[精品]2015-2016年浙江省宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷及解析答案word版

2015-2016学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．＜B．2﹣a＜2﹣b C．a2＞b2D．ac≥bc2．（5分）在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则a3+a4+…a8等于（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）直线l：x﹣ky+k﹣1=0与圆C：x2+y2=3的位置关系为（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项都有可能4．（5分）已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cosA等于（）A．﹣4 B．C．±D．﹣5．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A．B．C．D．6．（5分）若sin（α+）=，α∈（0，π），则cos2α=（）A．﹣ B．±C．D．﹣7．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 …2013 2014 2015 20163 5 7 9 …4027 4029 40318 12 16 …8056 806020 28 (16116)该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×220148．（5分）已知关于x的二次方程ax2+bx+c=0（a＞0，b，c∈R）在区间（0，2）内有两个实根，若，则实数a的最小值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l：x+2y﹣1=0，则原点O关于直线l对称的点是；经过点P（2，1）且纵横截距相等的直线方程是．10．（6分）对正整数n定义一种新运算“*”，它满足①1*1=1，②（n+1）*1=2（n*1），则2*1=；n*1=．11．（6分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cosβ=，2α+β=．12．（6分）设实数x，y满足，则z=y﹣4x的取值范围是z=y﹣4|x|的取值范围是．13．（4分）直线mx﹣ny+2=0（m，n＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得弦长为2，则+的最小值为．14．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，当数列{a n}的通项公式为a n=，n ∈N*，我们记实数λ为S2n﹣S n的最小值，那么数列b n=，n∈N*取得最大值时的项数n为．15．（4分）已知正实数a，b满足+=1，则a+b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，（1）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围；（2）若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，求实数m的取值范围．17．（15分）已知tan（+α）=．（1）求的值；（2）若α为直线l的倾斜角，当直线l与曲线C：x=1+有两个交点时，求直线l的纵截距b的取值范围．18．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足+=．（1）求角C的大小；（2）若边长c=，求a+2b的最大值．19．（15分）已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切，与y轴交于M，N两点，且∠MCN=120°．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，若设点G为△OAB 的重心，当△MNG的面积为时，求直线l的方程．备注：△ABC的重心G的坐标为．20．（15分）已知数列{a n}的各项均为正数，S n表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2S n=a n（a n+1），设．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求数列{b n}的最小项．2015-2016学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．＜B．2﹣a＜2﹣b C．a2＞b2D．ac≥bc【解答】解：当a＞0＞b时，＞，故A错误；∵a＞b，﹣a＜﹣b，2﹣a＜2﹣b，故B正确；如果0＞a＞b，那么a2＜b2，故C错误；当c＜0时，ac＜bc，故D错误；故选：B．2．（5分）在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则a3+a4+…a8等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，∴a3+a4+…a8=3（a5+a6）=3（3﹣2）=3．故选：C．3．（5分）直线l：x﹣ky+k﹣1=0与圆C：x2+y2=3的位置关系为（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项都有可能【解答】解：∵直线l：x﹣ky+k﹣1=0可化为：x+k（﹣y+1）﹣1=0，∴对于任意实数k，直线l过定点（1，1）．∵12+12=2＜3，∴点（1，1）在圆C内，∴直线l与圆C相交．故选：A．4．（5分）已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cosA等于（）A．﹣4 B．C．±D．