2三角函数(教师版)

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高一数学三角函数章节复习2(教师版)

学科教师辅导讲义()22sin 1y x y ψ-=+，应用()sin 1x ψ-≤，解得3333y -≤≤，又0x π<<，则303y <≤，故欲求函数的最大值为33。

【解法二】设tan2x t =，则原函数变成223t y t=+，得()22300yt t y y -+=>，利用判别式24120y =-≥V ，即231y ≤，又0y >，解得303y <≤，故y 的最大值为33此时13t y ==，即2tan 3,23x x π== 【点拨】上述所给出的两种解法，均体现了一种转化与化归的数学思想方法，实际上，也给出了对求形如sin cos a x by c x d+=+值域的两种通法，另外，若以后学过《解析几何》之后，利用斜率的概念，还可以给出本题的另外一种数形结合的解题方法。

2、数形结合思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形互相取长补短”。

例2、定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（） A 、sincos 66f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、()()sin1cos1f f > C 、22cossin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D 、()()cos2sin 2f f > 【分析】由()()2f x f x =+知()f x 是以2T =为周期的函数，又Q []3,5x ∈时，()24f x x =--，可知，当[]3,4x ∈，()2f x x =-；当(]4,5x ∈时，()6f x x =-+，如第一个图所示，知()f x 在[]1,0-上是增函数，在[]0,1上是减函数，由第二个图可知0cos2sin 2<<【答案】D。

3_2二倍角的三角函数1(教师版)

（3）二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况.
第二学习时间-----新知学习-----不议不讲
水平技能交流
例1.已知，，
求的值.
例2.求证： .
第三学习时间-----课程训练-----不练不讲
1、求以下各式的值：
（1） =；（2） =；
（3）；（4）；
（5） .
2、已知则角的终边在第____象限.
3.2二倍角的三角函数（1）
学习要求:
1.能记住二倍角公式，会使用二倍角公式实行求值、化简和证明，同时懂得这个公式在使用当中所起到的用途；
2.培养观察分析问题的水平，寻找数学规律的水平，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想.
学习重点:二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及使用.
_________________________；
_________________________；
3.学生探究：把上述公式中看成，能够得到的结果：
；
；
_______________.
4.问题一：若利用，
如何用表示？
5.问题二：上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？
；（只含）
；（只含）
6.问题三：
（1）二倍角公式：
；
；
_____________.
（2）公式中的有限制吗？如何计算？
的取值范围是：__________， __________.
说明：（1）上述公式统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.这里的“倍角”专指“二倍角”；
（2）倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系，通过二倍角公式，能够用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；

专题04_三角函数(教师版)自己整理

2014届高考数学二轮复习资料专题三：三角函数（教师版）【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性.4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=, 21cos 2sin 2αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点； (2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;(3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈, 求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ （Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a a从而)2sin()42cos(21)(ππ+-+=a a a f ＝aa a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++ ＝.514)sin (cos 2=+a a【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=, 即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=选D.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又A=，所以函数()s i n (2)3f x x π=+，所以(0)f =3π=考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n == ，()f x m n =⋅ ．（I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.【解析】（I ）()f x m n =⋅= 2cos cos 444x x x + ----------------1分11cos 2222x x ++ ----------------3分 =1sin()262x π++----------------4分∵()1f x = ∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12-------6分（II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= -----------------8分 ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=∴2sin cos sin()A B B C =+- ----------------9分 ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π= ----------------10分∴203A π<< ----------------11分∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< ----------------12分∴131sin()2622A π<++<∴()f A =1sin()262A π++3(1,)2∈ ---13分考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin sin b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 30)=+45cos30cos45sin30)+ 112()22222=+=.【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ）求sin sin CA的值；（II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【易错专区】问题：三角函数的图象变换例. (2011年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-=, 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( )（A ）0 (B) 3【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D.2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()s i n f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在【答案】C.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(2)6f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得563k x k ππππ--剟，故选C.4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2则ba=（）(A) (B) (C) 【答案】 D【解析】由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2，即sinB （sin 2A+cos 2A ），故，所以ba=； 5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，则c o s ()2βα+=（）（A （B ）（C （D ）-【答案】 C 【解析】()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--sin()sin()442ππβα+++ 13===, 故选C. 7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （） A 54-B 53- C 32 D 43【答案】B【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ，所以，53tan 1tan 1cos 22-=+-=θθθ.8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A【解析】函数解析式可化为)4sin(2)(πϕω++=x x f ，2,2=∴=ωπωπT又因为该函数是偶函数，所以，x x f 2cos 2)(4=∴=πϕ，所以，该函数在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是减函数。

二倍角的正弦、余弦、正切公式(同步讲义)(教师版)

人教A 版必修1第5章三角函数：5.1第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式（同步讲义）(教师独具内容)课程标准：1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.【知识导学】知识点一二倍角的正弦、余弦、正切公式公式的适用条件：在S 2α，C 2α中，α∈□07R ，在T 2α中，α≠□08k π2＋π4(k ∈Z )，且α≠□09k π＋π2(k ∈Z )．知识点二二倍角公式的变形形式(1)(sin α±cos α)2＝□011±sin2α；(2)cos 2α＝□021＋cos2α2； (3)sin 2α＝□031－cos2α2. 【新知拓展】1．“二倍”的含义倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，即sin2α＝2tan α1＋tan 2α. (2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，即cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(1)计算cos 215°－sin 215°结果等于( )A.12B.22 C.33 D.32 (2)12sin15°cos15°的值等于( )A.14B.18C.116D.12 (3)已知cos α＝13，则cos2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79(4)若tan α＝12，则tan2α＝( )A.43 B.34 C.15 D ．－43答案 (1)D (2)B (3)C (4)A题型一给角求值问题【例1】求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan150°1－tan 2150°；(4)cos20°cos40°cos80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.(4)原式＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin40°cos40°cos80°4sin20°＝2sin80°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20° ＝18. 金版点睛正用、逆用二倍角公式求值对于给角求值问题，需观察题中角度间的关系，发现其特征，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用二倍角公式求值．注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化．【跟踪训练1】求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12. 解 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2×1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3. 题型二给值求值问题【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. [结论探究] 若本例条件不变，求cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤π4＋α<7π4. 又cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35>0，∴3π2<π4＋α<7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45， ∴cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425，∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－2425－45＝65. 金版点睛解决条件求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．【跟踪训练2】已知x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－35，求cos2x 的值．解解法一：由已知条件得cos x －sin x ＝－325，将此式两边平方得2sin x cos x ＝725. 由此可得(cos x ＋sin x )2＝3225. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin x >0，cos x >0.所以cos x ＋sin x ＝425. 故cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x ) ＝425×⎝⎛⎭⎫－325＝－2425. 解法二：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－35，x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45. cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425. 题型三给值求角问题【例3】已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解] ∵tan α＝13>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1，又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4. 金版点睛在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.【跟踪训练3】已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4， ∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010，∴tan β＝13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12， ∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4. 题型四有关化简与证明问题【例4】(1)化简：11－tan θ－11＋tan θ； (2)证明：1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α＝1tan2α. [解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ. (2)证明：左边分子为2cos 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α·(cos2α＋sin2α)．左边分母为2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2sin2α(sin2α＋cos2α)．故两式相除，即cos2αsin2α＝1tan2α. 金版点睛证明的本质问题实际上就是化简三角函数的化简与证明有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异，化繁为简，或用“两头凑”的方法．【跟踪训练4】(1)化简cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________； (2)求证：(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)sin4x＝tan x . 答案 (1)2 (2)见解析解析 (1)cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2(sin30°cos10°＋cos30°sin10°)2sin 240°＝2sin40°2sin40°＝ 2. (2)证法一：左边＝(2sin x cos x －2sin 2x )(2sin x cos x ＋2sin 2x )sin4x＝4sin 2x (cos 2x －sin 2x )sin4x ＝4sin 2x cos2x 2sin2x cos2x＝4sin 2x 2×2sin x cos x＝tan x ＝右边．故原等式成立．证法二：左边＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x )2－1＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x ＋cos2x ＋1)＝sin2x ＋1－cos2x sin2x ＋1＋cos2x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 2sin x cos x ＋2cos 2x＝2sin x (cos x ＋sin x )2cos x (sin x ＋cos x )＝tan x ＝右边．故原等式成立．随堂水平达标1．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 D解析 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215° 答案 B解析 A 项，2sin15°cos15°＝sin30°＝12；B 项，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32；C 项，2sin 215°＝1－cos30°＝1－32；D 项，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 3．cos 4π8－sin 4π8的值为( ) A ．0 B.22 C ．1 D ．－22答案 B解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 4．设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值是________．答案 3 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，又∵sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解 ∵cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－513， ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－1213＝120169， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－5132＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝120119.。

三角函数的图像(教师版)

三角函数的图像考点回顾：三角函数图象：y ＝tanx y ＝cotx函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：振幅|A|，周期2||Tπω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），三角函数图象的作法：1.几何法（利用三角函数线）2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3.利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数 y ＝Asin （ωx ＋φ）+b （0,0>>ωA ）的作法．（1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A （A>0）替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A ＞1）或缩短（当0＜A ＜1）到原来的A 倍，得到y ＝Asinx 的图象.（2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx （0>ω）替换x)由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原来的ω1倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）相位变换或叫做左右平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（4）上下平移（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象.注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别。

y=cosxy=sinx-11-11ooy xy x例1：函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．)48sin(4π+π-=x yB ．)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x yD ．)48sin(4π+π=x y 答案：A变式1：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)23sin(3π-=x y变式2：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)62sin(2π+=x y变式3：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)32sin(3π+=x y说明：主要从振幅、周期、某点的函数值三个方面考虑，其中变式3要注意1.5不是最高点。

