宁波市2018-2019学年第一学期期末九校联考高二数学试卷
【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题-
绝密★启用前【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆的短轴长为（ ）A ．8B ．10C ．5D ．42．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 ， ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则D ．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 4．有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题； ②“若 ，则 ”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题；④“若 ，则方程 有实根”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴……○…………※※请※※不※……○…………A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题正确的是（ ）A ． 是向量 ， 不共线的充要条件B ．在空间四边形 中，C ．在棱长为1的正四面体 中，D ．设 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，若，则 ， ， ， 四点共面 7．若椭圆与双曲线有公共的焦点， ，点 是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知 为双曲线右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形 ， ， 现将 沿 折起，当二面角 的大小在时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若长方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ， .分别记二面角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与 的值有关………外……装…………○…订…………○※※要※※在※※装※※订※内※※答※※题※※………内……装…………○…订…………○第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.12．在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.13．设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.14．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.15．已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.16．已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.17．已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为____.三、解答题………外……………装…………○……………○…………__姓名：___________班级：_：___________………内……………装…………○……………○…………18．已知 ，设命题 ：当 时，函数恒成立，命题 ：双曲线的离心率 .（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.19．如图，在四面体 中， ， ， .（Ⅰ）求点 到平面 的距离； （Ⅱ）求异面直线 与 所成角的大小.20．如图，已知多面体 中， ， 平面 ， ， ， ， .（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.21．已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 作两条斜率之积为的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，……○…………线…………题※※……○…………线…………22．如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别为 ， ，记线段 的中点为 .（Ⅰ）求切线 ， 的方程；（Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上；（Ⅲ）设点 为圆 上的点，当取最大值时，求点 的纵坐标.参考答案1．A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4．C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则＞0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8．D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PF A＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到P A的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9．C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（，，），∴，，，，，，设AB、CD的夹角为α，则cosα ，∵，∴cos，，∴|1|[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由 β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴ β∴β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
2018年第一学期宁波市九校联考高二数学答案
2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114． ，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分） 解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分 若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即 所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分 （方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分 设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=， 所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分 在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分 故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，， 所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分 所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |， 故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =， 所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =， 所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ， 所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ， 所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===， 故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分 设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ） 证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分 所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=， 即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分 （Ⅲ）解 由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分 设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或，即或则本题正确选项：【点睛】本题主要考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又本题正确选项：【点睛】本题考查与对数函数有关的比较大小类问题，属于基础题.3.曲线在点（1，0）处切线的倾斜角为，则（）A. 2B.C. -1D. 0【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.4.已知定义在R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数不一定存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷 解析版
绝密★启用前2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷解析版一、单选题1．已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A．，2 B．，2 C．，D．，【答案】C【解析】【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，即可求解.【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知空间向量1，，，且，则A．B．C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选：C．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A．1 B．C．或1 D．2或1【答案】D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.6．设x,y满足( )A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.考点：线性规划.7．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若不平行于，则在内不存在，使得平行于B．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C．若不平行于，则在内不存在，使得平行于D．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于【答案】D【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【详解】当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解答中根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为，所以，，则，，所以，，所以，即，所以则，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到，从而，得到答案.【详解】由题意，四棱锥为阳马，（如图所示）且，底面是线段AB 上的点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．【答案】10【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得的值，即可得到答案.【详解】由椭圆可知，椭圆焦点在y轴上，则，即，长轴长，左顶点的坐标为．故答案为：10；．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程的性质，正确求解的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12．命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则不是偶数假【解析】【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则为偶数，即可判断真假．【详解】由题意，命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则不是偶数”，由a，b均为奇数，可得为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则不是偶数，假．【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题．13．已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C 外切，则a的值为______．【答案】3【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，圆，可得得，若方程表示圆，则，得，即实数a的取值范围是，圆心，半径，若圆与圆C外切，则，即，即，即，得，故答案为：，3．【点睛】本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的应用，其中解答中利用配方法求解，以及根据两圆的位置关系，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条【答案】4【解析】【分析】作出长方体，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数，得到答案．【详解】由题意，作出长方体，如图所示，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了异面直线的定义及应用，其中解答中正确理解异面直线的概念，利用列举法准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算、求解能力，属于基础题.15．已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示【答案】17或1【解析】【分析】根据已知条件，求得的值，再利用双曲线的定义进行求解，即可得到答案．【详解】由题意知，双曲线的一个焦点为，，又由，，因为为双曲线上一点，且，根据双曲线的定义可知，所以，或，故答案为：17或1【点睛】本题主要考查了双曲线的定义与标准方程的应用，其中解答中运用双曲线的定义是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，即可求解．【详解】由题意知，，根据三角形的面积公式，可得，在平面内，以D为原点建立坐标系，如图所示，设，则，整理得，设圆心为M，求得，所以的最小值为，的最大值为，所以的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆外一点到圆上点的距离的最值问题，其中解答中利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，确定点P轨迹为圆，转化为点到圆上各点的距离最值问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______【答案】【解析】【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；当直线CD的方程为时，取最小值，得到答案．