运用完全平方公式分解因式

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用完全平方公式分解因式

用完全平方公式分解因式好的，以下是为您生成的文章：因式分解，这玩意儿在数学里就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。

今儿个咱们就来聊聊其中的一个重要招式——用完全平方公式分解因式。

先说说啥是完全平方公式哈。

这就好比盖房子，得有个牢固的框架，完全平方公式就是这个框架。

（a ± b）² = a² ± 2ab + b²，记住喽！那这公式咋用来分解因式呢？就拿一个简单的例子来说，比如 x² +6x + 9。

咱瞅瞅，这是不是很像（a + b）² = a² + 2ab + b²这个式子？这里的 a 就是 x，b 就是 3，因为 2×x×3 = 6x 嘛。

所以，x² + 6x + 9 就能分解成（x + 3）²。

咋样，是不是有点儿意思啦？再比如 16x² - 24x + 9 ，这也能用完全平方公式。

先看前面 16x²，可以写成（4x）²，后面 9 就是 3²，中间 -24x 正好是 -2×4x×3 。

所以，它就能分解为（4x - 3）²。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮一直瞪着大眼睛，一脸懵的样子。

我就走到他旁边，问他：“咋啦，这完全平方公式把你难住啦？”他苦着脸说：“老师，我感觉这就像一团乱麻，理不清啊。

”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。

”然后我就带着他一步一步地分析，从最简单的式子开始，慢慢地，他的眼睛亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

其实啊，用完全平方公式分解因式就像是解谜游戏。

只要你找准了关键，就能轻松解开谜题。

比如说 4x² + 12xy + 9y²，一看，这就是（2x + 3y）²嘛。

不过，这中间也容易出错。

因式分解学案用完全平方公式分解学案

因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。

在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。

本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。

一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。

完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。

二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。

即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。

2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。

3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。

下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。

例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。

解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。

$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。

因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。

例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。

解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。

$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。

因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。

通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。

三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。

下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。

问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。

假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。

完全平方公式分解因式

完全平方公式分解因式ax^2+bx+c=(mx+n)^2+rx+s其中m，n，r，s为实数。

将右侧的完全平方式展开，可得：(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2将等式两边展开，得：m^2x^2+2mnx+n^2+rx+s=ax^2+bx+c将其中的同类项合并，得：(m^2-r)x^2+(2mn)x+(n^2+s)=ax^2+bx+c根据二次多项式相等的性质，可得以下等式：m^2-r=a2mn=bn^2+s=c解上述等式组即可求得m，n，r，s的值。

进而可将二次多项式ax^2+bx+c分解为(mx+n)^2+rx+s的形式。

下面以具体例子进行分解因式的过程。

例1：分解因式x^2+4x+4根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：mx+n=x+2将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(x+2)^2=x^2+4x+4因此，将x^2+4x+4分解为(x+2)^2的形式。

例2：分解因式x^2-6x+9类似地，将x^2-6x+9分解为(mx+n)^2+rx+s的形式，那么有：mx+n=x-3将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(x-3)^2=x^2-6x+9因此，将x^2-6x+9分解为(x-3)^2的形式。

例3：分解因式4x^2-4x+1根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：mx+n=2x-1将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1因此，将4x^2-4x+1分解为(2x-1)^2的形式。

通过上述例子可以看出，对于一个二次多项式，其分解因式的关键在于找到合适的m，n，r，s的值，使得原二次多项式可以被分解为两个完全平方式相加的形式。

完全平方公式因式分解

完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。

完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。

完全平方公式分解因式的方法

完全平方公式分解因式的方法完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被写成两个一次多项式的平方和的形式，例如 $x^2+6x+9$ 就是一个完全平方：$x^2+6x+9 = (x+3)^2$。

分解完全平方的方法有多种，其中最常用的是配方法和直接提取平方根法。

下面我们分别介绍这两种方法。

一、配方法1. 将二次项系数 $a$ 除以 $2$，得到系数 $m=frac{a}{2}$。

2. 将常数项 $c$ 和 $m$ 的平方相减，得到差值 $n=c-m^2$。

3. 将原式按照 $x^2+2mx+m^2+n$ 的形式写出来。

4. 将 $x^2+2mx+m^2$ 分解成 $(x+m)^2$。

5. 将 $(x+m)^2+n$ 分解成 $(x+m+sqrt{n})(x+m-sqrt{n})$。

例如，对于 $x^2+6x+9$ 这个完全平方，我们可以按照以上步骤进行分解：1. $m=frac{6}{2}=3$。

2. $n=9-3^2=0$。

3. 原式为 $x^2+2times3x+3^2$。

4. $x^2+2times3x+3^2=(x+3)^2$。

5. $(x+3)^2+0=(x+3+sqrt{0})(x+3-sqrt{0})=(x+3)^2$。

因此，$x^2+6x+9$ 可以分解为 $(x+3)^2$。

二、直接提取平方根法对于形如 $x^2+2mx+m^2$ 的完全平方，我们可以直接提取平方根得到 $(x+m)^2$。

例如，$x^2+6x+9$ 就可以直接提取平方根得到 $(x+3)^2$。

需要注意的是，直接提取平方根的方法只适用于完全平方的情况，如果是一般的二次多项式，就需要使用配方法等其他方法进行因式分解了。

以上就是完全平方公式的分解因式方法，希望对大家有所帮助。

6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]

