利用平方根的定义及性质解题

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平方根的性质及应用方法

平方根的性质及应用方法平方根是指一个数的平方根是该数的正平方根或负平方根。

平方根的性质可以总结如下：1. 平方根存在唯一性：对于任意一个非负实数，它的平方根是唯一确定的。

即使一个数有两个平方根，例如4的平方根是2和-2，其中一个是正数，一个是负数。

2. 平方根的乘积和和差：对于任意两个非负实数a和b，它们的平方根的乘积等于它们的平方根的和或差。

即√ab = √a ×√b。

但需要注意的是，这个性质只对非负实数成立，对于负实数则不适用。

3. 平方根的分配律：对于任意一个非负实数a和b，以及任意一个实数c，有√(a+b) = √a + √b，以及√(a-b) = √a - √b。

但同样地，这个性质只对非负实数成立。

4. 平方根和平方的反函数：平方根和平方运算是互为反函数的。

即对于任意一个非负实数a，有(√a)^2 = a，以及(a^2)^(1/2) = a。

这个性质可以通过平方根和平方互为逆运算的定义来证明。

关于平方根的应用方法，有以下几个常见的应用：1. 计算平方根：平方根用于计算一个数的平方根值。

可以使用计算器或数学表格来计算一个数的平方根。

同时也可以通过牛顿迭代法等数值方法来近似计算平方根。

2. 建模和求解方程：平方根可以用于建立数学模型和解决一些方程。

例如，对于一些具有平方根形式的方程，可以通过平方根的性质和运算规则来解决。

3. 几何应用：平方根也广泛应用于几何学中，特别是计算三角形的边长和斜边的长度等。

例如，根据勾股定理可以求解直角三角形的边长关系，其中就用到了平方根。

4. 物理学中的应用：平方根也常常在物理学的计算中出现。

例如，在牛顿力学中，速度和加速度之间的关系中涉及到了平方根。

平方根也被用于电磁学中计算电场和磁场强度等。

5. 金融和统计学中的应用：平方根在金融学和统计学中也有应用。

例如，在金融学中，平均回报率和方差的计算就涉及到平方根。

总之，平方根是数学中一个重要的概念，具有唯一性和一些数学运算性质。

平方根的性质与应用

平方根的加法： √a + √b =
√(a+b) 当 a, b ≥0
平方根的减法： √a - √b = √(a-b)
当a≥b≥0
平方根的乘法： √a × √b = √(ab)
当 a, b ≥ 0
平方根的除法： √a / √b =
√(a/b) 当 a, b ≥0且b≠0
开方运算：求一个数的平方根代数方程：解代数方程时需要用到平方根几何图形：在几何图形中，平方根可以用于计算图形的面积和周长数学分析：在数学分析中，平方根可以用于计算函数的极限和导数
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平方根是一个数的平方等于给定值的数。
正数的平方根有两个值，一个正数和一个负数。
0的平方根是0。
负数没有实数平方根。
平方根的定义：平方根是一个数乘以其本身等于另一个数的数。平方根的性质：平方根具有非负性，即对于任何实数a，√a^2 = a。平方根的取值范围：平方根的值总是非负的，即对于任何实数a，√a >= 0。平方根的运算性质：对于任何实数a和b，有√(a+b) >= √a + √b。
平方根在力学中的应用：计算物体运动时的加速度和速度平方根在电磁学中的应用：计算电磁场中的电动势和电场强度平方根在光学中的应用：计算光的折射率和波长平方根在量子力学中的应用：计算粒子的波函数和能量
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算法概述：CORDIC算法是一种用于计算平方根的迭代算法，通过不断逼近目标值来得到近似解。算法步骤：初始化参数，选择初始向量，进行迭代计算，直到达到精度要求。算法特点：CORDIC算法具有简单、高效、易于实现的特点，适用于各种硬件和软件平台。应用场景：平方根的CORDIC算法实现广泛应用于科学计算、工程、信号处理等领域。

掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧

掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧在初中数学学习过程中，平方与平方根是一个重要的概念。

