3 逆用完全平方公式分解因式 (2) 公开课一等奖课件
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2 逆用完全平方公式分解因式 省一等奖课件
逆用完全平方公式分解因式
1．(2分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．(2分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2
C．(x＋y)2
D．(x－y)2
如果有整式与分式的加减计算，要将__整__式____看成一个 分母为“1”的分式，再与其他分式通分后进行加减运算．
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分式的加减运算
1．(3 分)计算 a－b＋a2＋b2b的结果是( C )
a－b＋2b2 A. a＋b
a2＋b2 C. a＋b
B．a＋b D．a－b
2．(3 分)计算ba－ba－a2＋abb2的结果是( C )
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青 春 风 采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学院
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北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
14．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( B )
A．8 B．16 C．2 D．4
15．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( D )
用完全平方公式分解因式课件
你能将下列多项式分解因式吗?
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
这两个多项式有什么特征?
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点:
1.必须是三项式
2.有两个“项”的平方
3.有这两“项”的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
(3) 4b2＋4b-1
(4) a2＋ab+b2
练习2:分解因式
(1)x2+12x＋36
(2) －2xy-x2－y2
(3) a2＋2a＋1
(4) (a＋b)2－8(a＋b)＋16
(5) ax2+2a2x+a3
(6) -3x2+6xyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3y2
小结:
完全平方式具有:
1.是一个二次三项式 2.有两个“项”平方,而且有这两
a2 ＋2 a b ＋ b2 = ( a ＋ b)2
例1:分解因式: (1)16x2＋24x＋9 (2) －x2＋2xy－y2 例2:分解因式:
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2 (2) (a＋b)2－12(a＋b)＋36
练习1:下列多项式是不是
完全平方公式？
(1)a2-4a＋4
(2)
1＋4a2
4 a2 _______ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ______
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为: 运用完全平方 公式分解因式
例题: 把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
这两个多项式有什么特征?
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点:
1.必须是三项式
2.有两个“项”的平方
3.有这两“项”的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
(3) 4b2＋4b-1
(4) a2＋ab+b2
练习2:分解因式
(1)x2+12x＋36
(2) －2xy-x2－y2
(3) a2＋2a＋1
(4) (a＋b)2－8(a＋b)＋16
(5) ax2+2a2x+a3
(6) -3x2+6xyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3y2
小结:
完全平方式具有:
1.是一个二次三项式 2.有两个“项”平方,而且有这两
a2 ＋2 a b ＋ b2 = ( a ＋ b)2
例1:分解因式: (1)16x2＋24x＋9 (2) －x2＋2xy－y2 例2:分解因式:
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2 (2) (a＋b)2－12(a＋b)＋36
练习1:下列多项式是不是
完全平方公式？
(1)a2-4a＋4
(2)
1＋4a2
4 a2 _______ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ______
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为: 运用完全平方 公式分解因式
例题: 把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
公式法分解因式(二)课件
例3 分解因式
1. 3ax2+6axy+3ay2 2. -x2-4y2+4xy 3. (x+y)x2+2xy(x+y)+y2(x+y)
例4 分解因式
1. a2+b2-2ab - 4（a-b）+4 2. 9(a+2b)2- 30a- 60b+25
3. x4+x2 +1
两人一组，合作编题。
编两道分解因式题，分别满足： 1. 要用到提公因式法和完全平
完全平方公式法分解因式
复习
1、因式分解定义 2、已学过的因式分解的方法
例1 判断下列多项式是不是完 全平方式，若是,请分解因式。
1. x2+12x+36 2. x2-4xy-4y2 3. (x+y)2-6(x+y)+9
例2 分解因式
1. 9a2b2+6ab+1 2. 4-12(x-y)+9(x-y)2 3. x6-10x3+25
方公式。 2. 要用到平方差公式和完全平
方公式。
看谁做得快
1. 20022－4×2002＋4 2. 1.23452＋0.76552 ＋
2.469 × 0.7655 3. 20062－4010×2006＋20052
随堂测试：分解因式
（1）x2y2-6xy+9 （2）-a+2a2-a3 （3）a4-8a2b2+16b4 （4） (x2+5x)(x2+5_______ 2.我想进一步研究的问题是______
分解因式歌 首先提取公因式，然后想到用公式。 两项想到平方差，然后立方和与差。 三项考虑全平方，十字相乘不能忘。 添项拆项试一试，整体换元功能强。
12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.