1．分解因式：分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的两个数的平方和，平方和或减去）积的两倍，等于这两数和或者差）的平方．积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去）两个数的平方和，加上（或减去）这两个数平方和积的两倍，等于这两数和或者差）的平方．的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式．．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ；不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ；是
2 2
(3) x − 2 xy + y ；是
2 2
(4) x + 2 xy − y ；不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ．是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式，判别下列各式是不是完全平方式，若是说出

人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》说课稿

人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》说课稿一. 教材分析《人教版八年级数学上册》第14章是关于因式分解的内容。

在本章节中，学生将学习并掌握完全平方公式，并运用完全平方公式进行因式分解。

14.3.2.2节《运用完全平方公式因式分解》是本章的重要内容，通过本节的学习，学生能够理解完全平方公式的含义，掌握运用完全平方公式进行因式分解的方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但对于完全平方公式的理解和运用，还需要通过本节课的学习来进一步巩固。

同时，学生对于新知识的学习兴趣和积极性需要教师的激发和引导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解完全平方公式的含义，掌握运用完全平方公式进行因式分解的方法。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握完全平方公式的运用。

2.教学难点：如何引导学生理解和运用完全平方公式进行因式分解。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板等教学工具，帮助学生直观地理解完全平方公式的运用。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习已学过的知识，引出完全平方公式，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：学生自主探究完全平方公式的含义和运用，培养学生的自主学习能力。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，提高团队合作精神。

4.教师引导：教师针对学生的学习情况，进行针对性的讲解和引导，帮助学生理解和掌握完全平方公式。

5.巩固练习：学生进行相关的练习题，检验自己对于完全平方公式的掌握程度。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容，加深对完全平方公式的理解。

利用完全平方公式因式分解

利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。

完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。

完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。

假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。

我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。

根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。

因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。

假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。

我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。

首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。

a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。

(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。

除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。

例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。

我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。

根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。

通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。

(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。

总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。

通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。

通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。

运用完全平方公式分解因式

运用完全平方公式分解因式完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。

设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。

根据完全平方公式，可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次多项式的系数。

根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。

2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。

3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。

这一步是将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。

对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式相同，则可以直接确定因式分解。

否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。

下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。

例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。

步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。

根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。

例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。

步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。

根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。

除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。

差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。

平方差公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。

完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。

在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。

因此，熟练掌握这些公式的应用是很重要的。

运用完全平方公式因式分解教学参考

第1课时运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点)2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)一、情境导入1.分解因式：(1)A2—4/；(2)3/-3/;(3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2.2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式(≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2；(3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16)= - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.［类型二］运用完全平方公式分解因式≡3因式分解：(1)—3a2—+24,才一48 才;(2)(才+4) 2 —16 才.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解.解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2；(2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.【类型三】利用完全平方公式求值(SB 已知4x+y2-10y+29=0,求f∕+2χy+1 的值.解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决.解：*.*X —4,γ÷y-↑,Oy+ 29 = 0, Λ (χ-2)2+ (y—5)2=0. V (A,-2)2^0, (y—5)2>0, .∙.χ-2=0, y—5=0, .∙.x=2, y=5, ∙∖xy-^-2xy+l = (Λ,∕÷I)2= H2= 121.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.［类型四］运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342÷34×32 + 162;(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92.解析：利用完全平方公式转化为(a±力2的形式后计算即可.解：(1) 342 + 34 X 32 +162 = (34 +16)2 = 2500 ；(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92= (38. 9-48. 9)2= 100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.［类型五］利用因式分解判定三角形的形状(SB已知a, A C分别是A4¾7三边的长，且才+2〃+02-26(&+©=0,请判断△力回的形状，并说明理由.解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可.解：由/+2//+——28(a+c)=0,得 a'—2aZ?+1} +1/-2bc-∖- c2=0,即(a—Z?)2+ {b- c)2=0, .∙.a-b=0, b-c=O f .*.a= b= c f Z∖4%7是等边三角形.方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.［类型六］整体代入求值［例❺已知a+6=5, ab=10,求*6+才炉+Ja6的值.解析：将*6+4武昂3分解碌6与(叶犷的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答.解：3才6+才62+56=$仇才+246+62)=56(4+6)2.当西+6=5,仍=］。