掌握好平方与平方根的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高解题效率。

本文将介绍一些掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧，希望能对你的学习有所帮助。

一、平方的计算与应用平方是一个数与自身相乘的结果。

在数学中，平方通常用小的数字上方加上数字“2”来表示，例如“5²”表示5的平方。

在计算平方时，我们可以使用不同的方法。

一种常见的方法是使用乘法法则，即将一个数与自身相乘。

例如，要计算5的平方，我们可以将5乘以5，即5×5=25，所以5的平方是25。

除了基本的平方计算之外，我们还需要了解一些平方的应用。

例如，平方可以用于计算正方形的面积。

正方形的每条边长都相等，那么它的面积就是边长的平方。

假设一个正方形的边长是5 cm，那么它的面积就是5²=25平方厘米。

此外，平方在物理学中也有广泛的应用，例如速度的平方可以用来计算物体的动能，加速度的平方可以用来计算物体的加速度等等。

二、平方根的计算与应用平方根是平方的逆运算。

给定一个数的平方，我们可以用平方根来求出原来的数。

平方根通常用√符号表示。

例如，√25表示25的平方根，结果是5。

计算平方根有多种方法，其中一种常用的方法是通过估算与逼近。

例如，我们要计算一个大于1的数的平方根，可以先估算一个近似值，然后利用逼近方法逐步逼近更精确的值。

此外，平方根也有一些应用。

例如，在几何学中，平方根可用于求解正方形的边长。

如果已知一个正方形的面积是25平方厘米，我们可以通过求解25的平方根，得出正方形的边长是5 cm。

另一个应用是在物理学中，平方根可用于计算速度、加速度等的大小。

通过将速度的平方根与时间相乘，可以计算出物体在给定时间内的位移。

三、平方与平方根的解题技巧掌握平方与平方根的解题技巧对于初中数学学习来说非常重要。

以下是一些常见的解题技巧：1. 利用平方根的性质：平方根的计算中，我们需要了解一些平方根的性质。

算术平方根知识点总结

算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。

本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。

通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。

一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。

以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。

二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。

即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。

2. 正数的算术平方根只有一个。

即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。

3. 零的算术平方根是零。

即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。

4. 负数没有实数算术平方根。

即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。

三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。

例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。

2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。

3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。

例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。

四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。

下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。

2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。

3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。

4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。

五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。

算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。

平方根与立方根的性质及运算

平方根与立方根的性质及运算平方根与立方根是数学中常见的运算，它们具有一些独特的性质。

在本文中，我们将探讨平方根和立方根的性质以及它们的运算规则。

一、平方根的性质与运算平方根是指某个数的平方等于给定的数的运算。

设a为一个正实数，那么b是a的平方根的充分必要条件为b^2=a，记作b=√a。

平方根有以下性质和运算规则：1. 平方根的非负性：对于任意实数a，如果a为非负数，那么√a也为非负数。

这意味着平方根不可能为负数。

2. 平方根的不唯一性：对于一个正实数a，如果b是a的平方根，那么-b也是a的平方根。

因此，一个正实数可以有两个平方根，分别是正数和负数。

3. 平方根的运算规则：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|二、立方根的性质与运算立方根是指某个数的立方等于给定的数的运算。

设a为一个实数，那么b是a的立方根的充分必要条件为b^3 = a，记作b=∛a。

立方根具有以下性质和运算规则：1. 立方根的非负性：与平方根类似，对于任意实数a，如果a为非负数，那么∛a也为非负数。

2. 立方根的不唯一性：与平方根不同的是，立方根只有一个实数解。

因此，一个实数只有一个立方根。

3. 立方根的运算规则：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛(a*b) = ∛a * ∛b(b) ∛(a^2) = |a|(c) ∛(a^3) = a三、平方根与立方根的运算在实际运算中，我们常常需要计算不同根之间的运算，包括加法、减法和乘法。

下面是一些常见的运算规则：1. 平方根的加法和减法：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √a ± √b = √(a ± b)2. 立方根的加法和减法：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛a ±∛b ≠ ∛(a ± b)3. 平方根和立方根的乘法：设a为一个非负实数，则有以下运算规则：(a) √a * ∛a = √(a^2) = |a|综上所述，平方根与立方根具有一些独特的性质和运算规则。

平方根求解方法与步骤解析

平方根求解方法与步骤解析平方根试题的解析通常涉及到理解平方根的定义、性质以及求解方法。

以下是一个典型的平方根试题解析示例，以及一般的解题步骤。

示例题目求下列各数的平方根：1.162. 2.253.04.1 4解题步骤1. 理解平方根的定义平方根是一个数，其平方等于给定的数。

用符号表示，若a2=b，则a是b的一个平方根。

注意，非负实数的平方根有两个值（一个正数和一个负数），但算术平方根通常指非负的那个。

2. 逐题解析第一题：16的平方根●思考哪个数的平方等于16。

●显然，42=16和(−4)2=16。

●因此，16的平方根是±4。

但在没有特别指明的情况下，通常指算术平方根，即4。

第二题：2.25的平方根●同样，寻找哪个数的平方等于2.25。

●注意到1.52=2.25和(−1.5)2=2.25。

● 因此，2.25 的平方根是 ±1.5。

算术平方根为 1.5。

第三题：0 的平方根● 任何数的平方都不会是负数，而 0 的平方等于 0。

● 因此，0 的平方根只有一个值，即 0。

第四题：14的平方根 ● 寻找哪个数的平方等于 14。

● 注意到 (12)2=14 和 (−12)2=14。

● 因此，14 的平方根是 ±12。

算术平方根为 12。

3. 总结● 对于非负实数 a ，其平方根有两个值，分别为 √a 和 −√a 。

但在多数情况下，特别是当题目没有特别指明时，我们通常指算术平方根，即非负的那个值。

● 0 的平方根是 0，且是唯一值。

● 在求解平方根时，需要熟练掌握常见数的平方，以便快速找到答案。

通过上述步骤和示例，希望能够帮助你更好地理解并解决平方根相关的试题。

平方根的计算方法与性质

平方根的计算方法与性质平方根是数学中一个重要的概念，它指的是一个数的算术平方根。

本文将介绍平方根的计算方法与性质，帮助读者更好地理解这一概念。

一、平方根的定义在数学中，如果一个非负实数b的平方等于给定实数a，那么b就是a的平方根。

可以用符号√表示平方根。

二、平方根的计算方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，也适用于平方根的计算。

其基本思想是通过不断逼近来找到平方根的近似值。

假设要计算非负实数a的平方根，首先猜测一个初始值x0，然后利用如下迭代公式进行近似：xn+1 = (xn + a/xn) / 2当xn+1与xn之间的差值足够小，即满足一定的精度要求时，我们可以认为xn+1是a的平方根的近似值。

2. 贝比雪夫迭代法贝比雪夫迭代法也是一种常用的数值计算方法，用于计算平方根。

其基本思想是通过迭代逼近来求解平方根的近似值。

假设要计算非负实数a的平方根，首先猜测一个初始值x0，然后利用如下迭代公式进行近似：xn+1 = (xn + a/(2xn)) / 2当xn+1与xn之间的差值足够小，即满足一定的精度要求时，我们可以认为xn+1是a的平方根的近似值。

