北师大版高考数学总复习三角函数-任意角的正弦函数、余弦函数的定义+单位圆与周期性

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北师大版必修四 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

复习回顾
知识点四特殊角的三角函数值
x

0 64

3
2 5
2 36
7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
2
y sin x 0
1 2
2 31
22
3 2
1 2
0
1 3 22
1 3
2
1 2
0
y cos x 1
32 22
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
记作cosα,即cosα=u
复习回顾
知识点一任意角的正弦函数和余弦函数的定义
（二）终边定义法
对于角 α 终边上任意一点 P(x,y)，用 r （r 表示点 P 到原点的距离，则
x2 y2）
y P(x,y)
y 叫做角α的正弦函数，记作sinα，
r
即 sinα=
y r
=
y x2 y2
α
O
A.1
B.0
√C.2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴|ssiinn αα|－|ccooss αα|＝ssiinn αα－－cocos sαα＝2.
D.－2
3.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.
复习回顾
知识点一任意角的正弦函数和余弦函数的定义
（一）单位圆定义法
y
如图，对于任意角α，使角α的顶点
与原点重合，始边与x轴非ห้องสมุดไป่ตู้半轴重合，
终边与单位圆交于点P(u,v), 那么： P(u,v)

高中数学北师大版必修4 1.4 教学课件《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》(数学北师大高

典型解析例1、求 5的正弦、余弦和正切值。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆的交点为
P(1 , 2
3) 2
α M x(1,0)
O
x
P(1 , 3 ) 22
sin 3 2
cos 1
2
3
tan
2 1

3
2
北京师范大学出版社高一 | 必修4
典型解析
例 2 判断下列各式的符号： (1)sin α·cos α(其中 α 是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)； 19 cos 6 π (3)sin379πcos－85π.
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课堂小结
1.任意角的三角函数的定义
P设(x,αy是),则一个sin任意角y,，co它s的终x边, ta与n单位y圆交于点
x
2.若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函
数可转化为
sin y , cos x , tan y , (r x2 y2 )
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∵379π＝4π＋171π，且171π 是第四象限角． ∴379π 是第四象限角，∴sin379π<0； ∵－85π＝(－1)×2π＋25π，且25π 是第一象限角， ∴－85π 是第一象限角，cos－85π>0.
19 故cos379cπocso6sπ－85π>0.
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解 (1)∵α 是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0. (2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0， ∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0， ∴sin 285°·cos(－105°)>0. (3)∵169π＝2π＋76π，且76π 是第三象限角，∴169π 是第三象限角， ∴cos169π<0；

高中数学第一章三角函数1.4.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义课件北师大版必修第二册

由题意,可知sin α=- ,即2 y=- . 2
2
2
因为点M在单位圆上,
所以x2+y2=1,即x2+( 2 ) 2=1,
2
解得x1= 2 2 或x2=-
.2 所以cosα=
2
或2 cos α=-
2
.
2 2
【能力进阶一水平二】(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.如图,过原点的直线与单位圆交于P,Q两点,其中P点在角 2 的终边上,则P
(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解 ①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数). ②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v 正弦实数α(弧度)对应于点P的横坐标u 余弦
③三角函数可以看成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数. 角与实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的,如图所示.
【解析】选B.由sinα= 3 得角α的终边在第一或第二象限;由cosα=- 4
5
5
得角α的终边在第二或第三象限.综上,角α所在的象限是第二象限.
2.若α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为α是第二象限角,所以cos α<0,sin α>0. 所以点P在第四象限.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若sinα>0,则角α的终边在第一或第二象限. ( ) (2)若sinα=sinβ,则α=β. ( ) 提示:(1)×.因为sinα>0,所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上. (2)×.正弦值相等,但两角不一定相等,如sin 60°=sin 120°,但60°≠120°

北师大版高中数学必修4单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

课内练习
已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限。
复习小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P(u，v)，则sin v,cos u
2.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
复习引入
锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边
对边

