直线和圆解答题专题练习(含详细答案)

（2011陕西理17）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且45MD PD =（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（xp,yp ）由已知得,5,4xp x yp y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵P 在圆上， ∴ 225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即C 的方程为2212516x y +=（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()()1122,,,A x y B x y将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+= 即2380x x --=∴12x x == ∴ 线段AB 的长度为415AB ====注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。

（2011福建理17）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x2=4y 是否相切？说明理由。

本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）因为MP l ⊥，所以01120m-⨯=--，解得m=2，即点P 的坐标为（0，2）从而圆的半径||r MP ===故所求圆的方程为22(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+所以直线'l 的方程为.y x m =--由22',4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得 244416(1)m m ∆=-⨯=-（1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切； 当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

解法二：（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为22(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），则224,,m r r ⎧+=⎪=解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+= （II ）同解法一。

【株洲市2012届高三质量统一检测】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：4x =相切。

（1）求圆O 的方程；（2）若圆O 上有两点N M 、关于直线02=+y x 对称，且32=MN ,求直线MN 的方程；（3）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA PB ∙的取值范围。

【答案】：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=． ………………3分 （2）由题意，可设直线MN 的方程为02=+-m y x 。

则圆心O 到直线MN 的距离5m d =。

………………5分由垂径分弦定理得：2222)3(5=+m ，即5±=m 。

所以直线MN 的方程为：052=+-y x 或052=--y x 。

…………7分 （3）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =得(20)(20)A B -，，，． 设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即222x y -=． …………9分∴(2)(2)PA PB x y x y ∙=---∙--，，=)1(22-y由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <． …………11分 所以PA PB ∙的取值范围为[20)-，。

