概率统计练习题3答案

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概率统计A 期末样卷(3)答案

当前位置：概率论与数理统计样卷库→概率论与数理统计试卷参考答案概率论与数理统计(I)期末考试样卷3参考答案概率论与数理统计（I）期末考试样卷3参考答案一、填空题(每小题3分，共24分)1．在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，…，9）= 。

2. 已知，则= 0.6 。

3.设 X～，对X的三次独立重复观察中，事件{X≤0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y =2}= 9/64 。

.4.设X的分布函数，则X的概率分布列为。

5.设服从参数为的指数分布，且，则_______。

6.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ,则=____。

7.设，X与Y独立，则=_____8_____8.掷一颗均匀的硬币100次，记，，则概率的近似分布为。

二、单项选择题(每小题2分，共8分)1．设两事件Ａ与Ｂ同时发生时，事件C必发生，则（ B ）成立。

A. P(C) ≤P(A)+P(B)-1B. P(C) ≥P(A)+P(B)-1C. P(C)=P(AB)D. P(C)=P()2．下列命题中，正确的是（C ）.（A）若，则是不可能事件；（B）若，则互不相容；（C）若，则；（D）3．设X～N(,),则随着的增大，P(|X-|＜）（ C ）。

A.单调增大B.单调减少C.保持不便D.增减不定.4．设二维离散型随机变量的分布律为则（ A ）（A）不独立；（B）独立；（C）不相关；（D）独立且相关。

三、计算题（共48分）1（6分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率？解法1 设=“第次接通电话”（），A=“拨号不超过3次接通所需电话”，则，故所求概率解法2 “拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号3次都未接通”，于是2（8分）．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。

概率论与数理统计自考题-3_真题(含答案与解析)-交互

概率论与数理统计自考题-3(总分92, 做题时间90分钟)第一部分选择题一、单项选择题1.A、B为随机事件，则表示______• A.必然事件• B.不可能事件•**与B恰有一个发生**与B不同时发生SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:C[解析] A、B为随机事件，A∪B表示A发生或B发生，表示A，B不能同时发生．故表示A与B恰有一个发生．2.若A，B为两事件，，P(A)＞0，P(B)＞0，则______•**(A∪B)=P(A)+P(B)•**(AB)=P(A)·P(B)•**(B|A)=1**(A-B)=P(A)-P(B)SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:C[解析] P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)(选项A不对)；(选项B不对)；(选项D不对)；．3.某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖概率．现某人购买了20件该商品，用随机变量X表示中奖次数，则X的分布属于______• A.正态分布• B.指数分布• C.泊松分布• D.二项分布SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 根据二项分布定义知D正确．4.设随机变量ξ～N(2，σ2)，且P{2＜ξ＜4}=0.3，则P{ξ＜0}=______ •**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 本题考查概率的求解方法．所以而=1-(0.3+0.5)=0.2．5.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则P{X＞1}=______ A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析]6.设随机变量X服从参数为的指数分布，则E(X)=______A． B．C．2 D．4SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:C[解析] 结合指数分布的一般形式，得．设随机变量X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则E(X2)=______ • A.σ2-μ2• B.σ2+μ2• C.σ-μ• D.σ+μSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] E(X)=μ，D(X)=σ2，又∵D(X)=E(X2)-E2(X)，E(X2)=D(X)+E2(X)=σ2+μ2．8.设随机变量X的方差D(X)=2，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 即．9.设总体X服从参数的0-1分布，即X1，X2，…，Xn为X的样本，记为样本均值，则=______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:C[解析] ．设总体X的分布中带有未知参数θ，X1，X2，…，Xn为样本，(X1，X 2，…，Xn)和(X1，X2，…，Xn)是参数θ的两个无偏估计．对任意的样本容量n，若为比有效的估计量，则必有______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 估计量更有效．第二部分非选择题二、填空题1.某射手命中率为．他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为______．SSS_FILL分值: 2答案:[解析] 设Ai ={命中i次}，i=0，1，2，3，4，所求概率P=1-P(A)．2.有n个人，每人都等可能地被分配在N个房间中的任一间(N≥n)，则“恰在指定的n间房中各有一人”的概率为______．SSS_FILL分值: 2答案:[解析] 每个人进入N个房间的选择为N，n个人的选择可能事件总数为N×N×…×N=N n，由题知，假定第1个人进入指定房间，第2个人则只有n-1次机会进入下一个房间，依次类推。

