宁波市2018-2019学年第一学期期末九校联考高二数学试卷
【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题-
绝密★启用前【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆的短轴长为（ ）A ．8B ．10C ．5D ．42．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 ， ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则D ．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 4．有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题； ②“若 ，则 ”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题；④“若 ，则方程 有实根”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴……○…………※※请※※不※……○…………A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题正确的是（ ）A ． 是向量 ， 不共线的充要条件B ．在空间四边形 中，C ．在棱长为1的正四面体 中，D ．设 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，若，则 ， ， ， 四点共面 7．若椭圆与双曲线有公共的焦点， ，点 是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知 为双曲线右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形 ， ， 现将 沿 折起，当二面角 的大小在时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若长方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ， .分别记二面角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与 的值有关………外……装…………○…订…………○※※要※※在※※装※※订※内※※答※※题※※………内……装…………○…订…………○第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.12．在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.13．设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.14．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.15．已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.16．已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.17．已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为____.三、解答题………外……………装…………○……………○…………__姓名：___________班级：_：___________………内……………装…………○……………○…………18．已知 ，设命题 ：当 时，函数恒成立，命题 ：双曲线的离心率 .（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.19．如图，在四面体 中， ， ， .（Ⅰ）求点 到平面 的距离； （Ⅱ）求异面直线 与 所成角的大小.20．如图，已知多面体 中， ， 平面 ， ， ， ， .（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.21．已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 作两条斜率之积为的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，……○…………线…………题※※……○…………线…………22．如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别为 ， ，记线段 的中点为 .（Ⅰ）求切线 ， 的方程；（Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上；（Ⅲ）设点 为圆 上的点，当取最大值时，求点 的纵坐标.参考答案1．A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4．C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则＞0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8．D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PF A＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到P A的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9．C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（，，），∴，，，，，，设AB、CD的夹角为α，则cosα ，∵，∴cos，，∴|1|[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由 β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴ β∴β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
2018年第一学期宁波市九校联考高二数学答案
2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114． ，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分） 解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分 若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即 所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分 （方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分 设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=， 所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分 在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分 故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，， 所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分 所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |， 故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =， 所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =， 