 3 为来自泊松分布总体 X () (其中未知)的一个样本，
1
1 3
( X1
X
2
X3)
，
2
1 4
( X1
X
2)
1 2
X3
，
3
1 6
( X1
X
2)
2 3
X3
均为参数的估计
量，其中最有效的估计量是 ˆ1 .
8. 设 X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 , X 6 是来自总体 N (0,1) 的样本，则
件 A 在一次实验中出现的概率是 1 3
4. 设随机变量 X，Y 独立同分布，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则 P{min( X ,Y ) 1} 4 9
5. 设 D(X)=25,D(Y)=36, XY 0.4, 则 D(X-Y)= 37 6. 设 D(X)=0.004,则由切比雪夫不等式得 P{ X E( X ) 0.2} 0.9
P( A) 3
3
3 4 12
又因为 P( A | B) P( AB) 1 ，所以 P(B) 2P( AB) 2 1 1
P(B) 2
12 6
（1） P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 1 1 1 4 6 12 3
（2） P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 1 2 33
E(Y ) np 5e2，D(Y ) np(1 p) 5e2 (1 e2 )
五.已知随机变量 X 的概率密度 f X (x) Ae|x| ( x )
试求（1）常数 A ；（2） X 的分布函数；（3）P{0 X 1| X 1}.
解答（1）由概率密度的性质，有 1