【详解】由题意知，两直线：，：互相平行，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示，由两平行线间的距离公式可得，因为，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，所以当直线CD的方程为：时，取最小值，联立，得，联立，得，的最小值为：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题．三、解答题18．在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】联立方程组求出点，由点，且所求若l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．【详解】Ⅰ由题意，联立，解得，，则点由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入得，解得，故所求直线l的方程为．由，可得圆的标准方程为，所以圆心为，半径为2，若直线l的斜率不存在，此时，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，解得【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，以及直线和圆的位置关系等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.19．如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；Ⅱ根据异面直线所成角的定义，找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．【详解】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．由，平面，平面，所以，则，同理，由，可得，则．所以；Ⅱ因为，，所以或其补角就是直线AD与CF所成的角．因为，，所以，，又，，由余弦定理可得，得．即直线AD与CF所成的角为．【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中正确认识空间图形的结构特征，利用异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力，属于基础题.20．如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F 在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F 的位置．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）是DM的中点．【解析】【分析】Ⅰ推导出平面MCD，，再由，能证明平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，从而，过M作，交CD于O，则平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．【详解】Ⅰ平面平面MCD，平面平面，，平面ABCD，平面MCD，平面MCD，，又，，由线面垂直的判定定理可得平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，所以，过M作，交CD于O，因为平面平面MCD，所以平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则0，，2，，2，，0，，1，，设，，则，，0，，，设平面MBC的一个法向量y，，则由，得，取，得1，，设直线AF与平面MBC所成的角为，则，所以，解得，即是DM的中点．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.21．已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．【详解】Ⅰ由题意，设，因为焦点以及的外接圆的圆心为Q，则线段的垂直平分线的方程为，所以点的纵坐标为.（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为，所以，解得，所以抛物线C的方程．Ⅲ可知，，，为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，点Q到直线AB的距离，设，，联立方程组，消y可得，，，，，即，解得，即，所以直线l的方程为【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中把直线的方程与抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系和弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于中档试题.22．已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l 外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆除去四个点、、、的曲线；（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；Ⅱ设点，设点，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出面积的最大值．【详解】Ⅰ由题意，点M的横坐标为，且在直线上，可得，又M在E上，所以，另外，所以可解得，，得E的方程为；Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点，，则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点在E上，所以，，即，代入，即．当时，得；当时，则得或．此时，或，也满足方程．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆除去四个点、、、的曲线；Ⅲ因为点到直线的距离，且易知，所以，的面积为．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，面积的最大值为；一几何相切法：设l的平行直线，由，得，由得．可得此时椭圆与相切的切点为、，易得面积的最大值为因为二三角换元法：由Q的轨迹方程，设，，代入，．易得面积的最大值为因为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，属于难题.。
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷及解析
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。
鄞州区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
鄞州区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种3． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）A ．232B ．252C ．472D ．484 4． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-6． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．7． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位 8． 函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ≤ B ．0≤a ≤ C ．0＜a ＜ D ．a ＞9． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞） B ．[0，3] C ．（﹣3，0] D ．（﹣3，+∞）10．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°11．直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________. 14．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________15．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．16．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ． 17．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．18．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．三、解答题19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．20．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．（1）求证：AD＝122b2＋2c2－a2；（2）若A＝120°，AD＝192，sin Bsin C＝35，求△ABC的面积．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．22．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；1（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．23．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.24．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．鄞州区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．2．【答案】A【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．3．【答案】C【解析】【专题】排列组合．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．4．【答案】B【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，若“非p ”为真，则p 为假，∴p 假q 真， 故选：B ．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21'f x x=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 6． 【答案】A【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，∴设双曲线的方程为，（a ＞0，b ＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，得=，设b=4t ，a=3t ，则c==5t （t ＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A ．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7． 【答案】C 【解析】试题分析：()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+，故向上平移个单位. 考点：图象平移．8． 【答案】B【解析】解：当a=0时，f （x ）=﹣2x+2，符合题意当a ≠0时，要使函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数∴⇒0＜a ≤综上所述0≤a≤故选B【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．9．【答案】D【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a==2x﹣，令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g（x）=2x﹣的图象如下，，g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，故结合图象可知，a ＞﹣3时，方程a=2x ﹣有且只有一个解，即函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，故选：D ．10．【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．11．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时， ()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象. 12．【答案】A【解析】解：∵sinC=2sinB ，∴c=2b ，∵a 2﹣b 2=bc ，∴cosA===∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选A ．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．二、填空题13．【答案】6【解析】解析：曲线2C 的解析式为2sin[()]2sin()6446y x x ππππωωω=-+=+-，由1C 与2C 关于x 轴对称知sin()sin()464x x πππωωω+-=-+，即1c o s ()s i n ()s i n ()c o s ()06464x x ππππωωωω⎡⎤++-+=⎢⎥⎣⎦对一切x R ∈恒成立，∴1cos()06sin()06πωπω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴(21)6k πωπ=+，∴6(21),k k Z ω=+∈，由0ω>得ω的最小值为6.14．【答案】【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;双曲线的两条渐近线方程为：所以故答案为：15．【答案】5 【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r （x 6）n ﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n 的表达式，推测出它的值．16．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1．故答案为：1．17．【答案】 ：①②③【解析】解：对于①函数y=2x 3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x 0，y 0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x 0，2﹣y 0）也满足函数的解析式，则①正确； 对于②对∀x ，y ∈R ，若x+y ≠0，对应的是直线y=﹣x 以外的点，则x ≠1，或y ≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正确．对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由则，即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③18．【答案】1464【解析】【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合M={x|x2-x≥0}.N={x|x≥2}.则M∩N=（）A.∅B.{x|x≥1}C.{x|x≥2}D.{x|x≥1或x≤0}2.（单选题.4分）设a=ln10.b=ln100.c=（ln10）2.则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a3.（单选题.4分）曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的倾斜角为α.则tanα=（）A.2B. −43C.-1D.04.（单选题.4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的.