三角函数与平面向量教师版

三角函数图像与性质及解三角形三角化简与求值：重点公式要牢记（二倍角、辅助角、22sin cos 1,αα+=sin tan cos ααα=、常用诱导公式、两角和差公式）；注意方法（整体考虑、变角、1的活用，sin cos αα+型、齐次式）典型例题：1. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为． ∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴7cos 2325απ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=2525- 2. 已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________ 2-3. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）45D三角函数图像与性质：图像的对称性（轴、对称中心坐标）、图像变换（尤其是伸缩）、单调区间、周期性、奇偶性、三角函数形式最后归为()()sin f x A x k ωϕ=++、三角函数的值域或最值1.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】选A ()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤ 2.把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x +1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x+1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12-π，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】A 3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ （9）C 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()s i n f x x ϕ=+，得7()s i n (2)6f xx π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得263k x k ππππ++剟，故选C .4. 已知向量(c os s i n x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.解：（1）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.（2）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.解三角形：正弦定理、余弦定理及其变形、三角形面积公式、三角形的四心G 是ABC ∆的重心()13AG AB AC ⇔=+ 0GA GB GC ⇔++=()13PG PA PB PC ⇔=++若G 是ABC ∆的重心13BGC AGC AGB ABC S S S S ∆∆∆∆⇒===H 为ABC ∆的垂心⇔HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ ⇔222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ .若H 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心::tan :tan :tan BHC AHC AHB S S S A B C ∆∆∆⇒=O 为ABC ∆的外心⇔==⇔222OA OB OC ==⇔()()()OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅向量()()0||||AB AC AB AC λ+λ≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；1.给出下列四个命题：()222sin sin sin sin cos cos cos cos 0cos()cos()cos()1 A B C D A B C ABC A B ABC A B C ABC A B B C C A ABC =+∆=∆<∆---=∆①若，则是直角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是正三角形．以上命题中正确的为．②③④．①③④ ．①②④．①②③222222sin sin sin sin cos sin sin()222cos cos cos 00cos()cos()cos()1cos()cos()cos()1A B C a b c ABC A B A B A B A B A B C ABC A B B C C A A B B C C A πππ=+=+∴∆==-∴+=-=<∆---=-=-=-=∴由，得，为直角三角形，①正确；由，得，或，②错误；由，知三个余弦值中有且只有一个小于，从而为钝角三角形，③正确；由，得，A B C ABC ==∴∆，为正三角形，④正确．2. 在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC=_________________.略解：点C在∠AOB的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-, 而||2OC = ，可得λ=，∴0()OC = . 3.已知非零向量AB 与AC满足()||||AB AC BC AB AC +⋅= 0且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形解：由()||||AB AC BC AB AC +⋅= 0，知角A 的平分线垂直于BC ，故△ABC 为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由12||||AB AC AB AC ⋅=⇒1cos 2||||AB AC A AB AC ⋅==⋅ ，∴A ∠= 600 . 所以△ABC 为等边三角形，选D .4.已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形解：由已知得||||CB OB OA OC OA =-+-⇒||||AB AC AB AC -=+，可知以AB 与AC 为邻边的平行四边形是矩形，所以AB ⊥AC ，选B .5.在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B。

高中数学文科三角公式与计算教师版

1．三角函数的定义⑴ 弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角是1弧度的角，弧度记做rad ，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．1801rad 5718π︒⎛⎫'=≈︒ ⎪⎝⎭，π1rad 180︒=．如果圆的半径为r ，弧长为l 的弧所对的圆心角为rad α，则l rα=，对应的扇形的面积21122S r lr α==．⑵ 三角函数定义：若角α的终边上有一点(,)P x y (0,0x y ≠≠)，记点P 到原点的距离为r ，则sin y r α=；cos x r α=；tan y x α=ππ2k k α⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，；2．同角三角函数关系22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=； <教师备案> ① 注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；② 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：2cos 1sin αα=±-，22sin 1cos αα=-，sin cos tan ααα=等．3．诱导公式——把任意角的三角函数值化归为锐角三角函数值．⑴ 终边相同的角的同一三角函数的值相等．()sin 2πsin k αα+=，()cos 2πcos k αα+=，()tan 2π=tan k αα+； ⑵ 角α与πα+的三角函数间的关系；()sin πsin αα+=-，()cos πcos αα+=-，()tan πtan αα+=； ⑶ 角α与α-的三角函数间的关系；()sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-； ⑷ 角α与πα-的三角函数间的关系；()sin πsin αα-=，()cos πcos αα-=-，()tan πtan αα-=-．⑸ 角α与π2α-的三角函数间的关系；πsin cos 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑹ 角α与π2α+的三角函数间的关系．πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．<教师备案> 可以利用单位圆，角的对称性，进而直接导出各种诱导公式；5.1三角函数定义及诱导公式知识点睛三角公式与计算考点：三角函数定义的应用【例1】 ⑴ 下列各角中与30︒角终边相同的是（）；A ．π3B ．390︒C ．π6- D ．150-︒⑵ 若O 为坐标原点，O ⊙是单位圆，角α的终边OP 与O ⊙交于点12P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则cos α=_____； ⑶ 若cos 0α＞，tan 0α＜，则角α的终边在第_____象限；⑷ 设π6x =是关于x 的方程()2cos 1x α+=的解，其中()02πα∈，，则α=________．【解析】 ⑴ B ；⑵ 3±；22112x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3x =±，则3cos α=±⑶ 四；⑷ π6或3π2．1cos()2x α+=，且π6x =，(02π)，α∈，所以π13π66x α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，则π3x α+=或5π3，即π6α=或3π2．尖子班学案1【拓1】 ⑴ 已知角α顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线43y x =，0x ≠上，则cos α=_______． ⑵ 若4α=，则（）A ．sin 0α>，且cos 0α>B ．sin 0α>，且cos 0α<C ．sin 0α<，且cos 0α<D ．sin 0α<，且cos 0α> 【解析】 ⑴ 35±；⑵ C ；因为3ππ42<<，所以4弧度位于第三象限．目标班学案1【拓2】 ⑴ 若点()2P y ，是角α的终边上的一点，且3sin α=-，则y 的值是______． ⑵ 已知角α是三角形的一个内角．若3sin α≥，则α的范围是_______．【解析】 ⑴ 23- 因为3sin 0α=-<，所以0y <，又22sin 2y α=+，则2234y =-+，解得23y =-．经典精讲⑵ π2π33，⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为()0π，α∈，结合三角函数的定义知，若sin απ2π33，α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．考点：同角三角函数关系与诱导公式【例2】 ⑴ 已知7sin cos 17αα+=-，α为第二象限角，则sin cos αα=______；sin cos αα-=_______； ⑵ 已知tan 2α=，则sin α=_______；sin 3cos sin cos αααα-=+________；22sin 3cos αα+=_____．【解析】 ⑴ 120289-；2317∵()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+∴27112017sin cos 2289αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，而()2sin cos 12sin cos αααα-=-∴()2120529sin cos 12289289αα⎛⎫-=-⨯-=⎪⎝⎭，又∵α为第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，则23sin cos 17αα-=． ⑵；13-；75因为cos 0α≠，则222222sin tan 4sin sin cos tan 15αααααα===++，则sin α=，sin 3cos tan 3231sin cos tan 1213αααααα---===-+++；22222222sin 3cos tan 3437sin 3cos sin cos tan 1415αααααααα++++====+++．尖子班学案2【拓1】求证：1sin cos 2sin cos sin cos 1sin cos αααααααα+++=+++【解析】原式左边2sin cos (sin cos )(sin cos )(1sin cos )sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααααααααα++++++===+++++，所以原等式得证．【例3】 ⑴ sin 420cos750sin(330)cos(660)︒⋅︒+-︒⋅-︒=_______； ⑵ 29π29π29πsincos tan 634⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______； ⑶ 已知1sin 2α=，则7πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【解析】 ⑴ 1原式sin(36060)cos(72030)sin(36030)cos(72060)=︒+︒⋅︒+︒+-︒+︒⋅-︒+︒sin60cos30sin30cos60=︒︒+︒︒331122=⨯+⨯ 1=⑵ 029π29π29π5πππsincos tan sin 4πcos 10πtan 7π634634⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=++-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5πππ11sin cos tan 1063422⎛⎫++-=+-= ⎪⎝⎭；⑶ 12．7ππππ1cos cos 4πcos cos sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭目标班学案2【拓2】已知ππ1cos sin 225αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0πα＜＜，则3π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【解析】 75-ππ1cos sin sin cos 225αααα⎛⎫⎛⎫--+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π3πsin cos cos sin (sin cos )22αααααα⎛⎫⎛⎫-+-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴112sin cos 25αα-=，即12sin cos 25αα=，又0πα<<，∴sin 0cos 0αα>>，则7sin cos 12sin cos 5αααα+=+=，∴3π3π7sin cos 225αα⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1．和角公式()C cos cos cos sin sin ∶αβαβαβαβ++=- ()C cos cos cos sin sin ∶αβαβαβαβ--=+()S sin sin cos cos sin ∶αβαβαβαβ++=+ ()S sin sin cos cos sin ∶αβαβαβαβ--=-()tan tan T tan 1tan tan ∶αβαβαβαβ+++=-⋅． ()tan tan T tan 1tan tan ∶αβαβαβαβ---=+⋅．<教师备案> 以余弦为例，证明如下：法一：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，，知识点睛5.2三角恒等变换yxO α+β-ββαP 3P 2P 4P 1()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦．法二：（此时还没复习向量，老师可酌情介绍）以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于点P ， Q ，则()cos sin P αα，，()cos sin Q ββ，，1OP OQ ==．因此存在k ∈Z ，使2πOP OQ k αβ-=<>+，或2πOP OQ k αβ-=-<>+，成立．因为()()cos sin cos sin cos cos sin sin OP OQ ααββαβαβ⋅=⋅=+，，． ()cos cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅<>=-，．所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．2．辅助角公式()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++，其中点()a b ，在角ϕ的终边上． <教师备案> 222222sin cos sin cos a b a b a b a b θθθθ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭，而2222cos sin a b a bϕϕ==++，，∴()2222sin cos sin cos cos sin sin()a b a b a b θθθϕθϕθϕ+=++=++．3．二倍角公式2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-． <教师备案> 公式的逆向变换及有关变形()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±；221cos22cos 1cos22sin αααα+=-=，； ()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-；221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，. 2sin 2sin cos sin 2tan cos 2cos 1cos2αααααααα===+； 2sin 2sin 1cos2tan cos 2sin cos sin 2αααααααα-===考点：公式的直接运用经典精讲xy QPO【例4】 ⑴ 若4tan 3tan 3αβ==，，则()tan αβ-等于_______；⑵ 若角α的终边经过点()12P -，，则tan2α=_______；⑶ 若π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________；πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____；⑷ 已知4cos 5α=-，且α为第三象限角：①求()sin πα+的值；②分别计算tan 2cos2αα，的值并判断角2α所在的象限．【解析】 ⑴13； 43tan tan 13tan()41tan tan 3133αβαβαβ---===++⨯ ⑵ 43；依题意得tan 2α=-，则222tan 2(2)4tan 21tan 1(2)3ααα⨯-===--- ⑶，3；依题意得sin α==，cos α==，则πππcos cos cos sin sin 444ααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭π1tan tan 1π42tan 3π141tan tan 142ααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⑷ 因为α为第三象限角，3sin 5α==-，sin 3tan cos 4ααα==，①3sin(π)sin 5αα+=-=．②2222437cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22322tan 244tan 21tan 7314ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为cos20tan 20，αα>>，所以2α为第一象限角．【备选】已知ππtan 22αα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，，．⑴求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；⑵求sin2cos2αα+的值．【解析】 ⑴ πtan tan π2114tan π41(2)31tan tan 4ααα+-+⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭-； ⑵ ∵ππ2，α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin α==，cos α== 22437sin 2cos 2sin cos cos sin 555αααααα+2=+-=--=-．考点：公式的综合运用【例5】 ⑴ cos25sin215sin25sin55︒︒-︒︒的值等于_______；⑵()sin 50cos10sin 80︒︒+︒︒的值为________；⑶设1cos662a =︒︒，22tan1931tan 193b ︒=-︒，c =a b c ，，的大小顺序为_______________．【解析】 ⑴；∵21518035︒=︒+︒，559035︒=︒-︒∴cos25sin215sin25sin55cos25sin35sin25cos35︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒()sin 2535sin 60=-︒+︒=-︒= ⑵ 1；()sin 50cos10sin 80︒︒+︒︒()2sin50sin30cos10cos30sin10sin80︒︒︒+︒︒=︒2sin50sin 402cos40sin 40sin801sin80sin80sin80︒︒︒︒︒====︒︒︒⑶ a c b <<1cos66sin30cos6cos30sin 6sin 242a =︒-︒=︒︒-︒︒=︒，222tan1932tan13tan 261tan 13b ︒︒===︒-︒， sin 25c ===︒，∴a c b <<．【例6】 ⑴ 已知()43cos cos 55ααβ=+=，，且α、β为锐角，那么sin β的值是________；⑵ 已知()2π1tan tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________;⑶ 已知()1tan 3αβ-=，1tan 7β=，ππ2α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，()π0β∈-，，则tan α=________；2αβ-=________．【解析】 ⑴ 725；∵()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，又α，β为锐角，∴0παβ<+<，从而3sin 5α==，()4sin 5αβ+=．∴44337sin 555525β=⨯-⨯=⑵ 322；()()()π21tan tan ππ3454tan tan 21π442211tan tan 544αββααββαββ⎛⎫+---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭ ⑶ 12，3π4-；()()()11tan tan 137tan tan 111tan tan 2137αββααββαββ+-+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯， ()()()()11tan tan 32tan 2tan 1111tan tan 132αβααβαβααβα+-+-=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯， ππ2，α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()π0，β∈-，因为1tan 07β=>，则ππ2，β⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，从而3π202，αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，由()tan 21αβ-=，可知3π24αβ-=-．尖子班学案3【拓1】已知：角α为第一象限角，且πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α，tan α的值．【解析】法一：)πsin sin cos 4ααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即1sin cos 5αα-=，又()2sin cos 12sin cos 1sin 2ααααα-=-=-，所以2124sin 21525α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为α为第一象限角，即π2π2π2，k k α⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()k ∈Z，又πsin 04α⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π42，k k α⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，则π24π4ππ2，k k α⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，所以7cos225α=-，则24sin 2425tan 71cos 23125ααα===+-．法二：因为α为第一象限角，即π2π2π2，k k α⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，则πππ2π2π444，k k α⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，则πcos 4α⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ππππ4sin sin sin cos 44445αααα⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则3cos 5α=，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，sin 4tan cos 3ααα==．目标班学案3【拓2】已知1cos 7α=，()13cos 14αβ-=，且π02βα<<<，⑴ 求tan2α的值；⑵ 求β．【解析】 ⑴ ∵π02βα<<<，则sin α=，∴sin tan cos ααα==则22tan tan 21tan 1ααα===-- ⑵ ∵π02βα<<<，则π02αβ<-<，则sin()αβ-，()()()131sin sin sin cos cos sin 147βααβααβααβ=--=---=-=⎡⎤⎣⎦ ∴π3β=．【备选】已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，⑴ 求tan α的值；⑵求225sin 8sin cos 11cos 82222π4ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【解析】 ⑴ πtan 1ππ314tan tan 2π44131tan 4αααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭，⑵原式254sin 6cos 834sin 3(cos 1)4sin 3cos 4tan 3sin cos sin cos tan 1αααααααααααα++--+++++====--- 4231121⨯+==-．【例7】 ⑴，则它的顶角是______； ⑵ 如图，正方形ABCD 中，E F ，分别为BC CD ，的中点，设EAF θ∠=，则cos θ=_____；【解析】 ⑴ π6或5π6设等腰三角形的顶角为α，()0πα∈，，则底角为ππ22αα-=-，所以ππsin cos 2222αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 22αα+=从而31sin 2α+=，则1sin 2α=，所以π6α=或5π6．⑵ 45设正方形边长为2，记BAE α∠=，则依题意可知：π22θα=-，且sin αcos α=；F E D CBA所以π5254cos cos 2sin 22sin cos 22555θαααα⎛⎫=-===⨯⨯= ⎪⎝⎭．已知tan α,tan β是方程23340x x ++=的两根，若α,ππ22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则αβ+=（）A ．π3B ．π3或2π3-C ．π3-或2π3D ．2π3-【解析】 D依题意有tan tan 33αβ+=-，tan tan 4αβ=则tan tan 33tan()31tan tan 14αβαβαβ+-+===--，因为tan tan 40αβ=>，所以tan tan αβ，同号，又tan tan 330αβ+=-<，所以π02αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，即()π0αβ+∈-，所以2π3αβ+=-．【点评】本题易忽略缩小αβ，的范围，直接得到两个解．【演练1】若π1sin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ=______．【解析】 13；【演练2】已知π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α的值为______．【解析】 53；法一：π1tan 11ππ544tan tan 1π44311tan 44αααα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭，法二：πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得5tan 3α=．【演练3】在ABC △中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC △的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定【解析】 C ．()cos cos sin sin cos cos sin sin 0cos 0A B A B A B A B A B >⇔->⇔+>，即cos 0C <，实战演练即C 为钝角．【演练4】()sin1590cos 1860sin585cos675︒-︒+︒︒=__________．【解析】 14- 原式()()()sin 1440150cos 180060sin(54045)cos 72045=︒+︒-︒-︒+︒+︒︒-︒ sin150cos60sin45cos45=︒︒-︒︒1122122224=⨯-⨯=-【演练5】已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ⑴ 求tan α的值；⑵ 求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【解析】 ⑴ πtan 1ππ2114tan tan π441231tan 4αααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭⑵ 原式()()2222222222sin 2cos 1sin cos sin 2sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin ααααααααααααααα---====---，（或()22sin 2cos 12sin cos sin sin cos 2cos 2αααααααα--===）因为α为锐角，从而2210sin 13α==+ 所以待求式子值为10．(2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛)设111sin cos tan tan cos sin y x x x x x x=+++++，则y 的最小值为________．【解析】 221- 不妨设sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，2,2t ⎡⎤∈-⎣⎦且1t ≠±． ∴()21sin cos 12sin cos 111sin cos sin cos 12x x t y x x t t t x x x x t ++⎛⎫=+++=+=-++ ⎪--⎝⎭．于是(),221322,y ⎤⎡∈-∞-+++∞⎦⎣． ∴y 的最小值为221-．大千世界。