三、平方根的性质1. 非负实数的平方根是一个非负实数。

2. 平方根的运算满足乘法的结合律，即√(ab) = √a * √b。

3. 平方根的运算满足乘法的分配律，即√(a + b) ≠ √a + √b。

4. 平方根可以化简为指数的形式，即√a = a^(1/2)。

5. 平方根可以用分数表示，即√a = a^(1/n)。

四、平方根的应用领域平方根的计算方法与性质在数学和科学领域均有广泛的应用。

1. 在几何学中，平方根是计算长度、面积和体积等物理量的基本工具。

2. 在统计学中，平方根被用于计算方差和标准差等统计指标。

3. 在数值计算和算法设计中，平方根的计算方法被广泛应用于求解方程、优化算法等。

4. 在物理学和工程学中，平方根的性质被用于描述振动、波动、电磁场等自然现象。

平方根的概念及性质及运算

平方根的概念及性质及运算平方根是数学中一个重要的概念，它是指一个数的正平方根或负平方根。

具体来说，如果一个数的平方等于给定的数，那么该数就被称为该给定数的平方根。

在数学符号中，平方根通常表示为√，如√4表示4的平方根。

平方根具有以下一些性质：1. 非负数的平方根为正数，如√9=3。

这是因为一个数的平方是非负的，所以其平方根也要是非负的。

2. 负数的平方根是虚数，如√-4=2i。

这是因为任何实数的平方都是非负的，所以不存在一个实数的平方等于负数。

3. 特殊情况下，0的平方根是0，因为0乘以自己等于0。

4. 称为二次根式的平方根可以写成简化形式，如√4=2，√16=4。

这是因为平方根是指一个正数，所以我们通常写成最简形式。

5. 平方根具有乘法法则，即√(ab)=√a ×√b。

这意味着当我们将一个数的平方根乘以另一个数的平方根时，等于这两个数的乘积的平方根。

6. 平方根也具有乘法逆元的概念，即(√a) ×(√a) = a，这意味着一个数的平方根乘以自己等于该数本身。

7. 平方根具有指数法则，即(√a)^n = (√a) ×(√a) × ... ×(√a) (共n个√a)，这意味着一个数的平方根的n次幂等于该数的n次方根。

平方根的运算是数学中的一个重要内容，其中最常用的运算是开方运算。

开方运算是指找到一个数的平方根的过程。

一种常用的方法是通过试错法，我们可以逐个尝试不同的数，直到找到一个数的平方等于给定的数。

另一种方法是使用计算器或数表等工具来求得一个数的平方根。

除了常见的开方运算，还有一些其他与平方根有关的运算，如平方根的加法、减法和除法。

这些运算可以通过将数的平方根转换成指数形式来进行，然后进行相应的运算。

总之，平方根是数学中一个重要的概念，它具有一些特性和性质，包括非负数的平方根为正数、负数的平方根为虚数、平方根的乘法法则和乘法逆元等。

平方根的运算可以通过开方运算来求得，也可以使用其他方法进行。

平方根的经典题型

平方根的经典题型一、引言平方根作为数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。

在学习数学的过程中，平方根的求解成为了一个经典题型。

本文将介绍平方根的定义、性质和常见的题型，帮助读者更好地理解和应用平方根。

二、平方根的定义和性质1. 定义：对于非负实数a，平方根表示为√a，即√a = b，其中b是满足b^2 = a的非负实数。

2. 符号：平方根的符号为√，读作“根号”，表示对下方的数取平方根。

3. 性质：a) 非负数的平方根是实数，如果一个数的平方根是负数，那么它本身也必然是负数。

b) 平方根的运算是可逆的，即若b^2 = a，则√a = ±b。

c) 平方根的运算满足乘法和除法法则，即√(ab) = √a * √b，√(a/b) = √a / √b。

三、平方根的求解方法1. 分解法：将一个数的平方根分解成两个因数的平方根的积，利用乘法法则求解。

2. 递归法：通过逐步逼近的方式求解平方根，直到满足一定的精度要求。

3. 迭代法：通过迭代的方式逼近平方根，利用函数的不动点求得平方根的近似值。

四、常见的平方根题型1. 计算平方根：已知一个数，求其平方根的值。

示例题：计算√25。

解答：根据平方根的定义，√25 = ±5，因此√25的值为正负5。

2. 平方根的性质运算：利用平方根的性质进行运算，求解表达式的值。

示例题：计算√(16*49)。

解答：根据平方根的性质，√(16*49) = √16 * √49 = 4 * 7 = 28。

3. 求解方程：利用平方根的性质求解方程。

示例题：求解方程x^2 = 36。

解答：根据平方根的性质，x = ±√36 = ±6，因此方程的解为±6。

4. 近似求解：通过递归法或迭代法求解平方根的近似值。

示例题：求解√2的近似值，精确到小数点后两位。

解答：利用迭代法，可以得到√2的近似值为1.41，四舍五入精确到小数点后两位为1.41。

五、总结平方根作为数学中的基本概念，具有广泛的应用价值。

巧用算术平方根的性质解题

巧用算术平方根的性质解题
算术的平方根的性质，已经成为现代互联网当中非常常见的一个数学概念了。

它不仅可以用来求方程的根，还有非常实用的多项式和函数的计算的功能，令它在互联网当中的重要性日益凸显。

概念上来讲，平方根的性质就是指一个数的平方根可以表示出来，即我们可以
求出一个数的平方根来求解函数和分式中的根。

具体来说，平方根的表示式可以分为单变数和多变数两种情况。

如果涉及单变数，那么需要使用平方根的定义和互补量来表示。

如果是多变数，那么需要使用一般形式，即x^2+ax+b特列求出他的解。

此外，我们还可以使用算术平方根的性质来解决更复杂的问题，如求解多项式
的根，以及更复杂的函数的最值问题。

我们都知道，多项式的根一般没有一般形式可以表达，此时平方根的性质可以派上大用场，我们可以通过辗转相除法来将多项式转换为由简单的二次或立方形式组成的形式，然后再利用各自形式的解析式，比如二次形式就可以利用平方根来求解根，从而实现对多项式长期求解的目的。