………………12分【山东省青岛市2012届高三期末检测 理】已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 0x y --=相切.(Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当2m =时,得到曲线C ，问是否存在与1l 垂直的一条直线l 与曲线C 交于B 、D 两点,且BOD ∠为钝角，请说明理由. 【答案】22．（本小题满分14分）解: (Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d，则2d ==…………2分所以圆1C 的方程为224x y +=……………………………………………………3分（Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，所以000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩………………5分即: 001x xy y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m 代入224x y +=,得222144x y m +=………………7分（Ⅲ）m =时,曲线C 方程为22143x y +=，假设存在直线l 与直线1:l 0x y --=垂直,设直线l 的方程为y x b =-+ ………………………………………………8分设直线l 与椭圆22143x y +=交点1122(,),(,)B x y D x y 联立得:223412y x bx y =-+⎧⎨+=⎩，得22784120x bx b -+-= ………………………9分因为248(7)0b ∆=->，解得27b <，且212128412,77b b x x x x -+==……10分 12121212()()OD OB x x y y x x b x b x ⋅=+=+--212122()x x b x x b =-++222824877b b b -=-+27247b -=………………………………………………12分因为BOD ∠为钝角，所以272407b -<， 解得2247b <满足27b <-77b ∴<<所以存在直线l 满足题意……………………………………………………………14分（2009年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：4)1()3(22=-++y x 和圆C 2：4)5()4(22=-+-y x . （Ⅰ）若直线l 过点A(4, 0)，且被圆C 1截得的弦长为32，求直线l 的方程； （Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与 直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解：（Ⅰ）由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为)4(-=x k y , 圆心C 1到直线l 的距离为d , 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为32, 所以1)3(222=-=d11|)43(1|2=+---=k k d , 0)724(=+k k , ∴ k ＝0或247-=k所求直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0（Ⅱ）设点P(a , b ) 直线l 1：)(a x k b y -=-；l 2：)(1a x kb y --=- 因为圆C 1、圆C 2的半径相等，且分别被直线l 1、l 2截得的弦长相等，所以圆心C 1到直线l 1的距离、圆心C 2到直线l 2的距离相等.22)1(1|)4(15|1|)3(1|kb a k kb a k +--+=+---- , |)4()5(||)1()3(|a k b b k a -+-=-++(a ＋3)k ＋(1－b )＝(5－b )k ＋(4－a ) 或 (a ＋3)k ＋(1－b )＝－(5－b )k －(4－a )∵ k 的取值有无穷多个 ∴⎩⎨⎧-=--=+a b ba 4153 或⎩⎨⎧+-=-+-=+a b ba 4153 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21323b a ∴)21,25(-P 或)213,23(-P（2008年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x)＝x 2＋2x ＋b （x ∈R ）的图像与两个坐标轴有三个交点， 经过这三点的圆记为C. （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程； （Ⅲ）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.解一：（Ⅰ）若b ＝0，则f (x)＝x 2＋2x 与坐标轴只有两个交点（0, 0）和（－2 ,0）, 矛盾！ ∴b ≠0 , 二次函数b x x x f ++=2)(2的图象与y 轴有一个非原点的交点(0 ,b ）, 故它与x 轴必有两个交点，方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，△＞0， 4－4b ＞0 , ∴b ＜1且b ≠0 ∴b 的取值范围是（－∞, 0）⋃(0 ,1）. （Ⅱ）由方程x 2＋2x ＋b ＝0得 b x -±-=11,∴函数b x x x f ++=2)(2的图象与坐标轴的交点为（0 ,b ）,(－1－b -1, 0）, (－1＋b -1, 0）, 设圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-+-+-=+---+---00)11()11(0)11()11(222F Eb b F b D b F b D b⎪⎩⎪⎨⎧=+-==b F b E D )1(2∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0（Ⅲ）圆C 的方程为 (x 2＋y 2＋2x －y)＋b (1－y)＝0∵b ＜1且b ≠0 ∴⎩⎨⎧=-=-++010222y y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1210y x y x ∴圆C 过定点（0,1）和（－2,1）. 解二：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F ＝0令y ＝0，得x 2＋D x ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b 令x ＝0，得y 2＋E y ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0（Ⅲ）圆C 必过定点（0, 1），（－2, 1）证明如下：将（0, 1）代入圆C 的方程，得左边＝ 02＋12＋2³0-(b ＋1)³1＋b ＝0，右边＝0 所以圆C 必过定点（0, 1）；同理可证圆C 必过定点（－2, 1）.（2009年连云港）已知直线l ：3)1(=+-y m x m .（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）若直线l 被圆C ：08-222=-+y y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程.（Ⅰ）斜率1+=m mk ，当0=m 时，0=k ； 当0>m 时，一方面0>k ， 另一方面2121=≤+=m m m m k ，当且仅当1=m 时取“＝”，综上，k 的取值范围为]21,0[．（Ⅱ）圆的标准方程为9)1(22=-+y x . 由题意，圆心 (0, 1)到直线l 的距离5292=-=d由5)1(|31|2=++---m m m 及0≥m 解得1=m ，∴直线l 的方程为：032=--y x（2007年连云港）已知圆M ：2342222=-+y y x ，直线l 0：x ＋y ＝8 ,l 0上一点A 的横坐标为a , 过点A 作圆M 的两条切线l 1 , l 2 , 切点分别为B ,C.（Ⅰ）当a ＝0时，求直线 l 1 , l 2 的方程； （Ⅱ）当直线 l 1 , l 2 互相垂直时，求a 的值； （Ⅲ）是否存在点A ，使得BC 长为10？