运用完全平方公式分解因式

运用完全平方公式分解因式完全平方公式是一种分解因式的方法，适用于形如$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$的二次多项式。

根据完全平方公式，可将这样的二次多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$。

例如，对于多项式$x^2+6x+9$，我们可以使用完全平方公式将其进行因式分解。

根据完全平方公式，我们知道该多项式可以写成$(x+3)^2$的形式。

因此，因式分解的结果为$(x+3)(x+3)$或$(x+3)^2$。

接下来，我们将介绍用完全平方公式分解因式的步骤。

步骤1：观察多项式是否满足完全平方公式的形式。

一个二次多项式可以写为$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$。

步骤2：确定$a$和$b$的值。

根据多项式中的系数和幂运算，我们可以计算出$a$和$b$的值。

例如，在$x^2+6x+9$中，$a$的值是$x$，$b$的值是$3$。

需要注意的是，$a$和$b$的值可能是复数。

步骤3：将$a$和$b$的值代入完全平方公式。

对于多项式$a^2+2ab+b^2$，可以将其分解为$(a+b)^2$。

而对于多项式$a^2-2ab+b^2$，可以将其分解为$(a-b)^2$。

步骤4：将多项式分解为完全平方公式的形式。

根据步骤3，我们将多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式。

例如，在$x^2+6x+9$的例子中，我们可以将其分解为$(x+3)^2$。

步骤5：检查因式分解的正确性。

可以通过展开因式分解后的形式来验证因式分解的正确性。

例如，在$(x+3)^2$的情况下，我们可以将其展开为$x^2+6x+9$，与原多项式相同。

接下来，我们将通过一个具体的例子来演示完全平方公式的应用。

例子1：将多项式$x^2+8x+16$进行因式分解。

解：根据步骤1，该多项式满足完全平方公式的形式。

根据步骤2，$a$的值是$x$，$b$的值是$4$。

根据步骤3，由于$b$是正数，我们可以将多项式分解为$(a+b)^2$的形式。

运用完全平方公式分解因式

运用完全平方公式分解因式完全平方公式是高中数学里常用的因式分解方法之一，它适用于求一个二次多项式的因式分解。

在这个过程中，我们需要运用到二次多项式的完全平方公式。

一个二次多项式表示为 a^2 + 2ab + b^2，它是一个完全平方。

我们可以使用这个公式将这个完全平方分解为两个一次多项式的乘积，即 (a+ b)^2那么，如何将一个二次多项式转化为完全平方呢？假设我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们可以通过以下步骤将其转化为完全平方：1.先观察二次多项式的首项系数和末项系数。

这里的首项系数是1，末项系数是92.将首项系数的一半取出，即1/2*1=1/2，记作a。

将末项系数取出，即9，记作b。

3. 将这两个数字代入完全平方公式 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 中。

得到 (1/2 + 9)^2 = (1/2)^2 + 2 * (1/2) * 9 + 9^24.进行计算，得到(19/2)^2=(1/4)+(2/2)*9+815.化简表达式，得到(19/2)^2=1/4+18+816.继续化简表达式，得到(19/2)^2=81+18.257.最终得到(19/2)^2=99.25通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的应用过程。

那么，接下来我们将通过更多例子来理解和掌握这个公式的运用。

例1：将二次多项式x^2+10x+25分解为完全平方。

解：首项系数是1，末项系数是25取首项系数的一半为a，即1/2*1=1/2取末项系数为b，即25代入完全平方公式得到(1/2+25)^2=(1/2)^2+2*(1/2)*25+25^2进行计算得到(25.5)^2=1/4+25+625化简表达式得到(25.5)^2=25+625.25最终得到(25.5)^2=650.25所以，x^2+10x+25=(x+5)^2例2：将二次多项式4x^2-16x+16分解为完全平方。

解：首项系数是4，末项系数是16取首项系数的一半为a，即1/2*4=2取末项系数为b，即16代入完全平方公式得到(2+16)^2=2^2+2*2*16+16^2进行计算得到(18)^2=4+64+256化简表达式得到(18)^2=324最终得到4x^2-16x+16=(2x-4)^2通过这些例子，我们可以看到完全平方公式的使用方法。

运用完全平方公式因式分解

运用完全平方公式因式分解因式分解这玩意儿，就像是数学世界里的开锁匠，而完全平方公式就是那把神奇的钥匙。

咱们今天就来好好聊聊怎么用这把钥匙打开因式分解的大门。

我先给大家讲讲完全平方公式是啥。

它就像一对双胞胎，一个叫(a+ b)² = a² + 2ab + b²，另一个叫(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这俩公式看着有点复杂，但其实就像是搭积木，只要你掌握了规律，就能轻松拼出想要的形状。