另外在求解复杂函数的最值问题时，我们也可以利用算术平方根的性质来求取最值的点，从而达到计算的目的。

总之，算术平方根的性质在互联网当中扮演着极其重要的角色，它可以帮助我
们求解函数和多项式的根，也可以求取更复杂函数的最值，以解决许多问题。

根据平方根的基本性质及基本运用

根据平方根的基本性质及基本运用
1.平方根的定义
平方根是数学中常用的概念之一。

对于一个非负数a，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b称为a的平方根。

2.平方根的基本性质
非负数的平方根是非负数。

由于平方根是一个非负数，所以不存在负数的平方根。

正数的平方根有两个，一个正数和一个负数。

这是因为一个正数的平方等于它自身，同时也等于它相反数的平方。

零的平方根等于零。

由于0乘以任何数都等于0，所以零的平方等于零。

负数没有实数的平方根。

由于任何数的平方都是非负数，所以不存在实数的平方根是负数。

3.平方根的基本运用
求解一元二次方程。

常用的一元二次方程求解方法就是使用平方根。

根据一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，可以根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来求解方程的根。

计算直角三角形的斜边长度。

在直角三角形中，根据勾股定理可知，斜边c的长度等于两个直角边a和b的平方和的平方根，即c = √(a^2 + b^2)。

总结：
平方根的基本性质和基本运用在数学中具有重要的作用。

了解和掌握这些基本性质和运用方法，可以帮助我们在数学问题中更加灵活地进行计算和求解。

4.1平方根(八大题型)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第4章实数》4.1 平方根◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.◆2、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a 正的平方根可以表示为a ，正数a 的负的平方根，可以表示为-a .正数a 的平方根可以用±a 表示，读作“正、负根号a ”．◆4、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.◆1、算术平方根的定义：我们把正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记作：a ，读作:“根号a ”.规定：0的算术平方根是0. 记作: 0=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a ≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a ≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【注意】a根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a也读作：“二次根号a”.◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3） 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.；（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为a，正数a的平方根表示为a【例题1】下列说法正确的是（）A ．25的平方根是5B ．（﹣3）2的平方根是﹣3C ．925的算术平方根是35D ．0.16的算术平方根是±0.4【分析】依据平方根、算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A 、25的平方根是±5，故A 错误；B 、（﹣3）2的平方根是±3，故B 错误；C 、925的算术平方根是35，故C 正确；D 、0.16的算术平方根是+0.4，故D 错误．故选：C ．【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式1-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（）A=12B =±12C ．12D ．12【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解答】解：144的平方根是±12的数学表达式是±±12，故选：C ．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．【变式1-2】下列说法中，正确的是（）A ．任何数的平方根都有两个B ．一个数的平方根是它本身C ．只有正数才有平方根D ．负数没有平方根【分析】根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：A 、0的平方根是0，只有一个，故错误，不符合题意；B 、一个数的平方根不一定是它本身，故错误，不符合题意；C 、0也有平方根，故错误，不符合题意；D 、负数没有平方根，正确，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查的是平方根，熟知正数和0有平方根，负数没有平方根，且正数的平方根有两个，0的平方根还是0是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（）A ．14的平方根是±12B 3C ．−12是14的一个平方根D ．9的平方根是±3【分析】如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根，根据平方根的意义解题即可．【解答】解：A ．14的平方根是±12，该选项正确，故本选项不符合题意；B ±C ．−12是14的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意；D ．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．【变式1-4】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13的数是（）A．13B．16C．19D．±19【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±13）2=19，∴平方根是±13的数是19，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．【变式1-5】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（）A．6B．±6C．D．36【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：（﹣6）2＝36，36的平方根是±6，故选：B．【点评】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．【变式1-6】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣6C．﹣3D．±2【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，∴x+4＝2或x+4＝﹣2，∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．故选：B．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式1-7】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（）A．B．a﹣1C．a2﹣1D．【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，∴这个自然数是a2，∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，故选：D．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．【例题2】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36 （3）（﹣9）2 （4【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（4=7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果．【解答】解：（1）2549的平方根是±57；（2）0.36的平方根是±0.6；（3）∵（﹣9）2＝81，∴（﹣9）2的平方根是±9；（4）=7，【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．【变式2-1】1649的平方根是（）A．47B．±47C．−47D．27【分析】直接根据平方根的概念解答即可．【解答】解：∵（±47）2=1649，∴1649的平方根是±47，故选：B．【点评】此题考查的是平方根，掌握其概念是解决此题关键．【变式2-2】（2023•A．4B．±4C．±2D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．=4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【变式2-3】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（）A．﹣2B．C．4D．﹣4【分析】一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是2，∴它的另一个平方根是﹣2，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，117，23，1.44中，有平方根的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平方根的性质即可求得答案．【解答】解：0，117，23，1.44都有平方根，﹣2没有平方根，则有平方根的数有4个，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式2-5】（﹣8）2的平方根是（）A．﹣8B．8C．±8D．±64【分析】根据平方根的概念即可求出答案．【解答】解：由于（﹣8）2＝64，∴64的平方根是±8，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．【变式2-6】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）(−38)2．【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，∴49的平方根是±7；（2）∵(±45)2=1625，∴1625的平方根是±45；（3）∵279=259，(±53)2=259∴279的平方根是±53；（4）∵（±0.6）2＝0.36∴0.36的平方根是±0.6；（5）∵(−38)2=964=(38)2，∴(−38)2的平方根是±38．【点评】本题考查的是平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，一个整数的平方根有2个，它们互为相反数．【变式2-7】求下列各式的值：（1）（2）（3 （4）【分析】（1）根据算术平方根定义计算；（2）根据平方根定义计算；（3）根据算术平方根定义计算；（4）根据平方根定义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣14；（2）原式＝±52；（3）原式＝0.5；（4）原式＝±8．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．【例题3】求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（−32）2．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：（112；（2==0.7；（3=5 2；（4|−32|=32．