人教版数学必修四：1.3.2三角函数的图象与性质(一)(教师版)

课题：§1.3.2三角函数的图象与性质（一）总第____课时班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象； 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质．【重点难点】学习重点：正弦函数、余弦函数的图像和性质；学习难点：借助正弦线画出正弦函数的图象．【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：描点法作函数图象的基本步骤是什么？问题2：①如何精确的作出点C )3sin,3(ππ？②能否借用作点C )3sin,3(ππ的方法，作出[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象呢？问题3 如何得到sin ,R y x x =∈的图象？问题4 如何更加快捷地画出正弦函数的图象呢？问题5 请同学们观察，在[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象上，起关键作用的点有几个？二、知识建构与应用：1．课件演示：正弦函数图象的几何作图法：2．五点法作图：描出五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图．小结作图步骤：1．列表． 2．描点． 3．连线．3.利用图象的平移可由正弦函数x y sin =的图象得到余弦函数x y cos =的图象.三、例题：例1 用“五点法”画出下列函数的简图：（1）x y cos 2=，R x ∈；（2）x y 2sin =，R x ∈.例2 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合：（1）3cosxy =；（2）x y 2sin 2-= .例3：求下列函数的定义域和值域.x y sin lg )1(=； x y 3cos 2)2(=.四、巩固练习1．画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与正弦函数图象的区别和联系：（1）1sin -=x y ；（2）)3cos(π+=x y .2．求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量x 的集合：（1）x y sin 2-= ；（2）3cos 2x y -=.3．函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=326sin ππx x y 的值域是 .4．求下列函数的单调区间：（1）)4sin(π+=x y ；（2）x y cos 3=.五、回顾反思：六、作业批改情况记录及分析。

三角函数(2)—诱导公式(教师版)

=sin（π+）·cos（4π+）·tan（π+） =（－sin）·cos·tan=（－）··1=－. （2）sin［（2n+1）π－］=sin（π－）=sin=. 例题1—4 设f（θ）=，求f（）的值. 解：f（θ）=== == =＝cosθ－1， ∴f（）=cos－1=－1=－. （二）平方关系的应用例题2—1、（1）化简：得（ C ） A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.± (cos2-sin2) （2）若α是第三象限角，则=－sinα－cosα ．（3）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= 练习2—1化简：．解：== ===－1．
（2）．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ B ） A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinC C．tan（A+B）=tanC D．sin=sin （3）、已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（ C ） A. B. — C. D. — 例题1-2 （1）、设tanθ=-2, <θ<0，那么sinθ+cos(θ-)的值等于（ A ）， A. （4+） B. （4-） C. （4±） D. （-4）（2）、cos(-x)= ，x∈（-，），则x的值为．（3）、tanα=m，则
3、课后练习 1、|sinα|=sin（-+α），则α的取值范围是
[(2k-1) ,2k]
2．cos(+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ A ） A. B. C. D. — 3．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（ C ） A.sinα=sinβ B. sin(α-) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(-α) cosβ 4．函数f（x）=cos（x∈Z）的值域为（ B ） A．{－1，－，0，，1} B．{－1，－，，1} C．{－1，－，0，，1} D．{－1，－，，1} 5、化简：．解：原式=== sinα