概率论与数理统计试题试卷及答案3

概率论与数理统计一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【】内。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

）1. 设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧>=-其它,00,2)(2x e x p x ，则X Y 2=的分布密度为 .【】(a) ⎩⎨⎧>-其它,00,y e y ； (b)⎩⎨⎧>-其它,00,22y e y ； (c) ⎩⎨⎧>-其它,00,44y e y ； (d) ⎩⎨⎧>-其它,00,4y e y ． 2. 设随机变量序列x 1, x 2,…, x n …相互独立,并且都服从参数为1的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=ni i x n 11的概率分布近似服从 . 【】(a) N(1,n) (b) N(1,1/n) (c) N(n,1/n) (d) N( n, n)3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ未知，2σ已知，321X ,X ,X 是总体X 的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是．【】（a ）321X X X ++；（b ）)X ,X ,X min(321；（c ）∑=σ31i 22i X ；（d ）μ+2X ．4．在假设检验问题中，检验水平α意义是．【】（a ）原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率；（b ）原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率；（c ）原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率；（d ）原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率．5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【】（a ）SSR 越大，SSE 越小；（b ）SSE 越小，回归效果越好；（c ）r 越大，回归效果越好；（d ）r 越小，SSR 越大．二、填空题（将答案写在该题横线上。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

）1. 设A,B 为两个事件, P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B/A)=0.8, 则P(A ∩B )= .2. 数理统计的目的是通过样本推断 .3.设X~F(n,n),则P{X ≥1} P{X ≤1}. （选 < ,>, 或＝中的一个）4．在单因素方差分析中，试验因素A 的r 个水平的样本总容量为n ，则当原假设0H 成立时，2S S A σ服从分布，MS E MS A 服从分布.5. 在线性回归模型εββ++=x y 10中，如果0b 为0β的最小二乘估计，则0Eb ＝ .三、(10分，要求写清步骤及结果) 在某城市中，下雨的天数占一半，天气预报有2/3准确.如果预报下雨，王明同学就一定带雨伞. 设 A={天下雨}，B={预报有雨}，C={王明带雨伞}.(1)问：事件A B C ⋂⋂，A B C ⋂⋂的含义时什么，哪个为不可能事件？ (2)求他带雨伞而没有下雨的概率.四、(10分，要求写清步骤及结果) 一个复杂的系统，由n 个相互独立的部件所组成，每个部件的可靠性为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问：n 至少为多少才能使系统以0.95的概率工作？ ( 附：Φ(1.64)=0.95，Φ(1.96)=0.975，其中Φ(x)是标准正态分布函数。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率统计练习3--高考真题解答题--比赛问题学生版

概率统计练习3——比赛问题1.（2022·全国甲（理）T19）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2.（2022·北京卷T18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.5．（2012大纲理）乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.0.6ξξ。

某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答

1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为解：3.0)(=+B A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2、已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.（20分）解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===. 3、已知连续型随机变量X 的分布函数为),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F ，求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，（3）概率密度)(x f 。

（20分）4、已知随机变量),(Y X 的分布律为（20分）问：（1）当βα,为何值时，X 和Y 相互独立。

（2）求{}12>=Y X P 。

5、设随机变量X 服从)1,0(N 分布，求随机变量Xe Y =的概率密度函数。

（10分）6、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.（20分）解：（1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰；（2）22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰1、（10分）将3粒黄豆随机地放入4个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20分）设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,.ax x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它求（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）(13).P X <<3、（10分）设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，求随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为)(y f Y2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案：161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得1=λ，故161)3(-==e X P3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-解答：2(1)1(1)P X P X ee λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->> 41e -=-.5．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：1111ln ni i x n θ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （）答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （）解答：若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （）答案：（A ）解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=，20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受H.。

概率论与数理统计习题三及答案

2
当 x 0, y 1 时， F x, y 1 dx0
0 2
2 x 1
4dy 1
（2）X 的边缘密度函数为
f X x f x, y dy

3
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
1 x0 = 2 0, 其他 Y 的边缘密度函数为
=
0
2 x 1
4dy,
1 42 x 1, x 0 2 0, 其他
f Y y f x, y dx