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）圆M ：225)1(22=-+y x 圆心M(0 , 1) , 半径25A(0, 8) , 设切线的方程为y ＝k x ＋8 , 圆心距25192=+=k d , ∴573±=k 所求直线l 1 , l 2的方程为8573+±=x y （Ⅱ）当l 1 ⊥l 2时，四边形MCAB 为正方形，∴ 5252||2||=⨯==MB AM设A(a , 8－a ), M(0 , 1) 则5)7(22=-+a a 01272=+-a a ∴ a ＝3或a ＝4（Ⅲ）若10=BC , 则210=BD , 25=MB ∴10=MDMB 2＝MD·MA ∴1045=MA ∵圆心M 到直线l 0的距离为104527> ∴ 点A 不存在已知点O 为坐标原点，圆C 过点(1, 1）和点(－2 , 4），且圆心在y 轴上. （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）如果过点P(1, 0)的直线l 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （Ⅲ）如果过点P(1, 0)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且|AB |＝32，试求直线l 的方程.解：（Ⅰ）∵点(1,1)和点(2,4)-连线段的中垂线方程是30x y -+=，又其与y 轴交点为（0, 3），而圆心同时在中垂线和y 轴上∴圆心坐标为（0,3），圆半径r = ∴ 圆C 的标准方程是：22(3)5x y +-=（Ⅱ）设直线l 方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=，设点(0, 3)到此直线距离为d ，则由d =≤22320k k --≥ 解得122k k ≤-≥或（Ⅲ）设直线l 方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=则由圆心(0, 3)到此直线距离为2)3()5(1|3|222=-=+--=k k d解得 k ＝－1或k ＝7 故直线l 的方程是10770x y x y +-=--=或已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 1过定点A (1，0).（Ⅰ）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程； （Ⅱ）若l 1的倾斜角为45°，l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标； （Ⅲ）若l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值， 并求此时直线l 1的方程.解：(Ⅰ) ①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：2=，解之得 34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.(Ⅱ) 直线l 1方程为y ＝x －1. ∵PQ ⊥CM, ∴ CM 方程为y －4＝－(x －3), 即x ＋y －7＝0. ∵1,70,y x x y =-⎧⎨+-=⎩∴4,3.x y =⎧⎨=⎩ ∴ M 点的坐标为(4, 3).(Ⅲ) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离 2142kk d +-=又∵△CPQ 的面积 2244221d d d d S -=-⨯=＝4)2(42242+--=-d d d∴ 当dS 取得最大值2. ∴2142kk d +-=＝2 ∴ k ＝1 或k ＝7所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .已知圆A 过点P (2,2)，且与圆B ：)0()2()2(222>=-++r r y x 关于直线02=+-y x 对称.(Ⅰ)求圆A 和圆B 方程； (Ⅱ)求两圆的公共弦长；(Ⅲ)过平面上一点),(00y x Q 向圆A 和圆B 各引一条切线,切点分别为C 、D ，设2=QCQD，求证：平面上存在一定点M 使得Q 到M 的距离为定值，并求出该定值. 解：（Ⅰ）设圆A 的圆心A （a ，b ），由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++---=+-022222122b a a b 解得⎩⎨⎧==00b a )0,0(A ∴设圆A 的方程为222r y x =+，将点P(2,2)代入得r ＝2∴圆A ：422=+y x ，圆B ：4)2()2(22=-++y x（Ⅱ）由题意得两圆的公共弦所在直线方程为l ：x －y ＋2＝0，设(0, 0)到l 的距离为d, 则d ＝22200=+-, ∴公共弦长m ＝222)2(222=-⨯（Ⅲ）证明：由题设得：244)2()2(20202020=-+--++y x y x ,∴化简得：03203434002020=-+-+y x y x , ∴配方得：968)32()32(2020=++-y x∴存在定点M(3232-，)使得Q 到M 的距离为定值，且该定值为3172.如图平面上有A(1 , 0)、B(－1 , 0)两点，已知圆C 的方程为()()222342x y -+-=.（Ⅰ）在圆C 上求一点P 1使△ABP 1面积最大并求出此面积；（Ⅱ）求使22||||BP AP +取得最小值时的圆C 上的点P 的坐标.解：（Ⅰ）∵三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|＝2为定值, ∴在圆上只要找到最高点即可.又∵圆心C 坐标为(3, 4) ,半径为2 ∴P 1横坐标为3, 纵坐标为4＋2＝6P 1 (3, 6), 112662ABP S ∆=⨯⨯= （Ⅱ）设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知22AP BP +=()()()2222221122x y x y x y +++-+=++=222OP +要使22||||BP AP +取得最小值只要使2||OP 最小即可又P 为圆上的点，所以r OC OP -=||||min23= （r 为半径） ∴()222min23220AP BP+=⨯+= 此时直线4:3OC y x =由()()2243344y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+-=⎩解得95125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2135285x y ⎧=>⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）∴点P 的坐标为912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭已知圆O 的方程为x 2 ＋y 2 ＝1, 直线l 1过点A(3 , 0), 且与圆O 相切. （Ⅰ）求直线l 1的方程；（Ⅱ）设圆O 与x 轴交与P, Q 两点，M 是圆O 上异于P, Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P′，直线QM 交直线l 2于点Q′. 求证：以P′Q′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标. 解：（Ⅰ）∵直线l 1过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，设直线l 1的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， 则圆心(0,0)O 到直线l 1的距离为1d ==，解得42±=k ，∴直线l 1的方程为3)4y x =±-，即3)4y x =±-． （Ⅱ）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直， ∴直线l 2方程为3x =， 设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1++=x s ty 解方程组3,(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩, 得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q ∴ 以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-+--s ty s t y x x ， 又 122=+t s ， ∴ 整理得2262(61)0s x y x y t-+-++=， 若圆C′ 经过定点，只需令0y =，从而有2610x x -+=，解得3x =±， ∴ 圆C′总经过定点的坐标为(3±.已知：以点C (t , 2t )(t ∈R , t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A, 与y 轴交于点O 、B, 其中O 为坐标原点.