三角函数的和差公式教师版

三角函数的和差公式教师版一、和差化积公式1.正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式可以通过将A、B分别代入sin(A ± B)的展开式，然后根据cos(π/2 - θ) = sinθ的关系，再进行整理推导得出。

2.余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式可以通过将A、B分别代入cos(A ± B)的展开式，然后根据cos(π/2 - θ) = sinθ的关系，再进行整理推导得出。

3.正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)这个公式可以通过将A、B分别代入tan(A ± B)的展开式，然后根据tanθ = sinθ / cosθ的关系，再进行整理推导得出。

4.余切函数的和差化积公式：cot(A ± B) = (cotAcotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)这个公式可以通过将A、B分别代入cot(A ± B)的展开式，然后根据cotθ = cosθ / sinθ = 1 / tanθ的关系，再进行整理推导得出。

二、和差角的应用和差角公式在解三角函数方程、证明、化简、求极限等方面有广泛的应用。

下面以一些典型例题为例，介绍和差角公式的应用。

例题一：已知 sinA = 1/2， sinB = 1/3，且A、B都是锐角，求sin(A + B) 的值。

解：根据 sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，代入已知条件得到：sin(A + B) = (1/2)(1/3) + cosA(1/3)= 1/6 + cosA/3由于 A 是锐角，sinA > 0，所以 cos A = √(1 - sin^2A) = √(3/4) = √3/2继续代入得到：sin(A + B) = 1/6 + (√3/2)/3=1/6+√3/6=(√3+1)/6所以 sin(A + B) 的值为(√3 + 1)/6例题二：已知 tanA = 2， tanB = 3，且A、B都是锐角，求 tan(A+ B) 的值。

高一第12讲三角函数定义及运用(教师版)

第12讲三角函数定义及运用（教师版）一．学习目标：1．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2.三角函数线及运用。

二．重点难点：1.重点：三角函数的定义及应用。

2.难点：三角函数值符号的确定．三角函数线的应用。

三．知识梳理：1. 任意角的三角函数:任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y.三个三角函数的初步性质如下表：各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3.三角函数线:如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A 4[1]．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．[2]．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tan α＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z .[3] 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．四．典例剖析：题型一任意角三角函数的定义例1判断题：(1)已知sin α≥0，cos α≥0，则α是第一象限角．( )(2)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )(3)若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为(－1，－3)．( )[答案] (1)× (2)× (3)×解析] (1)由sin α≥0知，α终边在第一象限或第二象限，或x 轴，或y 轴的非负半轴上；由cos α≥0知，α终边在第一象限或第四象限，或y 轴，或x 轴的非负半轴上．故α终边在第一象限，或x 轴的非负半轴上，或y 轴的非负半轴上．(2)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在单位圆上，所以sin α＝32，cos α＝－12；而Q (x 0，y 0)不一定在单位圆上，所以sin α＝y 0，cos α＝x 0不一定成立．(3)根据三角函数的定义，x ＝|OP |cos 23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.y ＝|OP |sin 23π＝2×32＝3，∴P 点的坐标为(－1，3)．例2（1）已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cosα＝－45，则m 等于A ．－114 B.114C ．－4D ．4[自主解答] 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m<0，解得m ＝－4.（2）角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0，则sin θ的值是.A.22 B ．－22 C.22或－22 D ．1解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a|，sin θ＝ar＝a2|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧22a>0，－22a<0所以sin θ的值是22或－22. （3）[2011年高考江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解：若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，解得y ＝－8. 例3（1）已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 25|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.(2)设90°≤α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；解析：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝x x 2＋5，从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3.∵90°≤α<180°，∴当x ＝－3时r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.当0x = 时，sin ，tan α不存在。

三角函数的概念教案(一)

三角函数的概念教案(一)三角函数的概念教学教案教学目标通过本次课程的学习，学生将会掌握以下知识：1.了解三角函数的概念和定义2.掌握三角函数的基本性质和特点3.能够在不同三角函数之间进行转化和变形4.能够应用三角函数解决简单的实际问题教学重点•理解三角函数的三角形定义•理解正弦、余弦、正切、余切的定义•了解三角函数的图像及其周期性教学难点•通过三角函数图像，探究其性质和特点•能够理解三角函数在不同象限的变化教学过程导入-启发式问题•教师提问：“环球旅行家徐霞客曾在他的游记中提到：’在线段AC上取B点，将∠CAB顶点落在直线PQ上，则BC/AB与PQ呈怎样的关系呢？”•学生思考，回答问题。

教师引导学生，让学生通过作图和讨论来推导出正弦函数的定义。

基本概念的介绍•介绍三角函数的定义和基本性质•介绍正弦、余弦、正切、余切的定义•介绍三角函数的图像及其周期性三角函数的图像及性质•将正弦、余弦、正切、余切的图像展示给学生•引导学生通过观察图像，得出三角函数的一些特点，如周期、最大值、最小值等•让学生通过绘制函数曲线，尝试构造更多的三角函数图像，并探究其性质和特点•让学生通过比较三角函数的图像，了解另外三个基本三角函数的定义三角函数的性质和变换•引导学生探究三角函数在不同象限的变化•教师讲解三角函数的一些常用变换，如平移、伸缩、反转等，让学生通过绘图来理解其作用和效果•给学生一些简单的练习题，让他们尝试将不同的函数变形成指定的函数三角函数的应用•通过练习，让学生熟悉如何使用三角函数解决实际问题，如测量远距离的高度、计算三角形的边角等•引导学生通过思考，定制问题，将三角函数的使用延伸至其他领域总结•教师对本节课中涉及的概念、知识点以及解题方法进行总结，巩固学生的学习成果•对本节课学生表现出色的同学进行表扬，激励其学习积极性•指出学生在学习中存在的问题，为下节课的教学提出相应的建议课后作业•请学生完成课后作业，巩固本节课所学知识，拓展思维，达到应用的目的。

初升高数学暑假衔接(人教版)第22讲三角函数的概念(教师版)

第22讲三角函数的概念1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的含义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；4．掌握公式一并会应用一、三角函数的定义1、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，则：y 叫做α的正弦函数，记作sin α.即sin y α=；x 叫做α的余弦函数，记作cos α.即cos x α=；y x 叫做α的正切函数，记作tan α.即()tan 0yx xα=≠。

2、三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：sin ,y x x R =∈余弦函数：cos ,y x x R =∈正切函数：()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈3、三角函数另一种情况若已知角α终边上一点(),P x y （不与原点重合）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，先求r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