16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答 下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
因式分解公式法优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
x 1 x 2
x2 3x 2 x2 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x px q
x 1 x 2
点拨精讲：常数项拆成两个因数，绝对值较大因数符号与一次项符合相
同；
第4页
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P119页练习第1、2题；
【学习目标】
1、会判断完全平方式； 2、能直接利用完全平方式因式分解；
【学习重、难点】
重点：掌握完全平方公式分解因式方法。 难点：能灵活利用公式法分解因式。
第2页
【预习导学】
积2倍
a2 2ab b 2
a2 2ab b2
ab
ab
2
【预习导学】
x2 3x 2
x2 x 2
点拨精讲：完全平方式其中有两项能写成两数或式子平方形式，另一项
为这两个数或式子积2倍或2倍相反数。多项式有公因式先提公因式，再确定 其属于哪个公式结构。
点拨精讲：第1、2两小题先要把括号里式子看作一个整体，分解后要继续分
解到不能分解为止。第3、4要从常数项入手，拆分时主要是符号问题。
第5页
【合作探究】小组讨论交流解题思绪，小组活动后，小组代表展示活动结果。10分钟
3、检验分解是否正确方法是把分解结果乘回去看是否 得到原式。
第9页
【课堂小结】
（学生总结本堂课收获与迷惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
第10页
3
第8页
【点拨精讲】（3分钟）
1、分解因式步骤：有公因式先提公因式，提完公因式 假如是二项式就考虑平方差公式，三项式看是否符合完全 平方公式或者能否利用十字相乘法，不能用完全平方公式 和十字相乘法多项式要考虑拆项；超出三项多项式要采取 分组分解法，分组标准是分组后能提公因式或利用公式继 续分解。
x2 3x 2 x2 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x px q
x 1 x 2
点拨精讲：常数项拆成两个因数，绝对值较大因数符号与一次项符合相
同；
第4页
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P119页练习第1、2题；
【学习目标】
1、会判断完全平方式； 2、能直接利用完全平方式因式分解；
【学习重、难点】
重点：掌握完全平方公式分解因式方法。 难点：能灵活利用公式法分解因式。
第2页
【预习导学】
积2倍
a2 2ab b 2
a2 2ab b2
ab
ab
2
【预习导学】
x2 3x 2
x2 x 2
点拨精讲：完全平方式其中有两项能写成两数或式子平方形式，另一项
为这两个数或式子积2倍或2倍相反数。多项式有公因式先提公因式，再确定 其属于哪个公式结构。
点拨精讲：第1、2两小题先要把括号里式子看作一个整体，分解后要继续分
解到不能分解为止。第3、4要从常数项入手，拆分时主要是符号问题。
第5页
【合作探究】小组讨论交流解题思绪，小组活动后，小组代表展示活动结果。10分钟
3、检验分解是否正确方法是把分解结果乘回去看是否 得到原式。
第9页
【课堂小结】
（学生总结本堂课收获与迷惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
第10页
3
第8页
【点拨精讲】（3分钟）
1、分解因式步骤：有公因式先提公因式，提完公因式 假如是二项式就考虑平方差公式，三项式看是否符合完全 平方公式或者能否利用十字相乘法，不能用完全平方公式 和十字相乘法多项式要考虑拆项；超出三项多项式要采取 分组分解法，分组标准是分组后能提公因式或利用公式继 续分解。
因式分解公式法ppt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
第4页
例1.把以下各式分解因式
（1）16a²- 1
解：1）16a²-1=(4a)²- 1
( 2 ) 4x²- m²n²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4 解：2） 4x²- m²n²
以说明理由。
（2n+1)2-(2n-1)2=8n
第38页
16、（浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一个因 式分解法产生密码方便记忆又不易破译。 比如用多项式x4-y4因式分解结果 （x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六 位数密码“018162”。你知道这是怎么来吗?
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
第11页
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方“项” 3、有这两平方“项”底数2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
第12页
以下各式是不是完全平方式
第29页
10.（·眉山中考）把代数式
分解因式，以下结
果中正确是（ ）
mx2 6mx 9m
A．
B．
C．
D．
m(x 3)2 m(x 3)(x 3)
m( x 4)2
m(x 3)2
【解析】选D .mx2 6mx= 9mm （x2－6x＋9)=m(x－3)2.
11.（·黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2
=(2x)²- (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第二课时：用完全平方公式分解因式》课件
6 【中考·珠海】填空：x2＋10x＋___2_5__＝(x＋ ___5___)2.