且其中的四组对应值如下表.那么在下列区间中.函数f（x）不一定存在零点的是（）B.[1.3]C.[2.5）D.（3.5）5.（单选题.4分）已知函数f（x）=（e x+e-x）ln 1−x.若f（a）=1.则f（-a）=（）1+xA.1B.-1C.-2D.36.（单选题.4分）在y=2x.y=log2x.y=x2这三个函数中.当0＜x1＜x2＜1时.使f(x1+x2)＞2f(x1+x2)恒成立的函数的个数是（）2A.0个B.1个C.2个D.3个在（0.+∞）上存在零点.则实数a的取值7.（单选题.4分）已知函数f（x）=ln（x+a）-e-x+ 12范围是（）A. (−∞)√eB.√e)√eC. (−∞，√e))D. (−√e，√e存在两个不同的极值点x1.x2.则实数a的取值范8.（单选题.4分）函数f（x）=ln（x+a）- xx+1围是（）A. (3，1)∪(1，+∞)4B.（0.+∞）C.（-∞.0）D. (−∞，3)49.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-2x+a.则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-x+1.记f1（x）=f（x）.当n≥2时.f n（x）=f n-1（f （x））.则对于下列结论正确的是（）A.f5（x）在(1，+∞)单调递增2B.f5（x）在(1，+∞)单调递减2C.f5（x）在(1，1)单调递减.（1.+∞）单调递增2D.f 5（x ）在 (12，1) 单调递增.（1.+∞）单调递减11.（填空题.6分）i 是虚数单位.设z= 1−i1+i +2i.则z=___ .|z|=___ ．12.（填空题.6分）已知函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x，x ≥1 .则f （0）=___ .f （f （0））=___ ．13.（填空题.6分）设条件p ：|x|≤m （m ＞0）.q ：-1≤x≤4.若p 是q 的充分条件.则m 的最大值为___ .若p 是q 的必要条件.则m 的最小值为___ ．14.（填空题.6分）已知函数f （x ）=ae x -lnx-1.设x=1是f （x ）的极值点.则a=___ .f （x ）的单调增区间为___ ．15.（填空题.4分）已知偶函数f （x ）对任意x∈R 都有f （x+6）-f （x ）=2f （3）.则f （2019）=___ ．16.（填空题.4分）函数f （x ）= {x 2，x ≥0−x 2，x ＜0.若对于在意实数x∈[-1.1].f （x+a ）≥4f （x ）.则实数a 的取值范围为___ ．17.（填空题.4分）已知函数f （x ）=sinx.若方程3（f （x ））2-f （x ）+m=0在 (0，5π6) 内有两个不同的解.则实数m 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）记函数f （x ）=ln （1-x 2）的定义域为M.g （x ）=lg[（x+a+2）（-x-a+1）]的定义域为N ．（1）求M ；（2）若M⊆N .求实数a 的取值范围．19.（问答题.15分）f （x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ． （1）若函数f （x ）在[0.2]上的最大值为3.求a 的值；（2）设函数f （x ）在[0.2]上的最小值为g （a ）.求g （a ）的表达式．20.（问答题.15分）已知函数 f (x )=13x 3+12．（1）求曲线y=f （x ）在点 P (1，56) 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点（2.a ）可作三条不同直线与曲线y=f （x ）相切.求实数a 的取值范围．21.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x- 1ax2 -b．2（1）当a=1.b=1时.求f（x）在[-1.1]上的值域；（2）若对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.求a+b的最大值．22.（问答题.15分）已知a＞0.函数f（x）=e x+3ax2-2ex-a+1. （1）若函数f（x）在[0.1]上单调递减.求a的取值范围；（2）|f（x）|≤1对任意x∈[0.1]恒成立.求a的取值范围．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合M={x|x2-x≥0}.N={x|x≥2}.则M∩N=（）A.∅B.{x|x≥1}C.{x|x≥2}D.{x|x≥1或x≤0}【正确答案】：C【解析】：可求出集合M.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：M={x|x≤0.或x≥1}；∴M∩N={x|x≥2}．故选：C．【点评】：考查描述法的定义.一元二次不等式的解法.以及交集的运算．2.（单选题.4分）设a=ln10.b=ln100.c=（ln10）2.则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：D【解析】：可以得出2＜ln10.从而得出2ln10＜（ln10）2.从而得出ln10＜ln100＜（ln10）2.从而得出a.b.c的大小关系．【解答】：解：∵2＜ln10；∴ln10＜ln100=2ln10＜（ln10）2；∴c＞b＞a．故选：D．【点评】：考查对数的运算.不等式的性质.对数函数的单调性．3.（单选题.4分）曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的倾斜角为α.则tanα=（）A.2B. −43C.-1D.0【正确答案】：A【解析】：求得函数y的导数.由导数的几何意义.即可得到所求值．【解答】：解：y=x3-x的导数为y′=3x2-1.曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的斜率为3-1=2.即tanα=2．故选：A．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率.考查导数的几何意义.属于基础题．4.（单选题.4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的.且其中的四组对应值如下表.那么在下列区间中.函数f（x）不一定存在零点的是（）B.[1.3]C.[2.5）D.（3.5）【正确答案】：D【解析】：由图表可得f（1）=3.f（2）=-1.f（3）=2.f（5）=0.然后结合函数零点的判定得答案．【解答】：解：由图表可知.f（1）=3.f（2）=-1.f（3）=2.f（5）=0．由f（1）•f（2）＜0.可知函数f（x）在（1.2）上一定有零点；则函数f（x）在[1.3]上一定有零点；由f（2）•f（3）＜0.可知函数f（x）在（2.3）上一定有零点.则函数f（x）在[2.5）上一定有零点；由f（3）＞0.f（5）=0.可知f（x）在（3.5）上不一定有零点．∴函数f（x）不一定存在零点的是（3.5）．故选：D．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查零点判定定理的应用.是中档题．5.（单选题.4分）已知函数f（x）=（e x+e-x）ln 1−x1+x.若f（a）=1.则f（-a）=（）A.1B.-1C.-2D.3【正确答案】：B【解析】：可看出f（x）是奇函数.从而由f（a）=1得出f（-a）=-1．【解答】：解：f(a)=(e a+e−a)ln1−a1+a=1；∴ f(−a)=(e−a+e a)ln1+a1−a =−(e−a+e a)ln1−a1+a=−1．故选：B．【点评】：考查奇函数的定义.以及对数的运算性质．6.（单选题.4分）在y=2x.y=log2x.y=x2这三个函数中.当0＜x1＜x2＜1时.使f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：B【解析】：先求出各个函数对应的f(x1+x22)，f(x1+x2)2.再利用指数函数的单调性及基本不等式比较两者的大小．【解答】：解：对于y=2x有f(x1+x22)= 2x1+x22f(x1+x2)2=2x1+x22= 2x1+x2−1∵0＜x1＜x2＜1.∴ x1+x22＞x1+x2−1∴ f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立对于y=log2x有f(x1+x22)= log2 (x1+x22) . f(x1+x2)2=log2( x1+x2)2= log2√x1+x2∵0＜x1＜x2＜1.∴ x1+x22＜ √x1+x2 .∴ f(x1+x22)＜f(x1+x2)2故选：B．【点评】：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=ln（x+a）-e-x+ 12在（0.+∞）上存在零点.则实数a的取值范围是（）A. (−∞√e)B.√e√e)C. (−∞，√e)D. (−√e，√e)【正确答案】：C【解析】：当a＞0时.由函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.可得要使函数f（x）在（0.+∞）上存在零点.则f（0）=lna- 12＜0.由此求得a的范围；当a≤0时.由函数f（x）在（-a.+∞）上单调递增.且函数f（x）的值域为（-∞.+∞）.可知f（x）在（0.+∞）上存在零点.取并集可得实数a的取值范围．【解答】：解：当a＞0时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.要使函数f（x）在（0.+∞）上存在零点.则f（0）=lna- 12＜0.即0＜a＜√e；当a≤0时.函数f（x）在（-a.+∞）上单调递增.此时函数f（x）的值域（-∞.+∞）.则f（x）在（0.+∞）上存在零点．综上可得.a∈（-∞. √e）．故选：C．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查对数函数的性质.体现了分类讨论的数学思想方法.属中档题．8.（单选题.4分）函数f（x）=ln（x+a）- xx+1存在两个不同的极值点x1.x2.则实数a的取值范围是（）A. (34，1)∪(1，+∞)B.（0.+∞）C.（-∞.0）D. (−∞，34)【正确答案】：A【解析】：运用导数求函数的极值可解决此问题．【解答】：解：f（x）的定义域是（-a.+∞）.f′（x）= 1x+a - x+1−x(x+1)2= 1x+a- 1(x+1)2= x2+x+1−a(x+a)(x+1)2.令h（x）=x2+x+1-a.若函数f（x）存在两个不同的极值点x1.x2.则x2+x+1-a=0在（-a.+∞）有2个不同的根.∴a2-a+1-a＞0 ①- 12＞-a ②1-4（1-a）＞0 ③① ② ③ 联立得34＜a＜1或a＞1．故选：A．【点评】：本题考查利用导数研究函数的极值．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-2x+a.则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：求出f（x）的单调区间和值域.从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系.从而得出a的范围.再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】：解：函数f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1.则函数f（x）的值域为[a-1.+∞）.且f（x）在（-∞.1）上为减函数.在（1.+∞）为增函数.∵f（f（x））的值域与f（x）的值域相同.∴a-1≤1.解得a≤2.故“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的充分不必要条件.故选：B．【点评】：本题考查了函数的单调性和最值.考查了转化方法、方程与不等式的解法以及充分必要条件.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．10.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-x+1.记f1（x）=f（x）.当n≥2时.f n（x）=f n-1（f （x））.则对于下列结论正确的是（）A.f5（x）在(12，+∞)单调递增B.f5（x）在(12，+∞)单调递减C.f5（x）在(12，1)单调递减.（1.+∞）单调递增D.f5（x）在(12，1)单调递增.（1.+∞）单调递减【正确答案】：A【解析】：根据题意.函数f1（x）=f（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34.由二次函数的性质分析其单调性以及值域.由复合函数的单调性判断方法依次分析f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x）的单调区间.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f1（x）=f（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34.在（-∞. 12）上递减.在（12 .+∞）递增.且f（x）≥ 34；对于f2（x）=f1（f（x））.令t=f（x）.则t≥ 34 .则f2（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f3（x）=f2（f（x））.则f3（x）=f2（t）.t=f（x）.在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.且t≥ 34.而f2（x）在（12.+∞）递增.则f3（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f4（x）=f3（f（x））.则f4（x）=f3（t）.t=f（x）.在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.且t≥ 34.而f3（x）在（12.+∞）递增.则f4（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f5（x）=f4（f（x））.则f5（x）=f4（t）.t=f （x ）.在（-∞. 12 ）上递减.在（ 12 .+∞）递增.且t≥ 34 . 而f 4（x ）在（ 12.+∞）递增.则f 5（x ）在（-∞. 12 ）上递减.在（ 12 .+∞）递增. 故选：A ．【点评】：本题考查复合函数的单调性的判断.涉及二次函数的性质.关键是掌握复合函数单调性判定的方法.属于基础题．11.（填空题.6分）i 是虚数单位.设z= 1−i1+i +2i.则z=___ .|z|=___ ． 【正确答案】：[1]i; [2]1【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵z= 1−i1+i +2i= (1−i )2(1+i )(1−i)+2i =i .∴|z|=1． 故答案为：i ；1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础的计算题． 12.（填空题.6分）已知函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x，x ≥1 .则f （0）=___ .f （f （0））=___ ．【正确答案】：[1]2; [2]4【解析】：推导出（0）=3×0+2=2.从而f （f （0））=f （2）.由此能求出结果．【解答】：解：函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x ，x ≥1.∴f （0）=3×0+2=2. f （f （0））=f （2）=22=4． 故答案为：2.4．【点评】：本题考查等函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 13.（填空题.6分）设条件p ：|x|≤m （m ＞0）.q ：-1≤x≤4.若p 是q 的充分条件.则m 的最大值为___ .若p 是q 的必要条件.则m 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]4【解析】：先化简条件p.