【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．【变式3-1】（2022秋•A．3B．﹣3C．±3D．5【分析】根据算术平方根定义解答．【解答】解：∵32＝9，3，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．【变式3-2】（2023春• ．=9，再根据平方根的定义求出9的平方根即可．9，9±3，故答案为：±3．【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式3-3】（2023春• ．【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．=4，4的算术平方根是2，2．故答案为：2．【点评】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．【变式3-4】（2022•=5，则a的值为（）A．10B C．25D．±25【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵52＝25，5，则a的值为25．故选：C．【点评】本题考查算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．【变式3-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y xy等于（）A．12B．﹣12C．6D．﹣6【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x＝﹣22，y∴x＝﹣4，y＝3，∴xy＝﹣4×3＝﹣12，故选：B．【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提．【变式3-6】求下列各式的值：（1（2（3（4|a|．【解答】解：（1）原式12；（2）原式==57；（3）原式==100；（4）原式==0.07．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．【例题4】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．【解答】解：∵（a﹣1）2=0，（a﹣1）2≥00，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•(n−3)2=0，则m n的值是．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．+（n﹣3）2＝00，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴m n＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．【变式4-2】（2023•濠江区模拟）若a，b为实数，且|a−1|=0，则（a+b）2023＝．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a，b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式4-3】已知a，b0，则a2022﹣b2023＝．【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再利用有理数的运算法则进行计算即可．0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2022﹣b2023＝（﹣1）2018﹣12019＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，依据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．【变式4-4】（2023春•江源区期末）已知（a﹣1）2+|b+1|=0，则a+b+c＝．【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|=0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．【变式4-5】（2022春•|b a+b的绝对值为（）A．1B1C1D+|b+0，从而可得a﹣1＝0，b+=0，然后求出a，b的值，再根据绝对值的意义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：|b0，∴a﹣1＝0，b+=0，∴a＝1，b=∴|a+b|＝|11，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(x−5)2=0，则x y的算术平方根为　．【分析】直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，再利用负整数指数幂的性质、算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵(x−5)2=0，∴x ﹣5＝0，y +2＝0，解得：x ＝5，y ＝﹣2，故x y ＝5﹣2=125，则x y 的算术平方根为：15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质，正确得出x ，y 的值是解题关键．【变式4-7】（2022秋•靖江市校级期中）已知a ，b ，c 都是实数，且满足（2﹣a ）2|c +8|＝0，且ax 2+bx +c ＝0，求代数式3x 2+6x +200的值．【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：∵（2﹣a ）2≥00，|c +8|≥0，∴当（2﹣a ）2++|c +8|＝0，则2﹣a ＝0，a 2+b +c ＝0，c +8＝0．∴a ＝2，c ＝﹣8，b ＝4．∵ax 2+bx +c ＝0，∴2x 2+4x ﹣8＝0．∴x 2+2x ＝4．∴3x 2+6x +200＝3（x 2+2x ）+200＝12+200＝212．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根、绝对值，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．【变式4-8】已知a ，b+b 2﹣6b +9＝0．（1）求a ，b 的值；（2）若a ，b 为△ABC 的两边，第三边c =ABC 的面积．【分析】（1）利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求解即可；（2）利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：（1（b﹣3）2＝0，所以，a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3；（2）∵a2+b2＝22+32＝13，c22＝13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面积=12ab=12×2×3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．【例题5】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式5-1】（2023春•长顺县期末）若2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，则m的值是（）A．73B．﹣1C．73或2D．2【分析】依据平方根的性质列出关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，∴2m﹣5＝4m﹣9或2m﹣5+4m﹣9＝0．解得：m＝2或m=7 3．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（）A．8B．﹣8C．±4D．±8【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．【解答】解：∵﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，∴﹣3x m y和5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．【变式5-3】（2022秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+=0，求a+3b+c的算术平方根．【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵|b﹣1|+=0，且|b﹣1|≥00，∴b﹣1＝0，c+4＝0，解得：b＝1，c＝﹣4，∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，=2，∴a+3b+c的算术平方根是2．【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．【变式5-4】（2021春•饶平县校级期中）若x，y+2y﹣1＝0的平方根．【分析】根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为0，据此可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．【解答】解：2y﹣1＝0，∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，∴2y﹣1＝0，∴y=1 2，==4，±2．【点评】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【变式5-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答．（2）根据平方根的定义计算即可．【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，∴3b+3＝9，解得b＝2，∵3a+b的算术平方根为5，∴3a+b＝25，∵b＝2，∴a=23 3，（2）∵a=233，b＝2，∴4a﹣6b=56 3，∴4a﹣6b的平方根为±【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．【变式5-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．【分析】先根据平方根和算术平方根的定义得出a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解出a和b的值，代入a+4b 值求值，再求平方根即可．【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解得a＝9，b＝10，∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∴a+4b的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【变式5-7】（2023春•恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b 的平方根；（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出a的值．【解答】解：（1）依题意，得2a﹣1＝9且3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2．∴a+2b＝5+4＝9．∴a+2b的平方根为±3，±3；（2）∵2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，∴2a﹣4+3a+1＝0或2a﹣4＝3a+1，∴解得：a=35或a＝﹣5．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．【例题6】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．