所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ， 所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ， 所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===， 故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分 设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ） 证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分 所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=， 即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分 （Ⅲ）解 由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分 设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或，即或则本题正确选项：【点睛】本题主要考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又本题正确选项：【点睛】本题考查与对数函数有关的比较大小类问题，属于基础题.3.曲线在点（1，0）处切线的倾斜角为，则（）A. 2B.C. -1D. 0【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.4.已知定义在R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数不一定存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷 解析版
绝密★启用前2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷解析版一、单选题1．已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A．，2 B．，2 C．，D．，【答案】C【解析】【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，即可求解.【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知空间向量1，，，且，则A．B．C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选：C．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A．1 B．C．或1 D．2或1【答案】D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.6．设x,y满足( )A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.考点：线性规划.7．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若不平行于，则在内不存在，使得平行于B．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C．若不平行于，则在内不存在，使得平行于D．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于【答案】D【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【详解】当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解答中根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为，所以，，则，，所以，，所以，即，所以则，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到，从而，得到答案.【详解】由题意，四棱锥为阳马，（如图所示）且，底面是线段AB 上的点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．【答案】10【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得的值，即可得到答案.【详解】由椭圆可知，椭圆焦点在y轴上，则，即，长轴长，左顶点的坐标为．故答案为：10；．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程的性质，正确求解的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12．命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则不是偶数假【解析】【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则为偶数，即可判断真假．【详解】由题意，命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则不是偶数”，由a，b均为奇数，可得为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则不是偶数，假．【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题．13．已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C 外切，则a的值为______．【答案】3【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，圆，可得得，若方程表示圆，则，得，即实数a的取值范围是，圆心，半径，若圆与圆C外切，则，即，即，即，得，故答案为：，3．【点睛】本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的应用，其中解答中利用配方法求解，以及根据两圆的位置关系，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条【答案】4【解析】【分析】作出长方体，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数，得到答案．【详解】由题意，作出长方体，如图所示，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了异面直线的定义及应用，其中解答中正确理解异面直线的概念，利用列举法准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算、求解能力，属于基础题.15．已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示【答案】17或1【解析】【分析】根据已知条件，求得的值，再利用双曲线的定义进行求解，即可得到答案．【详解】由题意知，双曲线的一个焦点为，，又由，，因为为双曲线上一点，且，根据双曲线的定义可知，所以，或，故答案为：17或1【点睛】本题主要考查了双曲线的定义与标准方程的应用，其中解答中运用双曲线的定义是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，即可求解．