再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】：解：条件p：|x|≤m.可得：-m≤x≤m．条件q：-1≤x≤4.若p是q的充分条件.则-m≥-1.且m≤4.解得0＜m≤1.则m最大值为1.p是q的必要条件.则-m≤-1且m≥4.解得m≥4.则m的最小值为4.故答案为：1.4【点评】：本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.6分）已知函数f（x）=ae x-lnx-1.设x=1是f（x）的极值点.则a=___ .f（x）的单调增区间为___ ．; [2]（1.+∞）【正确答案】：[1] 1e【解析】：求出函数的导数.代入x的值.求出a的值.求出函数的单调区间即可．【解答】：解：∵函数f（x）=ae x-lnx-1．.∴x＞0.f′（x）=ae x- 1x∵x=1是f（x）的极值点..∴f′（1）=ae-1=0.解得a= 1e∴f（x）=e x-1-lnx-1.∴f′（x）=e x-1- 1.x当x＞1时.f′（x）＞0.∴f（x）在（1.+∞）单调递增..（1.+∞）．故答案为：1e【点评】：本题考查了函数的单调性.极值问题.考查导数的应用.是一道常规题．15.（填空题.4分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）-f（x）=2f（3）.则f（2019）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：对于f（x+6）-f（x）=2f（3）.可取x=-3.从而得出f（3）-f（-3）=2f（3）.根据f （x）是偶函数即可得出f（3）=0.从而得出f（x+6）=f（x）.即f（x）的周期为6.从而可求出f（2019）．【解答】：解：∵f（x）是偶函数.对f（x+6）-f（x）=2f（3）.取x=-3得.f（3）-f（-3）=2f （3）；∴f（3）=0；∴f（x+6）=f（x）；∴f（x）的周期为6；∴f（2019）=f（3+336×6）=f（3）=0．故答案为：0．【点评】：考查偶函数的定义.以及周期函数的定义．16.（填空题.4分）函数f（x）= {x2，x≥0−x2，x＜0.若对于在意实数x∈[-1.1].f（x+a）≥4f（x）.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：判断函数f（x）的单调性.将不等式进行转化.结合函数的单调性减求解即可．【解答】：解：当x≥0时.f（x）为增函数.且f（x）≥0.当x＜0时.f（x）为增函数.且f（x）＜0.综上f（x）在R上为增函数.且4f（x）=f（2x）.则不等式f（x+a）≥4f（x）等价为f（x+a）≥f（2x）.即x+a≥2x在x∈[-1.1].上恒成立.即a≥x在x∈[-1.1].上恒成立.∵-1≤x≤1.∴a≥1.即实数a的取值范围是[1.+∞）.故答案为：[1.+∞）【点评】：本题主要考查分段函数的应用.判断函数的单调性.将不等式进行转化是解决本题的关键．17.（填空题.4分）已知函数f（x）=sinx.若方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内有两个不同的解.则实数m的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]0＜m＜112或-2＜m＜- 14【解析】：利用换元法设t=f（x）=sinx.方程等价为m=-3t2+t.根t=sinx 交点个数.确定m=-3t2+t中t的取值范围.即可求出m的范围．【解答】：解：令t=f（x）=sinx.则方程等价为3t2-t+m=0.即m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112由t=f（x）=sinx得当t=1或0＜t≤ 12时.t=sinx只有一个根.当12＜t＜1时.t=sinx有两个不同的根.若t=1.此时m=-3+1=-2.此时方程3t2-t-2=0得（t-1）（3t+2）=0.得t=1或t=- 23 .当t=- 23时.t=sinx无解.此时方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内只有一个解不满足条件．若方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内有两个不同的解.等价为① 当0＜t≤ 12时.m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112有两个不同的交点.即0＜m＜112.或者② 当12＜t＜1时.m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112有1个交点.∵t= 12时.m=- 14.t=1时.m=-2∴此时-2＜m＜- 14.综上0＜m＜112或-2＜m＜- 14.故答案为：0＜m＜112或-2＜m＜- 14．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.利用换元法转化为两个函数根的个数关系是解决本题的关键．综合性较强.有一定的难度．18.（问答题.14分）记函数f （x ）=ln （1-x 2）的定义域为M.g （x ）=lg[（x+a+2）（-x-a+1）]的定义域为N ．（1）求M ；（2）若M⊆N .求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）解不等式求出M 即可；（2）求出N.根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组.解出即可．【解答】：解：（1）由题意得1-x 2＞0. 解得：-1＜x ＜1. 故M=（-1.1）.（2）由（x+a+2）（-x-a+1）＞0. 解得：-a-2＜x ＜-a+1. 故N=（-a-2.-a+1）. 若M⊆N .则 {−a −2≤−1−a +1≥1 .解得：-1≤a≤0．【点评】：本题考查了对数函数的性质.考查集合的包含关系.是一道常规题． 19.（问答题.15分）f （x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ． （1）若函数f （x ）在[0.2]上的最大值为3.求a 的值；（2）设函数f （x ）在[0.2]上的最小值为g （a ）.求g （a ）的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）讨论对称轴与区间的中点1可得；（2）讨论对称轴与区间的端点0和2的大小.利用二次函数的单调性可得．【解答】：解：（1）当 1+a3≤1.即a≤2时.f （x ）max =f （2）=8-3a=3解得a= 53 符合；当1+a3＞1.即a ＞2时.f （x ）max =f （0）=a=3.符合题意；综上a= 53.或者a=3 （2） ① 当 1+a3≤0.即 a≤-1时.f （x ）在[0.2]上递增.∴f （x ）min =g （a ）=f （0）=a ；② 当 1+a3≥2即a≥5时.f （x ）在[0.2]上递减.∴f （x ）min =g （a ）=f （2）=8-3a ；③ 当0＜ 1+a3 ＜2.即-1＜a ＜5时.f （x ）min =g （a ）=f （ 1+a 3 ）= −a 2+a−13 .综上得g （a ）= { a ，a ≤−1−a 2+a−13，−1＜a ＜58−3a ，a ≥5 ．【点评】：本题考查了二次函数的性质与图象.属难题． 20.（问答题.15分）已知函数 f (x )=13x 3+12 ．（1）求曲线y=f （x ）在点 P (1，56) 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点（2.a ）可作三条不同直线与曲线y=f （x ）相切.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率和切线方程.分别令y=0.x=0可得切线与x.y 轴的交点.可得三角形的面积；（2）设出切点坐标（m. 13 m 3+ 12 ）.求出原函数的导函数.写出切线方程.把点（2.a ）代入切线方程.整理得到4m 3-12m 2-3+6a=0有三个不同根.令g （x ）=4x 3-12x 2-3.利用导数求其极大值为g（0）.极小值为g（2）.由-6a介于极小值和极大值之间.即可求得a的范围．【解答】：解：（1）函数f(x)=13x3+12的导数为f′（x）=x2.曲线y=f（x）在点P(1，56)处的切线斜率为1.可得切线方程为y- 56 =x-1即y=x- 16.切线与x轴和y轴的交点为（16 .0）.（0.- 16）.可得切线与x轴和y轴围成的三角形面积为12 × 16× 16= 172；（2）f（x）= 13 x3+ 12.则f′（x）=x2.设切点为（m. 13 m3+ 12）.则f′（m）=m2．可得过切点处的切线方程为y- 13 m3- 12=m2（x-m）.把点（2.a）代入得a- 13 m3- 12=m2（2-m）.整理得4m3-12m2-3+6a=0.若过点（2.a）可作三条直线与曲线y=f（x）相切.则方程4m3-12m2-3+6a=0有三个不同根．令g（x）=4x3-12x2-3.则g′（x）=12x2-24x=12x（x-2）.当x∈（-∞.0）∪（2.+∞）时.g′（x）＞0；当x∈（0.2）时.g′（x）＜0.则g（x）的单调增区间为（-∞.0）.（2.+∞）；单调减区间为（0.2）．可得当x=0时.g（x）有极大值为g（0）=-3；当x=2时.g（x）有极小值为g（2）=-19．由-19＜-6a＜-3.得12＜a＜196．则实数n的取值范围是（12 . 196）．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.训练了利用导数求函数的极值.是中档题．21.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x- 12ax2 -b．（1）当a=1.b=1时.求f（x）在[-1.1]上的值域；（2）若对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.求a+b的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1.b=1时.f（x）=e x- 12x2-1．f′（x）=e x-x=g（x）．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．（2）对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.即b≤e x- 12ax2．亦即a+b≤e x- 12ax2 +a在R上恒成立．令h（x）=e x- 12ax2 +a.x∈R．h′（x）=e x-ax．对a分类讨论即可得出．【解答】：解：（1）当a=1.b=1时.f（x）=e x- 12x2-1．f′（x）=e x-x=g（x）．g′（x）=e x-1．可得：-1≤x≤0.则g′（x）＜0；0＜x≤1时.则g′（x）＞0．∴x=0时.函数g（x）取得极小值即最小值.g（0）=1＞0．∴函数f（x）在[-1.1]上单调递增．∴f（x）min=f（-1）= 1e - 32.f（x）max=f（1）=e- 32．∴f（x）在[-1.1]上的值域为[ 1e - 32.e- 32]．（2）对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.即b≤e x- 12ax2．亦即a+b≤e x- 12ax2 +a在R上恒成立．令h（x）=e x- 12ax2 +a.x∈R．h′（x）=e x-ax．a≥0时.不成立舍去．a＜0时.令e x-ax=0.x＜0．解得e x0 =ax0．可得函数h（x）在x=x0处取得极小值即最小值．∴h（x）min= e x0 - 12a x02 +a= e x0 - x0e x02+ e x0x0= e x0(1−x02+1x0) .令u（x）=e x(1−x2+1x) .x＜0．则u′（x）=e x• (x−1)(√2+x)(√2−x)2x2．可得x=- √2时.函数u（x）取得极大值即最大值．u（- √2）= e−√2．∴a+b的最大值是e−√2．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．22.（问答题.15分）已知a ＞0.函数f （x ）=e x +3ax 2-2ex-a+1. （1）若函数f （x ）在[0.1]上单调递减.求a 的取值范围； （2）|f （x ）|≤1对任意x∈[0.1]恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.问题转化为a≤ 2e−e x6x.令g （x ）=2e−e x6x.根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）问题转化为只需f （t ）+f （x ）max ≥0即可.又-1≤f （t ）≤1.故-1≤f （x ）max ≤1.从而求出a 的范围即可．【解答】：解：（1）f （x ）=e x +3ax 2-2ex-a+1. f′（x ）=e x +6ax-2e.由函数f （x ）在[0.1]上单调递减.得e x +6ax-2e≤0在[0.1]上恒成立． 当x=0时.对于任意正实数a.上式恒成立； 当x∈（0.1]时.则a≤ 2e−e x6x. 令g （x ）=2e−e x6x.则g′（x ）=−6xe x −12e+6e x36x 2.令h （x ）=-6xe x -12e+6e x .则h′（x ）=-6e x -6xe x +6e x =-6xe x ＜0. 则h （x ）在（0.1]上单调递减.∴h （x ）＜h （0）＜0． ∴g′（x ）＜0.则g （x ）在（0.1]上单调递减. 则g （x ） ≥g (1)=e6 ． ∴0＜a≤ e 6； （2）∵|f （x ）|≤1.∴ {|f (0)|=|2−a |≤1|f (1)|=|2a −e +1|≤1 . 解得： {1≤a ≤3e−22≤a ≤e 2.故a∈[1. e2].由（1）知f′（x）在[0.1]递增.且f′（0）=1-2e＜0.f′（1）=6a-e＞0.∴f（x）max=max{f（0）.f（1））}.设x=t（0＜t＜1）时.f′（x）=0.即e t+6at-2e=0.则f（x）在[0.t]递减.在（t.1]递增.故f（x）min=f（t）.若|f（x）|≤1.只需f（t）+f（x）max≥0即可. 又-1≤f（t）≤1.故-1≤f（x）max≤1.当2-a≥2a-e+1即a≤ e+13时.-1≤2-a≤1.解得：1≤a≤ e+13.当2-a＜2a-e+1即a＞e−13时.-1≤2a-e+1≤1.解得：e−13＜a≤ e2.综上.a∈[1. e2]．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用以及分类讨论思想.转化思想.是一道综合题．。
浙江省宁波市第九中学2018-2019学年高二数学理联考试题含解析