7 【2017·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全 平方式，则k＝___±__1_0__.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－导
用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看： 都是有3项
熟知公式特征！
从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
容易忽视②⑤，注意②提出 1 ，⑤提出3以后 2
就能利用完全平方公式分解因式．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
A．b<c<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<b<a
知3－练
4 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且 一边长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
1 知识小结
完全平方公式法： 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和(或差)的平方． 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
（来自《完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
知1－导
a2 2ab b2 a2 2ab b2
我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍
知1－讲
7 【2017·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全 平方式，则k＝___±__1_0__.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－导
用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看： 都是有3项
熟知公式特征！
从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
容易忽视②⑤，注意②提出 1 ，⑤提出3以后 2
就能利用完全平方公式分解因式．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
A．b<c<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<b<a
知3－练
4 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且 一边长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
1 知识小结
完全平方公式法： 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和(或差)的平方． 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
（来自《完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
知1－导
a2 2ab b2 a2 2ab b2
我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍
知1－讲
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
《分解因式》PPT课件2
(2)ab2-a2b
(3) x2 y2
(4)4a2-b2
(5)x2+4x+4
(6)
x2
x
1 4
思维再现
◆多项式9x2+1加上一个单项式后,使 它能成为一个整式的平方,则加上的单 项式可以是
_±__6_x__、_-_9_x_2__、__-_1_、__84_1_x_4(填上你认为
正确的一个即可,不必考虑所有的可能 情况).
2024年1月20日星期六
27
把下列各式进行因式分解
(1)x-xy2
(2) 7502-2502
(3)9x3-18x2+9x (4)ax2-2a2x+a3
把下列各式进行因式分解
（1）25a2-(b+c) 2
(1) x2 12xy 36 y2
(2)(x+y)2+6(X+y)+9
(2) 2xy x2 y2
多项式。 3、计算中应用因式分解,可使计算简便
6、分解因式：(a+2b)2-2(a+2b)(b-2a)+(2a-b)2
2024年1月20日星期六
22
若9x2＋2(a－4)x＋16是一个完全
平方式,则a的值
.
2024年1月20日星期六
23
例题：已知多项式2x3-x2-13x+k分解因式后有一个因式为 2x+1。求k的值。 提示：因为多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1，所以
巩固深化
1、36a2b2-4a4 3、(b2+c2)2-4b2c2 5、x4-8y2(x2-2y2)
2、-x2-4xy-4y2 4、(x2-3) 2+2(3-x2)+1
《1432公式法2》课件(人教版八年级上)
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一练 mx+my-nx-ny
① ② ③④ ①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny） 解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2] =2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2b(4a2b-a4-4b2) =-2b(a4-4a2b+4b2)
=2(13x-1)(-13x+13) =-26(13x-1)(x-1)
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =__(a_+_b__+_5_)(_a_+_b_-_3_) 4．-1-2a-a2=__-_(a_+__1_) _2___ 5．x2-6x+9-y2 =_(_x_-3_+_y_)_(_x_-3_-_y_) 6．x2-4y2+x+2y=_(_x_+_2_y_)_(x_-_2_y_+_1_)_ 7．9x2+6xy+y2+3x+y =_(3_x_+_y_)_(_3_x_+_y_+_1_) 8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=_(_3_x_+_y_+_2_)_(3_x_+__y_-1_)_
练一练 mx+my-nx-ny
① ② ③④ ①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny） 解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2] =2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2b(4a2b-a4-4b2) =-2b(a4-4a2b+4b2)
=2(13x-1)(-13x+13) =-26(13x-1)(x-1)
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =__(a_+_b__+_5_)(_a_+_b_-_3_) 4．-1-2a-a2=__-_(a_+__1_) _2___ 5．x2-6x+9-y2 =_(_x_-3_+_y_)_(_x_-3_-_y_) 6．x2-4y2+x+2y=_(_x_+_2_y_)_(x_-_2_y_+_1_)_ 7．9x2+6xy+y2+3x+y =_(3_x_+_y_)_(_3_x_+_y_+_1_) 8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=_(_3_x_+_y_+_2_)_(3_x_+__y_-1_)_
完全平方公式公开课ppt课件
应用示例
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
因式分解(完全平方公式)课件
3 因式分解(完全平方公式)
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
完全平方公式分解因式课件
2023
完全平方公式分解因 式课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 完全平方公式分解因式的基本概念 • 完全平方公式分解因式的实例解析 • 完全平方公式分解因式的练习题 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
主题简介
01
2023
PART 02
完全平方公式分解因式的 基本概念
REPORTING
完全平方公式的定义
完全平方公式
一个二次多项式，可以表示为 $(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式，其 中$a$和$b$是常数。
完全平方公式分解因式
将一个完全平方公式分解为多个一次 多项式的乘积。
完全平方公式分解因式的步骤
完全平方公式分解因式的应用
化简二次多项式
通过完全平方公式分解因式，可 以将一个复杂的二次多项式化简 为一个更简单的形式，便于进一
步计算或分析。
解决二次方程
在解二次方程时，可以通过完全平 方公式分解因式来化简方程，从而 更容易找到解。
证明恒等式
通过完全平方公式分解因式，可以 证明一些恒等式，如$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$等。
练习题二
总结词：中等难度
详细描述：此练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用完全平方公式进行因式分解，并解决一些 实际问题。
练习题三
总结词
高难度挑战
详细描述
此练习题难度较高，需要学生具备较强的数学思维和解题能力。题目涉及多个知识点，需要学生综合运用完全平 方公式和其他数学技巧进行解答。