﹣【解答】解：∵cosA=，面积S=bcsinA=a2﹣（b2+c2），∴bcsinA=﹣2bccosA，∴sinA=﹣4cosA，又sin2A+cos2A=1，联立解得cosA=．故选：D．5．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时|OD|=，|OA|=1，则，即sin=，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故选：C．6．（5分）若sin（α+）=，α∈（0，π），则cos2α=（）A．﹣ B．±C．D．﹣【解答】解：∵sin（α+）=＜=sin，α∈（0，π），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣=﹣，则cos2α=sin（+2α）=2sin（α+）•cos（α+）=2••（﹣）=﹣，故选：D．7．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 …2013 2014 2015 20163 5 7 9 …4027 4029 40318 12 16 …8056 806020 28 (16116)该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014，故选：B．8．（5分）已知关于x的二次方程ax2+bx+c=0（a＞0，b，c∈R）在区间（0，2）内有两个实根，若，则实数a的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：设f（x）=a（x﹣p）（x﹣q）（p，q∈（0，2），∵，∴f（0）≥1，f（2.5）≥1，∴apq≥1，a（2.5﹣p）（2.5﹣q）≥1，∴a2≥，∵p（2.5﹣p）q（2.5﹣q）≤，当且仅当p=q=1.25时取等号，∴a2≥，∴a≥，∴实数a的最小值为，故选：D．二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l：x+2y﹣1=0，则原点O关于直线l对称的点是（，）；经过点P（2，1）且纵横截距相等的直线方程是x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．【解答】解：（1）设原点（0，0）关于直线x+2y﹣1=0对称的点的坐标是（a，b），则，解得a=，b=，∴要求的对称的点的坐标是（，）；（2）当直线过原点时，方程为：y=x，即x﹣2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（2，1）代入直线的方程可得k=3，故直线方程是x+y﹣3=0．综上可得所求的直线方程为：x﹣2y=0，或x+y﹣3=0，故答案为：（，）；x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．10．（6分）对正整数n定义一种新运算“*”，它满足①1*1=1，②（n+1）*1=2（n*1），则2*1=2；n*1=2n﹣1．【解答】解：∵1*1=1，（n+1）*1=2（n*1），∴2*1=（1+1）*1=2（1*1）=2，∴n*1=（n﹣1+1）*1=2•（n﹣1）*1=…=2n﹣1•（1*1）=2n﹣1，故答案为：2；2n﹣1．11．（6分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cosβ=，2α+β=π．【解答】解：∵cosα=，α∈（0，），∴sinα==，∵α，β∈（0，），cos（α+β）=﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）==，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（﹣）×+×=，cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα﹣sin（α+β）sinα=（﹣）×﹣×=﹣1，∵2α+β∈（0，），∴2α+β=π．故答案为：，π．12．（6分）设实数x，y满足，则z=y﹣4x的取值范围是[﹣6，24] z=y﹣4|x|的取值范围是[﹣8，4] ．【解答】解：由z=y﹣4x，得y=4x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=4x+z，由平移可知当直线y=4x+z经过点A时，直线y=4x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，即A（﹣4，8）代入z=y﹣4x，得z=8+4×4=24，即z=y﹣4x的最大值为24．当直线y=4x+z经过点B时，直线y=4x+z的截距最小，此时z取得最小值，由，解得，即B（2，2）代入z=y﹣4x，得z=2﹣4×2=﹣6，即z=y﹣4x的最小值为﹣6．则﹣6≤z≤24，即z=y﹣4x的取值范围是[﹣6，24]，由z=y﹣4|x|得y=4|x|+z，作出y=4|x|的图象，平移y=4|x|+z，由图象知当y=4|x|+z经过A（﹣4，8）时，z最小，此时z=8﹣4×4=﹣8，当y=4|x|+z经过C（0，4）时，z最大，此时z=4﹣4×0=4，则﹣8≤z≤4，即z=y﹣4|x|的取值范围是[﹣8，4]，故答案为：[﹣6，24]，[﹣8，4]13．（4分）直线mx﹣ny+2=0（m，n＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得弦长为2，则+的最小值为．【解答】解：由x2+y2+2x﹣2y+1=0得：（x+1）2+（y﹣1）2=1，∴该圆的圆心为O（﹣1，1），半径r=1；又直线mx﹣ny+2=0（m＞0，n＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，∴直线mx﹣ny+2=0（m＞0，n＞0）经过圆心O（﹣1，1），∴﹣m﹣n+2=0，即m+n=2，又m＞0，n＞0，∴+=+=2+++≥+2•=，当且仅当m=，n=时取“=”．故答案为：．14．