=
y 1 4dx, 0 y 1
2
0
0,
其他
=
21 y , 0 y 1 0,
其他
1 1 1 1 4 1 1 1 1 （3）f , 4 ，而 f X 2, f Y ，易见 f , f X f Y ， 4 3 4 3 3 4 3 4 3
或写成 X\Y 1 2 3 1 0 2 3
1 6 1 12
1 6 1 6 1 6
1 12 1 6
0
P X Y P X 1, Y 1 P X 2, Y 2 P X 3, Y 3
1
1 。 6
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
当
1 x 2 x 1 x 0, y 2 x 1 时， F x, y 1 dx0 4dy 4 x 2 4 x 1 ； 2 2
y 0
当 x 0,0 y 1 时， F x, y 0 dy y 1 4dx 2 y y 2 ；

概率统计习题集（含答案）

第一章随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则（）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则（）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则（）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于（）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示（）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（）。

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r kb a C C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A AA ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，20 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

《概率论与数理统计》第三次测试题答案

鲁东大学 2009-2010 学年第一学期2009 级数学与应用数学，信计，统计专业本科卷课程名称概率论与数理统计课程号（2102841）考试形式（闭卷笔试）时间（120分钟）一、填空题，本题共7小题，满分20分，其中第1小题6分，第7小题4分，其余每题2分.1、该商店每天销售电视机的台数；100天电视机销售台数；100，3.85，1.95， 1000,21,2351,342()3,4557,56201,6x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩ ； 2、2n χ（）；3、11e --；4、21X +；5、2b a n abσ- 二、选择题，本题共9小题，满分18分.1、D;2、C ；3、A ；4、A ；5、C ；6、B ；三、计算题，本题共4小题，满分52分1、（13分）在总体~(12,4)X N 中随机抽取一容量为5的样本，求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

解：设125,,...X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值，则4~(12,)5X N ……4分则(|12|1)12(||2(12(1(1.12))0.2628....................................................P X X P ->-=>=-Φ=-Φ=分.............................4分2、（13分）在一袋内放有很多的白球和黑球，已知两种球数目为1:3，但不知道哪一种颜色的球多，现从中有放回地抽取3次，取出黑球2次，试求袋中黑球所占比例的极大似然估计值．解：设01X ⎧=⎨⎩，从袋中取出白球，从袋中取出黑球，………………………………………………………………2分则13~(1,),44X b p p =或…………………………………………………………………………4分..123,,~i i dX X X X则样本的似然函数为 311(1)(1)i i x x nx n nx i L p p p p p --=-=-∏（）=……………………………………………………………..2分一次观测后，23x =，则 21(1)L p p p =-（）又由21211111(1)444643339(1)44464L L =-==-=（）（）……………………………………………………………………………..2分所以3ˆ4mle p =…………………………………………………………………………………………….2分 3、（13分）设从均值为μ，方差为2σ 的总体中，分别抽取容量为12,n n 的两个独立样本， 12,X X 分别是两样本的均值，1）试证：对于任意常数,(1)a b a b +=, 12Y aX bX =+ 都是μ的无偏估计；2）确定常数,a b ，使()D Y 达到最小．解：因为1212()()()()E Y E aX bX aE X bE X a b μμμ=+=+=+= 所以，12Y aX bX =+为μ的无偏估计．……………………………………………………………..5分 22121222221222121222()()()()21()D Y D aX bX a D X b D X ab n n n n a a n n n n σσσ=+=+=++=-+ 所以当121212,n n a b n n n n ==++时，可以使()D Y 达到最小．……………………………………….5分 4、（13分）初生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测得平均体重为3057，标准差为375.314，试以95%的置信系数求新生男婴的平均体重μ和方差2σ的置信区间．解：单个正态总体方差未知时，均值μ的置信水平为0.95的置信区间为12((1))x n α-±-……………………………………………………………………………….3分一次观测后，3057,375.314x s ==，另外0.97512,(11) 2.201n t == 得到置信区间为（2818.5351，3925.4649）．……………………………………………………………..2分单个正态总体均值未知时，方差2σ的置信水平为0.95的置信区间为 22220.9750.025(1)(1)(,)(11)(11)n s n s χχ--……………………………………………………………………………….3分一次观测后，3057,375.314x s ==，另外0.97512,(11) 2.201n t ==得到置信区间为（70687.3442，405619.5248）．……………………………………………………………..2分。