2023
实例二
完全平方公式分解因 式课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 完全平方公式分解因式的基本概念 • 完全平方公式分解因式的实例解析 • 完全平方公式分解因式的练习题 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
主题简介
01
2023
PART 02
完全平方公式分解因式的 基本概念
REPORTING
完全平方公式的定义
完全平方公式
一个二次多项式，可以表示为 $(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式，其 中$a$和$b$是常数。
完全平方公式分解因式
将一个完全平方公式分解为多个一次 多项式的乘积。
完全平方公式分解因式的步骤
完全平方公式分解因式的应用
化简二次多项式
通过完全平方公式分解因式，可 以将一个复杂的二次多项式化简 为一个更简单的形式，便于进一
步计算或分析。
解决二次方程
在解二次方程时，可以通过完全平 方公式分解因式来化简方程，从而 更容易找到解。
证明恒等式
通过完全平方公式分解因式，可以 证明一些恒等式，如$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$等。
练习题二
总结词：中等难度
详细描述：此练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用完全平方公式进行因式分解，并解决一些 实际问题。
练习题三
总结词
高难度挑战
详细描述
此练习题难度较高，需要学生具备较强的数学思维和解题能力。题目涉及多个知识点，需要学生综合运用完全平 方公式和其他数学技巧进行解答。
2023
实例二
完全平方公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件
(3)例子： 把 x2＋6x＋9 和 4x2－20x＋25 因式分解． 显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式 分解吗？ 三、应用举例 1．(1)提问：式子 x2－4x＋4，1＋16a2，4x2＋4x－1，
x2＋xy＋y2，m2＋2nm＋n2 是不是完全平方式？ (2)填空： m2＋(____)＋4＝(m＋2)2，m2＋(____)＋4＝(2－m)2，
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加． (二)例题讲解与巩固练习 1．教材例6计算： (1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)(x－y)； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
2．计算下列各题：
1．叙述平方差公式，并写出公式．
2．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x2；
(2)x3－xy2；
(3)m4－1; (4)ab(x－y)3＋ab3(y－x)．
3．填空：
(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．
二、探究新知
完全平方式与完全平方公式
(1)公式： 把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反 过来，就可以得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a －b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式． 上面两个公式叫做完全平方公式． (2)完全平方式的形式和特点； ①项数：三项； ②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同； ③有一项是这两个数的积的两倍．
【数学课件】运用完全平方公式分解因式
= 3 2(a b)2
=(3-2a+2b)2
分解因式：
（1）x2-12xy+36y2 =(x-6y)2 (2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2+3b2)2 (3)-2xy-x2-y2 =-(x+y)2 (4)4-12(x-y)+9(x-y)2=(2-3x+3y)2
总结与反思：
(x 3)2
(2 y 1) 2
否
否
否
4 y2 12 xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
是
a表示2y， (2 y 3x)2
b表示3x
是
a表示(a+b)， (a b 1) 2
b表示1
填一填
多项式
x2 x 1 4
是否是完全 a、b各表 表示（a+b）2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
=-(a+5)2
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 解：原式=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
2 (a b)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ错。此多项式不是完全平方式
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1
解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
(2)9a2 6ab b2
解:原式=（3a)2-2×3a×b+b2
=(3-2a+2b)2
分解因式：
（1）x2-12xy+36y2 =(x-6y)2 (2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2+3b2)2 (3)-2xy-x2-y2 =-(x+y)2 (4)4-12(x-y)+9(x-y)2=(2-3x+3y)2
总结与反思：
(x 3)2
(2 y 1) 2
否
否
否
4 y2 12 xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
是
a表示2y， (2 y 3x)2
b表示3x
是
a表示(a+b)， (a b 1) 2
b表示1
填一填
多项式
x2 x 1 4
是否是完全 a、b各表 表示（a+b）2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
=-(a+5)2
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 解：原式=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
2 (a b)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ错。此多项式不是完全平方式
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1
解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
(2)9a2 6ab b2
解:原式=（3a)2-2×3a×b+b2
课件《完全平方公式》优秀课件完美版_人教版2
14.3.2.2 方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
问题五 大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把 运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平 方公式：
把方整法式 ：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b） 方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号
问题五 大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把 运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平 方公式：
把方整法式 ：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b） 方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号
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青 春 风 采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学院
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北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
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3．(2分)下面的多项式中，能因式分解的是( D ) A．m2＋n B．m2－m＋1 C．m2－n D．m2－2m＋1 4．(3分)小华同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分 解，你认为正确的是( D ) A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2 B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2 C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2 D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
x(x－y)2
(2)2a2b－a3－ab2；
－a(a－b)2 (3)－3x2＋2x－13.