浙江省宁波市第九中学2018-2019学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别得到的范围，即可得出结果.【详解】由题意可得，，，所以.故选D【点睛】本题主要考查对数与指数幂比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于基础题型.2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则p=（）A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.3参考答案：C【分析】首先确定随机变量X所服从的分布列，然后结合分布列的计算公式可得p的值.【详解】由题意可知：，则：，解得：或0.6，，则：，整理可得：，故.故选：C.【点睛】本题主要考查二项分布的数学期望公式，二项分布的概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是A. B.C.2D. 3参考答案：C略4. 设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线参考答案：C【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的几何意义，判断选项即可．【解答】解：因为复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，复数z的几何意义是复平面的点到（3，﹣4），（﹣3，4）距离相等的点的轨迹，是两点的中垂线，故选：C．5. 函数的图象如图1所示，则的图象可能是（）参考答案：D6. 命题“?x∈[1，2]，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5参考答案：C【分析】由题意可得原命题为真命题的条件为a≥4，可得其充分不必要条件为集合{a|a≥4}的真子集，由此可得答案.【详解】解：命题“?x∈[1，2]，”为真命题，可化为?x∈[1，2]，，恒成立，即“?x∈[1，2]，”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．【点睛】本题属于命题与集合相集合的题目，解题的关键是明确充分不必要条件的定义.7. 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为参考答案：C【考点】系统抽样方法；简单随机抽样．【分析】本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等．【解答】解：由题意知本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等∴得到每个个体被抽到的概率是故选C．8. 是的等差中项，是的正的等比中项，大小关系是（）A. B. C. D.大小不能确定参考答案：A9. 下列命题中，错误的是（）A．平行于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行C．若a，b是异面直线，则经过直线a与直线b平行的平面有且只有一个D．若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用平面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析，指出错误的选项．解答：解：对于A，平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质定理和判定定理可以判断正确；对于B，垂直于同一个平面的两个平面平行是错误的；如墙角的三个平面；对于C，若a，b是异面直线，则经过直线a与直线b平行的平面有且只有一个；根据异面直线的定义以及线面平行的判定定理可以判断C是正确的；对于D，若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行；根据面面平行的性质定理知道D 是正确的．故选B．点评：本题考查了平面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练灵活地运用定理是关键．10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十进制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）A． B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为l的等腰梯形，则该平面图形的面积等于_________．参考答案：略12. 在正三棱锥中，过点作截面交分别，则截面的周长的最小值是________________.参考答案：13. 已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为．参考答案：10【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法，从而求出m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．故m=10．故答案为：10【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14. 二次方程,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是_______________参考答案：（－1,0）15. 刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中两人说对了．参考答案：乙丙【考点】进行简单的合情推理．【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．故答案为：乙、丙．16. 设，则的从大到小关系是 .参考答案：17. 在△ABC中，∠ABC=，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为，则sinθ=．参考答案：【分析】过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∠ADO=，∠ABO=θ，由此能求出sinθ．【解答】解：过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∴∠ADO平面ABC与平面α所成的二面角为，即∠ADO=，∠ABO是直线AB与平面α所成角，即∠ABO=θ，由题意可知，AO=AD，AB=AD，sinθ==三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷及解析
2018-2019学年宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B 正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小. 【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C二、填空题.11.双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用双曲线的a，b，c的关系，直接计算．【详解】解：双曲线1中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝15．且焦点在y轴上，∴双曲线1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y．故答案为：（0，），y＝±2x【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12.在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.【答案】 (1). （） (2).【解析】利用空间向量加法定理能求出（x，y，z）；利用空间向量数量积公式能求出||．【详解】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH EF，∴（）（）[]，∵x y z，∴（x，y，z）＝（）．∵⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，∴2（）22，∴||．故答案为：（），．【点睛】本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．13.设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：∵，，∴z＝（）2018+（）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，∴，则的虚部为1．|z|．故答案为：1；．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算．【详解】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：几何体的表面积：15．∴几何体的体积V＝1；故答案为：15；，【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15.已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，利用数形结合法把x化为|PA|﹣|PF|+2，从而求得最大值．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示；由图形知，x＝|PA|﹣x＝|PA|﹣（|PM|﹣2）＝|PA|﹣（|PF|﹣2）＝|PA|﹣|PF|+2≤|AF|+22；即x的最大值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．16.已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.【答案】【解析】【分析】由条件可得，转化为，从而得到椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由可得∴，即，∴∴故答案为：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17.已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为 ____.【答案】【解析】【分析】首先明确在平面上的投影的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.【详解】取AB中点为H，连接DH交AE于G，由题意可知：在平面上的投影落在线段GH上，如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为，易得：F到直线的距离为：，，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线段的长度，考查线面间的位置关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知，设命题：当时，函数恒成立，命题：双曲线的离心率.（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；（Ⅱ）由双曲线的离心率公式，可得a的范围，由题意可得p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）当时，因为在上为减函数，在上为增函数，∴在上最小值为.当时，由函数恒成立，得，解得.（Ⅱ）若命题为真命题，则，解得，若为真命题且为假命题，则，可得，若为假命题且为真命题，则，此时，由上可知，的取值范围为.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法，属于基础题．19.如图，在四面体中，，，.（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）作平面于，连,证明是的角平分线，由求得，即可得到点到平面的距离；（Ⅱ）取空间基底为，，，用基底表示，代入夹角公式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）作平面于，连作于，于，连，∴平面，平面，∴，，所以，∵，四边形为正方形，∴是的角平分线，∴∴，即，∴，∴.（Ⅱ）（方法1）记，，，则，记，∵，又，，，∴，即，所以异面直线与所成角的大小为.（方法2）以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标，，，，则，设异面直线与所成角为，则,,∴，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查空间点到平面的距离，异面直线所成角，考查空间问题坐标化，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题.20.如图，已知多面体中，，平面，，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理得PB，从而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能证明PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，从而sin∠PCD，S△ACD＝2，设直线PA 与平面PCD所成角为θ，点A到平面PCD的距离为h，由V A﹣PDC＝V P﹣ACD，得h，从而sinθ，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）在中，，，，所以，，所以，，因为，所以，，，四点共面.又平面，平面，所以.又，，所以平面.（Ⅱ）（方法一）在中，，在中，.在直角梯形中，.在中，，.所以，.设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以，，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法二）由（Ⅰ）知，平面，.以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设直线与平面所成的角为，设平面的一个法向量为，由得取，则，，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法三）延长，相交于点，连结.因为，，所以为的中位线，点，分别为，的中点.所以为等腰三角形.取中点，连，.所以，，，所以平面，又平面，所以平面平面.作于，连，所以平面.所以就是直线与平面所成的角.因为，，，所以，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记得到的四边形的面积为，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用椭圆定义即可得到点的轨迹的方程；（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，可得可得,故，结合均值不等式可得结果.【详解】（Ⅰ）∵点是线段的垂直平分线上的点，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，∴，，.因此，点的轨迹方程是.（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，代入椭圆方程可得：，设，，则即，代入椭圆方程可得：，设，到直线的距离分别为和，则,,,,当，即时取“”的最大值.【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题．22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为.（Ⅰ）求切线，的方程；（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.【答案】（Ⅰ）切线的方程为,切线的方程为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（另解：设切线的方程为：由消去后可得：∴∴切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（Ⅱ）因为点既在切线上，也在切线上，由（1）可得，，故，.又点的坐标为.所以点的纵坐标为，即点的坐标为.故在抛物线上.（Ⅲ）由（Ⅰ）知：，，所以.设，则.当时，即当时，取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