统计学习题答案第3章概率与概率分布

第3章概率与概率分布——练习题(全免)1 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。

试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。

并说明几个计算结果之间有何关系？解:设A ＝女性，B ＝工程师，AB ＝女工程师，A+B ＝女性或工程师（1）P(A)＝4/12＝1/3（2）P(B)＝4/12＝1/3（3）P(AB)＝2/12＝1/6（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/22. 某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。

试求这种零件的次品率。

解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A ）的概率()P A 。

考虑逆事件A =“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。

据题意，有：()(10.2)(10.1)(10.1)0.648P A =---=于是 ()1()10.6480.352P A P A =-=-=3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80％，在合格人员中成绩优秀只占15％。

试求任一参考人员成绩优秀的概率。

解:设A 表示“合格”，B 表示“优秀”。

由于B ＝AB ，于是)|()()(A B P A P B P ＝＝0.8×0.15＝0.124. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。

某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。

求该选手两发都脱靶的概率。

解:设A ＝第1发命中。

B ＝命中碟靶。

求命中概率是一个全概率的计算问题。

再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +＝＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9脱靶的概率＝1－0.9＝0.1或（解法二）：P (脱靶)＝P (第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.15.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。

2020概率统计模拟题3-答案(1)

7. 设 X1, X 2 , X 3 为来自泊松分布总体 X () (其中未知)的一个样本，
1
1 3
( X1
X
2
X3)
，
2
1 4
( X1
X
2)
1 2
X3
，
3
1 6
( X1
X
2)
2 3
X3
均为参数的估计
量，其中最有效的估计量是 ˆ1 .
8. 设 X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 , X 6 是来自总体 N (0,1) 的样本，则
件 A 在一次实验中出现的概率是 1 3
4. 设随机变量 X，Y 独立同分布，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则 P{min( X ,Y ) 1} 4 9
5. 设 D(X)=25,D(Y)=36, XY 0.4, 则 D(X-Y)= 37 6. 设 D(X)=0.004,则由切比雪夫不等式得 P{ X E( X ) 0.2} 0.9
P( A) 3
3
3 4 12
又因为 P( A | B) P( AB) 1 ，所以 P(B) 2P( AB) 2 1 1
P(B) 2
12 6
（1） P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 1 1 1 4 6 12 3
（2） P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 1 2 33
E(Y ) np 5e2，D(Y ) np(1 p) 5e2 (1 e2 )
五.已知随机变量 X 的概率密度 f X (x) Ae|x| ( x )
试求（1）常数 A ；（2） X 的分布函数；（3）P{0 X 1| X 1}.
解答（1）由概率密度的性质，有 1

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题3

第三章多维随机变量及其分布1.设二维随机变量(ξ，η)只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。

且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。

2.再从袋中任取一球。

设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。

以ξ，η分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(ξ，η)的联合分布律。

解：(ξ，η)的可能性取值为数对(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率： P {(ξ，η)=(1，2)}=(1/3)⨯1=1/3；P {(ξ，η)=(2，1)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； P {(ξ，η)=(2，2)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； 3.一整数n ξ=ξ(n )是能整除n 的正整数的个数，η=η (n )是能整除n 的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出ξ和η联合分布律。

解：依题意有：n ：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ξ(n )：1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 η(n )：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2因此ξ=1，2，3，44.设随机变量(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-===⎰⎰---∞+∞-.,0,1,121),()(21122其它x x dy dy y x f x f x x ππξ(1)确定常数k ； (2)求}3,1{<<ηξP ； (3)求}5.1{<ξP ； (4)求}4{≤+ηξP 。

解：(1) 由概率密度的性质知：⎰⎰=--20421)6(dy y x k dx ,即 8k =1 ∴ k =1/8;(2) }3,1{<<ηξP 8/38/)6(1032=--=⎰⎰dy y x dx ; (3) }5.1{<ξP 32/278/)6(5.1042=--=⎰⎰dy y x dx ;(4)dxdy y x f P G ⎰⎰=≤+),(}4{ηξ32)6(814220=--=⎰⎰-dy y x dx x。