－13(3x－1)2
一、选择题(每小题 4 分，共 12 分) 13．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( B ) A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2 C．x2－2x＋4＝(x－2)2 D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
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14．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( B )
A．8 B．16 C．2 D．4
15．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( D )
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2
D．(x－2)2
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二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 16．因式分解：1－x＋x42＝_(_1_－__x2_)_2_. 17．因式分解：x3－4x2y＋4xy2＝_x_(_x－__2_y_)_2 . 18．二次三项式 4x2＋mxy＋4y2 可以用完全平方公式分解， 则 m＝___±__8___. 19．若正方形的面积是 a2＋18ab＋81b2(a>0，b>0)，则这 个正方形的边长是__a＋__9_b___．
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解：(1)∵an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1 ＝8n，又n为大于0的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文 字语言表述：两个连续奇数的平方差是8的倍数
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64， 144，256.n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数
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前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
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9．(9分)把下列各式分解因式： (1)1－4m＋4m2；
(1－2m)2 (2)a2－14ab＋49b2；
(a－7b)2
(3)9(a－b)2＋42(a－b)＋49. (3a－3b＋7)2
先提取公因式再逆用完全平方公式分解因式
10．(2分)(2015·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因 式结果正确的是( D )
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高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分
报考高校：
北京大学光华管理学院
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北京市理科状元杨蕙心
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附赠 中高考状元学习方法
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高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分
报考高校：
北京大学光华管理学院
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北京市理科状元杨蕙心
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逆用完全平方公式分解因式
1．(2分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．(2分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2
C．(x＋y)2
采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学院
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北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
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三、解答题(共32分) 20．(12分)将下列各式因式分解： (1)(x＋y)2－4(x＋y－1)； 原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2 (2)a2－2ab＋b2－9； 原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3) (3)(y2－4y)2＋8(y2－4y)＋16； 原式＝(y2－4y＋4)2＝(y－2)4 (4)(x2y2＋1)2－(4x2y2)． 原式＝(xy＋1)2(xy－1)2
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
A．3x(x2－4x＋4) B．3x－(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2 11 ． (2 分 )(2015·黄 冈 ) 分 解 因 式 ： x3 － 2x2 ＋ x ＝ __x_(x_－__1_)_2.