邻边
对边
邻边
sin _斜__边__;cos _斜__边__;
引入新知下面我们在Fra bibliotek角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数
当点P(u,v) 就是的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果？
得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义：
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题讲解
例1、求 5 的正弦、余弦。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆
的交点为 P(1 , 3 )
22
α M x(1,0)
O
x
P (1, 3) 22
sin 3
2 cos 1
sin 3 13, cos 2 13
13
13
变式1、设角
中 a 0 ，则 sin
的终53 边。过点P(4a,
3a)
,其
变式2.若角的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
则a ____6____。
5
确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;

高中数学第一章三角函数1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件2北师大版必修4

第九页，共33页。
【知识探究】知识点正余弦函数的定义(dìngyì)及其应用
观察图形,回答下列问题:
问题1:任意角三角函数的自变量和函数值分别是什么? 问题2:知道某角终边任意一点的坐标,是否可以计算该角的三角函数值?
第十页，共33页。
【总结提升】 1.任意角三角函数的定义 (1)单位圆中的定义任意角的三角函数y=sinx,y=cosx都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.可从以下两个(liǎnɡ ɡè)方面理解:
第二页，共33页。
2.任意角的正弦函数、余弦(yúxián)函数 (1)前提:设角α的顶点是坐标系的原点,始边与x轴的非负半轴重合,角α终边上任一点Q(x,y). (2)结论:OQ的长度为
第三页，共33页。
3.任意角的正、余弦三角函数(表sā示njiǎhánshù) (1)前提:用x表示自变量,即x___(b_i_ǎ_o_s的hì)大角小,用y表示函数值. (2)结论:任意角全的体正(qu、án余tǐ弦)实三角函数(sānjiǎhánshù)可以表示为y=sinx和 y=cosx,它数们的定义域为_________.
第十三页，共33页。
2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明(shuōmíng) (1)根据正弦、余弦函数的定义可知,正弦、余弦函数在各象限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的.横坐标的正负确定余弦函数的符号,纵坐标的正负确定正弦函数的符号. (2)判断符号,可直接应用角所在的象限进行判断.
第二十二页，共33页。
【解题探究】1.典例1中,sinx的符号是什么?角x的终边所在区域是什么? 提示:sinx≥0,角x的终边在第一(dìyī)、二象限或y轴的非负半轴上. 2.正余弦函数在各个象限的符号是怎样的? 提示:正弦函数在一、二象限内是正的,在三、四象限为负的;余弦函数在第一(dìyī)、四象限为正的,在第二、三象限为负的.

北师大版必修4高中数学第1章三角函数44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义4.2单位圆与周期

3．已知 sin θ·cos θ<0，那么角
D [ ∵ sin θ·cos θ<0 ， ∴
θ 是( ) A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角
sin θ>0，
或sin θ<0，
cos θ<0 cos θ>0.
∴θ 在第二象限或第四象
限．]
D．第二或第四象限角
4．若函数 f(x)是以2π为周期的周期函数，且 fπ3＝1，则 f176π的值是( )
(2)一般地，对于函数 f(x)，如果存在_非__零__实__数__T_，对定义域内的 __任__意__一__个__x 值，都有_f_(_x_＋__T_)＝__f_(_x)_，则称 f(x)为周期函数，_T__称为这个函数的周期．
(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2_k_π_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_) 是正弦函数、余弦函数的周期，其中 2π 是正弦函数、余弦函数正周期中_最__小__的一个，称为__最__小__正__周__期__．
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
5π
2π
A. 6
B. 3
5π
11π
C. 3
D. 6
D
[由题意知，角
α
的终边上一点的坐标为
23，－12.
∴cos α＝
3
2
＝
232＋－122
3 2.
又 α 的终边在第四象限．
∴α 的最小正值为116π.]
思考 2：由 sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？

北师大版高中数学-必修第二册-第一章三角函数-§4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件

重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西.
——列夫•托尔斯泰
函数值、余弦函数值. 解先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况.
设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的
坐标为(cosα,sinα),且OP=1.
点Q(x,y)在角α的终边上,则OQ= x2 y2 . 分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N.
易知△POM∽△QON.所以
PM
QN
，即
sin α
§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一. 起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说.
sin MP v v, cos OM u u.
OP 1
OP 1
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v 是该角的正弦函数值，记作v=sinα;点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数
给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为 P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标 u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.
∴y＝－8.
4．已知
sin
x＝2m＋3，且
x∈
－π，π 66
，求
m
的取值范围．
解
∵x∈
－π，π 66