概率论与数理统计试卷3

《概率论与数理统计》试卷3一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 某门诊有三个诊室，先后有三个患者来看病，病人可随机选择诊室，则每个诊室恰好接待一个患者的概率为．2. 设随机变量1~(1,)4X b , 随机变量21Y X =+, 则{2}P Y ≤= . 3. 设随机变量221(,)~(2,0,2,3,)2X Y N , 42X YZ =-, 则()D Z = .4. 设X ～)(n t ，其中1n >, 则21X～ .5. 设总体~(1,)X b p ，10110,,,,是来自总体X 的样本观察值，则p 的矩估计值为 .二、选择题 (每小题3分，共15分)1. 假设事件A 和B 满足(|)1P B A =, 则 ( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D) A B ⊂2. 设随机变量X 与Y 独立同分布，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-313211~X ，则必有（）.（A ）Y X = （B ）5}{==Y X P (C) 5}{==Y X P (D) 1}{==Y X P 3. 设(1,2,,)i X i n = 是独立同分布的随机变量, ()1i E X =，()4i D X =且2()i E X 存在，1,2,,i n = , 对任意整数0ε>，则（）成立.(A) 11lim 41n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ (B) 211lim 41n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑(C) 211lim 51n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ (D) 211lim 31n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑4. 在假设检验中，原假设为H 0，检验显著性水平为α，则下列各式正确的是( ).(A) P {接受H 0|H 0正确}=α (B) P {拒绝H 0|H 0正确}=α (C) P {接受H 0|H 0正确}=1－α (D) P {拒绝H 0|H 0正确}=1－α5.设有一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2σμ，均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值),cm (9=x 样本标准差为μ，则)cm (1=s 的置信度为0.95的置信区间为（）.（A ）（)16(419025.0t ±）（B ）（)16(41905.0t ±）（C ）（)15(41905.0t ±）（D ）（)15(419025.0t ±）三、(10分) 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：求它是次品的概率.四、（14分）设⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10),1(),(~),(xy x x ky y x f Y X , （1）求常数k ；（2）求),(Y X 关于X 及Y 的边缘密度)(x f X 和)(y f Y ; （3）计算概率}1{≤+Y X P .五、（10分）设总体X 在区间),0(θ上服从均匀分布，1X ，2X ，3X ，4X 为其样本. 试求（1）14i i X ≤≤max ()的概率密度函数; (2) 1412(max ())ii E X θ≤≤-. 六、（12分）某箱装有100个产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件. 现在从中随机抽取一件, 记1,0,i X ⎧=⎨⎩抽到i 等品其它，1,2,3)i =（.试求: (1)1X 与2X 的联合分布律; (2)1X 与2X 的相关系数ρ.七、（12分）某家庭的日开支X （元）的任意三次抽样为40，20，30，设22(10)(10)e 10~()010a x a x x X f x x --⎧⎪-≥=⎨<⎪⎩，，，求参数a 的极大似然估计值（保留三位小数）.八、（12分）机器包装袋盐，假设袋盐重量服从正态分布，规定袋重标准差不能超过12g ，某天开工后要检查机器工作是否正常，从装好的袋盐中随机抽查9袋，测得样本标准差为16.03g ，问按显著性水平0.05α=, 能否认为包装机工作是正常的?参考答案：一、填空题 1. 92 2. 43 3. 47 4. )1,(n F 5. 53 二、选择题1. D2. C3. C4. B5. D三、解：记A 表示“取到的是一只次品”，i B （3,2,1=i ）表示“取到的产品是由第i 家工厂提供的”则 1()0.10P B =，2()0.75P B =,3()0.15P B =,1(|)0.02P A B =, 2(|)0.01P A B =，3(|)0.03P A B =,由全概率公式得31()()(|)0.014iii P A P B P A B ===∑.四、解：(1) 由100(,)d d (1)d d 124xkf x y x y ky x x y +∞+∞-∞-∞=-==⎰⎰⎰⎰，得 24k =. (2)2024(1)d ,0112(1),01()(,)d =0,0,xX y x y x x x x f x f x y y +∞-∞⎧⎧-≤≤-≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它1224(1)d ,0112(21),01()(,)d =0,0,y Y y x x y y y y y f y f x y x +∞-∞⎧-≤≤⎧-+≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它（3）111222011124112242y yx y P X Y f x y x y y x x y y y y -+≤+≤==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰{}(,)d d ()d d d .五、解：（1）令14max ()i i Y X ≤≤=，由X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=θθθx x x x x F ，，，1000)(得， Y 的分布函数为4()[()]Y F y F y =，所以Y 的概率密度为34400Y y y f y θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它()（2） 44445y EY y θθθ==⎰（）d ， 1411432255(max ())i i E X θθθθ≤≤-=⨯-=- . 六、解: (1) 160{1}0.6100P X ===,230{1}0.3100P X ===,310{1}0.1100P X ===,123{0,0}{1}0.1P X X P X =====.(2) 1()0.6E X =, 2()0.3E X =, 21()0.6E X =, 22()0.3E X =,21()0.60.60.24D X =-=, 22()0.30.30.21D X =-=, 12()0E X X = , 1214））X X ρ===-七、解：构造似然函数：211021110ni i annx n i i i i L a f x a x =--==∑==⋅-⋅∏∏()()()()e ，1012,,,,i x i n ≥= ，其对数似然函数为：∑∑∏===---+==ni i ni i i ni x a x a n x f a L 1211)10(2)10ln(ln )(ln )(ln 1012,,,,i x i n ≥=令21d 1ln ()(10)0d 2ni i n L a x a a ==--=∑，得∑=-=ni i x na 12)10(2ˆ，代入相关数据得0004.ˆa ≈．八、解: 检验假设①0H :2212σ≤ 1H : 2212σ>, ②取检验统计量222(1)n S χσ-=2(1)n χ-,③拒绝域形式为22(1)n αχχ≥-, ④20.05(8)15.507χ=,22220.05220(1)816.0314.27615.507(8)12n S χχσ-⨯==≈<=⑤2χ值不在拒绝域内, 接受0H :2212σ≤, 综上讨论,认为包装机工作正常.。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题3

第三章多维随机变量及其分布1.设二维随机变量(ξ，η)只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。

且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。

2.再从袋中任取一球。

设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。

以ξ，η分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(ξ，η)的联合分布律。

解：(ξ，η)的可能性取值为数对(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率： P {(ξ，η)=(1，2)}=(1/3)⨯1=1/3；P {(ξ，η)=(2，1)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； P {(ξ，η)=(2，2)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； 3.一整数n ξ=ξ(n )是能整除n 的正整数的个数，η=η (n )是能整除n 的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出ξ和η联合分布律。

解：依题意有：n ：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ξ(n )：1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 η(n )：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2因此ξ=1，2，3，44.设随机变量(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-===⎰⎰---∞+∞-.,0,1,121),()(21122其它x x dy dy y x f x f x x ππξ(1)确定常数k ； (2)求}3,1{<<ηξP ； (3)求}5.1{<ξP ； (4)求}4{≤+ηξP 。