概率论与数理统计习题三参考答案

概率论与数理统计习题三参考答案1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，求。

（设诸产品是否为次品是相互独立的。

） )(X E 解：解法一用Y 表示10件中次品的个数，则)1.0,10(~B Y 而X 表示一天中调整设备的次数，，),4(~p B X {}2≥=Y p p {}{}{}1012=−=−=≥Y P Y P Y p Q()()9110100101.011.01.011−⋅−−−=C C 264.0= 056.14)(==∴p X E解法二设为发现次品数i X 4,3,2,1 111,0=⎩⎨⎧=i X i ，，次品数大于发现次品数小于等于则4321X X X X X +++=)()()()()(4321X E X E X E X E X E +++={}{}{}100次品数等于次品数等于P P X P i +==∴()()9110100101.011.01.01−⋅+−=C C 743.0= {}{}264.0011==−==∴i i X P X P 056.1264.04)(=×=∴X E2．将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1，2，3，4 的盒子中，以X 表示至少有一只球的盒子的最小号码，是求。

)(X E 解：解法一 X 可取1、2、3、4{}6437433133323213=++==∴C C C X P {}6419422233323213=++==C C C X P{}6474133332313=++⋅==C C C X P {}6414143===X P 162564146473649264371)(=×+×+×+×=∴X E 解法二 1625162316521691)(=×+×+×=∴X E 3．若随机变量X 的分布律为()=⎭⎫⎩⎨⎧−=+i x P ii 21121i ，i =1,2 ,……., 是否存在。

《概率论与数理统计》韩旭里谢永钦版习题三及答案

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,434636F F F F −−+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin4346361).4=−−+=i i i i题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+−.,0,0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+−∞−∞===∫∫∫∫得 A =12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v −∞−∞=∫∫(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x −+−−⎧⎧−−>>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩∫∫其他（3） {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y −+−−=<≤<≤==−−≈∫∫5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<−−.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}.【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞−∞−∞=−−==∫∫∫∫故 18R = （2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x −∞−∞<<=∫∫130213(6)d d 88k x y y x =−−=∫∫ （3） 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=∫∫∫∫如图1.542127d (6)d .832x x y y =−−=∫∫（4） 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=∫∫∫∫如图b240212d (6)d .83xx x y y −=−−=∫∫题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>−.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y −⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y i 独立5515e 25e ,00.20,0.20,0,y y x y −−⎧⎧×<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. （2） 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y −≤≤=∫∫∫∫如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x−==−+≈∫∫∫7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>−−−−.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y −+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x −≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧−−≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧−⎧−+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<−.,0,0,其他e y x y 求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞−−⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y −−⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞−∞−∞∫∫∫∫如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==∫∫得　214c =. （2） ()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧−−≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫5227d ,01,20,0, .x y x y y ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y 求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y（x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫1d 2,01,0,.xxy x x −⎧=<<⎪=⎨⎪⎩∫其他 111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y −+∞−∞⎧=+−<<⎪⎪⎪===−≤<⎨⎪⎪⎪⎩∫∫∫其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪−⎪⎪==−<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表（2）因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===×=≠===i 故X 与Y 不独立　（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？（2）因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===×i 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.　14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>−.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y −⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y −⎧<<>⎪=⎨⎪⎩i 独立其他题14图（2）方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y Δ=−≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=∫∫21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y−==Φ−Φ=∫∫15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ （1）当z ≤0时，()0Z F z =（2）当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）（如图a ） 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==∫∫∫∫ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∫题15图（3）当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ） 3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x y x y +∞≥==∫∫∫∫336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠∫即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧−≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i （i =1,2,3,4），则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥i 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥i 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =−<−<−<−<i i i44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡−⎤⎛⎞=−<=−Φ⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=−Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=−ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====−==∪∪ ∪ 于是0{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====−∑相互独立{}{}ik P X k P Y i k ===−∑i()()ik p k q i k ==−∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====−∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =−−−+=−=−===−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑∑i方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则 X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p ）的二项分布.（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i −=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =max （X ,Y ） 0 1 2 3 4 5 P 00.04 0.16 0.28 0.24 0.28（3） {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑ 0,1,2,3,i =于是U =min （X ,Y ） 0 1 2 3 P0.28 0.30 0.25 0.17（4）类似上述过程，有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=∫∫∫∫π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r r R θθ=∫∫∫∫3/83;1/24==（2） {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=−≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=−≤≤=−=−=∫∫21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===∫（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d 1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩∫其他所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和x 2 1/8P {Y =y j }=p j 1/6 1【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===−= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====i ,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =×==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==−−=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====−===−=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】（1） {|}C (1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n p p m n n −===−≤≤= .（2） {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======ie C (1),,0,1,2,.!mm n mnnp p n m n n n λλ−−=−≤≤=i 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f （y ），求随机变量U =X +Y 的概率密度g （u ）.【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤−=+≤−=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤−+≤−0.3(1)0.7(2).F u F u =−+−由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u ′′′==−+−0.3(1)0.7(2).f u f u =−+−25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E （X ）= −0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P {X =Z }.解（1）由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =−，可得0.1a c −+=−.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.（2） Z 的可能取值为−2，−1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =−==−=−=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =−==−=+==−=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==−=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z −2 −1 0 1 2 P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1（3） {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.。