【详解】由题意知，，根据三角形的面积公式，可得，在平面内，以D为原点建立坐标系，如图所示，设，则，整理得，设圆心为M，求得，所以的最小值为，的最大值为，所以的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆外一点到圆上点的距离的最值问题，其中解答中利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，确定点P轨迹为圆，转化为点到圆上各点的距离最值问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______【答案】【解析】【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；当直线CD的方程为时，取最小值，得到答案．【详解】由题意知，两直线：，：互相平行，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示，由两平行线间的距离公式可得，因为，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，所以当直线CD的方程为：时，取最小值，联立，得，联立，得，的最小值为：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题．三、解答题18．在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】联立方程组求出点，由点，且所求若l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．【详解】Ⅰ由题意，联立，解得，，则点由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入得，解得，故所求直线l的方程为．由，可得圆的标准方程为，所以圆心为，半径为2，若直线l的斜率不存在，此时，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，解得【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，以及直线和圆的位置关系等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.19．如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；Ⅱ根据异面直线所成角的定义，找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．【详解】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．由，平面，平面，所以，则，同理，由，可得，则．所以；Ⅱ因为，，所以或其补角就是直线AD与CF所成的角．因为，，所以，，又，，由余弦定理可得，得．即直线AD与CF所成的角为．【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中正确认识空间图形的结构特征，利用异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力，属于基础题.20．如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F 在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F 的位置．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）是DM的中点．【解析】【分析】Ⅰ推导出平面MCD，，再由，能证明平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，从而，过M作，交CD于O，则平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．【详解】Ⅰ平面平面MCD，平面平面，，平面ABCD，平面MCD，平面MCD，，又，，由线面垂直的判定定理可得平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，所以，过M作，交CD于O，因为平面平面MCD，所以平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则0，，2，，2，，0，，1，，设，，则，，0，，，设平面MBC的一个法向量y，，则由，得，取，得1，，设直线AF与平面MBC所成的角为，则，所以，解得，即是DM的中点．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.21．已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．【详解】Ⅰ由题意，设，因为焦点以及的外接圆的圆心为Q，则线段的垂直平分线的方程为，所以点的纵坐标为.（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为，所以，解得，所以抛物线C的方程．Ⅲ可知，，，为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，点Q到直线AB的距离，设，，联立方程组，消y可得，，，，，即，解得，即，所以直线l的方程为【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中把直线的方程与抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系和弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于中档试题.22．已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l 外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆除去四个点、、、的曲线；（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；Ⅱ设点，设点，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出面积的最大值．【详解】Ⅰ由题意，点M的横坐标为，且在直线上，可得，又M在E上，所以，另外，所以可解得，，得E的方程为；Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点，，则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点在E上，所以，，即，代入，即．当时，得；当时，则得或．此时，或，也满足方程．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆除去四个点、、、的曲线；Ⅲ因为点到直线的距离，且易知，所以，的面积为．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，面积的最大值为；一几何相切法：设l的平行直线，由，得，由得．可得此时椭圆与相切的切点为、，易得面积的最大值为因为二三角换元法：由Q的轨迹方程，设，，代入，．易得面积的最大值为因为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，属于难题.。
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷及解析
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。
鄞州区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