解：(1) 由概率密度的性质知：⎰⎰=--20421)6(dy y x k dx ,即 8k =1 ∴ k =1/8;(2) }3,1{<<ηξP 8/38/)6(1032=--=⎰⎰dy y x dx ; (3) }5.1{<ξP 32/278/)6(5.1042=--=⎰⎰dy y x dx ;(4)dxdy y x f P G ⎰⎰=≤+),(}4{ηξ32)6(814220=--=⎰⎰-dy y x dx x。

概率统计练习题(第3版)

（1）每次取出的产品都不放回；
（2）每次取出的产品都立即放回，然后再取下一件产品；
（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回该产品中。
6. 设 5 个晶体管中有 2 个次品 3 个正品，如果每次从中任取 1 个进行测试，
测试后的产品不放回，直到把 2 个次品都找到为止。求需要进行测试的次数 X
的分布律，并求概率(2 < < 5)。
下列事件的概率：
（1）没有一双配对；
（2）恰有一双配对；
（3）恰有两双配对；
（4）恰有 r 双配对。
6. 掷均匀硬币 2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率。
7. 从 0，1，2，…，9 等十个数字中任意选和 5；
（2）三个数字中不含 0 或 5。
总数超过壹角的概率。
13. 设有某产品 40 件，其中有 10 件次品，其余为正品。现从中任取 5 件，
求取出的 5 件产品中至少有 4 件次品的概率。
14. 某专业研究生复试时，有 3 张考签，3 个考生应试，一个人抽一张看后
立刻放回，再让另一个人抽，如此 3 个人各抽一次，求抽签结束后，至少有一张
38. 一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸，但需要到达目的地，非有
无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立地进
行轰炸且炸毁目标的概率为 0.3，在到达目的地之前必须经过高射炮阵地上空，
此时任一飞机被击落的概率为 0.2，求目标被炸毁的概率。
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第2章
1. 投掷两颗骰子，所得点数之和记为 X，求 X 的分布律。
这批元件经检验能出厂的概率。
34. 商店销售 10 台电冰箱，其中 7 台一级品，3 台二级品，已售出 1 台，在

概率论与数理统计习题三参考答案

概率论与数理统计习题三参考答案1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，求。

（设诸产品是否为次品是相互独立的。

） )(X E 解：解法一用Y 表示10件中次品的个数，则)1.0,10(~B Y 而X 表示一天中调整设备的次数，，),4(~p B X {}2≥=Y p p {}{}{}1012=−=−=≥Y P Y P Y p Q()()9110100101.011.01.011−⋅−−−=C C 264.0= 056.14)(==∴p X E解法二设为发现次品数i X 4,3,2,1 111,0=⎩⎨⎧=i X i ，，次品数大于发现次品数小于等于则4321X X X X X +++=)()()()()(4321X E X E X E X E X E +++={}{}{}100次品数等于次品数等于P P X P i +==∴()()9110100101.011.01.01−⋅+−=C C 743.0= {}{}264.0011==−==∴i i X P X P 056.1264.04)(=×=∴X E2．将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1，2，3，4 的盒子中，以X 表示至少有一只球的盒子的最小号码，是求。

)(X E 解：解法一 X 可取1、2、3、4{}6437433133323213=++==∴C C C X P {}6419422233323213=++==C C C X P{}6474133332313=++⋅==C C C X P {}6414143===X P 162564146473649264371)(=×+×+×+×=∴X E 解法二 1625162316521691)(=×+×+×=∴X E 3．若随机变量X 的分布律为()=⎭⎫⎩⎨⎧−=+i x P ii 21121i ，i =1,2 ,……., 是否存在。