二、三角函数的符号【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．三、诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2）上面三个公式也可以统一写成：f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．四、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α21222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边或终边上的点求三角函数例1．若角α的终边经过点()1,2P -，则tan α的值为（）A ．2-B ．12-C ．D ．【答案】A【解析】因为角α的终边上有一点()1,2P -，所以2tan 21α-==-，故选：A 【变式训练】已知角θ以坐标系中Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则下列各式正确的有（）A ．7sin cos 5θθ+=-B ．1sin cos 5θθ-=-C ．12sin cos 25θθ=D ．9sin tan 20θθ=【答案】C【解析】因为角θ以坐标系中Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以434sin ,cos ,tan 553θθθ===，所以7sin cos 5θθ+=，故A 错误；1sin cos 5θθ-=，故B 错误；12sin cos 25θθ=，故C 正确；4416sin tan 5315θθ=⨯=，故D 错误.故选：C.考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2．角α的终边经过点()4,P b 且3sin 5α=-，则b 的值为（）A ．3B ．3-C ．3±D ．5【答案】B【解析】根据三角函数定义可得3sin 5α=-，且0b <，即()2225916b b =+，解得3b =-．故选：B ．【变式训练】若α是第二象限角，(P x 为其终边上一点，tan 2α=-，则sin α值为（）A ．105B ．105-C ．155D ．5-【答案】C【解析】由三角函数的定义，可得36tan 2x α==-，解得x =(P ，则r OP ==，所以sin5α=.故选：C.考点三：三角函数的符号判断例3．已知tan 0α>且sin cos 0αα+>，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】∵已知tan 0α>，∴α的终边在第一或第三象限．若α的终边在第一象限，则sin 0,cos 0αα>>，故sin cos 0αα+>，满足题意，若α的终边在第三象限，则sin 0,cos 0αα<<，故sin cos 0αα+<，不满足题意，∴α的终边在第一象限.故选：A ．【变式训练】确定下列各式的符号（1）)sin100cos260︒︒；（2）sin 5cos5+.【答案】（1）负号；（2）负号【解析】（1）因为100︒是第二象限角，所以sin1000︒>，因为260︒是第三象限角，所以cos 2600︒<，所以sin100cos 2600︒︒<，即sin100cos 260︒︒的符号为负号.（2）因为3π52π2<<，所以5是第四象限角，所以sin 50,cos 50<>，又因为3π7π524<<，所以sin 5cos5>，所以sin5cos50+<，所以sin 5cos5+的符号为负号.考点四：圆上的动点与旋转点例4．点(,)A x y 在圆224x y +=上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转ω弧度，已知1秒时，点A 的坐标为(2,0)，则3秒时，点A 的坐标为（）A ．(2cos 2,2sin 2)ωωB ．(2cos ,2sin )ωωC ．(cos 2,sin 2)ωωD ．(4cos ,4sin )ωω【答案】A【解析】由1秒到3秒，点A 旋转的角度为2ω，又||2OA =，所以点A 的坐标为(2cos 2,2sin 2)ωω.故选：A.【变式训练】质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s ，起点为射线()0y x =≥与圆的交点；Q 的角速度为5rad/s ，起点为圆与x 轴正半轴交点，则当质点Q 与P 第二次相遇时，Q 的坐标为（）A ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．12⎫⎪⎪⎝⎭D ．21⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】设当质点Q 与P 第二次相遇时，用了时间()s t ，依题意有π532π3t t -=+，解得ππ6t =+，此时质点Q 转过角度为5π5π6+，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q 转在π6角的终边上，圆的半径为1，Q 的坐标为31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C考点五：诱导公式一的应用例5．2023πsin 4=（）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A【解析】2023ππππsinsin 506πsin sin 4444⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.【变式训练】计算sin2190 的值是（）A ．12-B ．12C ．2D ．【答案】B【解析】()1sin2190sin 360630sin 302=︒⨯+︒=︒=.故选：B.1．已知角α的终边经过点(3,4)P -，则cos sin αα-的值为（）A ．15B ．75-C ．75D ．15-【答案】B【解析】因为角α的终边经过点(3,4)P -，则||5r OP ===，因此43sin ,cos 55αα==-，所以347cos sin 555αα-=--=-.故选：B2．已知角α的终边经过点(,1)P x x +，且tan 2α=，则sin α=（）A ．5-B C ．5-D 【答案】D 【解析】由1tan 2x xα+==，解得1x =，所以点(1,2)P ，所以sinα=故选：D 3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos α为（）A ．12-B ．2C ．12D ．2±【答案】A【解析】由三角函数的定义可得1cos 2α=-.故选：A.4．已知第二象限角α的终边经过点()tan 4,12α+，则tan α=（）A ．2B ．6-C ．2-D ．6【答案】B【解析】α的终边经过点()tan 4,12α+，则12tan tan 4αα=+，解得tan 6α=-或tan 2α=，α在第二象限，故tan 0α<，故tan 6α=-.故选：B5．sin 2cos3tan 4⋅⋅的值为（）A ．负数B ．正数C ．0D ．不存在【答案】A 【解析】因为π3π23π422<<<<<，所以sin 20>，cos 30<，tan 40>，所以sin 2cos3tan 40⋅⋅<，故选：A6．已知角A ，B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,tan P A B （）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【答案】C【解析】A 选项，当角A ，B 均为锐角时，00cos ，tan A B >>.即此时点P 在第一象限，故A 错误；B 选项，当角A 为钝角，B 为锐角时，00cos ，tan A B <>.即此时点P 在第二象限，故B 错误；C 选项，因三角形最多有一个钝角，故cos A 与tan B 不可能同时小于0，即点P 不可能在第三象限，故C 正确；D 选项，当角A 为锐角，B 为钝角时，00cos ，tan A B ><.即此时点P 在第四象限，故D 错误.故选：C7．cos 390= （）A ．12-B ．C ．2D ．12【答案】C【解析】()cos390cos 36030cos30=+= 故选：C.8．点()sin 2023,cos 2023A位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】()sin 2023sin 3605223=⨯+ ()sin 223sin 18043sin 430==+=-<，()cos 2023cos 3605223=⨯+ ()cos 223cos 18043cos 430==+=-< ，所以点A 位于第三象限.故选：C9．下列函数值：①()sin 1000-︒；②()cos 2200-︒；③()tan 10-；④7πsin 10，其结果为负值的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】对于①：()()sin 1000sin 336080sin800-︒=-⨯︒+︒=︒>，对于②：()()cos 2200cos 7360320cos3200-︒=-⨯︒+︒=︒>，对于③：()()()tan 10tan 4π4π10tan 4π10⎡⎤-=-+-=-⎣⎦，因为π4π10π2<-<，所以()tan 4π100-<，即()tan 100-<，对于④：因为π7π<π210<，所以7πsin 010>.故选：C 10．在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上一点P 从点（0，1）出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．1322⎛- ⎝⎭B 1,2）C ．（12D 12）【答案】A【解析】设OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则点P 逆时针方向运动π6弧长到达Q 点后OQ 与x 轴正半轴的夹角为α，此时ππ2π263α=+=，则2π1cos cos32Q x α===-，2πsin sin 3Q y α===故此时点Q 的坐标为13,22⎛- ⎝⎭.故选：A1．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点(2,1)P -，则tan α=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】D【解析】因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1tan 2α=-；故选：D 2．已知角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，则cos α的值为（）A B ．1010C D ．【答案】B【解析】设00(,3)P x x 0(0)x ≠为直线3y x =上的点，则22000||910||r OP x x x ==+，则00033sin 010||x r x α=<，得00x <，0||10r OP ==-，0cos x r α==00101010x =-.故选：B3．已知角α的终边过点(4)(0)P m m ≠，，且sin 5mα=，则cos α的值为（）A ．35±B ．35-C ．45±D ．45【答案】D【解析】角α的终边过点(4)(0)P m m ≠，，故可得2sin 516m mm α=+，解得29m =.故24cos 516m α==+.故选：D.4．已知()cos305sin305,P，则点P 在第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<< ，所以305 为第四象限角，所以0cos305> ，0sin305< ，所以点()cos305sin305,P位于第四象限；故选：D5．已知角α的终边位于第二象限，则点(sin ,cos )P αα位于（）A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第一象限【答案】C【解析】因为角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，所以点P 在第四象限．故选：C.6．在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．3332⎛⎫⎪⎝⎭B ．3332⎛- ⎝⎭C ．3332⎫-⎪⎪⎝⎭D ．333,22⎛- ⎝⎭【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得3OP =，π6POQ ∠=，作1Q Q x ⊥轴且垂足为1Q ；利用三角函数定义可得1333cos 2OQ POQ =⨯∠=，133sin 2QQ POQ =⨯∠=；又Q 点在第四象限，所以点Q 的坐标为32⎫-⎪⎪⎝⎭.故选：C7．若角α的终边经过点()4,3P a a -，其中a<0，那么sin 2cos αα+=________．【答案】1【解析】因为a<0，所以5||5r a a ===-，所以33sin 55a a α==--，44cos 55a a α-==-，所以sin 2cos αα+=38155-+=.故答案为：1.8．已知点(1,)P y 是角α的终边上的一点，且cos α=y =__________．【答案】【解析】由题意可得：OP所以3cos 6α==，解得：y =.故答案为：.9．计算911cos tan 46π⎫⎛+-= ⎪⎝⎭______.【解析】因为9coscos(2)cos 444ππππ=+==11tan()tan(2)tan 6663ππππ-=-+=，所以911costan 46ππ⎫⎛+-= ⎪⎝⎭233223236++=.10．已知角2023α=︒，则sin cos tan sin cos tan αααααα++的值为______．【答案】1-【解析】由题意得：20235360223α==⨯+ ，故角2023α= 是第三象限角，则sin 0,cos 0,tan 0ααα<<>，故sin cos tan sin cos tan 1111sin cos tan sin cos tan αααααααααααα++-=++=--+=--，故答案为：1-。

数学教案：三角函数基础教师版

三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：. L=α R 4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos r x =α，_____tan xy=α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-5、诱导公式六： ._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=ϕωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ωϕωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=.3、22tan tan 21tan ααα=-1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 2222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<2π,求sin （4π+x ）的值。

【研】高一第6讲三角函数图像与性质(二)-正切函数-教师版

个性化教学辅导教案1、正切函数的定义域求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域2、正切函数的单调性和值域(1)求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间；(2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．3、正切函数的奇偶性和周期性函数y ＝tan 3x 的最小正周期是奇偶是【答案】3，奇 4、正切函数综合画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图像，并根据图像求出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．1、正切函数的定义域① 根式与对数函数的定义域 ② 正切函数的定义域 2、正切函数的单调性与值域① 单调性的定义 ② 值域的求解方法 ③ 正切函数的图像 3、正切函数的奇偶性与周期性① 奇偶性的概念 ② 周期性 4、.正切函数综合题① 图像的变换 ② 正切函数的图像精讲一正切函数的定义域教学目标熟念掌握正切函数的定义域① 常用函数的定义域教师提问：在必修一我们学习了值域的几种求解方法，你还记得有哪些吗？（提示：基本初等函数，复合函数）学生回答：①幂函数一般很容易回答②指数函数与对数函数lg）③复合函数（2x，x参考答案：(1)常见函数的直接求法；（）(2)分离常数法；(3)换元法；(4)单调性....正切函数的图像教师提问：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？（提示：过单位圆与x正半轴的交点A，作垂直于x轴的直线，交角的终边或其延长线于点T，则有向线段AT 即为该角的正切线）．学生回答：①注意邻边为1②第三象限和第四象限的正切线参考答案教师提问2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？学生回答①定义域②无界性参考答案正切函数的图像：教师提问：tan 的单调区间是什么？那我们回顾一下问题定位题2（2），我们能快速求出来吗？学生回答：教师提问：求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间；比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．学生回答：(1)y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由kπ－π2<12x －π4<kπ＋π2，得2kπ－π2<x<2kπ＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2kπ－π2，2kπ＋32π)，k ∈Z.精讲三正切函数的奇偶性和周期性教师目标掌握正切函数的奇偶性和周期性①奇偶性的概念②周期性教学过程教师提问：根据诱导公式tan(π＋x)＝tan x ，说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k ∈Z)与tan x 关系怎样？根据诱导公式tan(－x)＝－tan x ，说明了正切函数的什么性质？（提示：周期性的概念和奇偶性的概念：偶函数()()x f x f -=）；奇函数()()x f x f -=-) 学生回答：周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k ∈Z)；奇偶性．教师提问：tan 的最小正周期是什么？那我们回顾一下问题定位题3，我们能求出这题么？学生回答：教师提问：函数y ＝tan 3x 的最小正周期是奇偶是学生回答：3π，奇精讲四正切函数的综合题教学目标理解正切函数的综合题①图像的变换y ＝⎩⎨⎧0，x ∈（kπ－π2，kπ），2tan x ，x ∈（kπ，kπ＋π2），(k ∈Z)．其图像如图所示．由图像可知，函数的主要性质为： ①定义域：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈R ，x≠π2＋kπ，k ∈Z ；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋π2)，k ∈Z.1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．【答案】(1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜3，又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图像，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z)，所以函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .2、求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间【答案】法一：令z ＝π4－2x ，则y ＝3tan(π4－2x )＝3tan z ．由于函数y ＝3tan z 在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z)上是增函数，且z ＝π4－2x 是减函数，由－π2＋k π＜π4－2x ＜π2＋k π，k ∈Z ，得－π8－k π2＜x ＜3π8－k π2.所以函数y ＝3tan(π4－2x )的单调递减区间为(－π8－k π2，3π8－k π2)(k ∈Z)，也即(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z)，无单调递增区间．法二：y ＝3tan(π4－2x )＝－3tan(2x －π4)，令－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z.则－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2，k ∈Z.函数y ＝3tan(2x －π4)的单调递增区间为(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z)．从而函数y ＝－3tan(2x －π4)的单调递减区间为(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z)，无单调递增区间.3、比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小．解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°，tan 2 012°＝tan 32°， ∵y ＝tan x 在0°＜x ＜90°时是单调增函数，∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°. 4、函数y ＝|tan x |，y ＝tan x ，y ＝tan(－x )，y ＝tan|x |在(－3π2，3π2)上的大致图像依次是 ( )A ．①②③④B ．①②④③C ．①③④②D ．③②④① 【答案】B解析：∵|tan x |≥0，∴图像在x 轴上方，∴y ＝|tan x |对应①；∵tan|x |是偶函数，∴图像关于y 轴对称， ∴y ＝tan|x |对应③；而y ＝tan(－x )与y ＝tan x 关于y 轴对称，∴y ＝tan(－x )对应④，y ＝tan x 对应②，故四个图像依次是①②④③.【查漏补缺】1、函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是（） A. （2k ＋1）π≤x≤（2k ＋1）π＋2π，k ∈Z B. （2k ＋1）π＜x ＜（2k ＋1）π＋2π，k ∈Z C. （2k ＋1）π≤x ＜（2k ＋1）π＋2π，k ∈Z D. （2k ＋1）π＜x ＜（2k ＋1）π＋2π或x ＝kπ，k ∈Z 【答案】 C 2、比较13tan4π与17tan 5π的大小．【答案】 ∵13tantan 44ππ=，172tan tan 55ππ=，又∵20452πππ<<<，y=tan x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，∴2tantan45ππ<，即1317tan tan 45ππ<；3、函数y ＝|x|tan 2x 是 ( )A ．奇函数B ．偶函数{2 x x==x x()|tan）由图象知，函数不是周期函数∴当t=1，即4x π=时，y min =8，当3t =，即3x π=时，max 1034y =-．∴函数的值域为[8,1034]-．（3）由题意可知，函数()f x 的最小正周期2T π=，即||2ππω=． ∵ω＞0，∴ω=2．从而()tan(2)f x x ϕ=+．∵函数()y f x =的图象关于点,08M π⎛⎫-⎪⎝⎭对称， ∴282k ππϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭（k ∈Z ），即224k ππϕ=+（k ∈Z ）．∵02πϕ<<，∴ϕ只能取4π．故()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．1．若tan 0x ≤,则（）. A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Z πππ-≤≤∈【答案】C 【解析】由图象可知C 正确． 2．函数tan 2()tan xf x x=的定义域为（）. A ．{|x x R ∈ 且,4k x k Z π⎫≠∈⎬⎭B ．{|x x R ∈ 且,2x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭C ．{|x x R ∈ 且,4x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭D ．{|x x R ∈ 且,4x k k Z ππ⎫≠-∈⎬⎭【答案】A 【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知A 正确 3．函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（）.A ．2a π B ．2aπC ．a πD ．a π【答案】C 【解析】正切型函数的周期即指最小正周期，||T a π=．4．下列函数不等式中正确的是（）.A ．43tantan 77ππ> B ．23tan tan 55ππ< C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<-【答案】D 【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.13tan(3)tan()44πππ-+=-，17172tan()tan(3)tan()555ππππ-=-+=-，又245ππ->-所以2tan()tan()45ππ->-，故D 成立． 5、函数tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调区间为（） A ．,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k ∈Z B ．3,44k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．,2k k πππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．,44k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z 【答案】D 【解析】先作出tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再将x 轴下方的图象对称对x 轴上方，即可得到tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，如图．由图可知，tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是,44k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ；单调递减区间是,44k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，k ∈Z ．对比选项可得D 符合要求． 5、求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性. 【答案】由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ），∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3π，它既不是奇函数，也不是偶函数.k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ）， ∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）.在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数.【第1、2天】 1．函数tan()3y x π=+的定义域（）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】要使函数有意义，须32x k πππ+≠+，解之得,6x k k Z ππ≠+∈。