鄞州区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种3． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）A ．232B ．252C ．472D ．484 4． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-6． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．7． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位 8． 函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ≤ B ．0≤a ≤ C ．0＜a ＜ D ．a ＞9． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞） B ．[0，3] C ．（﹣3，0] D ．（﹣3，+∞）10．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°11．直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________. 14．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________15．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．16．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ． 17．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．18．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．三、解答题19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．20．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．（1）求证：AD＝122b2＋2c2－a2；（2）若A＝120°，AD＝192，sin Bsin C＝35，求△ABC的面积．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．22．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；1（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．23．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.24．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．鄞州区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．2．【答案】A【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．3．【答案】C【解析】【专题】排列组合．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．4．【答案】B【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，若“非p ”为真，则p 为假，∴p 假q 真， 故选：B ．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21'f x x=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 6． 【答案】A【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，∴设双曲线的方程为，（a ＞0，b ＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，得=，设b=4t ，a=3t ，则c==5t （t ＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A ．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7． 【答案】C 【解析】试题分析：()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+，故向上平移个单位. 考点：图象平移．8． 【答案】B【解析】解：当a=0时，f （x ）=﹣2x+2，符合题意当a ≠0时，要使函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数∴⇒0＜a ≤综上所述0≤a≤故选B【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．9．【答案】D【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a==2x﹣，令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g（x）=2x﹣的图象如下，，g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，故结合图象可知，a ＞﹣3时，方程a=2x ﹣有且只有一个解，即函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，故选：D ．10．【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．11．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时， ()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象. 12．【答案】A【解析】解：∵sinC=2sinB ，∴c=2b ，∵a 2﹣b 2=bc ，∴cosA===∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选A ．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．二、填空题13．【答案】6【解析】解析：曲线2C 的解析式为2sin[()]2sin()6446y x x ππππωωω=-+=+-，由1C 与2C 关于x 轴对称知sin()sin()464x x πππωωω+-=-+，即1c o s ()s i n ()s i n ()c o s ()06464x x ππππωωωω⎡⎤++-+=⎢⎥⎣⎦对一切x R ∈恒成立，∴1cos()06sin()06πωπω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴(21)6k πωπ=+，∴6(21),k k Z ω=+∈，由0ω>得ω的最小值为6.14．【答案】【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;双曲线的两条渐近线方程为：所以故答案为：15．【答案】5 【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r （x 6）n ﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n 的表达式，推测出它的值．16．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1．故答案为：1．17．【答案】 ：①②③【解析】解：对于①函数y=2x 3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x 0，y 0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x 0，2﹣y 0）也满足函数的解析式，则①正确； 对于②对∀x ，y ∈R ，若x+y ≠0，对应的是直线y=﹣x 以外的点，则x ≠1，或y ≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正确．对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由则，即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③18．