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，当数列{a n}的通项公式为a n=，n ∈N*，我们记实数λ为S2n﹣S n的最小值，那么数列b n=，n∈N*取得最大值时的项数n为34．【解答】解：∵a n=，n∈N*，∴S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=++…+=f（n），f（n+1）﹣f（n）=﹣=﹣﹣＞0，因此f（n）单调递增，∴n=1时，S2n﹣S n取得最小值f（1）==λ，∴b n==，n≤33时，b n＜0；n≥34时，b n＞0，并且单调递减．因此取得最大值时的项数n=34．故答案为：34．15．（4分）已知正实数a，b满足+=1，则a+b的取值范围是[+，+∞）．【解答】解：由正实数a，b满足+=1，可得a+b=[（a+2）+（a+2b）]﹣1=[（a+2）+（a+2b）]（+）﹣1=[3++]﹣1≥[3+2]﹣1=（3+2）﹣1=+．当且仅当=，即a=，b=时，取得等号．则a+b的取值范围是[+，+∞）．故答案为：[+，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，（1）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围；（2）若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴a=﹣4，b=3∴f（x）=x2﹣4x+3，∴f（x）=（x﹣2）2﹣1，∴f（x）最小值为﹣1∴不等式f（x）≥m的解集为R，实数m的取值范围为m≤﹣1（2）∵f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，即x2﹣4x+3≥mx对任意的实数x≥2都成立，两边同时除以x得到：x+﹣4≥m对任意的实数x≥2都成立，x≥2时，x+﹣4≥﹣，∴m≤﹣，综上所述，m≤﹣．17．（15分）已知tan（+α）=．（1）求的值；（2）若α为直线l的倾斜角，当直线l与曲线C：x=1+有两个交点时，求直线l的纵截距b的取值范围．【解答】解：∵tan（+α）===，∴tanα=﹣；（1）====﹣8；（2）若α为直线l的倾斜角，则k=tanα=﹣，设直线l的方程为y=﹣x+b，又曲线C：x=1+可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1（x≥1），画出直线l与C的图象，如图所示，则直线l过点A（1，2），此时b=；当直线l过点B时，l与C相切，此时=1，解得b=+或b=﹣（不合题意，舍去）；所以当直线l与C有两个交点时，≤b＜+．18．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足+=．（1）求角C的大小；（2）若边长c=，求a+2b的最大值．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足+=，∴+=，即=，∴sin（B+C）=2sinAcosC，∴cosC=，∴C=．（2）若边长c=，由正弦定理可得===2，可得a+2b=2sinA+4sinB=2sinA+4sin（﹣A）=2sinA+4（cosA+sinA）=4sinA+2cosA=2（sinA+cosA）=2sin（A+θ），其中，cosθ=，sinθ=，故当A=arcsin时，a=2b取得最大值为2．19．（15分）已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切，与y轴交于M，N两点，且∠MCN=120°．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，若设点G为△OAB 的重心，当△MNG的面积为时，求直线l的方程．备注：△ABC的重心G的坐标为．【解答】解：（1）由题意知圆心C（a，0），且a＞0，由∠MCN=120°知Rt△MCO中，∠MCO=60°，|OC|=a，则|CM|=2a，于是可设圆C的方程为（x﹣a）2+y2=4a2又点C到直线5x+12y+21=0的距离为，所以a=1或（舍），故圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．（2）△MNG的面积，所以|x G|=1，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则，即x1+x2=3x G，当直线l斜率不存在时，△ABO不存在，故可设直线l为y=kx+2，代入圆C的方程（x﹣1）2+y2=4中，可得（1+k2）x2+（4k ﹣2）x+1=0，则所以或得k=﹣1或，故满足条件的直线l的方程为y=﹣x+2或．20．（15分）已知数列{a n}的各项均为正数，S n表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2S n=a n（a n+1），设．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求数列{b n}的最小项．【解答】解：（1）n=1时，2S1=a1（a1+1），S1=a1，a1＞0，解得a1=1．（2）n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，2S n=a n（a n+1），2S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+1），作差得2a n=a n（a n+1）﹣a n﹣1（a n﹣1+1），整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，≠0，∵a n＞0，∴a n+a n﹣1∴a n﹣a n=1，对n≥2时恒成立，因此数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数﹣1列，故a n=n．（3）∵，∴b n+1﹣b n =﹣==，对任意正整数n恒成立，∴数列{b n}为递增数列，∴数列{b n}的最小项为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。