（Ⅰ）求证：△OAB 的面积为定值；（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解：（Ⅰ）∵圆C 过原点O 2224t t OC +=∴, 设圆C 的方程是 22224)2()(t t t y t x +=-+-令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021== 4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB，即△OAB 的面积为定值. （Ⅱ）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴ 直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴， 解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离551<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点.当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，圆心C 到直线42+-=x y 的距离559>=d ,圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去. 所求圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x已知⊙C 过点P (1, 1), 且与⊙M ：222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求⊙C 的方程；(Ⅱ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B, 且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.解：(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩, 解得00a b =⎧⎨=⎩设圆C 的方程为222x y r +=, 将点P 的坐标代入得22r =, ∴圆C 的方程为222x y += (Ⅱ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= 因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+, 同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---＝OP k所以直线AB 和OP 一定平行.已知圆C ：22222240x y ax ay a a ++-+-=(04)a <≤，直线l ：y ＝x ＋m. （Ⅰ）若m ＝4 ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（Ⅱ）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0 ,4 ]变化时，求m 的取值范围.解：（Ⅰ）,04222222=-+-++a a ay ax y x a a x a x 4)()(22=-++圆心C(－a , a ),半径为a r 2=设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，圆心C 到直线l 的距离为d . m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0 圆心C 到直线l 的距离|2|22|4|-=+--=a a a d10)3(28122)2(2)2(22222+--=-+-=--=a a a a a t当3=a 时，直线l 被圆C 所截得的弦长的最大值为102 （Ⅱ）圆心C 到直线l ：x －y ＋m ＝0的距离|2|222||m a m a a d -=+--=∵直线l 是圆C 的切线, ∴r d =即a m a 2|2|22=- ∴ a a m 222±= ∵直线l 在圆心C 的下方，∴1)12(2222--=-=a a a m ∵]4,0(∈a ∴]248,1[--∈m已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点， M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N. （Ⅰ）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （Ⅱ）当32=PQ 时，求直线l 的方程； 解：（Ⅰ）∵l 与m 垂直，且31-=m k ，∴3l k =，故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+= ∵圆心坐标C(0，3）满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l （Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ， ∵32=PQ ，∴134=-=CM ，则由11|3|2=++-=k k CM ，得34=k , ∴直线l ：4-x 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x设圆C 满足：① 截y 轴所得弦长为2； ② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 :1， 在满足条件①、②的所有圆中，求圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆C 的方程 解法一：设圆的圆心为P(a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为 |b | , |a |.由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故r 2＝2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1． 从而得2b 2－a 2＝1． 又点P(a ，b )到直线x －2y ＝0的距离为52b a d -=，所以5d 2 ＝|a －2b |2 ＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2(a 2 ＋b 2)＝2b 2－a 2＝1， 当且仅当a ＝b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值．由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2 ＝2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2＋(y －1) 2＝2，或(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2＝2．解法二：同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=- 得2225544d bd b a +±=①将a 2 ＝2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△＝8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1． ∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b ＋2＝0．解得b ＝±1．将b ＝±1代入r 2＝2b 2，得r 2＝2．由r 2＝a 2＋1得a ＝±1．综上a ＝±1，b ＝±1，r 2＝2．由| a －2b |＝1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2＋(y －1) 2＝2，或(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2＝2.已知圆C 过原点O ，且与直线x ＋y ＝4相切于点A(2, 2).(Ⅰ) 求圆C 的方程；(Ⅱ) 过原点O 作射线交圆C 于另一点M, 交直线x ＝3于点N.①OM·ON 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；②若射线OM 上一点P(x 0 ,y 0)满足OP 2＝OM·ON , 求证：3200000660x x y x y +--=.解：(Ⅰ)由题意得：圆心C 为OA 的中点(1,1)， ∴圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=(Ⅱ)①设射线所在直线方程为y kx =，将它代入22(1)(1)2x y -+-=得：22(1)(22)0k x k x +-+=， 2221M k x k +∴=+ ∵射线y kx =与直线3x=相交M x ∴与3同号 1k ∴>-，OM ON ∴⋅=3|22|66k k +=+ 1k >- ∴ OM·ON 无最小值②∵OP 2＝OM·ON, 220066x y k ∴+=+又00y kx = 00y k x ∴=代入上式得 3200000660x x y x y +--=已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A(2 , 1)，由圆O 外一点P( a , b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足| PQ |＝| PA |. (Ⅰ) 求实数a , b 间满足的等量关系； (Ⅱ) 求线段PQ 长的最小值；(Ⅲ) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时的圆P 的方程. 