5.4 三角函数的图像与性质-(必修第一册) (教师版)

三角函数的图像与性质1 周期函数一般地，对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足 f(x +T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期. PS①从解析式f(x +T)=f(x)来看：任一自变量x 对应函数值y 与x 增加T 后对应函数值相等；②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！③ 三角函数就是典型的周期函数. 2 正弦函数，余弦函数的图像与性质注表中的k ∈Z3正切函数的图像与性质注表中的k∈Z【题型一】求解三角函数的性质性质1 周期性【典题1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)A.π2B.πC.2πD.3π【解析】f(x+π2)=|sin(x+π2)|+|cos(x+π2)|=|cosx|+|sinx|=f(x),故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A.【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是()A．y=sin|x|B．y=cos|2x|C．y=|tanx|D．y=|sin2x|【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故D正确，故选：D．【点拨】①函数f(x)=Asin(ωx+φ), f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2πω,函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=πω；②利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.性质2 对称性【典题1】函数y=sin(2x+π3)的图象()A．关于点(π6 ,0)对称B．关于点(π3,0)对称C．关于直线x=π6对称D．关于直线x=π3对称【解析】方法1 对于函数y=sin(2x+π3)，(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)令2x+π3=π2+kπ，则x=π12+kπ2, 则函数的对称轴是x=π12+kπ2(k∈N∗)，若π12+kπ2=π6，解得k=16∉N∗；若π12+kπ2=π3，解得k=12∉N∗，故排除C ,D；令2x+π3=kπ，则x=−π6+kπ2, 则函数的对称中心是(−π6+kπ2,0) (k∈N∗)，若−π6+kπ2=π6，解得k=23∉N∗，可排除A；若−π6+kπ2=π3，解得k=1∈N∗，故关于点(π3,0)对称.故选：B．方法2 对于函数y=sin(2x+π3)，当x=π6时，2x+π3=2π3，而(2π3,0)不是正弦函数y=sinx的对称中心，故A错误；当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)是正弦函数y=sinx的对称中心，故B正确；当x=π6时，2x+π3=2π3，而x=2π3不是正弦函数y=sinx的对称轴，故C错误；当x=π3时，2x+π3=π，而x=π不是正弦函数y=sinx的对称轴，故D错误；故选：B．【点拨】本题两种方法，方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；对于三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B①若x=x0是其对称轴，则ωx0+φ是正弦函数y=sinx的对称轴；②若(x0 ,B)是其对称中心，则(ωx0+φ ,B)满足函数y=Asinx+B的对称中心.对于三角函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B类似.【典题2】已知函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2<φ<π2)图象关于直线x=5π18对称，则函数f(x)在区间[0,π]上零点的个数为.【解析】∵函数f(x)=cos(3x+φ)图象关于直线x=5π18对称，∴3×5π18+φ=kπ，(y=cosx的对称轴是x=kπ)∴φ=−5π6+kπ，k∈Z，由−π2<φ<π2知，k=1时，φ=π6，故f(x)=cos(3x+π6 )，令f(x)=0得3x+π6=π2+kπ,k∈Z，∴x=π9+kπ3,k∈Z．因为x∈[0,π]，所以k=0,1,2时，φ=π9,4π9,7π9满足条件，故零点有三个．性质3 单调性【典题1】函数f(x)=3sin(2π3−2x)的一个单调递减区间是()A．[7π12 ,13π12]B．[π12,7π12]C．[−π2,π2]D．[−5π6,π6]【解析】(求出函数的全部减区间)解−π2+2kπ≤2π3−2x≤π2+2kπ得，π12−kπ≤x≤7π12−kπ(k∈Z)，k=0时，π12≤x≤7π12；k=1时，−11π12≤x≤−5π12；k=−1时，13π12≤x≤19π12，∴[π12 ,7π12]是f(x)的一个单调递减区间．故选：B．【点拨】①复合函数的单调性：同增异减函数f(x)=3sin(2π3−2x)可看成y=3sinu与u=2π3−2x组成复合函数.因为u=2π3−2x是减函数，求函数f(x)=3sin(2π3−2x)的减区间，则把2π3−2x代入y=sinx的增区间[−π2+2kπ ,π2+2kπ]求出x的范围.②判断[7π12 ,13π12]是否f(x)=3sin(2π3−2x)的一个单调递减区间，也可以采取前面判断对称性的方法.具体想法如下[7π12 ,13π12]是f(x)=3sin(2π3−2x)的一个单调递减区间⇔[7π12 ,13π12]是f(x)=3sin(2x−2π3)的一个单调递增区间⇔由7π12<x<13π12⇒−3π2<2π3−2x<−π2，而[−3π2,−π2]不是y=sinx的增区间；故[7π12 ,13π12]不是f(x)=3sin(2x−2π3)的一个单调递增区间，不是f(x)=3sin(2π3−2x)的一个单调递减区间，即选项A错误.作某些选择题这样做会简洁些.【典题2】若f(x)=sin(2x−π4)，则()A．f(1)>f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)>f(1) C．f(2)>f(1)>f(3)D．f(1)>f(3)>f(2)【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)令−π2+2kπ<2x−π4<π2+2kπ，解得−π8+kπ<x<3π8+kπ (k∈Z)，故f(x)=sin(2x−π4)在[−π8,3π8]上递增，由函数的周期性易得函数在[3π8,7π8]上递增，关于x=7π8对称，(由于1,2,3在[π2,π]内，需要了解函数在其附近的单调性，相当数形结合的思路)其中3比2离对称轴x=7π8更近些，所以f(3)<f(2)<0，而f(1)接近1，所以f(1)>f(2)>f(3)．故选：A．性质4 最值【典题1】若函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0 ,π4]上的值域为．【解析】依题意得2πω=π2，∴ω=4．∵x∈[0 ,π4]，∴4x−π3∈[−π3,2π3]，∴cos(4x−π3)∈[−12,1]，即f(x)的值域是[−12,1].【典题2】已知函数f(x)=2cos(2x−π3)在[a−π4,a](a∈R)上的最大值为y1，最小值为y2，则y1−y2的取值范围是.【解析】函数f(x)=2cos(2x−π3)的周期为π，且对称轴为x=π6+kπ2，对称中心(5π12+kπ,0)，k∈Z，f(x)的图象大致如图所示；区间[a−π4,a]正好是函数14个周期，在一个周期内讨论就行，设[a−π4,a]的中点为P，由图可知，当点P落在对称轴上，即a−π8=π6时， y1=2，y2=√2，此时y1−y2取得最小值为2−√2；当点P落在对称中心上，即a−π8=5π12时， y1=√2，y2=−√2，此时y1−y2的值为2√2；∴y 1−y 2的取值范围是[2−√2,2√2]．【点拨】① 对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些.② 本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当. 巩固练习1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是( ) A ．y =sinx B ．y =cos 12xC ．y =tan2xD ．y =|sinx|【答案】 D【解析】A 、函数y =sinx 的最小正周期T =2π，不满足条件； B 、函数y =cos 12x 的最小正周期为T =2π12=4π，不满足条件；C 、y =tan2x 的最小正周期为T =π2，不满足条件； D 、y =|sinx|的周期T =π，满足条件．故选：D ．2(★) 下列函数中，关于直线x =−π6对称的是( ) A ．y =sin(x +π3) B ．y =sin(2x +π3) C ．y =cos(x +π3) D ．y =cos(2x +π3)【答案】 D【解析】将x =−π6代入y =cos(2x +π3)，得函数值为1，故x =−π6是y =cos(2x −π3)的一条对称轴，故选：D ．3(★) 设函数f(x)=cos(2x −π3)，则下列结论错误的是( ) A ．f(x)的一个周期为−πB ．y =f(x)的图象关于直线x =2π3对称C ．f(x +π2)的一个零点为x =−π3 D ．f(x)在区间[π3,π2]上单调递减【答案】 C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A 、f(x)=cos(2x −π3)，其周期T =2π2=π，A 正确；对于B 、f(x)=cos(2x −π3)，令2x −π3=kπ，解可得x =kπ2+π6，即y =f(x)的对称轴为x =kπ2+π6，当k =1时，x =2π3，即y =f(x)的图象关于直线x =2π3对称，B 正确；对于C 、f(x +π2)=cos(2x +π−π3)=cos(2x +2π3)，当x =−π3时，f(x +π2)=cos0=1，则x =−π3不是f(x +π2)的零点，C 错误；对于D 、f(x)=cos(2x −π3)，2kπ≤2x −π3≤2kπ+π，解可得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，即函数f(x)的递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，则函数在[π6,2π3]上递减，又由[π3,π2]∈[π6，2π3]，则f(x)在区间[π3,π2]上递减，D 正确；故选：C ．4(★) 下列函数中，以π为周期且在区间(π2 ,π)单调递增的是( ) A ．f(x)=|cos2x| B ．f(x)=|sin2x| C ．f(x)=|cosx| D ．f(x)=|sinx|【答案】 C【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期为12•2π2=π2，故A 不满足条件；由于f(x)=|sin2x|的周期为12•2π2=π2，故B 不满足条件；由于f(x)=|cosx|的最小正周期为12•2π=π，在区间(π2,π)上，f(x)=|cosx|=－cosx 单调递增，故C 满足条件；由于f(x)=|sinx|的最小正周期为12•2π=π，在区间(π2,π)上，f(x)=sinx 单调递减，故D 不满足条件，故选：C ．5(★) 关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( ) A ．f(x)的最小正周期为π2B ．f(x)是偶函数C ．f(x)的图象关于直线x =kπ2(k ∈Z )对称D ．f(x)在每一个区间(kπ ,kπ+π2)(k ∈Z)内单调递增【答案】A【解析】对于函数f(x)=|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A 错误；又f(－x)=|tan(－x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B 正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x =kπ2(k ∈Z)对称，C 正确；根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k ∈Z)内单调递增，D 正确．故选：A ．6 (★★) 下列函数中，以2π为周期，x =π2为对称轴，且在(0 ,π2)上单调递增的函数是( ) A ．y =2|sinx|+sinx B ．y =2cos(x +π2) C ．y =sin(2x −π2) D ．y =tan(x2+π4)【答案】 A【解析】∵y =sin(2x −π2)=－cos2x 的周期为2π2=π，不满足条件，故排除A ；∵y =cos(2x +π2)=－sin2x 的周期为2π2=π，不满足条件，故排除B ；对于y =2|sinx|+sinx ={3sinx,x ∈[2kπ,2kπ+π)−sinx,x ∈[2kπ+π,2kπ+2π)，故函数的周期为2π，当x =π2时，y =3，为最大值，故函数x =π2为对称轴，且该函数在在(0,π2)上单调递增的函数，故C 满足条件；由于y =tan(x 2+π4)，当x =π2时，y 不存在，故函数的图象不以x =π2为对称轴，故排除D ，故选：C ．7 (★★) 已知直线x =x 1 ,x =x 2分别是曲线f(x)=2sin(x +π3)与g (x )=−cosx 的对称轴，则f(x 1−x 2)=( ) A ．2B ．0C ．±2D ．±1【答案】 C【解析】由x +π3=kπ+π2得x =kπ+π6，即f(x)的对称轴为x =kπ+π6，k ∈Z ， y =－cosx 的对称轴为x =k 1π，k 1∈Z ，∵直线x=x1，x=x2分别是曲线f(x)与g(x)的对称轴，∴x1=kπ+π6，k∈Z，x2=k1π，k1∈Z，则x1－x2=kπ+π6−k1π=(k－k1)π+π6，k∈Z，k1∈Z，则f(x1x2)=2sin[(k－k1)π+π6+π3]=2sin[(k－k1)π+π2]=－2cos[(k－k1)π]=±2，故选：C．8 (★★)关于函数f(x)=|sinx|+cosx有下述四个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为−√2；③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π4,π2)单调递增．其中所有正确结论的编号是()A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】 B【解析】函数f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期为π，cos2x的周期为2π，所以函数的最小正周期为2π，故函数为周期函数．①f(x)是周期函数；正确．②函数的最小值为－1，所以：f(x)的最小值为−√2；错误．③由于f(－x)=f(x)，f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π4,π2)单调递减．故错误．故选：B．9 (★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且关于(−π8,0)中心对称，则下列结论正确的是()A．f(1)<f(0)<f(2)B．