【答案】1464【解析】【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合M={x|x2-x≥0}.N={x|x≥2}.则M∩N=（）A.∅B.{x|x≥1}C.{x|x≥2}D.{x|x≥1或x≤0}2.（单选题.4分）设a=ln10.b=ln100.c=（ln10）2.则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a3.（单选题.4分）曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的倾斜角为α.则tanα=（）A.2B. −43C.-1D.04.（单选题.4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的.且其中的四组对应值如下表.那么在下列区间中.函数f（x）不一定存在零点的是（）B.[1.3]C.[2.5）D.（3.5）5.（单选题.4分）已知函数f（x）=（e x+e-x）ln 1−x.若f（a）=1.则f（-a）=（）1+xA.1B.-1C.-2D.36.（单选题.4分）在y=2x.y=log2x.y=x2这三个函数中.当0＜x1＜x2＜1时.使f(x1+x2)＞2f(x1+x2)恒成立的函数的个数是（）2A.0个B.1个C.2个D.3个在（0.+∞）上存在零点.则实数a的取值7.（单选题.4分）已知函数f（x）=ln（x+a）-e-x+ 12范围是（）A. (−∞)√eB.√e)√eC. (−∞，√e))D. (−√e，√e存在两个不同的极值点x1.x2.则实数a的取值范8.（单选题.4分）函数f（x）=ln（x+a）- xx+1围是（）A. (3，1)∪(1，+∞)4B.（0.+∞）C.（-∞.0）D. (−∞，3)49.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-2x+a.则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-x+1.记f1（x）=f（x）.当n≥2时.f n（x）=f n-1（f （x））.则对于下列结论正确的是（）A.f5（x）在(1，+∞)单调递增2B.f5（x）在(1，+∞)单调递减2C.f5（x）在(1，1)单调递减.（1.+∞）单调递增2D.f 5（x ）在 (12，1) 单调递增.（1.+∞）单调递减11.（填空题.6分）i 是虚数单位.设z= 1−i1+i +2i.则z=___ .|z|=___ ．12.（填空题.6分）已知函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x，x ≥1 .则f （0）=___ .f （f （0））=___ ．13.（填空题.6分）设条件p ：|x|≤m （m ＞0）.q ：-1≤x≤4.若p 是q 的充分条件.则m 的最大值为___ .若p 是q 的必要条件.则m 的最小值为___ ．14.（填空题.6分）已知函数f （x ）=ae x -lnx-1.设x=1是f （x ）的极值点.则a=___ .f （x ）的单调增区间为___ ．15.（填空题.4分）已知偶函数f （x ）对任意x∈R 都有f （x+6）-f （x ）=2f （3）.则f （2019）=___ ．16.（填空题.4分）函数f （x ）= {x 2，x ≥0−x 2，x ＜0.若对于在意实数x∈[-1.1].f （x+a ）≥4f （x ）.则实数a 的取值范围为___ ．17.（填空题.4分）已知函数f （x ）=sinx.若方程3（f （x ））2-f （x ）+m=0在 (0，5π6) 内有两个不同的解.则实数m 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）记函数f （x ）=ln （1-x 2）的定义域为M.g （x ）=lg[（x+a+2）（-x-a+1）]的定义域为N ．（1）求M ；（2）若M⊆N .求实数a 的取值范围．19.（问答题.15分）f （x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ． （1）若函数f （x ）在[0.2]上的最大值为3.求a 的值；（2）设函数f （x ）在[0.2]上的最小值为g （a ）.求g （a ）的表达式．20.（问答题.15分）已知函数 f (x )=13x 3+12．（1）求曲线y=f （x ）在点 P (1，56) 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点（2.a ）可作三条不同直线与曲线y=f （x ）相切.求实数a 的取值范围．21.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x- 1ax2 -b．2（1）当a=1.b=1时.求f（x）在[-1.1]上的值域；（2）若对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.求a+b的最大值．22.（问答题.15分）已知a＞0.函数f（x）=e x+3ax2-2ex-a+1. （1）若函数f（x）在[0.1]上单调递减.求a的取值范围；（2）|f（x）|≤1对任意x∈[0.1]恒成立.求a的取值范围．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合M={x|x2-x≥0}.N={x|x≥2}.则M∩N=（）A.∅B.{x|x≥1}C.{x|x≥2}D.{x|x≥1或x≤0}【正确答案】：C【解析】：可求出集合M.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：M={x|x≤0.或x≥1}；∴M∩N={x|x≥2}．故选：C．【点评】：考查描述法的定义.一元二次不等式的解法.以及交集的运算．2.（单选题.4分）设a=ln10.b=ln100.c=（ln10）2.则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：D【解析】：可以得出2＜ln10.从而得出2ln10＜（ln10）2.从而得出ln10＜ln100＜（ln10）2.从而得出a.b.c的大小关系．【解答】：解：∵2＜ln10；∴ln10＜ln100=2ln10＜（ln10）2；∴c＞b＞a．故选：D．【点评】：考查对数的运算.不等式的性质.对数函数的单调性．3.（单选题.4分）曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的倾斜角为α.则tanα=（）A.2B. −43C.-1D.0【正确答案】：A【解析】：求得函数y的导数.由导数的几何意义.即可得到所求值．【解答】：解：y=x3-x的导数为y′=3x2-1.曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的斜率为3-1=2.即tanα=2．故选：A．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率.考查导数的几何意义.属于基础题．4.（单选题.4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的.且其中的四组对应值如下表.那么在下列区间中.函数f（x）不一定存在零点的是（）B.[1.3]C.[2.5）D.（3.5）【正确答案】：D【解析】：由图表可得f（1）=3.f（2）=-1.f（3）=2.f（5）=0.然后结合函数零点的判定得答案．【解答】：解：由图表可知.f（1）=3.f（2）=-1.f（3）=2.f（5）=0．由f（1）•f（2）＜0.可知函数f（x）在（1.2）上一定有零点；则函数f（x）在[1.3]上一定有零点；由f（2）•f（3）＜0.可知函数f（x）在（2.3）上一定有零点.则函数f（x）在[2.5）上一定有零点；由f（3）＞0.f（5）=0.可知f（x）在（3.5）上不一定有零点．∴函数f（x）不一定存在零点的是（3.5）．故选：D．