2018-2019学年浙江省宁波市高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．）1．（4分）已知圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝2，则它的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，3），2B．（2，﹣3），2C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），2．（4分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．3．（4分）已知空间向量＝（3，1，0），＝（x，﹣3，1），且⊥，则x＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．24．（4分）已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或15．（4分）对于实数m，“1＜m＜2”是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若x，y满足约束条件，则z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值7．（4分）设a，b为空间两条直线，α，β为空间两个平面，则下列命题中真命题的是（）A．若a不平行α，则在α内不存在b，使得b平行aB．若a不垂直α，则在α内不存在b，使得b垂直aC．若α不平行β，则在β内不存在a，使得a平行αD．若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α8．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），若直线y＝k（x﹣3）上存在四个点P（i＝1，2，3，4），使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣，0）∪（0，）9．（4分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0），C2：﹣＝1（m＞0，n＞0），若双曲线C1，C2的渐近线方程均为y＝±kx（k＞0），且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为（）A．B．2C．D．210．（4分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S﹣ABCD为阳马，且AB＝AD，SD⊥底面ABCD．若E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AE﹣D的平面角为γ，则A．β≤γ≤αB．β≤α≤γC．α≤γ≤βD．α≤β≤γ二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．（6分）椭圆x2+＝1的长轴长为，左顶点的坐标为．12．（6分）命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为，这个否命题是一个命题．（可填：“真”，“假”之一）13．（6分）已知圆C：x2+y2﹣4x+a＝0，则实数a的取值范围为；若圆x2+y2＝1与圆C外切，则a的值为．14．（4分）已知AE是长方体ABCD﹣EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条．15．（4分）已知双曲线﹣＝1（m＞0）的一个焦点为F1（5，0）（设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝．（用数值表示）16．（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BC的中点，P是平面CDD1C1内一点，且满足S△APD＝S△CPE，则线段C1P的长度的取值范围为．17．（6分）已知A（﹣3，0），B（3，0）及两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，则|CD|＝，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共74分．解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（14分）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线4x+3y+2＝0和2x+y+2＝0的交点P．（Ⅰ）若l与直线2x+3y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与圆x2+2x+y2＝0相切，求直线l的方程．19．（15分）如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F （Ⅰ）求证：＝；（Ⅱ）若AB＝BC，AD＝2，BE＝，CF＝4，求直线AD与CF所成的角．20．（15分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AF⊥MC．（Ⅰ）证明：MC⊥平面ADM；（Ⅱ）若AB＝2，DM＝MC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．21．（15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C 的准线的距离为．（Ⅰ）求点Q的纵坐标；（可用p表示）（Ⅱ）求抛物线C的方程；（Ⅲ）设直线l：y＝kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B．若点M的横坐标为2，且△QAB的面积为2，求直线l的方程．22．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y＝﹣x与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为﹣，且直线l外的一点Q满足：⊥，⊥．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求点Q的轨迹；（Ⅲ）求△MNQ面积的最大值．2018-2019学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．）1．（4分）已知圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝2，则它的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，3），2B．（2，﹣3），2C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），【分析】直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可．【解答】解：由圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝2，可得它的圆心和半径分别为（﹣2，3），．故选：C．【点评】本题考查了圆的标准方程，是基础题．2．（4分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ＝﹣，求得θ值，即为所求．【解答】解：直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ＝﹣，∴θ＝，故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到tanθ＝﹣，是解题的关键．3．（4分）已知空间向量＝（3，1，0），＝（x，﹣3，1），且⊥，则x＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．2【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出向量等式；利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出x的值．【解答】解：∵∴∴3x﹣3＝0解得x＝1故选：C．【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量数量积公式：对应坐标乘积的和．4．（4分）已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．【解答】解：﹣2+a＝0，即a＝2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为2x+y＝0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；﹣2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为+＝1，它在两坐标轴上的截距为＝2﹣a，解得a＝1；综上所述，实数a＝2或a＝1．故选：D．【点评】本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．5．（4分）对于实数m，“1＜m＜2”是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程+＝1表示双曲线，则（m﹣1）（m﹣2）＜0，得1＜m＜2，则“1＜m＜2”是“方程+＝1表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键．6．（4分）若x，y满足约束条件，则z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【分析】画出x，y满足的平面区域，利用y＝﹣x+z的截距的最值求得z的最值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y＝﹣x+z经过A时z最小，经过B时z最大，由得到A（2，0）所以z的最小值为2+0＝2，由于区域是开放型的，所以z无最大值；故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值．7．（4分）设a，b为空间两条直线，α，β为空间两个平面，则下列命题中真命题的是（）A．若a不平行α，则在α内不存在b，使得b平行aB．若a不垂直α，则在α内不存在b，使得b垂直aC．若α不平行β，则在β内不存在a，使得a平行αD．若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D 正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），若直线y＝k（x﹣3）上存在四个点P（i＝1，2，3，4），使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣，0）∪（0，）【分析】根据△MNP是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线y＝k（x﹣3）相交，且k≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【解答】解：当P1M⊥x，P4M⊥x时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，△MNP是直角三角形，要使直线y＝k（x﹣3）上存在四个点P（i＝1，2，3，4），使得△MNP是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线y＝k（x﹣3）相交，且k≠0，圆心O到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离d＝＜2，平方得9k2＜4（1+k2）＝4+4k2，即5k2＜4，即k2＜，得﹣＜k＜，即﹣＜k＜，又k≠0，∴实数k的取值范围是（﹣，0）∪（0，），故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合△MNP是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键．9．（4分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0），C2：﹣＝1（m＞0，n＞0），若双曲线C1，C2的渐近线方程均为y＝±kx（k＞0），且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为（）A．B．2C．D．2【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得e12﹣1＝k2，e22﹣1＝，即（e12﹣1）（e22﹣1）＝1，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：∴双曲线C1，C2的渐近线方程均为y＝±kx，∴＝k，＝k，∴e1＝＝，e2＝＝＝，∴e12﹣1＝k2，e22﹣1＝，∴（e12﹣1）（e22﹣1）＝1，∴e12e22﹣（e12+e22）＝0，∴e12e22﹣（e1+e2）2+e1e2＝0∴（）4﹣（e1+e2）2+（）2≥0，当且仅当e1＝e2＝时取等号，即k ＝1时取等号，∴（e1+e2）2≥8∴e1+e2≥2故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式，考查运算能力，属于中档题10．（4分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S﹣ABCD为阳马，且AB＝AD，SD⊥底面ABCD．若E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AE﹣D的平面角为γ，则A．β≤γ≤αB．β≤α≤γC．α≤γ≤βD．α≤β≤γ【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到β＜γ＝∠SAD＜α，从而β≤γ≤α．【解答】解：四棱锥S﹣ABCD为阳马，且AB＝AD，SD⊥底面ABCD．E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AE﹣D的平面角为γ，∴β＜γ＝∠SAD＜α，∴β≤γ≤α．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．（6分）椭圆x2+＝1的长轴长为10，左顶点的坐标为（﹣1，0）．【分析】直接由椭圆的性质得答案．【解答】解：由椭圆x2+＝1可知，椭圆焦点在y轴上，∴，∴长轴长2a＝10，左顶点的坐标为（﹣1，0）．故答案为：10；（﹣1，0）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．12．（6分）命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为若两个整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，这个否命题是一个假命题．（可填：“真”，“假”之一）【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则a+b 为偶数，即可判断真假．【解答】解：命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数”，由a，b均为奇数，可得a+b为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，假．【点评】本题考查命题的否命题和真假判断，考查判断能力和推理能力，是一道基础题．13．（6分）已知圆C：x2+y2﹣4x+a＝0，则实数a的取值范围为（﹣∞，4）；若圆x2+y2＝1与圆C外切，则a的值为3．【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解即可．【解答】解：由x2+y2﹣4x+a＝0得（x﹣2）2+y2＝4﹣a，若方程表示圆，则4﹣a＞0，得a＜4，即实数a的取值范围是（﹣∞，4），圆心C（2，0），半径R＝，若圆x2+y2＝1与圆C外切，则|OC|＝R+1，即2＝+1，即＝1，即4﹣a＝1，得a＝3，故答案为：（﹣∞，4），3．【点评】本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用，根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键．14．（4分）已知AE是长方体ABCD﹣EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有4条．【分析】作出长方体ABCD﹣EFGH，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数．【解答】解：作出长方体ABCD﹣EFGH，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．【点评】本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．15．（4分）已知双曲线﹣＝1（m＞0）的一个焦点为F1（5，0）（设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝17或1．（用数值表示）【分析】根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（m＞0）的一个焦点为F1（5，0），∴c＝5，∴a2＝c2﹣b2＝25﹣9＝16，∴a＝4，∵P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，∴||PF2|﹣|PF1||＝2a＝8，∴|PF2|＝17，或|PF2|＝1，故答案为：17或1【点评】本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||＝2a，是解题的关键，属基础题．