【解答】解：（1）169x2＝100，x2=100 169，x∴x=±10 13；（2）（x+1）2＝81，x+1=±x+1＝±9，x＝8或﹣10．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x+1）2＝32．【分析】（1）根据平方根的概念解方程；（2）根据平方根的概念解方程．【解答】解：（1）25（x−35）2＝49，（x−35）2=4925，x−35=±75，x−35=75或x−35=−75，解得：x1＝2，x2=−4 5；（2）12（x+1）2＝32，（x+1）2＝32÷1 2，（x+1）2＝32×2，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x+1＝8或x+1＝﹣8，解得：x1＝7，x2＝﹣9．【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．【变式6-2】（2022秋•滕州市校级月考）求满足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0 （2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【分析】（1）先求出x2的值，然后根据平方根的定义解答；（2）先求出（2x﹣1）2的值，然后根据平方根的定义解答．【解答】解：（1）由169x2﹣100＝0，可得：x=±10 13；（2）由（2x﹣1）2＝（﹣5）2．可得：2x﹣1＝±5，解得：x＝3或x＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式6-3】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2＝8．【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，两边都除以9得，x2=25 9，由平方根的定义得，x ＝±53；（2）（x ﹣1）2+8＝72，移项得，（x ﹣1）2＝72﹣8，合并同类项得，（x ﹣1）2＝64，由平方根的定义得，x ﹣1＝±8，即x ＝9或x ＝﹣7；（3）移项得，3（x +2）2＝27，两边都除以3得，（x +2）2＝9，由平方根的定义得，x +2＝±3，即x ＝1或x ＝﹣5；（4）两边都乘以2得，（x ﹣5）2＝16，由平方根的定义得，x ﹣5＝±4，即x ＝9或x ＝1．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．【变式6-4】已知a ，b 满足|a ﹣4|+0，解关于x 的方程（a ﹣3）x 2﹣1＝5b ．【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a ，b 的值，进而代入解方程即可．【解答】解：由题意得：a ﹣4＝0，b ﹣7＝0，∴a ＝4，b ＝7，将a ＝4，b ＝7代入（a ﹣3）x 2﹣1＝5b ，得（4﹣3）x 2﹣1＝5×7∴x 2＝36，解得：x ＝±6．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a ，b 的值是解题关键．【变式6-5】（2023春•澄海区期末）已知|2a +b ﹣4|（1）求5a ﹣4b 的平方根；（2）解关于x 的方程ax 2+5b ﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a 、b 的值，然后再求得5a ﹣4b 的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得|2a+b−4|+=0，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：x=±5 2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．【例题7】（2022春•渝中区校级月考）≈7.149≈22.608，（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8×100即可．==×100≈7.149×100＝714.9，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．【变式7-1】（2023•宁津县校级开学）若≈5.036，15.906，则≈　．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．5.036，≈503.6．故答案为503.6：【点评】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式7-2】（2022春•13　130　．×13，=×＝13×10＝130，故答案为：130．【点评】本题考查算术平方根，掌握“被开方数扩大100倍，其算术平方根就随着扩大10倍”是解决问题的关键．【变式7-3】（2021春•44.9614.22≈（）A．4.496B．1.422C．449.6D．142.2【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．44.96，≈4.496．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【变式7-4】（2022秋•≈2.0736≈6.5574，下列运算正确的是（）A≈0.65574B65.574C≈20.736D≈2073.6【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．【解答】解： 2.0736 6.5574，A≈≈× 6.5574×110≈0.65574，选项A符合题意；B× 2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意；C≈× 6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意；D=×≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．【变式7-5】（2022春•潍坊期中）（10.1732≈1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2≈2.236≈ ，≈ ；（3≈2.4497.746【分析】（1）观察规律即可得出答案；（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；（3==1）中的规律代入计算即可得答案．【解答】解：（1≈0.1732 1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2≈2.236≈0.2236≈22.36；故答案为：0.2236，22.36；（32×7.746≈15.492，=3×0.2449≈0.7347．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917 x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是，= ；（2），275.56的平方根是；（3 ，；（4a（x＞0 （用含a的式子表示）．【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．【解答】解：（1）由表中的数据可得，289的算术平方根是1716.4，故答案为：17，16.4；（2）由表中的数据可得，±=±16，275.56的平方根是±16.6，故答案为：±16，±16.6；（3）由表中的数据可得，159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，=1.61=168，故答案为：1.61，168；（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，a（x＞0=10a（用含a的式子表示）．故答案为：10a．【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键．【例题8】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．【解答】解：不能，理由如下：设长方形标准篮球场的长为5xm．宽为3xm，由题意得：5x×3x＝540，解得：x＝﹣6（舍去）或6，即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，∵18m＞16m，∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．【变式8-1】（2023春•桥西区期末）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v= Array a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.9×103米/秒B．0.8×103米/秒C．8×102米/秒D．9×102米/秒【分析】首先根据题意求出速度，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．【解答】解：∵a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，∴v=900=9×102米/秒．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根和科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【变式8-2】（2023春•巩义市期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，则通过的电流I为（）A．2.4A B C．4.8A D．【分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解．【解答】解：由题意可得R＝5Ω，t＝1s，Q＝30J，∴30＝I2×5×1，∴I2＝6，∵I＞0，∴I=∴通过的电流I．故选：B．【点评】本题考查了算术平方根，解题关键在于能够分析题目列出方程式．【变式8-3】（2022秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：v＝v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？【分析】此题只需把d＝25米＝0.025千米，f＝1.44，代入v＝v的值后，再进一步和80千米比较，作出判断即可．【解答】解：v＝16×=×1.2＝80，答：肇事汽车当时的速度是/时，此车没有超速行驶．【点评】此题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．【变式8-4】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t=120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（）A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒【分析】将h＝120代入计算得到t的值，再利用无理数的估算即可得出结论．【解答】解：∵h＝120米，∴t=5最接近，∴球落地所用时间t与5秒最接近，故选：C．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，正确利用无理数的估算解答是解题的关键．【变式8-5】（2022秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（）A．+2B C．D+2【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x﹣2，根据其面积为19得出（x﹣2）2＝19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由BC＝2x可得答案．【解答】解：设木块的长为x，根据题意，知：（x﹣2）2＝19，则x﹣2＝∴x＝2+x＝22（舍去），则BC＝2x＝4，故选：C．。