《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》示范教学方案北师大新课标

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．2．掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．3．通过学习任意角的正弦、余弦的定义，培养数学抽象素养、直观想象等素养．教学重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义．教学难点：任意角的正弦函数、余弦函数定义的理解．PPT课件．一、探索新知1．任意角的正弦、余弦函数的定义水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1 700余年历史．如果将水车边缘看成一个圆．问题1如何确定水车边缘上的点呢？师生活动：教师引导，学生思考．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义（板书）．问题2 在初中我们是如何定义锐角的正弦函数和余弦函数的？师生活动：学生阅读教材第13页，一、锐角的正弦函数和余弦函数部分，然后思考．设计意图：回顾初中学过的锐角三角函数定义，为任意角的三角函数定义的引入作铺垫．追问1若把直角三角形放在如下图所示的单位圆中，正弦函数值和余弦函数值又如何表示？师生活动：学生思考，举手回答．追问2如果改变点P 在终边上的位置，这两个比值会改变吗？师生活动：教师引导学生思考．设计意图：使学生明确对于锐角来说，点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数．以及角α的正弦函数值、余弦函数值与α的终边上P 点的位置无关．追问3当α为任意角时，设(,)P u v ，则角α的正弦函数和余弦函数如何表示？★资源名称：【数学探究】三角函数的概念★使用说明：本资源为“三角函数的概念”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．M 'P '师生活动：学生阅读教材第13页，回答上述问题．设计意图：提升学生归纳概括的能力，强化对正弦函数、余弦函数概念的理解记忆．追问4若任意角α终边上除原点外的一点为(,)Q x y ，则角α的正弦函数值、余弦函数值如何计算？追问5请你说说正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号？师生活动：学生思考，举手回答，教师补充．设计意图：理解正弦函数与余弦函数的定义，明确正弦函数值与余弦函数值在各象限的符号．教师讲解：设角α终边上除原点外的一点(,)Q x y ，则sin ,cos y xr rαα==，其中22r x y =+．追问5对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？师生活动：学生思考，举手回答，教师补充．设计意图：进一步理解正弦函数、余弦函数的概念．预设答案：问题1 可以建立直角坐标系确定水车边缘上的点．问题2 如图．在直角OPM ∆中，sin ,cos a bc cαα==．追问1sin ,cos v u αα==．追问2因为OMPOM P ''∆∆，所以sin MP M P OP OP α''=='，cos OM OM OP OP α'=='，所以角α的正弦函数值、余弦函数值与α的终边上P 点的位置无关．追问3sin ,cos v u αα==．追问4根据三角形相似，可得2222sin x y x y αα==++．追问5由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．练习：P 15练习1，2，3 1．31,22． 2．10310,1010--． 3．(1)正；(2)负；(3)负；(4)正．追问5二、初步应用例1在单位圆中，=4πα-．(1)画出角α；(2)求角α正弦函数值、余弦函数值．师生活动：学生先独立完成，再与教材答案对照．追问：设角α的始边、终边与单位圆的交点分别为A ，P ，P 关于y 轴的对称点为Q ，如何求AOQ ∠的正弦函数值、余弦函数值．师生活动：学生独立完成，教师点评：利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P 的坐标(u ，v )，由三角函数的定义得sin α＝v ，cos α＝u ．设计意图：让学生熟悉在单位圆中定义三角函数的方法．例2(1)判断sin 2·cos 3sin 4·cos 6的符号；(2)若sin α>0，cos α<0，判断角α所在象限．师生活动：学生先思考，做出判断，教师板书解题过程．设计意图：考查学生对正弦函数、余弦函数定义、在各象限符号的掌握情况．预设答案例1参考教材第14页的解析．例1追问∵点P 与点Q 关于y 轴对称， ∴点Q 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．AQ根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin ∠AOQ ＝． cos ∠AOQ ＝－12．例2(1)∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，3∈⎝⎛⎭⎫π2，π，4∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，6∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π． ∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴sin 2·cos 3sin 4·cos 6>0．(2)∵sin α>0，∴α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上． ∵cos α<0，∴α的终边在第二、三象限或x 轴的负半轴上．故当sin α>0且cos α<0时，α在第二象限．【板书设计】四、归纳小结，布置作业问题5：通过本节课的学习，你知道正弦函数和余弦函数的定义吗？师生活动：学生自主总结，展示交流．老师适当补充．（1）利用单位圆是如何定义正弦函数和余弦函数的？（2）已知角α的终边上的一点，如何求角α的正弦函数值和余弦函数值？（3）你认为正余弦函数值符号的确定，主要是根据什么？预设答案：（1）点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α，横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α；（2）利用sin ,cos y xr rαα==求解；（3）正、余弦函数符号的确定主要是根据正弦、余弦函数的定义．设计意图：通过梳理本节课的内容，提升数学抽象的素养．布置作业：教科书P 14练习4，5，6，7，P 25习题A 组1，3，7，8B 组的4，5 四、目标检测设计1．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则yx的值为( )A ．3B ．－3C ．33 D ．－33设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．2．已知角α的终边上一点P (1，－2)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－1 B ．55 C ．－55D ．－ 5 设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝____．设计意图：检查正（余）函数的定义的应用． 4．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin α，cos α的值；(2)求α的终边与单位圆交点Q 的坐标．设计意图：检查正（余）函数的定义的应用．参考答案：1．A x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos60°＝12．y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin60°＝32，∴yx＝3． 2．C ∵x ＝1，y ＝－2，∴r ＝5，∴sin α＝y r ＝－255，cos α＝x r ＝55．∴sin α＋cos α＝－255＋55＝－55．3．根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－255．又∵y <0，∴y ＝－8(符合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8． 4．【解析】(1)r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |．当a >0时，r ＝5a ，角α在第二象限． ∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45．当a <0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，∴sin α＝－35，cos α＝45．(2)由正弦、余弦函数的定义知，α的终边与单位圆交点的坐标为Q (cos α，sin α)． ∴当a >0时，Q (－45，35)，当a <0时，Q (45，－35)．。