比如说，给你一个式子 x² + 6x + 9，这时候咱们就可以把它看成是(a + b)²的形式。

那谁是 a，谁是 b 呢？很明显，a 就是 x，b 就是 3，因为 2ab = 6x，所以 2×x×3 = 6x。

那按照公式，它就可以分解为(x + 3)²。

是不是感觉挺神奇的？再比如 4x² - 12xy + 9y²，咱们也来找找 a 和 b。

a 就是 2x，b 就是3y，因为 2×2x×3y = 12xy。

所以这个式子就可以分解为(2x - 3y)²。

我记得之前有个同学，叫小李，他刚开始学这个的时候总是晕头转向的。

有一次做作业，遇到一个式子 16x² + 24x + 9，他怎么都分解不出来。

我就问他：“你想想完全平方公式，先找找 a 和 b 呀。

”他苦着脸说：“老师，我找不到。

”我就引导他：“那 16x²可以写成谁的平方呀？”他想了想说：“4x 的平方。

”我又问：“那 9 呢？”他马上回答：“3 的平方。

”“那 2ab 是不是 24x 呢？”他一拍脑袋：“哎呀，我知道了，a 是 4x，b 是 3，所以可以分解为(4x + 3)²。

”从那以后，小李遇到这种题就再也不害怕了，还经常主动给其他同学讲呢。

咱们再来说说用完全平方公式因式分解的一些小窍门。

用完全平方公式进行因式分解

我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2

运用完全平方公式分解因式

运用完全平方公式分解因式什么是完全平方公式在代数学中，完全平方公式是一种用于将二次多项式分解为完全平方的方法。

一个二次多项式可以写成(a+b)2的形式，其中a和b是实数。

完全平方公式是一种将二次多项式进行因式分解的常用方法。

完全平方公式的形式可以表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2其中，a和b是实数。

运用完全平方公式分解因式的步骤下面将介绍使用完全平方公式分解因式的步骤：1.确定给定二次多项式的形式。

一个二次多项式的标准形式为ax2+bx+c，其中a、b和c是实数。

2.计算出二次项系数a、一次项系数b和常数项c。

根据给定二次多项式的表达式，将表达式与完全平方公式的形式进行对比。

通过对比可以找到a、b和c的值。

3.将三个系数代入完全平方公式的形式。

将a、b和c的值代入(a+b)2=a2+2ab+b2的形式。

4.展开和简化等式。

将完全平方公式的形式展开并简化。

5.将展开后的等式与给定二次多项式进行对比。

对比展开后的等式与给定二次多项式，确定公式中的a和b是否与二次多项式中的系数相符。

6.将得到的等式重新组合为完全平方。

如果展开后的等式与二次多项式相符，将等式重新组合为一个完全平方。

此时需要将2ab这一项进行因式分解。

7.检验结果。

检验得到的完全平方是否与给定二次多项式相等。

实际例子让我们通过一个实际的例子来演示运用完全平方公式分解因式的过程。

假设我们要分解因式x2+6x+9。

1.确定二次多项式的形式。

给定的二次多项式为x2+6x+9。

2.计算系数。

根据给定二次多项式的表达式，可以确定a=1，b=6，c=9。

3.代入完全平方公式。

将系数代入完全平方公式的形式得到(1+3)2=12+2(1)(3)+32。

4.展开和简化等式。

将完全平方公式的形式展开并简化得到4=1+6+9。

5.对比展开后的等式。

通过对比展开后的等式与给定二次多项式x2+6x+9，可以发现二次多项式中的系数与展开后的等式中的系数相同。

运用完全平方公式分解因式

2 2
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把下列各式因式分解
(5)9a − 4b(3a − b) = 9a − 12ab + 4b = (3a − 2b)
2
2 2
2
(6)3ax + 6axy + 3ay = 3a( x 2 + 2 xy + y 2 ) = 3a( x + y ) 2
2 2
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2=(a+1-a+1)2=4
2 2 2 2
2 2
=(y+x) (y-x)
2
简便计算：简便计算：
56 + 68× 56 + 34
2
2
解：原式=（56+34）
=90 =8100
Page 21
2
例题
பைடு நூலகம்
(5 4a 2 + 12ab + 9b 2 ) 2 2 解：原式 = (2a) + 2 ⋅ (2a ) ⋅ (3b) + (3b)
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2
2
2
平方项符号相同（同正）平方项符号相同（同正）
2 2
a + 2ab + b = (a + b ) 2 2 2 a − 2 ab + b = (a − b )
2
Page 10
()a−ab 2 6+ 9 b
2 2
2 2
练一练因式分解：因式分解：
2
10x＋（1）25x2＋10x＋1 =(5x+1)
.
从符号看：带平方的项符号相同（同“+”或同
“-”）