16．（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BC的中点，P是平面CDD1C1内一点，且满足S△APD＝S△CPE，则线段C1P的长度的取值范围为[3，7]．【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，得解．【解答】解：由S△APD＝S△CPE，得2PD＝PC，在平面CDD1C1内，以D为原点建立坐标系如图，设P（x，y），则4（x2+y2）＝（x﹣3）2+y2，整理得（x+1）2+y2＝4，设圆心为M，求得|C1M|＝5，∴C1P的取值范围是：[5﹣2，5+2]，故答案为：[3，7]．【点评】此题考查了点的轨迹的求法，圆外一点到圆上点的距离最值问题，难度适中．17．（6分）已知A（﹣3，0），B（3，0）及两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，则|CD|＝，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为+【分析】利用两平行线间的距离公式能求出|CD；当直线CD的方程为：x+y＝0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值．【解答】解：∵两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0互相平行，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，∴|CD|＝＝，∵A（﹣3，0），B（3，0）及两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，∴当直线CD的方程为：x+y＝0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值，联立，得C（﹣），联立，得D（），∴|AC|+|CD|+|DB|的最小值为：++＝．故答案为：，．【点评】本题考查线估长的求法，考查三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（14分）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线4x+3y+2＝0和2x+y+2＝0的交点P．（Ⅰ）若l与直线2x+3y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与圆x2+2x+y2＝0相切，求直线l的方程．【分析】（1）联立方程组求出点P（﹣2，2），由点P（﹣2，2），且所求若l与直线2x+3y ﹣1＝0垂直，设所求直线l的方程为3x﹣2y+m＝0，将点P坐标代入能求出直线l的方程．（II）求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由，解得x＝﹣2，y＝2，则点P（﹣2，2）由于点P（﹣2，2），且所求直线l与直线2x+3y﹣1＝0垂直，设所求直线l的方程为3x﹣2y+m＝0，将点P坐标代入得3×（﹣2）﹣2×2+m＝0，解得m＝10．故所求直线l的方程为3x﹣2y+10＝0．（II）圆的标准方程为（x+1）2+y2＝1，所以圆心为（﹣1，0），半径为1，若直线l的斜率不存在，此时x＝﹣2，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+2），则圆心到直线l的距离d＝＝1，解得k＝﹣【点评】本题考查直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，直线和圆的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．（15分）如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F （Ⅰ）求证：＝；（Ⅱ）若AB＝BC，AD＝2，BE＝，CF＝4，求直线AD与CF所成的角．【分析】（Ⅰ）连接AF交平面β于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；（Ⅱ）找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF交平面β于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，则，同理，由α∥β，可得GE∥AD，则．∴＝；（Ⅱ）解：∵BG∥CF，GE∥AD，∴∠BGE（或其补角）就是直线AD与CF所成的角．∵，，∴BG＝2，GE＝1，又BE＝，CF＝4，∴由余弦定理可得cos，得∠BGE＝120°．∴直线AD与CF所成的角为60°．【点评】本题考查异面直线所成角，考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，是中档题．20．（15分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AF⊥MC．（Ⅰ）证明：MC⊥平面ADM；（Ⅱ）若AB＝2，DM＝MC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥平面MCD，AD⊥MC，再由AF⊥MC，能证明MC⊥平面ADM．（Ⅱ）由MC⊥平面ADM，知MC⊥MD，从而MC＝MD＝，过M作MO⊥CD，交CD于O，则MO⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．【解答】证明：（Ⅰ）平面ABCD⊥平面MCD，平面ABCD∩平面MCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面MCD，∵MC⊂平面MCD，∴AD⊥MC，又AF⊥MC，AD∩AF＝A，∴MC⊥平面ADM．解：（Ⅱ）由MC⊥平面ADM，知MC⊥MD，∴MC＝MD＝，过M作MO⊥CD，交CD于O，∵平面ABCD⊥平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，1，1），设＝，（λ＞0），则F（0，λ，λ），∴＝（﹣2，λ，λ），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，﹣1，1），设平面MBC的一个法向量＝（x，y，z），则由，得，取y＝1，得＝（0，1，1），设直线AF与平面MBC所成的角为θ，则cosθ＝，∴sinθ＝＝＝，解得，∴F是DM的中点．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线面角的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C 的准线的距离为．（Ⅰ）求点Q的纵坐标；（可用p表示）（Ⅱ）求抛物线C的方程；（Ⅲ）设直线l：y＝kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B．若点M的横坐标为2，且△QAB的面积为2，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）根据焦点F（0，）以及△MFO的外接圆的圆心为Q，即可求出；（Ⅱ）由题意可得﹣（﹣）＝，解得p＝2，即可求出抛物线方程；（Ⅲ）先判断△MFO为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）设Q（x Q，y Q），∵焦点F（0，）以及△MFO的外接圆的圆心为Q，∴Q点的纵坐标为y Q＝，（Ⅱ）∵抛物线C的准线方程为y＝﹣，∴﹣（﹣）＝，解得p＝2，∴抛物线C的方程x2＝4y．（Ⅲ）可知M（2，1），F（0，1），O（0，0），∴△MFO为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为（1，），∴点Q到直线AB的距离d＝，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消y可得x2﹣4kx﹣2＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣2，∴|AB|＝•＝•，∴S△QAB＝|AB|•d＝＝2，解得k2＝2，即k＝±，∴直线l的方程为y＝±x+【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．22．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y＝﹣x与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为﹣，且直线l外的一点Q满足：⊥，⊥．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求点Q的轨迹；（Ⅲ）求△MNQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；（Ⅱ）设点Q（x，y），设点P（x0，y0），由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q 的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；（Ⅲ）求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出△MNQ 面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用△＝0，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出△MNQ面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出△MNQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）可知，又M在E上，所以，另外，所以可解得a＝2，，得E的方程为；（Ⅱ）由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点Q（x，y），P（x0，y0），则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点P（x0，y0）在E上，所以，，即，代入，即．当时，得2x2+y2＝5；当时，则得或．此时，或，也满足方程2x2+y2＝5．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆2x2+y2＝5除去四个点、、、的曲线；（Ⅲ）因为点Q（x，y）到直线的距离，且易知，所以，△MNQ的面积为＝＝＝═＝．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，△MNQ面积的最大值为；（一）几何相切法：设l的平行直线，由，得，由△＝0得．可得此时椭圆2x2+y2＝5与l′相切的切点为、，易得△MNQ面积的最大值为（因为）．（二）三角换元法：由Q的轨迹方程2x2+y2＝5，设，，代入，∴．易得△MNQ面积的最大值为（因为）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算，考查计算能力，属于难题．。
北仑区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
北仑区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． sin （﹣510°）=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣2． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16B ．6C ．4D ．83． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ） A ．（0，e ﹣2） B ．（e ﹣2，+∞） C ．（﹣∞，e ﹣2） D ．（e ﹣2，+∞）4． 已知f （x ）=，若函数f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（1，2）C ．[2，3）D ．（1，2]5． 函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．46． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．7．下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.8．方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（）A．两个点B．四个点C．两条直线 D．四条直线9．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i10．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A．512个B．256个C．128个D．64个11．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 12．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．14．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．15．已知a ，b 是互异的负数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 的等比中项，则A 与G 的大小关系为 ．16．过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．17．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为18．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．三、解答题19．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .20．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
北仑区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
北仑区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． sin （﹣510°）=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣2． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（）A ．16B ．6C ．4D ．83． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ）A ．（0，e ﹣2）B ．（e ﹣2，+∞）C ．（﹣∞，e ﹣2）D ．（e ﹣2，+∞）4． 已知f （x ）=，若函数f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．（1，3）B ．（1，2）C ．[2，3）D ．（1，2]5． 函数f （x ）＝，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）kx ＋bx ＋1A ．－1 B ．1C ．2D ．46． 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）[1,1]t ∈-S A. B. C. D.[0,2]e -(,2]e -¥-[0,5][3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．7．下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.8．方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（）A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线9．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i10．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A．512个B．256个C．128个D．64个11．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．4B ．8C ．12D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．12．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．14．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．15．已知a ，b 是互异的负数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 的等比中项，则A 与G 的大小关系为 ．16．过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．17．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 18．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．三、解答题19．数列中，，，且满足.{}n a 18a =42a =*2120()n n n a a a n N ++-+=∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求.12||||||n n S a a a =++ n S 20．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