解：（Ⅰ）连OP, ∵Q 为切点，PQ ⊥OQ ，由勾股定理有222PQ OP OQ =-又由已知|PQ |＝|PA |，故|PQ|2＝|PA|2. 即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+- 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230ab +-=（Ⅱ）由230a b +-=，得23b a =-+.PQ=故当65a =时，min PQ =即线段PQ （Ⅲ）设圆P 的半径为R ， 圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP =1 故当65a=时，minOP =此时, 3235b a =-+=，min 1R .得半径取最小值时圆P 的方程为22263()()1)55x y -+-=（Ⅲ）圆P 与圆O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1， 圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.r = 32 2 + 12 －1 = 355 －1. 又 l ’：x －2y = 0, 解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩得6,535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P 0( 65 ,35 ). ∴所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=.如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射． 反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1, l 2都相切. (Ⅰ)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(Ⅱ)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．（Ⅰ）直线l 1：y ＝2, 设l 1交l 于点D ，则D （32，2） ∵l 的倾斜角为30°,∴l 2的倾斜角为60° ∴32=k ∴反射光线l 2所在直线的方程为)32(32-=-x y 即3-x 已知圆C 与l 1切于点A ，设 C(a , b )∵圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，∴83+-=a b ① 又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴33=a ②由①②得 ⎩⎨⎧-==133b a 圆C 的半径r ＝3 故所求圆C 的方程为 9)1()33(22=++-y x（Ⅱ）设点B(0, －4）关于l 的对称点B′(x 0 ,y 0) 则2332400x y ⋅=- 且3400-=+x y 得B′(32-, 2) , 固定点Q 可发现，当B′，P ，Q 共线时，PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 最小值为B′C －3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++xy x y 33333233121 解得)21,23(P ∴ PB ＋PQ 最小值为B′C －3＝3212-已知圆M：22(2)1x y+-=，设点B,C是直线l：20x y-=上的两点，它们的横坐标分别是,4()t t t R+∈，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A.（Ⅰ）若0t=，MP=PA的方程；（Ⅱ）经过A, P, M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值()L t.解：（Ⅰ）设(2,)(02).P a a a≤≤(0,2),M MP=解得1a=或15a=-（舍去）.(2,1).P∴由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.所以直线PA的方程为1(2)y k x-=-，即210.kx y k--+=∵直线PA与圆M相切，1=，解得0k=或4.3k=-∴直线PA的方程是1y=或43110.x y+-=（Ⅱ）设(2,)(24).P a a t a t≤≤+∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA∴经过A、P、M三点的圆的圆心D是线段MP的中点. ∵ M(0, 2) ∴点D的坐标是(,1).2aa+设222225524().()(1)1().24455aDO f a f a a a a a=∴=++=++=++当225t>-，即45t>-时，2min5()()1;2162t tf a f t==++当22252t t≤-≤+，即24455t-≤≤-时，min24()();55f a f=-=当2225t+<-，即245t<-时, 22min515()(2)(2)(2)138242216t t tf a f t t=+=++++=++综上所述45244()55245tL t tt>-=-≤≤-⎪<-.如图，在平面直角坐标系xOy中，(,0)A a(0)a>，(0,)B a，(4,0)C-，(0,4)D，设△AOB的外接圆圆心为E.（Ⅰ）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（Ⅱ）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）直线CD方程为4y x=+，圆心(,)22a aE，半径r|4|a a-+=，解得4a=（Ⅱ）∵||CD == ∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD的距离为又圆心E 到直线CD距离为定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个， 只需圆E=10a =， 此时，⊙E 的标准方程为22(5)(5)50x y -+-=.（2003京春理，22）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程； （Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3. 所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2， 解得y =－9314. 但y =－9314不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即 y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310. 又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）. 评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.（1997全国理，25）设圆满足： （1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y =0的距离最小的圆的方程.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1， 从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O （0，0），P （1，t ），Q （1－2t ，2+t ），R （－2t ，2），其中t ∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR 在第一象限部分的面积S （t ）. （2）确定函数S （t ）的单调区间，并加以证明.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2=t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t 1（x －1），令x =0得y =t +t1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t )1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.。