《概率论与数理统计》韩旭里谢永钦版习题三及答案

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,434636F F F F −−+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin4346361).4=−−+=i i i i题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+−.,0,0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+−∞−∞===∫∫∫∫得 A =12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v −∞−∞=∫∫(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x −+−−⎧⎧−−>>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩∫∫其他（3） {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y −+−−=<≤<≤==−−≈∫∫5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<−−.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}.【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞−∞−∞=−−==∫∫∫∫故 18R = （2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x −∞−∞<<=∫∫130213(6)d d 88k x y y x =−−=∫∫ （3） 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=∫∫∫∫如图1.542127d (6)d .832x x y y =−−=∫∫（4） 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=∫∫∫∫如图b240212d (6)d .83xx x y y −=−−=∫∫题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>−.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y −⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y i 独立5515e 25e ,00.20,0.20,0,y y x y −−⎧⎧×<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. （2） 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y −≤≤=∫∫∫∫如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x−==−+≈∫∫∫7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>−−−−.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y −+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x −≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧−−≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧−⎧−+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<−.,0,0,其他e y x y 求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞−−⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y −−⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞−∞−∞∫∫∫∫如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==∫∫得　214c =. （2） ()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧−−≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫5227d ,01,20,0, .x y x y y ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y 求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y（x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫1d 2,01,0,.xxy x x −⎧=<<⎪=⎨⎪⎩∫其他 111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y −+∞−∞⎧=+−<<⎪⎪⎪===−≤<⎨⎪⎪⎪⎩∫∫∫其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪−⎪⎪==−<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表（2）因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===×=≠===i 故X 与Y 不独立　（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？（2）因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===×i 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.　14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>−.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y −⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y −⎧<<>⎪=⎨⎪⎩i 独立其他题14图（2）方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y Δ=−≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=∫∫21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y−==Φ−Φ=∫∫15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ （1）当z ≤0时，()0Z F z =（2）当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）（如图a ） 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==∫∫∫∫ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∫题15图（3）当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ） 3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x y x y +∞≥==∫∫∫∫336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠∫即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧−≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i （i =1,2,3,4），则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥i 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥i 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =−<−<−<−<i i i44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡−⎤⎛⎞=−<=−Φ⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=−Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=−ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====−==∪∪ ∪ 于是0{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====−∑相互独立{}{}ik P X k P Y i k ===−∑i()()ik p k q i k ==−∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====−∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =−−−+=−=−===−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑∑i方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则 X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p ）的二项分布.（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i −=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =max （X ,Y ） 0 1 2 3 4 5 P 00.04 0.16 0.28 0.24 0.28（3） {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑ 0,1,2,3,i =于是U =min （X ,Y ） 0 1 2 3 P0.28 0.30 0.25 0.17（4）类似上述过程，有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=∫∫∫∫π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r r R θθ=∫∫∫∫3/83;1/24==（2） {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=−≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=−≤≤=−=−=∫∫21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===∫（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d 1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩∫其他所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和x 2 1/8P {Y =y j }=p j 1/6 1【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===−= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====i ,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =×==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==−−=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====−===−=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】（1） {|}C (1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n p p m n n −===−≤≤= .（2） {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======ie C (1),,0,1,2,.!mm n mnnp p n m n n n λλ−−=−≤≤=i 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f （y ），求随机变量U =X +Y 的概率密度g （u ）.【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤−=+≤−=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤−+≤−0.3(1)0.7(2).F u F u =−+−由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u ′′′==−+−0.3(1)0.7(2).f u f u =−+−25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E （X ）= −0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P {X =Z }.解（1）由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =−，可得0.1a c −+=−.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.（2） Z 的可能取值为−2，−1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =−==−=−=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =−==−=+==−=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==−=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z −2 −1 0 1 2 P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1（3） {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.。

概率论与数理统计自测题3

概率论与数理统计⾃测题3习题三多维随机变量及其分布⼀、填空题1.设随机变量（X,Y ）的联合分布函数为2()(arctan ),0,(,)0,xA eBC y x y F x y +?>?∞<<+∞?=?其它,则A= ,B= ,C= .2.已知随机变量(X,Y)的联合分布律为则，a+b= ;当a = ,b= 时，随机变量X 与Y 相互独⽴。

3.设（X,Y ）的联合分布律为则（X,Y ）关于X 的边缘分布为，关于Y 的边缘分布为 .4*.设⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,02,02(,)0Ax By x y f x y +<<<，其它，已知X 服从均匀分布，则A= ,B= .1,0,0(,)0x y x y e e e x y F x y +>>=?，其它 5. 设⼆维随机变量(X,Y)的联合分布函数为则(X,Y)关于X 的边缘分布函数为，关于Y 的边缘分布函数为，随机变量X 与Y 是相互。

23,1,0(,)0yA e x y f x y x ??>>?=，其它6*.设⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数为，则A = ,边缘密度f X (x )= , f Y (y )= , 随机变量X 与Y 是相互。

7．设相互独⽴的两随机变量X,Y 具有同⼀分布律，且X 的分布律为P(X=0)=P(X=1)=0.5,则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为。