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查零点判定定理的应用.是中档题．5.（单选题.4分）已知函数f（x）=（e x+e-x）ln 1−x1+x.若f（a）=1.则f（-a）=（）A.1B.-1C.-2D.3【正确答案】：B【解析】：可看出f（x）是奇函数.从而由f（a）=1得出f（-a）=-1．【解答】：解：f(a)=(e a+e−a)ln1−a1+a=1；∴ f(−a)=(e−a+e a)ln1+a1−a =−(e−a+e a)ln1−a1+a=−1．故选：B．【点评】：考查奇函数的定义.以及对数的运算性质．6.（单选题.4分）在y=2x.y=log2x.y=x2这三个函数中.当0＜x1＜x2＜1时.使f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：B【解析】：先求出各个函数对应的f(x1+x22)，f(x1+x2)2.再利用指数函数的单调性及基本不等式比较两者的大小．【解答】：解：对于y=2x有f(x1+x22)= 2x1+x22f(x1+x2)2=2x1+x22= 2x1+x2−1∵0＜x1＜x2＜1.∴ x1+x22＞x1+x2−1∴ f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立对于y=log2x有f(x1+x22)= log2 (x1+x22) . f(x1+x2)2=log2( x1+x2)2= log2√x1+x2∵0＜x1＜x2＜1.∴ x1+x22＜ √x1+x2 .∴ f(x1+x22)＜f(x1+x2)2故选：B．【点评】：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=ln（x+a）-e-x+ 12在（0.+∞）上存在零点.则实数a的取值范围是（）A. (−∞√e)B.√e√e)C. (−∞，√e)D. (−√e，√e)【正确答案】：C【解析】：当a＞0时.由函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.可得要使函数f（x）在（0.+∞）上存在零点.则f（0）=lna- 12＜0.由此求得a的范围；当a≤0时.由函数f（x）在（-a.+∞）上单调递增.且函数f（x）的值域为（-∞.+∞）.可知f（x）在（0.+∞）上存在零点.取并集可得实数a的取值范围．【解答】：解：当a＞0时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.要使函数f（x）在（0.+∞）上存在零点.则f（0）=lna- 12＜0.即0＜a＜√e；当a≤0时.函数f（x）在（-a.+∞）上单调递增.此时函数f（x）的值域（-∞.+∞）.则f（x）在（0.+∞）上存在零点．综上可得.a∈（-∞. √e）．故选：C．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查对数函数的性质.体现了分类讨论的数学思想方法.属中档题．8.（单选题.4分）函数f（x）=ln（x+a）- xx+1存在两个不同的极值点x1.x2.则实数a的取值范围是（）A. (34，1)∪(1，+∞)B.（0.+∞）C.（-∞.0）D. (−∞，34)【正确答案】：A【解析】：运用导数求函数的极值可解决此问题．【解答】：解：f（x）的定义域是（-a.+∞）.f′（x）= 1x+a - x+1−x(x+1)2= 1x+a- 1(x+1)2= x2+x+1−a(x+a)(x+1)2.令h（x）=x2+x+1-a.若函数f（x）存在两个不同的极值点x1.x2.则x2+x+1-a=0在（-a.+∞）有2个不同的根.∴a2-a+1-a＞0 ①- 12＞-a ②1-4（1-a）＞0 ③① ② ③ 联立得34＜a＜1或a＞1．故选：A．【点评】：本题考查利用导数研究函数的极值．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-2x+a.则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：求出f（x）的单调区间和值域.从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系.从而得出a的范围.再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】：解：函数f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1.则函数f（x）的值域为[a-1.+∞）.且f（x）在（-∞.1）上为减函数.在（1.+∞）为增函数.∵f（f（x））的值域与f（x）的值域相同.∴a-1≤1.解得a≤2.故“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的充分不必要条件.故选：B．【点评】：本题考查了函数的单调性和最值.考查了转化方法、方程与不等式的解法以及充分必要条件.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．10.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-x+1.记f1（x）=f（x）.当n≥2时.f n（x）=f n-1（f （x））.则对于下列结论正确的是（）A.f5（x）在(12，+∞)单调递增B.f5（x）在(12，+∞)单调递减C.f5（x）在(12，1)单调递减.（1.+∞）单调递增D.f5（x）在(12，1)单调递增.（1.+∞）单调递减【正确答案】：A【解析】：根据题意.函数f1（x）=f（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34.由二次函数的性质分析其单调性以及值域.由复合函数的单调性判断方法依次分析f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x）的单调区间.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f1（x）=f（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34.在（-∞. 12）上递减.在（12 .+∞）递增.且f（x）≥ 34；对于f2（x）=f1（f（x））.令t=f（x）.则t≥ 34 .则f2（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f3（x）=f2（f（x））.则f3（x）=f2（t）.t=f（x）.在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.且t≥ 34.而f2（x）在（12.+∞）递增.则f3（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f4（x）=f3（f（x））.则f4（x）=f3（t）.t=f（x）.在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.且t≥ 34.而f3（x）在（12.+∞）递增.则f4（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f5（x）=f4（f（x））.则f5（x）=f4（t）.t=f （x ）.在（-∞. 12 ）上递减.在（ 12 .+∞）递增.且t≥ 34 . 而f 4（x ）在（ 12.+∞）递增.则f 5（x ）在（-∞. 12 ）上递减.在（ 12 .+∞）递增. 故选：A ．【点评】：本题考查复合函数的单调性的判断.涉及二次函数的性质.关键是掌握复合函数单调性判定的方法.属于基础题．11.（填空题.6分）i 是虚数单位.设z= 1−i1+i +2i.则z=___ .|z|=___ ． 【正确答案】：[1]i; [2]1【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵z= 1−i1+i +2i= (1−i )2(1+i )(1−i)+2i =i .