北师大高中数学必修第二册1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义【课件】

解析：直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1, 3)，则 r＝－12＋ 32＝2，所以 sin α＝ 23，cos α＝－12；在第四象限取直线上的点 (1，－ 3)，则 r＝ 12＋－ 32＝2，所以 sin α＝－ 23，cos α＝21.
方法归纳
如图所示，在角 α 终边上任取一点 P(x，y)，设|OP|＝r，
y
y
x
x
则 sin α＝____r____＝__x_2_＋__y_2 _，cos α＝____r____＝___x_2_＋__y_2 .
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数值的大小与点 P(x，y)在终边上的位置无关．( √ )
3 2
B．－12
3
1
C. 2
D.2
解析：根据任意角的正弦定义，可得 sin α＝y＝－21. 答案：B
3．已知角 α 的终边过点(3，－4)，则 cos α＝( )
4 A.5
B．－45
3 C.5
D．－35
解析：∵x＝3，y＝－4，∴r＝5.∴cos α＝xr＝53. 答案：C
4．若锐角 β 的终边过点(1，m)，且 cos β＝ 55，则 m＝________.
已知 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r>0)．则 sin α＝yr，cos α＝xr. 已知 α 的终边求 α 的三角函数值时，用这几个公式更方便． (3)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数课件高一数学北师大版数学必修4第一章三角函数