⼆、选择题1．设随机变量X 与Y 相互独⽴，其概率分布为 X -1 1 Y -1 1 P{X=m}0.5 0.5P{Y=m}0.5 0.5则下列式⼦正确的是【】（A ）X=Y; (B) P{X=Y}=0; (C) P{X=Y}=0.5; (D)P{X=Y}=1 2.设随机变量12101(1,2),{0}111424iX i P X X1===～且满⾜则P{X 1=X 2}等于【】（A）0; (B)14; (C) 12; (D) 1 3．设X 1和X 2是任意两个相互独⽴的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则【】 (A) f 1(x )+f 2(x )必为某⼀随机变量的概率密度； (B) F 1(x )F 2(x ) 必为某⼀随机变量的分布函数； (C) F 1(x )+F 2(x ) 必为某⼀随机变量的分布函数； (D) f 1(x )f 2(x )必为某⼀随机变量的概率密度函数；4.已知⼆维随机变量(ξ , η)的联合分布函数 F(x,y )=P{ξ≤x,η≤y }则事件{ ξ>1,η>0}的概率是【】。

应用概率统计综合作业三

应用概率统计综合作业三一、填空题每小题2分,共20分1．在天平上重复称量一重为a 的物品,测量结果为1X ,2X ,…,n X ,各次结果相互独立且服从正态分布)2.0,(2a N ,各次称量结果的算术平均值记为n X ,为使95.0)1.0(≥<-a X P n ,则n 的值最小应取自然数 16 .2．设1X ,2X ,…,n X 是来自正态总体)4,(2μN 的容量为10的简单随机样本,2S 为样本方差,已知1.0)(2=>a s P ,则a = 1 .3．设随机变量Y 服从自由度为n 的t 分布,则随机变量2Y 服从自由度为 1,n 的 F 分布.4．设总体X 服从正态分布),12(2σN ,抽取容量为25的简单随机样本,测得样本方差为57.52=S ,则样本均值X 小于12.5的概率为 4/25 .5．从正态分布),(2σμN 中随机抽取容量为16的随机样本,且σμ,未知,则概率=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤041.222σS P 1 .6．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=，其他，0，10 ， )1()，(x x x f a αα其中1->α,1X ,2X ,…,n X 是取自总体X 的随机样本,则参数α的极大似然估计值为.7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ,其中μ未知而2σ已知,为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度等于L ,则需抽取的样本容量n 最少为 u=x-u0×sqrtn/σ .8．设某种零件的直径mm 服从正态分布)，(2σμN ,从这批零件中随机地抽取16个零件,测得样本均值为075.12=X ,样本方差00244.02=S ,则均值μ的置信度为0.95的置信区间为：1025.75-21.315,1025.75+21.315=1004.435,1047.065． .9．在假设检验中,若2σ未知,原假设00： μμ=H ,备择假设01： μμ>H 时,检验的拒绝域为 .10．一大企业雇用的员工人数非常多,为了探讨员工的工龄X 年对员工的月薪Y 百元的影响,随机抽访了25名员工,并由记录结果得：∑==251100i iX,∑==2512000i i Y ,∑==2512510i iX ,∑==2519650i i i Y X ,则Y 对X 的线性回归方程为 y= 11.47＋2.62x .二、选择题每小题2分,共20分1．设1X ,2X ,…,n X 是来自正态总体),0(~2σN X 的一个简单随机样本,X 为其样本均值,令212)(σ∑=-=ni iX XY ,则Y ～ DA )1(2-n χB )(2n χ C ),(σμN D ),(2nN σμ2．设1X ,2X ,…,n X 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本,X 为样本均值,记∑=--=n i i X X n S 1221)(11,∑=-=n i i X X n S 1222)(1, ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ,∑=-=n i i X n S 1224)(1μ, 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 BA 1/1--=n S X T μ B 1/2--=n S X T μ C nS X T /3μ-=D nS X T /4μ-=3．设1X ,2X ,3X ,4X 是来自正态总体)2,(~2μN X 的简单随机样本,若令2432212)43()2(X X X X a Y -+-=,则当2Y 服从2χ分布时,必有 DA 91=a ；1441=b B 1441=a ；91=b C 1001=a ；201=b D 201=a ；1001=b4．设简单随机样本1X ,2X ,…,n X 来自于正态总体),(~2σμN X ,则样本的二阶原点矩∑==n i i X n A 1221的数学期望为 DA 241σB 221σ C 2σ D 22σ 5．