平方根的概念与性质

平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。

在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。

在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。

在数学中，平方根通常用符号√来表示。

例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。

而√9则表示9的平方根，它的值为3。

在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。

在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。

1. 非负性：平方根是非负数。

根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。

因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。

2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。

对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。

例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。

3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。

一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。

例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。

4. 代数性：平方根具有代数性质。

对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。

- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。

- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。

除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。

在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。

因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。

在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。

加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。

通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。

在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。

平方根的计算与性质

平方根的计算与性质在数学中，平方根是一个常见且重要的概念。

它代表着一个数的平方根，也就是能够使得该数乘以自身等于被开方数的数值。

平方根有很多重要的性质和计算方法，本文将介绍平方根的计算与性质。

一、平方根的计算方法1. 精确开方法：精确开方法是指可以精确计算出一个数的平方根。

对于一个非负实数x，其平方根可以通过以下方法计算：（1）试凑法：根据平方根的定义，我们可以通过试凑方法来计算一个数的平方根。

例如，要计算√16的值，我们可以从1开始试凑，如果1的平方小于16，就继续试2，直到找到一个数n，使得n^2大于等于16。

在这个例子中，我们可以发现4的平方等于16，所以√16的值为4。

（2）公式法：除了试凑法，我们还可以通过一些数学公式来计算平方根。

例如，牛顿迭代法是一种常用的公式法。

它的计算步骤如下： - 设定一个初始值作为平方根的近似值，通常为被开方数的一半。

- 根据迭代公式：xx+1=(xx+x/xx)/2，不断更新平方根的近似值，直到收敛于一个确定的值。

- 当迭代的结果与实际平方根的误差在可接受范围内时，我们可以得到精确的平方根近似值。

2. 近似开方法：近似开方法是指通过近似计算来估算一个数的平方根。

对于那些无法精确开方的数，近似开方法有很高的实用性。

常见的近似开方法包括二分法和牛顿迭代法。

二、平方根的性质平方根有一些重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和运用平方根。

1. 非负性：平方根的最基本性质就是非负性。

也就是说，对于任意一个非负实数x，其平方根都是非负数或零。

这是因为平方根的定义是一个非负数乘以自身等于被开方数，所以结果必然是非负数。

2. 可加性：平方根还具有可加性的性质。

也就是说，对于两个非负实数a和b，有√(a*b) = √a + √b。

这个性质在数学推导和计算中经常被使用，能够简化问题的处理过程。

3. 平方根的大小关系：对于任意两个非负实数a和b，如果a小于b，则有√a小于√b。

初二上册数学《平方根》知识点

初二上册数学《平方根》知识点《平方根》是初中数学中的重要知识点之一，它是解决一元二次方程、勾股定理、正方形和正方体的表面积等问题的基础。

本文将详细介绍《平方根》的相关概念、性质和解题方法。

一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。

其中，平方根后面的方括号[]表示正平方根的意思。

例如，若a²=b，则称b为a的平方根。

若a²=b²，则称b为a的绝对值。

二、平方根的性质1.非负数的平方根是非负数。

2.负数没有实数平方根，但可以有虚数平方根。

例如，-1的平方根为i（虚数单位）。

3.平方根具有唯一性。

正数的平方根只有一个值，且为正数；负数的平方根只有一个值，且为虚数。

三、平方根的运算法则1.两个平方数的积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。

即√(a*b)=√a*√b。

2.两个平方数的商的平方根等于这两个数的平方根的比值。

即√(a/b)=√a/√b。

3.任意一个非负实数的平方根都可以写成一个非负实数的平方根与i （虚数单位）的乘积形式。

即√a=√（a*k²）=k*√a。

四、平方根的求解方法1.直观法：通过检验其中一数的平方与所求的值相近程度来估算。

例如，√3≈1.73，因为1.73²≈32.质数因子分解法：将数分解为质数的乘积，然后提取平方根。

例如，√48=√(2²*2*2*3)=2√33.倒数法：根据倒数的性质，将数分解为两个因数，其中一个因数的平方是已知的。

例如，√0.04=0.24.计算器使用法：利用计算器的平方根功能求得结果。

这种方法简便且精确。

五、平方根的应用1.解一元二次方程：通过求解一元二次方程的平方根来获得方程的解。

例如，对于方程x²+4x+3=0，可通过求解√(4²-4*3)来获得方程的解。

2.求直角三角形的边长：根据勾股定理，直角三角形的斜边等于两直角边的平方和的平方根。

例如，若直角边分别为3和4，则斜边为√(3²+4²)=53.求正方形和正方体的面积：正方形的面积等于边长的平方，正方体的表面积等于一个面的面积乘以6、例如，正方形的面积为a²，正方体的表面积为6a²。