∴|z|=1． 故答案为：i ；1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础的计算题． 12.（填空题.6分）已知函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x，x ≥1 .则f （0）=___ .f （f （0））=___ ．【正确答案】：[1]2; [2]4【解析】：推导出（0）=3×0+2=2.从而f （f （0））=f （2）.由此能求出结果．【解答】：解：函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x ，x ≥1.∴f （0）=3×0+2=2. f （f （0））=f （2）=22=4． 故答案为：2.4．【点评】：本题考查等函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 13.（填空题.6分）设条件p ：|x|≤m （m ＞0）.q ：-1≤x≤4.若p 是q 的充分条件.则m 的最大值为___ .若p 是q 的必要条件.则m 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]4【解析】：先化简条件p.再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】：解：条件p：|x|≤m.可得：-m≤x≤m．条件q：-1≤x≤4.若p是q的充分条件.则-m≥-1.且m≤4.解得0＜m≤1.则m最大值为1.p是q的必要条件.则-m≤-1且m≥4.解得m≥4.则m的最小值为4.故答案为：1.4【点评】：本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.6分）已知函数f（x）=ae x-lnx-1.设x=1是f（x）的极值点.则a=___ .f（x）的单调增区间为___ ．; [2]（1.+∞）【正确答案】：[1] 1e【解析】：求出函数的导数.代入x的值.求出a的值.求出函数的单调区间即可．【解答】：解：∵函数f（x）=ae x-lnx-1．.∴x＞0.f′（x）=ae x- 1x∵x=1是f（x）的极值点..∴f′（1）=ae-1=0.解得a= 1e∴f（x）=e x-1-lnx-1.∴f′（x）=e x-1- 1.x当x＞1时.f′（x）＞0.∴f（x）在（1.+∞）单调递增..（1.+∞）．故答案为：1e【点评】：本题考查了函数的单调性.极值问题.考查导数的应用.是一道常规题．15.（填空题.4分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）-f（x）=2f（3）.则f（2019）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：对于f（x+6）-f（x）=2f（3）.可取x=-3.从而得出f（3）-f（-3）=2f（3）.根据f （x）是偶函数即可得出f（3）=0.从而得出f（x+6）=f（x）.即f（x）的周期为6.从而可求出f（2019）．【解答】：解：∵f（x）是偶函数.对f（x+6）-f（x）=2f（3）.取x=-3得.f（3）-f（-3）=2f （3）；∴f（3）=0；∴f（x+6）=f（x）；∴f（x）的周期为6；∴f（2019）=f（3+336×6）=f（3）=0．故答案为：0．【点评】：考查偶函数的定义.以及周期函数的定义．16.（填空题.4分）函数f（x）= {x2，x≥0−x2，x＜0.若对于在意实数x∈[-1.1].f（x+a）≥4f（x）.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：判断函数f（x）的单调性.将不等式进行转化.结合函数的单调性减求解即可．【解答】：解：当x≥0时.f（x）为增函数.且f（x）≥0.当x＜0时.f（x）为增函数.且f（x）＜0.综上f（x）在R上为增函数.且4f（x）=f（2x）.则不等式f（x+a）≥4f（x）等价为f（x+a）≥f（2x）.即x+a≥2x在x∈[-1.1].上恒成立.即a≥x在x∈[-1.1].上恒成立.∵-1≤x≤1.∴a≥1.即实数a的取值范围是[1.+∞）.故答案为：[1.+∞）【点评】：本题主要考查分段函数的应用.判断函数的单调性.将不等式进行转化是解决本题的关键．17.（填空题.4分）已知函数f（x）=sinx.若方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内有两个不同的解.则实数m的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]0＜m＜112或-2＜m＜- 14【解析】：利用换元法设t=f（x）=sinx.方程等价为m=-3t2+t.根t=sinx 交点个数.确定m=-3t2+t中t的取值范围.即可求出m的范围．【解答】：解：令t=f（x）=sinx.则方程等价为3t2-t+m=0.即m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112由t=f（x）=sinx得当t=1或0＜t≤ 12时.t=sinx只有一个根.当12＜t＜1时.t=sinx有两个不同的根.若t=1.此时m=-3+1=-2.此时方程3t2-t-2=0得（t-1）（3t+2）=0.得t=1或t=- 23 .当t=- 23时.t=sinx无解.此时方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内只有一个解不满足条件．若方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内有两个不同的解.等价为① 当0＜t≤ 12时.m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112有两个不同的交点.即0＜m＜112.或者② 当12＜t＜1时.m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112有1个交点.∵t= 12时.m=- 14.t=1时.m=-2∴此时-2＜m＜- 14.综上0＜m＜112或-2＜m＜- 14.故答案为：0＜m＜112或-2＜m＜- 14．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.利用换元法转化为两个函数根的个数关系是解决本题的关键．综合性较强.有一定的难度．18.（问答题.14分）记函数f （x ）=ln （1-x 2）的定义域为M.g （x ）=lg[（x+a+2）（-x-a+1）]的定义域为N ．（1）求M ；（2）若M⊆N .求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）解不等式求出M 即可；（2）求出N.根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组.解出即可．【解答】：解：（1）由题意得1-x 2＞0. 解得：-1＜x ＜1. 故M=（-1.1）.（2）由（x+a+2）（-x-a+1）＞0. 解得：-a-2＜x ＜-a+1. 故N=（-a-2.-a+1）. 若M⊆N .则 {−a −2≤−1−a +1≥1 .解得：-1≤a≤0．【点评】：本题考查了对数函数的性质.考查集合的包含关系.是一道常规题． 19.（问答题.15分）f （x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ． （1）若函数f （x ）在[0.2]上的最大值为3.求a 的值；（2）设函数f （x ）在[0.2]上的最小值为g （a ）.求g （a ）的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）讨论对称轴与区间的中点1可得；（2）讨论对称轴与区间的端点0和2的大小.利用二次函数的单调性可得．【解答】：解：（1）当 1+a3≤1.即a≤2时.f （x ）max =f （2）=8-3a=3解得a= 53 符合；当1+a3＞1.即a ＞2时.f （x ）max =f （0）=a=3.