f(0)<f(2)<f(1) C．f(2)<f(0)<f(1)D．f(2)<f(1)<f(0)【答案】 D【解析】∵函数的最小周期是π，∴2πω=π，得ω=2，则f(x)=sin(2x+φ)，∵f(x)关于(−π8,0)中心对称，∴2×(−π8)+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ+π4，k∈Z，∵0<φ<π2，∴当k =0时，φ=π4，即f(x)=sin(2x +π4)，则函数在[−π8，π8]上递增，在[π8，5π8]上递减，f(0)=f(π4)，∵π4<1<2，∴f (π4)>f(1)>f(2)，即f(2)<f(1)<f(0)，故选：D ．10(★★★) 已知f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ≤π)是R 上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x =π4对称，且f(x)在区间[−π22,π11]内是单调函数，则f(π6)=( ) A ．−√32 B ．−12C ．12D ．√32【答案】A【解析】f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ≤π)是R 上的奇函数，所以φ=kπ，k ∈Z ，当k =1时，φ=π．所以f(x)=sin(ωx +π)=－sinωx ，由于f(π4)=－sin(π4ω)=±1，所以π4ω=kπ+π2(k ∈Z)，整理得14ω=k +12，整理得ω=4k +2．当k =0时，ω=2，函数f(x)=－sin2x ，由于x ∈[−π22,π11]，所以2x ∈[−π11,2π11]，故函数是单调递减函数．当k =1时ω=4+2=6，函数f(x)=－sin6x ，由于x ∈[−π22,π11]，所以6x ∈[−3π11,6π11]，由于6x ∈[−3π11,6π12]内单调，故函数不为单调函数．当k =2时，ω=10，函数f(x)在区间[−π22,π11]内也不是单调函数，所以f(x)=－sin2x ，故f(π6)=−sin π3=−√32．故选：A ．【题型二】根据三角函数性质求解参数的值或范围【典题1】已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx −π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是 .【解析】由ωx −π4=kπ+π2，解得x =kπω+3π4ω，则y =f(x)的对称轴x =kπω+3π4ω ,k ∈Z ，由y =f(x)在 (π2 ,π)上有一条对称轴，则满足π2<kπω+3π4ω<π，(存在性)即k +34<ω<2k +32，① 而对称轴只有一条，则要满足(k−1)πω+3π4ω≤π2且(k+1)πω+3π4ω≥π，(唯一性)即2k −12≤ω≤k +74 ②由①②可得{k +34<2k +322k −12≤k +74，解得k =0，1，2；当k =0时，由①②可得ω∈(34,32)；当k =1时，由①②可得ω∈(74,114]；当k =2时，由①②可得ω∈[72 ,154]；故答案为：(34 ,32)∪(74 ,114]∪[72 ,154]．【点拨】① 本题的思路是先求出函数的对称轴，再数形结合处理；理解“有且仅有一条对称轴”，存在一条对称轴在区间内，而其左右的对称轴在区间外；② 本题涉及到两个参数k 和ω，求的是ω的取值范围，方法是得到k 和ω的关系式，再由k ∈Z 的特殊性求出k 的取值(或范围)，进而求ω的取值范围.【典题2】已知函数f(x)=|cos (ω x +π3)|(ω>0)在区间[−π3,5π6]上单调递减,则ω的取值范围为 .【解析】 y =|cosx|的单调递减区间为[kπ ,kπ+π2] ,k ∈Z ， (注由函数y =|cosx|图象易得) 由kπ≤ωx +π3≤kπ+π2 ,k ∈Z ，得kπ−π3ω≤x ≤kπ+π6ω，即函数y =f(x)的单调递减区间为[kπ−π3ω，kπ+π6ω]，k ∈Z ，若f(x)在区间[−π3 ,5π6]上单调递减，则kπ−π3ω≤−π3且kπ+π6ω≥5π6，得{ω≤65k +15ω≤−3k +1，k ∈Z ， ∵ω>0 ∴k 只能取0；当k =0时，{ω≤15ω≤1，即0<ω≤15，即ω 的取值范围是(0 ,15]．【点拨】本题先得到y =|cosx|的单调减区间再由复合函数单调性得到求出f(x)=|cos (ω x +π3)|的减区间[kπ−π3ω，kπ+π6ω]，k ∈Z ，根据题意肯定可得[−π3,5π6]⊆[kπ−π3ω，kπ+π6ω].【典题3】已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，(ω>0)在区间[−2π3，5π6]上是增函数，且在区间[0 ,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 ( ) A ．(0 ,15]B ．[12 ,35]C ．[16 ,15]D ．[12 ,52)【解析】方法一复合函数法令u =ωx +π3，−2π3≤x ≤5π6，则−2π3ω+π3≤u ≤5π6ω+π3．∴函数y =sinu 在区间[−2π3ω+π3,5π6ω+π3]上单调递增，∴[−2π3ω+π3,5π6ω+π3]⊆[−π2,π2]， ∴ω≤15．当0≤x ≤π时，π3≤u ≤πω+π3，∴函数y =sinu 在区间[π3 ,πω+π3]恰好取一次最大值1， ∴π2≤πω+π3<5π2，∴16≤ω≤136．综上所知16≤ω≤15，故选C ．方法二特殊值法当ω=12时，令u =x2+π3，−2π3≤x ≤5π6，则0≤u ≤3π4，则函数y =sinu 在区间[0 ,3π4]上不单调，∴ω=12不合题意，排除BD ．当ω=112时，令u =x 12+π3，0≤x ≤π ,则π3≤u ≤5π12，则函数y =sinu 在区间[π3,5π12]取不到最大值1，∴ω=112不合题意，排除A ．故选：C ．【点拨】根据三角函数性质求解参数的值或范围此类问题，往往都会限制函数在某个区间上的对称轴、单调性、最值等，此时最简单的想法就是先求出该函数的全部对称轴、单调区间等，再结合函数的图象判断求出来的对称轴、单调性等与区间端点的关系！巩固练习1(★★) 设f(x)=3sin(ωx −π12)+1，若f(x)在[−π3 ,π6]上为增函数，则ω的取值范围是．【答案】 (0,54]【解析】设f(x)=3sin(ωx −π12)+1，在[−π3,π6]上，ωx −π12∈[−ωπ3−π12，ωπ6−π12]，由于f(x)为增函数，∴{−ωπ3−π12≥−π2ωπ6−π12≤π2，即 {ω≤54ω≤72，求得 0<ω≤54，故选：D ．2(★★) 已知函数f(x)=3sin(ωx +π6)(ω>0)在(0 ,π12)上单调递增，则ω的最大值是 . 【答案】 4【解析】由函数f(x)=3sin(ωx +π6)(ω>0)在区间(0,π12)上单调递增，可得ω•π12+π6≤π2，求得ω≤4，故ω的最大值为4，3(★★) 设函数f(x)=sin(ωx +ϕ) ,A >0 ,ω>0 , 若f(x)在区间[π6 ,π2]上单调，且f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，则f(x)的最小正周期为．【答案】 π【解析】函数f(x)=sin(ωx +ϕ)，A >0，ω>0，若f(x)在区间[π6,π2]上单调，则T2=πω≥π2−π6，∴0<ω≤3．∵f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，∴x =π2+2π32=7π12为f(x)=sin(ωx +φ)的一条对称轴，且(π6+π22,0)即(π3,0)为f(x)=sin(ωx +φ)的一个对称中心，∴T 4=14⋅2πω=7π12−π3=π4，解得ω=2∈(0,3]，∴T =2π2=π， 4(★★★) 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)满足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在区间(π4 ,π3)上单调，则ω取值的个数有个．【答案】3【解析】设函数的最小正周期为T ，则T =2πω， ∵f(π4)=1，f(π2)=0， ∴π2−π4=2n−14T =2(2n−1)π4ω，n ∈N ∗，即ω=2(2n －1)，n ∈N ∗，又f(x)在区间(π4,π3)上单调， ∴π3−π4<T 2=πω，解得0<ω<12， ∴n 可以为1,2,3，即ω为2,6,10共3个值．5(★★★) 已知函数f(x)=cos(ωx +π6)(ω>0)在区间[0 ,π]上的值域为[−1,√32]，则ω的取值范围为．【答案】 [56,53]【解析】在区间[0,π]上，ωx +π6∈[π6,ωπ+π6]， f(x)=cos(ωx +π6)的值域为[－1，√32]， ∴ωπ+π6∈[π，11π6]，∴ωπ∈[5π6,5π3]，∴ω∈[56,53].【题型三】综合解答题【典题1】已知函数f(x)=sin(2x −π3)．(1)当x 1∈(−π2,−π3) ,x 2∈(0 ,π6)时f(x 1)+f(x 2)=0，求x 1−x 2的值；(2)令F (x )=f (x )−3，若对任意x 都有F 2(x )−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立，求m 的最大值．【解析】(1)f(x 1)+f(x 2)=0，即为sin(2x 1−π3)+sin(2x 2−π3)=0 , 即有sin (2x 1−π3)=−sin(2x 2－π3)=sin(π3−2x 2)，可得2x 1−π3=2kπ+π3−2x 2，或2x 1−π3=2kπ+π－π3+2x 2 ,k ∈Z ，即有x 1+x 2=kπ+π3或x 1−x 2=kπ+π2 ,k ∈Z ，由x 1∈(−π2,−π3) ,x 2∈(0 ,π6)，可得x 1−x 2∈(−2π3,−π3)，可得x 1−x 2=−π2；(2)F (x )=f (x )−3 即F (x )=sin (2x −π3)−3，令t =F(x)，可得t ∈[−4 ,−2]，对任意x 都有F 2(x )−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立，即为t 2−(2+m)t +2+m ≤0，t ∈[−4 ,−2]；则16+4(2+m)+2+m ≤0 ,4+2(2+m)+2+m ≤0，解得m ≤−265，即m 的最大值为−265．【点拨】① 若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或α=2kπ+π−β② 第二问涉及恒成立问题，采取了二次函数零点的分布问题的方法即通过二次函数的图象分析便可求解.【典题2】已知函数f(x)=sin 2x +acosx +a ,a ∈R ． (1) 当a =1时，求函数f(x)的最大值；(2) 如果对于区间[0 ,π2]上的任意一个x ，都有f(x)≤1成立，求a 的取值范围．【解析】(1) 当a =1时，f (x )=−cos 2x +cosx +2=−(cosx −12)2+94，∵cosx ∈[−1 ,1]，∴当cosx =12，即x =2kπ±π3(k ∈Z)时，[f(x)]max =94． (2) 依题得 sin 2x +acosx +a ≤1，即a(cosx +1)≤cos 2x 对任意x ∈[0 ,π2]恒成立．当x ∈[0 ,π2]时，0≤cosx ≤1，则1≤cosx +1≤2， ∴a ≤cos 2x cosx+1对任意x ∈[0 ,π2]恒成立．令t =cosx +1，则1≤t ≤2， ∴a ≤(t －1)2t=t 2－2t+1t=t +1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤(t +1t−2)min ．又∵t +1t −2≥0，当且仅当 t =1，即x =π2时取等号； ∴a ≤0．【点拨】第二问涉及恒成立问题，利用了分离参数法和换元法. 巩固练习1(★★★) 已知函数f(x)=√3sin(ωx －π6)(其中ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为π． (1)求函数f(x)的图象的对称轴；(2)若函数y =f (x )−m 在[0 ,π]内有两个零点x 1 ,x 2 , 求m 的取值范围及cos(x 1+x 2)的值．【答案】 (1)x =kπ2+π3,k ∈Z ； (2)m ∈(−√3 ,−√32)∪(−√32 ,√3) ,cos (x 1+x 2)=12.【解析】 (1)∵已知函数f(x)=√3sin(ωx －π6 )(其中ω>0 )的图象上相邻两个最高点的距离2πω=π，∴ω=2，故函数f(x)=√3sin(2x －π6)．令2x －π6=kπ+π2，k ∈Z 得x =kπ2+π3，k ∈Z ，故函数f(x)的图象的对称轴方程为x =kπ2+π3,k ∈Z ． (2)由(1)可知函数f(x)=√3sin(2x －π6)． ∵x ∈[0,π]，∴2x －π6∈[－π6,11π6] ∴－√3≤√3sin(2x －π6)≤√3，要使函数y =f(x)－m 在[0,π]内有两个零点． ∴－√3<m <√3，且m ≠－√32即m 的取值范围是(－√3,－√32)∪(－√32,√3)．函数y =f(x)－m 在[0,π]内有两个零点x 1，x 2，可得x 1，x 2是关于对称轴是对称的；对称轴方π2+kπ=2x －π6，k ∈Z ．得x =12kπ+π3，在[0,π]内的对称轴x =π3或5π6当m ∈(－12,1)时，可得x 1+x 2=2π3， ∴cos(x 1+x 2)=cos 2π3=－12 当m ∈(－1,－12)时，可得x 1+x 2=5π3， ∴cos(x 1+x 2)=cos5π3=12． 2(★★★) 已知函数f(x)=cos(ωx +π3)(ω>0)，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2． (1)求函数的单调区间和对称中心．(2)若关于x 的方程2sin 2x −mcosx −4=0在x ∈(0 ,π2)上有实数解，求实数m 的取值范围．【答案】 (1)单调递增区间[kπ−2π3,kπ−π6] ,单调递减区间[kπ−π6 ,kπ+π3] ,对称中心为(12kπ+π12 ,0) k ∈Z ， (2){m|m <−4}.【解析】(1)函数f(x)=cos(ωx +π3)(ω>0)，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2．∴周期12T =π2，即T =π，那么2πω=π，可得ω=2．∴f(x)=cos(2x +π3)令2kπ－π≤2x +π3≤2kπ，k ∈Z ，可得：kπ－2π3≤x ≤kπ－π6，∴可得函数的单调递增区间[kπ－2π3,kπ－π6],k ∈Z ，令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，可得：kπ－π6≤x≤kπ+π3，∴可得函数的单调递减区间[kπ－π6,kπ+π3],k∈Z，令2x+π3=π2+kπ，可得：x=12kπ+π12，可得函数的对称中心为(12kπ+π12,0) k∈Z，(2)方程2sin2x－mcosx－4=0在x∈(0,π2)上有实数解，∵sin2x=1－cos2x，∴2(1－cos2x)－mcosx－4=0，即2cos2x+mcosx+2=0，令t=cosx，∵x∈(0,π2)上，∴t∈(0,1)，则2t2+mt+2=0在(0,1)上有解，m=－2(t+1t)，令 f(t)=t+1t)≥2√t⋅1t=2，当且仅当t=1时，取等号．即－2(t+1t)≤－4．任取0<t1<t2<1，有f(t1)－f(t2)=(t1－t2)(1－1t1⋅t2)>0．因此f(t)在(0,1)上单调递减，因此m<－2k(1)=－4，所以m范围{m|m<－4}．。