如何通过平方根的性质解决初中数学中的平方根题

如何通过平方根的性质解决初中数学中的平方根题平方根是初中数学中的重要知识点，它在解决各类数学题目中起着重要的作用。

本文将介绍如何通过平方根的性质解决初中数学中的平方根题。

1. 平方根的定义及性质在开始解决平方根题目之前，我们首先来了解平方根的定义及其性质。

平方根的定义：对于正实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

平方根的性质：性质1：非负实数的平方根，如果存在，一定是非负实数。

性质2：平方根的平方等于被开方数。

性质3：如果a和b是正实数，且a>b，则√a>√b。

2. 利用平方根的性质求解平方根题目2.1 求解平方根对于给定的一个数a，我们可以通过求解平方根来得到答案。

根据平方根的性质，我们可以利用迭代或者二分法等方法不断逼近平方根的值。

例如，对于一个数x，我们可以通过迭代计算不断逼近√x的值：首先猜测一个近似值y，然后计算y的平方与x的大小关系。

如果y^2大于x，则应该缩小y的值，可以将y替换为y - (y^2 - x) / (2 * y)。

如果y^2小于x，则应该增大y的值，可以将y替换为y + (x - y^2) / (2 * y)。

重复上述步骤，直到得到满足精度要求的近似值。

2.2 解决平方根题目在解决平方根题目时，我们可以利用平方根的性质来简化问题。

问题1：求解√a的值。

根据平方根的定义，可以直接求解√a的值。

问题2：判断两个数的大小关系。

对于给定的两个数a和b，我们可以比较它们的平方根的大小来判断它们的大小关系。

如果√a > √b，则a > b；如果√a < √b，则a < b；如果√a = √b，则a = b。

问题3：求解带有平方根的表达式。

对于带有平方根的表达式，我们可以利用平方根的性质进行化简。

例如，对于表达式√(a^2 + b^2)，我们可以先算出a^2 + b^2的值，然后再求它的平方根。

3. 示例和练习为了更好地理解如何通过平方根的性质解决平方根题目，我们来看几个具体的例子和练习：例题1：如果a = 4，b = 9，求证√a + √b ≠ √(a + b)。

平方根的理解

平方根的理解平方根是数学中常见的一个概念，它在数学运算和实际应用中具有重要的作用。

本文将从不同角度介绍平方根的理解和应用。

一、平方根的概念平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。

简单来说，如果一个数的平方等于某个数，那么这个数就是平方根。

例如，2的平方根是±√2，因为2的平方等于4。

二、平方根的性质1. 非负数的平方根是唯一的，即每个非负数都有且只有一个非负平方根。

2. 负数没有实数平方根，但可以用虚数表示。

例如，-1的平方根是±i，其中i是虚数单位。

3. 平方根满足乘法逆元的性质，即一个数的平方根与其相乘等于该数。

例如，√2 * √2 = 2。

三、平方根的计算方法1. 开方法：根据数的平方根定义，可以使用开方法来计算平方根。

例如，求4的平方根，可以直接开方得到2。

2. 迭代法：迭代法是一种逼近计算平方根的方法，通过反复迭代逼近得到近似解。

例如，求2的平方根，可以从一个初始值开始反复迭代计算，直到达到预设精度要求。

3. 牛顿法：牛顿法是一种高效的逼近计算平方根的方法，它利用函数的切线逼近函数的零点。

通过不断迭代逼近，可以得到平方根的近似解。

四、平方根的应用1. 几何学：平方根在几何学中有广泛的应用。

例如，计算直角三角形的斜边长度时，可以利用勾股定理求平方根来得到结果。

2. 物理学：平方根在物理学中也有重要的应用。

例如，计算速度、加速度等物理量时，常常需要求平方根来得到准确的结果。

3. 金融学：平方根在金融学中用于计算风险和波动性。

例如，通过计算资产收益率的标准差可以评估投资风险。

五、平方根的拓展除了平方根，还有其他次方根的概念。

例如，立方根是指一个数的立方等于该数的非负实数解。

计算立方根的方法类似于计算平方根，可以使用开方法、迭代法或牛顿法等。

六、总结通过本文的介绍，我们对平方根有了更深入的理解。

平方根是数学中一个重要的概念，它具有唯一性和逆元性质。

我们可以使用不同的方法来计算平方根，包括开方法、迭代法和牛顿法等。

平方根和立方根的计算和性质

2.平方根的计算方法
求平方根的常用方法有：倒数平方法、二分法、牛顿法等。其中，倒数平方法是一种较为简单的方法，具体步骤如下：
（1）将被开根号的数除以2，得到一个值作为初始估计值。
（2）将初始估计值与真实的平方根进行比较，如果差距较大，则继续调整估计值，直到估计值很接近真实平方根。
（3）最终得到的估计值就是所求的平方根。
3.平方根的性质
平方根具有以下性质：
（1）非负实数的平方根都是实数，其中开方数是非负实数，结果也是非负实数。
（2）负实数没有实数平方根，但可以引入虚数单位i，得到虚数解。
（3）非负实数的平方根是唯一的，即对于任意非负实数x，只有一个非负实数√x使得(√x)^2 = x。
二、立方根的计算和性质
1.立方根的定义
立方根是指一个数的立方等于给定数的正数根。简而言之，对于实数x，立方根记作^3√x，满足(^3√x)^3 = x。
2.立方根的计算方法
求立方根的常用方法有：试位法、牛顿法等。其中，试位法是一种较为简便的方法，具体步骤如下：
（1）选择两个数a和b，满足a^3 < x < b^3，并且a和b之间的差距要尽可能小。
平方根和立方根的计算和性质
数字的平方根和立方根是数学中的基本概念。在日常生活和各个领域中，我们经常遇到需要计算平方根和立方根的情况，因此了解它们的计算方法和性质非常重要。
一、平方根的计算和性质
1.平方根的定义
平方根是指一个数的平方等于给定数的正数根。简而言之，对于非负实数x，平方根记作√x，满足(√x)^2 = x。
（2）通过迭代计算来逐渐减小a和b之间的差距，直到差距足够小。
（3）最终得到的数就是所求的立方根。
3.立方根的性质