设随机变量X 服从自由度为n ,n 的F 分布,已知α满足条件05.0)(=>αX P ,则)1(α>X P 的值为CA0.025 B0.05 C0.95 D0.9756．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ,1X ,2X ,…,n X 是从X 中抽取的简单随机样本,其中μ,2σ未知,则μ的)%1(100α-的置信区间AA n S z X 2α-,n S z X 2α+ B n S n t X )1(2--α,n S n t X )1(2-+α C nz X σα2-,nz X σα2+ D n S n t X )(2α-,n Sn t X )(2α+ 7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ,其中μ未知,2σ未知,1X ,2X ,…,n X 是简单随机样本,记∑==ni i X n X 11,则当μ的置信区间为nz X σ05.0-,n z X σ05.0+时,其置信水平为 CA0.90 B0.95 C0.975 D0.05 8．从总体中抽取简单随机样本1X ,2X ,3X ,易证估计量3211613121ˆX X X ++=μ,3212414121ˆX X X ++=μ3213613131ˆX X X ++=μ,3214525251ˆX X X ++=μ 均是总体均值μ的无偏估计量,则其中最有效的估计量是 BA 1ˆμB 2ˆμC 3ˆμD 4ˆμ 9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径,测得平均直径为5.2cm,标准差为1.6cm,现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm,采用t 检验法,并取统计量为10/6.12.5-=X t ,则在显著性水平α下,其接受域为 DA )99(2αt t < B )100(2αt t < C )99(2αt t ≥ D )100(2αt t ≥10．在假设检验中,方差2σ已知,00： μμ=H BA 若备择假设01： μμ≠H ,则其拒绝域为)2(/10αμ-≥-=n t n S X TB 若备择假设01： μμ≠H ,则其拒绝域为2/ασμu n X U ≥-=C 若备择假设01： μμ>H ,则其拒绝域为ασμu nX U ≥-=/0D 若备择假设01： μμ>H ,则其拒绝域为ασμu nX U -≤-=/0三、10分现有一批种子,其中良种数占61,从中任选6000粒,问能从0.99的概率保证其中良种所占的比例与61相差多少这时相应的良种数在哪一个范围解答：这个问题属于“二项分布”,且n=6000, p=1/6;故μ=EX=np=6000x1/6=1000, DX=σ²＝np1-p=6000x1/6x1-1/6=833.33;切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ²/ε²;我们取 ε=6000 x 1/100=60粒;所以,P{|X-μ|<ε}≥1－833.33/60² = 1-833.33/3600 = 0.7685;换句话说,“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于0.7685;这个概率0.7685不算很低,也就是说,良种比例与1/6相比很可能不超过1／100;四、10分设总体X 服从正态分布),(2σμN ,假如要以99%的概率保证偏差1.0<-μX ,试问：在2.02=σ时,样本容量n 应取多大五、10分设总体X 服从0-1分布：x x q p x X P -==1)(,1.0=x ；其中10<<p ,p q -=1,从总体X 中抽取样本1X ,2X ,…,n X ,求样本均值X 的期望和方差、样本方差2S 的期望.解答：EΣXi=ΣEXi=nEX=np EΣXi/n=ΣEXi/n=EX=p DΣXi/n=ΣDXi/n 2=DX/n=p1-p/n六、10分某商店为了解居民对某种商品的需求,调查了100家住户,得出每户每月平均需要量为10kg,方差为9.设居民对某种商品的需求量服从正态分布,如果此种商品供应该地区10 000户居民,在01.0=α下,试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要七、10分某种零件的长度服从正态分布,它过去的均值为20.0现换了新材料,为此从产品中随机抽取8个样品,测量长度为：20.0 20. 0 20.1 20.0 20.2 20.3 19.8 20.2 问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化05.0=α解答：1因为样本数据在20.0上下波动,所以x 甲˙¯¯¯¯¯¯=0.210+20.0=20.02,x 乙˙¯¯¯¯¯¯=0.210+20.0=20.02, S 2甲=1100.34−10×0.2102=0.0336mm 2 S 2乙=1100.52−10×0.2102=0.0516mm 2八、10分设总体X 服从正态分布)，(2σμN ,1X ,2X ,…,n X 是从X 中抽取的简单随机样本,其中μ,2σ未知,选择常数c ,使统计量∑-=+-=1121)(n i ii X XcT 是2σ的无偏估计量.。