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12．(9 分)把下列各式分解因式： (1)x3－2x2y＋xy2；
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前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
21．(10分)计算： (1)3×192＋6×19×21＋3×212；
4800
(2)2022＋202×196＋982. 90000
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【综合运用】 22 ． (10 分 ) 设 a1 ＝ 32 － 12 ， a2 ＝ 52 － 32 ， … ， an ＝ (2n ＋ 1)2 － (2n － 1)2(n为大于0的自然数)． (1)探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； (2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平 方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个 完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数．(不必说 明理由)
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
1．形如_a_2_±__2_a_b_＋__b_2 _的式子称为完全平方式． 2．逆用乘法公式(a＋b)2＝_a_2_＋__2_a_b_＋__b_2 _，(a－b)2＝ _a_2_－__2_ab_＋__b_2__可以将某些多项式因式分解． 3．利用乘法公式将某些多项式因式分解的方法叫做 __公__式__法__． 4 ． 因 式 分 解 的 一 般 步 骤 是 ： 一 “___提_____” ， 二 “____套____”，三“___查_____”．
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5．(2分)(2015·温州)a2－2a＋1＝_(_a_－__1_)_2 _. 6．(2分)分解因式：9a2－6ab＋b2＝_(3_a_－__b_)_2_. 7．(2分)若25x2＋kxy＋4y2可以分解为(5x－2y)2，则k的 值是__－__2_0___． 8．(3分)多项式4x2＋9加上一个单项式后能用完全平方公 式进行因式分解，则加上的单项式可以是 _答__案__不__唯__一__，__如__±__1_2_x_．(填上你认为正确的一个即可，不 必考虑所有的可能情况)
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学院
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北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
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3．(2分)下面的多项式中，能因式分解的是( D ) A．m2＋n B．m2－m＋1 C．m2－n D．m2－2m＋1 4．(3分)小华同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分 解，你认为正确的是( D ) A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2 B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2 C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2 D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
x(x－y)2
(2)2a2b－a3－ab2；
－a(a－b)2 (3)－3x2＋2x－13.
－13(3x－1)2
一、选择题(每小题 4 分，共 12 分) 13．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( B ) A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2 C．x2－2x＋4＝(x－2)2 D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
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14．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( B )
A．8 B．16 C．2 D．4
15．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( D )
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2
D．(x－2)2
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二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 16．因式分解：1－x＋x42＝_(_1_－__x2_)_2_. 17．因式分解：x3－4x2y＋4xy2＝_x_(_x－__2_y_)_2 . 18．二次三项式 4x2＋mxy＋4y2 可以用完全平方公式分解， 则 m＝___±__8___. 19．若正方形的面积是 a2＋18ab＋81b2(a>0，b>0)，则这 个正方形的边长是__a＋__9_b___．
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解：(1)∵an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1 ＝8n，又n为大于0的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文 字语言表述：两个连续奇数的平方差是8的倍数
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64， 144，256.n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数
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9．(9分)把下列各式分解因式： (1)1－4m＋4m2；
(1－2m)2 (2)a2－14ab＋49b2；
(a－7b)2
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逆用完全平方公式分解因式
1．(2分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．(2分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2
C．(x＋y)2
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来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
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三、解答题(共32分) 20．(12分)将下列各式因式分解： (1)(x＋y)2－4(x＋y－1)； 原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2 (2)a2－2ab＋b2－9； 原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3) (3)(y2－4y)2＋8(y2－4y)＋16； 原式＝(y2－4y＋4)2＝(y－2)4 (4)(x2y2＋1)2－(4x2y2)． 原式＝(xy＋1)2(xy－1)2
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A．3x(x2－4x＋4) B．3x－(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2 11 ． (2 分 )(2015·黄 冈 ) 分 解 因 式 ： x3 － 2x2 ＋ x ＝ __x_(x_－__1_)_2.
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21．(10分)计算： (1)3×192＋6×19×21＋3×212；
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(2)2022＋202×196＋982. 90000
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【综合运用】 22 ． (10 分 ) 设 a1 ＝ 32 － 12 ， a2 ＝ 52 － 32 ， … ， an ＝ (2n ＋ 1)2 － (2n － 1)2(n为大于0的自然数)． (1)探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； (2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平 方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个 完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数．(不必说 明理由)
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
1．形如_a_2_±__2_a_b_＋__b_2 _的式子称为完全平方式． 2．逆用乘法公式(a＋b)2＝_a_2_＋__2_a_b_＋__b_2 _，(a－b)2＝ _a_2_－__2_ab_＋__b_2__可以将某些多项式因式分解． 3．利用乘法公式将某些多项式因式分解的方法叫做 __公__式__法__． 4 ． 因 式 分 解 的 一 般 步 骤 是 ： 一 “___提_____” ， 二 “____套____”，三“___查_____”．
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5．(2分)(2015·温州)a2－2a＋1＝_(_a_－__1_)_2 _. 6．(2分)分解因式：9a2－6ab＋b2＝_(3_a_－__b_)_2_. 7．(2分)若25x2＋kxy＋4y2可以分解为(5x－2y)2，则k的 值是__－__2_0___． 8．(3分)多项式4x2＋9加上一个单项式后能用完全平方公 式进行因式分解，则加上的单项式可以是 _答__案__不__唯__一__，__如__±__1_2_x_．(填上你认为正确的一个即可，不 必考虑所有的可能情况)