宁波市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
宁波市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）2．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A．B．C．πD．2π3．α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．4．已知直线l1经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直5．下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（）A ．B ．C ．D ．7． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++= 8． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P （ξ≥1）等于（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．323π B ．16π C.253π D ．312π11．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（）A．80＋20πB．40＋20πC．60＋10πD．80＋10π12．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题13．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．14．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=．15．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．16．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．17．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）18．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．三、解答题19．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ） （1）求f （1）的值，（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．20．巳知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 和g （x ）=ax 2+bx+c •lnx （abc ≠0）．（Ⅰ）证明：当a ＜0时，无论b 为何值，函数g （x ）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点C （x 0，y 0），记直线AB 的斜率为k 若f （x ）满足k=f ′（x 0），则称其为“K 函数”．判断函数f （x ）=ax 2+bx+c 与g （x ）=ax 2+bx+c •lnx 是否为“K 函数”？并证明你的结论．21．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x af x b+-+=+.（1）当1a b ==时，求满足()3xf x =的x 的取值；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围； ②若函数()g x 满足()()()12333x xf xg x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.22．如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91=0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．23．（本小题满分12分）椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，k P A·k PB＝－12.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．24．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．（1）求证：AD＝122b2＋2c2－a2；（2）若A＝120°，AD＝192，sin Bsin C＝35，求△ABC的面积．宁波市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．2．【答案】B【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．则f（x）=x3﹣x2+ax，函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，因为原点处的切线斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵k OB=﹣，k OA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．3．【答案】B【解析】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．4．【答案】A【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直故选A5．【答案】C【解析】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．6．【答案】B【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x ＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性．所以B不能作为函数图象．故选B．【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．7．【答案】B【解析】考点：圆的方程.1111]8．【答案】A【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=．故选：A．9．【答案】A【解析】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=∴∴P（ξ≥1）=．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．10．【答案】A【解析】考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11．【答案】【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．依题意得（2r×2r＋12）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，2πr即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，∴r＝2，∴该几何体的体积为（4×4＋12）×5＝80＋10π.2π×212．【答案】C【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈100﹣20 1 是第二圈100﹣20﹣21 2 是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是则输出的结果为7．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．二、填空题13．【答案】{0，1}．【解析】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．14．【答案】．【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，∴，解得b=1，a=2．∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．【答案】31【解析】16．【答案】63【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．17．【答案】②③④【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；②函数y=[sinx]的周期与y=sinx的周期相同，故是周期为2π的周期函数；③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx不存在零点；④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：②③④．【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．18．【答案】．【解析】解：∵曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）∴曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）=．故答案为：．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（）＜f（6），∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得﹣3＜x＜9，即不等式的解集为（﹣3，9）．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，则有g′（x）=2ax+b+=＞0；从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，k==a（x1+x2）+b=2ax0+b；又f′（x0）=2ax0+b，故k=f′（x0）；故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，不妨设0＜x1＜x2，则k==2ax0+b+；而g′（x0）=2ax0+b+；故=，化简可得，=；设t=，则0＜t ＜1，lnt=；设s （t ）=lnt ﹣；则s ′（t ）=＞0；则s （t ）=lnt ﹣是（0，1）上的增函数，故s （t ）＜s （1）=0；则lnt ≠；故g （x ）=ax 2+bx+c •lnx 不是“K 函数”．【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．21．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6【解析】试题解析：（1）由题意，131331x x x +-+=+，化简得()2332310xx ⋅+⋅-= 解得()13133x x =-=舍或，所以1x =-（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x a b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1{ 3a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()13133x x f x +-+=+①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有：()()()()211212121222333313133131x x x x xx f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x->，所以()()12f x f x >， 因此()f x 在R 上递减．因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-， 即220t t k +-<在时有解所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞②因为()()()12333x xf xg x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-即()33xxg x -=+所以()()222233332x x x xg x --=+=+-不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，即()()23323311x xx x m --+-≥⋅+-，即：93333x x x xm --≤+++恒成立令33,2x xt t -=+≥，则9m t t≤+在2t ≥时恒成立令()9h t t t =+，()29'1h t t=-，()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
1901宁波市高二上期末考数学试卷 含答案
22 ．（ 本 题 满 分
15
分）已知椭圆
E
：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
2 ，直线 l ： 2
y 2 x 与椭圆 E 相交于 M ， N 两点， 点 P 是椭圆 E 上异于 M ， N 的任意一点，若 2
点 M 的横坐标为 2 ，且直．线．l 外．的一点 Q 满足： MQ MP ， NQ NP ．
AD CD ， AD 平面 ABCD ，所以 AD 平面 MCD ，
而 MC 平面 MCD ，所以 AD MC ，
又 AF MC ， AF, AD 平面 ADM ，所以 MC 平面 ADM
(Ⅱ)由 MC 平面 ADM 可知， MC MD ，所以 MC MD 2 ，
过 M 作 MO CD 交 CD 于 O ，易证 MO 平面 ABCD ，
A． 5
B． 2 2
C． 6
D． 2 3
10．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
S
的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥 S ABCD 为阳马，
且 AB=AD ， SD 底面 ABCD ．若 E 是线段 AB 上的点
（不含端点），设 SE 与 AD 所成的角为 ， SE 与底面
ABCD 所成的角为 ，二面角 S AE D 的平面角为 ，则
圆心到直线 l 的距离 d 2 k 1 ，解得 k 3 ，
k2 1
4
所以直线 l 的方程为 3x 4y 2 0 或 x 2 ．
19．(Ⅰ)连结 AF 交平面 于 G ，连结 AD, BE,CF, BG, EG .
因为 ‖ ，平面 ACF