布莱克-舒尔斯期权定价模型

几何布朗运动的离散形式
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： 在短时间 t 后，证券价格比率的变化值
S t t S
S 因此： S
S S
为：
也具有正态分布特征，其均值为 t ， 方差为 2t ，标准差为 t 即： S ~ ( t ,

通
布
朗
运
动
变量X遵循普通布朗运动：
dx adt bdz adt b dt
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差

普通布朗运动的离差形式
x at b t
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：

Hale Waihona Puke dx adt bdzx at b t 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态 过程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位
时间为a 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。 这种噪音是由维纳过程的b倍。
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2T ，标准差b T 。 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程

由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
dS Sdt Sdz

其在一个小的时间间隔 t 中，S的变化值 S 为:
S S t S z

设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函 数，根据伊藤引理可得： f f 1 2 f 2 2 f df ( S S )dt Sdz 2 S t 2 S S
其中，dz是一个标准布朗运动 G遵循伊藤过程：
G G 1 2G 2 2 S 漂移率： S 2 S t 2 S
G 方差率： S S
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
G 1 2G 1 G , 2, 0 令G=lnS， 2 S S S S t
以 z(T ) z(0) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个 长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 N T / t ，
因此：
z (T ) z (0) i t
i 1
N
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为
T
。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动 普
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f 为 f f 1 2 f 2 2 f f ( S S ) t S z 2 S t 2 S S

从以上分析可得： S S t S z
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S ) t S z 2 S t 2 S S
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权
价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机
过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。

根据伊藤引理：
G G 1 2G 2 2 G dG ( S S ) dt Sdz S t 2 S 2 S

dG (
2
2
)dt dz
2
•这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率 2 和 恒定的方差率 2 。 • 在任意时间长度T之后，G的变化G(T)-G(t) 仍然服从正态分 布，均值为 ( 2 )(T t ) ，方差为 2 (T t ) ，标准差为 T t ，和 时间长度平方根成正比。

第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程

目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率 为 、方差率为 的伊藤过程来表示： 2S2

S
dS Sdt Sdz
S ( m , s ) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布 t )

第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
S 但是，在一个较长的时间T后， S
不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。

f S


布莱克-舒尔斯偏微分方程
f f 1 f 2 2 rS S rf 0 2 t S 2 S
2
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
风险中性定价原理： 根据BS微分方程f(S,t,r,σ)，影响衍生证券的价值的是客观 因素：标的资产当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率 (σ)和无风险利率(r)。
dS dt dz S S t t S
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？ 投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格 的收益率 SS 。

百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性

几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用

Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是
标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。

思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ，
首先获得 10% 的收益然后再损失 10% ，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz S
S t t S
为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？ 市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变
动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，
变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来 的预测无关。 几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可 夫性质，符合弱式假说。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
z t
构建组合 :包含一单位衍生证券空头和 单位 标的证券多头 f f t f S f S S S f 1 2 f 2 2 ( S ) t 2 t 2 S f f 1 2 f 2 2 rS S rf rt 2 t S 2 S
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程

随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。 根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可
以做如下的划分： 时间的连续性 离散时间随机过程 连续时间随机过程 变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程
代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为 其中，

特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
1.0的正态分布）中取的一个随机值。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz
dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解： z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。 标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。 遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：

普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。 期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化 在现实中，资产价格总是随机变化的。

第一节 证券价格的变化过程
标 准 布 朗
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程 运 动 设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征： t 特征1：z 和 t 的关系满足：z
2 2 ( T-t )
[e
2 ( T-t )
1]
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程 例： 设A股票的现价50元，预期收益率为每年18%，波 动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动， 且该股在6个月内不付红利，请问该股6个月后的 价格ST的概率分布如何？
ln ST
2
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
从以上分析，可得知：

几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的
证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t 期间G的变化为：G(T ) G(t ) ln ST ln S 即： 2