2018年高中数学北师大版必修1第1章集合 1.3.1习题含解析

§3集合的基本运算
3.1交集与并集
课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()
A.5
B.4
C.3
D.2
答案:D
2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()
A.1
B.-1
C.1或-1
D.1或-1或0
解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.
当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.
答案:D
3
已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有() A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个
解析:M={x|-1≤x≤3},
阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.
故阴影部分所示的集合中共有2个元素.
答案:B
4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:联立两集合中的函数关系式x2+y2=1, x+y=1,
由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1, 把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,
所以方程组的解为x=1,
y=0或
x=0,
y=1,有两组解,
则A∩B的元素个数为2.故选C.
答案:C
5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为() A.6 B.7 C.8 D.9
答案:C
6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.
解析:A∩B=(x,y)y=x2-1, y=3x-3
=(x,y)x=1,
y=0或
x=2,
y=3
={(1,0),(2,3)}.
答案:{(1,0),(2,3)}
7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.
解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,
要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.
答案:7
8某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.
解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.
故(15-x)+(10-x)+x+8=30,
解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.
答案:12
9已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.
(1)9∈A∩B;
(2){9}=A∩B.
解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
检验,知a=5或a=-3.
(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,
∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.
10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.
分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.
解∵A∪B=A,
∴B⊆A.
又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.
当B≠⌀时,如图,
由数轴可得
m+1≤2m-1,
-2≤m+1,
2m-1≤5.
解得2≤m≤3.
综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.
★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?
解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;
计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;
绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.
由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.
答:这个测绘队至少有30人.
★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.
分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.
解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.
因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,
因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.
又因为A∩C=C,所以C⊆A,
故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.
①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,
由Δ=m2-8<0,得-22<m<22;
②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1,
所以1+1=m,
1×1=2,很显然不成立;
③若C={2},同②,也不成立;
④若C={1,2},
则1+2=m, 1×2=2,
解得m=3.
综上所述,a=2或a=3;m=3或-22<m<22.。