符合题意；综上a= 53.或者a=3 （2） ① 当 1+a3≤0.即 a≤-1时.f （x ）在[0.2]上递增.∴f （x ）min =g （a ）=f （0）=a ；② 当 1+a3≥2即a≥5时.f （x ）在[0.2]上递减.∴f （x ）min =g （a ）=f （2）=8-3a ；③ 当0＜ 1+a3 ＜2.即-1＜a ＜5时.f （x ）min =g （a ）=f （ 1+a 3 ）= −a 2+a−13 .综上得g （a ）= { a ，a ≤−1−a 2+a−13，−1＜a ＜58−3a ，a ≥5 ．【点评】：本题考查了二次函数的性质与图象.属难题． 20.（问答题.15分）已知函数 f (x )=13x 3+12 ．（1）求曲线y=f （x ）在点 P (1，56) 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点（2.a ）可作三条不同直线与曲线y=f （x ）相切.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率和切线方程.分别令y=0.x=0可得切线与x.y 轴的交点.可得三角形的面积；（2）设出切点坐标（m. 13 m 3+ 12 ）.求出原函数的导函数.写出切线方程.把点（2.a ）代入切线方程.整理得到4m 3-12m 2-3+6a=0有三个不同根.令g （x ）=4x 3-12x 2-3.利用导数求其极大值为g（0）.极小值为g（2）.由-6a介于极小值和极大值之间.即可求得a的范围．【解答】：解：（1）函数f(x)=13x3+12的导数为f′（x）=x2.曲线y=f（x）在点P(1，56)处的切线斜率为1.可得切线方程为y- 56 =x-1即y=x- 16.切线与x轴和y轴的交点为（16 .0）.（0.- 16）.可得切线与x轴和y轴围成的三角形面积为12 × 16× 16= 172；（2）f（x）= 13 x3+ 12.则f′（x）=x2.设切点为（m. 13 m3+ 12）.则f′（m）=m2．可得过切点处的切线方程为y- 13 m3- 12=m2（x-m）.把点（2.a）代入得a- 13 m3- 12=m2（2-m）.整理得4m3-12m2-3+6a=0.若过点（2.a）可作三条直线与曲线y=f（x）相切.则方程4m3-12m2-3+6a=0有三个不同根．令g（x）=4x3-12x2-3.则g′（x）=12x2-24x=12x（x-2）.当x∈（-∞.0）∪（2.+∞）时.g′（x）＞0；当x∈（0.2）时.g′（x）＜0.则g（x）的单调增区间为（-∞.0）.（2.+∞）；单调减区间为（0.2）．可得当x=0时.g（x）有极大值为g（0）=-3；当x=2时.g（x）有极小值为g（2）=-19．由-19＜-6a＜-3.得12＜a＜196．则实数n的取值范围是（12 . 196）．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.训练了利用导数求函数的极值.是中档题．21.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x- 12ax2 -b．（1）当a=1.b=1时.求f（x）在[-1.1]上的值域；（2）若对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.求a+b的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1.b=1时.f（x）=e x- 12x2-1．f′（x）=e x-x=g（x）．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．（2）对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.即b≤e x- 12ax2．亦即a+b≤e x- 12ax2 +a在R上恒成立．令h（x）=e x- 12ax2 +a.x∈R．h′（x）=e x-ax．对a分类讨论即可得出．【解答】：解：（1）当a=1.b=1时.f（x）=e x- 12x2-1．f′（x）=e x-x=g（x）．g′（x）=e x-1．可得：-1≤x≤0.则g′（x）＜0；0＜x≤1时.则g′（x）＞0．∴x=0时.函数g（x）取得极小值即最小值.g（0）=1＞0．∴函数f（x）在[-1.1]上单调递增．∴f（x）min=f（-1）= 1e - 32.f（x）max=f（1）=e- 32．∴f（x）在[-1.1]上的值域为[ 1e - 32.e- 32]．（2）对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.即b≤e x- 12ax2．亦即a+b≤e x- 12ax2 +a在R上恒成立．令h（x）=e x- 12ax2 +a.x∈R．h′（x）=e x-ax．a≥0时.不成立舍去．a＜0时.令e x-ax=0.x＜0．解得e x0 =ax0．可得函数h（x）在x=x0处取得极小值即最小值．∴h（x）min= e x0 - 12a x02 +a= e x0 - x0e x02+ e x0x0= e x0(1−x02+1x0) .令u（x）=e x(1−x2+1x) .x＜0．则u′（x）=e x• (x−1)(√2+x)(√2−x)2x2．可得x=- √2时.函数u（x）取得极大值即最大值．u（- √2）= e−√2．∴a+b的最大值是e−√2．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．22.（问答题.15分）已知a ＞0.函数f （x ）=e x +3ax 2-2ex-a+1. （1）若函数f （x ）在[0.1]上单调递减.求a 的取值范围； （2）|f （x ）|≤1对任意x∈[0.1]恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.问题转化为a≤ 2e−e x6x.令g （x ）=2e−e x6x.根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）问题转化为只需f （t ）+f （x ）max ≥0即可.又-1≤f （t ）≤1.故-1≤f （x ）max ≤1.从而求出a 的范围即可．【解答】：解：（1）f （x ）=e x +3ax 2-2ex-a+1. f′（x ）=e x +6ax-2e.由函数f （x ）在[0.1]上单调递减.得e x +6ax-2e≤0在[0.1]上恒成立． 当x=0时.对于任意正实数a.上式恒成立； 当x∈（0.1]时.则a≤ 2e−e x6x. 令g （x ）=2e−e x6x.则g′（x ）=−6xe x −12e+6e x36x 2.令h （x ）=-6xe x -12e+6e x .则h′（x ）=-6e x -6xe x +6e x =-6xe x ＜0. 则h （x ）在（0.1]上单调递减.∴h （x ）＜h （0）＜0． ∴g′（x ）＜0.则g （x ）在（0.1]上单调递减. 则g （x ） ≥g (1)=e6 ． ∴0＜a≤ e 6； （2）∵|f （x ）|≤1.∴ {|f (0)|=|2−a |≤1|f (1)|=|2a −e +1|≤1 . 解得： {1≤a ≤3e−22≤a ≤e 2.故a∈[1. e2].由（1）知f′（x）在[0.1]递增.且f′（0）=1-2e＜0.f′（1）=6a-e＞0.∴f（x）max=max{f（0）.f（1））}.设x=t（0＜t＜1）时.f′（x）=0.即e t+6at-2e=0.则f（x）在[0.t]递减.在（t.1]递增.故f（x）min=f（t）.若|f（x）|≤1.只需f（t）+f（x）max≥0即可. 又-1≤f（t）≤1.故-1≤f（x）max≤1.当2-a≥2a-e+1即a≤ e+13时.-1≤2-a≤1.解得：1≤a≤ e+13.当2-a＜2a-e+1即a＞e−13时.-1≤2a-e+1≤1.解得：e−13＜a≤ e2.综上.a∈[1. e2]．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用以及分类讨论思想.转化思想.是一道综合题．。