22
A. 2 2
B. 2 C. 1
2
2
D. 1 2
【解析】选B.由正弦函数的定义知,正弦函数值等于角的终边与单位圆交点的
纵坐标,故选B.
3.(教材二次开发:习题改编)已知sin α= 3 ,cos α=- 4 ,则角α所在的象限
5
5
是
()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.由sin α= 3 >0得角α的终边在第一或第二象限;由cos α=- 4
a2 b2
a2 b2
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【补偿训练】若点P(2m,-3m)(m<0)在角α的终边上,则sin α=________. 【解析】如图,点P(2m,-3m)(m<0)在第二象限,
且r=- 13m,故有sin α= 答案: 3 13
A. 1
B. 1
2
2
C. 3 2
D. 3 2
【解析】选A.易知P(1,-
3
),所以cos
α=
1.
2
3.(教材二次开发:例题改编)已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则 sin α=________.
4.若α是第三象限角,则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 【解析】因为α是第三象限角, 所以-1<cos α<0,-1<sin α<0. 所以sin(cos α)<0,cos(sin α)>0, 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案:<
【补偿训练】若点P的坐标为(cos 2 019°,sin 2 019°),则点P在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为2 019°=5×360°+219°, 所以角2 019°的终边在第三象限, 所以cos 2 019°<0,sin 2 019°<0, 所以点P在第三象限.

高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必

一、预习教材·问题导入 1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终边在第一、三象限．
考点三利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，

北师版高中数学第一章单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

出正弦函数值和余弦函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x;
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,首先求

r= 2 + 2 ,则 sin α= ,cos α= ;
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
如果将水车边缘看成一个圆,如何确定水车边缘上的点呢?
-4-
4.1
4.2
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、任意角的正弦函数和余弦函数
任意角的正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作
sin < 0,
从而有
sincos > 0,
cos < 0,
所以角 θ 的终边在第三象限,故选 C.
答案C
-18-
4.1
4.2
探究一
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟正、余弦函数值的符号判断方法
-13-
4.1
4.2
探究一
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
根据正、余弦函数的定义求值

北师版高中数学必修第二册精品课件第1章三角函数单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义

).
A.sin α+cos α
B.cos α-sin α

C.sin αcos α
D.
解析:(1)由α是第二象限角,可得sin α>0,cos α<0.
(2)因为角α终边经过点P(1,m)(m<0),所以α在第四象限,
有sin α<0,cos α>0,sin α+cos α正负无法判断;
提示:(1)sin

α=,cos

α=.
(2)不会.因为正弦值、余弦值是比值,其大小与点P(x,y)在终
边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即正弦值、余弦
值的大小只与角的大小有关.
(3)sin α=y,cos α=x.
2.正弦函数和余弦函数的定义
设角 α 终边上除原点外的一点 Q(x,y),则 sin
单调性

- ,
+

递增区间:
(k∈Z);
递减区间:
+

,

+

[2kπ-π,2kπ](k∈Z);
递减区间:
(k∈Z)
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
性质与符号 y=sin x
在各象限
的符号
y=cos x
4.已知角α的终边经过点
cos α=
.
解析:因为 -

§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易错辨析
任意角的正弦函数和余弦函数

高中数学北师大版必修四课件 §4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,单位圆与周期性

1.已知角 α 的终边在射线 y＝2x(x＞0)上，求角 α 的正弦值和余弦值．
[尝试解答 ] 法一：设角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝2x(x＞0)．又因为 x2＋y2＝1，
5 x＝， 5 所以 2 5 y＝， 5
2 5 5 于是 sin α＝y＝，cos α＝x＝ . 5 5
cos α
.
.
－－
.
.
2.周期性 (1)周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T ，对定义域内的 T 称为这
，则称f(x)为周期函数，任意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x) 个函数的周期．
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，
2．公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z；cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？
提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变
化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现
一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
法二：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)(x＞0)，则 OP＝ x2＋y2＝ x2＋4x2＝ 5|x|，又因为 x＞ 0，所以 y y 2 5 x OP＝ 5x.所以 sin α= 2 2＝＝； cos α＝ 2 2＝ 5 5x x ＋y x ＋y x 5 ＝ . 5x 5
求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法： (1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义． (2)利用正、余弦函数定义的推广：若 P(x，y)是角 α 终 y x 边上的任意一点，则 sin α＝ 2 2，cos α＝ 2 2 x ＋y x ＋y .