概率统计试题及答案

<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件.试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6,P(B A)=0.8。

则P(B)A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4。

将C,C,E ，E,I ，N ，S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5。

甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。

5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6。

设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________7。

已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ，且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9。

一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在(1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12。

用（,X Y ）的联合分布函数F （x ，y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用(,X Y ）的联合分布函数F(x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量（x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

经济概率统计作业参考答案(第三章)

p{X
k} a , p{Y k} b , (k 1,2 ,3), 且
k
k2
X
与Y
相互独立，则
（ D ）。
( A) a 1, b 1；
(B) 11a 49 b 1 ； 6 36
(C) a, b 为任意实数；
(D) a 6 , b 36 。 11 49
三、计算
1、一盒子中装有 3 个黑球、2 个白球、2 个红球。在其中任意取四球，以 X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，求（ X ， Y ）的联合分布列。
1 0 x 1
f
X
(x)
0
其他
fY ( y)
f (x, y)dx
当0
y
2
时，
f Y
( y)
11
0 2
dx
1 2
当 y 0 或 y 2 时， fY ( y) 0
1 / 2
f Y
( y)
0
0 y2 其他
5、已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为：
（x , y）（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）（2，0）（2，1）
答案： F(b, c) F(a, c) ， F(, a) F(,0) ， F(,b) F(a,b)
2、设二维随机变量的密度函数为
p(x)
4xy
0
,0 x 1, 0 y 1
,
其他
，
则 p(0 X 0.5)
。
答案： 1 4
3、随机变量 (X ,Y ) 的分布率如下表，则, 应满足的条件是
1/ 6
3
1/12 1/ 6
0
2. 二维随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为：

真题考试：2020 概率论与数理统计(经管类)真题及答案(3)

真题考试：2020 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(3)共56道题1、设随机变量X的分布律为F(x)为X的分布函数，则F(O.5)=（单选题）A. 0B. 0.2C. 0.25D. 0.3试题答案：D2、已知X与Y的协方差Cov(X，Y)=-1/2，则Cov(一2X，Y)= 【】（单选题）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 1试题答案：D3、设随机变量x的分布律为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1试题答案：C4、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=1}=（单选题）A. 0.1B. 0.3C. 0.2D. 0.4试题答案：D5、设总体X~ N(μ,σ2)，x1,x2...x n为来自该总体的样本，X为样本均值，S2为样本方差，则μ的极大似然估计为（单选题）A.B.C.D.试题答案：A6、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C7、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B8、设随机变量X的概率密度为（单选题）A. 0B. 1/3C. 1/2D. 3试题答案：D9、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A10、（单选题）A. t(5)B. t(4)C. F(1，5)D. F(5，1)试题答案：A11、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=1}=（单选题）A. 0.1B. 0.3C. 0.2D. 0.4试题答案：D12、设随机变量X～B(3，0.2)，则P{X>2}= 【】（单选题）A. 0.008B. 0.488C. 0.512D. 0.992试题答案：A13、（单选题）A.B.C.D.试题答案：C14、设事件A与B互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则P(A U B)= 【】（单选题）B. 0.2C. 0.4D. 0.6试题答案：D15、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B16、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C17、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)=（单选题）A.B.C.试题答案：A18、（单选题）A. 1/6B. 1/4C. 1/3D. 1/2试题答案：B19、设随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则E(2X-1)= 【】（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 4试题答案：C20、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B21、（单选题）B.C.D.试题答案：A22、在假设检验过程中，增大样本容量，则犯两类错误的概率【】（单选题）A. 都增大B. 都减小C. 都不变D. 一个增大，一个减小试题答案：B23、设随机变量X～B(3，0.3)，则P{X=2}= 【】（单选题）A. 0.189B. 0.21C. 0.441D. 0.7试题答案：A24、设α是假没检验中犯第一类错误的概率，H。