说课稿：《三角函数》

说课稿：《三角函数》
引言概述：
三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、代数、物理等多个领域都有广泛的应用。

在教学过程中，如何有效地讲解三角函数成为教师们的重要任务。

本文将从定义、性质、应用、教学方法和案例分析等五个方面来探讨《三角函数》的说课稿。

一、定义
1.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象特点
1.2 三角函数的周期性和奇偶性
1.3 三角函数的定义域和值域
二、性质
2.1 三角函数的基本关系式
2.2 三角函数的同角、反函数关系
2.3 三角函数的导数和积分
三、应用
3.1 三角函数在三角恒等式中的应用
3.2 三角函数在三角方程中的应用
3.3 三角函数在几何中的应用
四、教学方法
4.1 利用具体例子引导学生理解三角函数的定义
4.2 结合实际生活中的问题引导学生掌握三角函数的性质
4.3 利用图表和动态演示工具匡助学生理解三角函数的应用
五、案例分析
5.1 以解决实际问题为背景，引导学生运用三角函数求解
5.2 利用三角函数的性质解决几何问题
5.3 通过三角函数的导数和积分来分析函数的变化规律
结语：
通过以上对《三角函数》说课稿的分析，我们可以看到，在教学过程中，教师需要深入理解三角函数的定义、性质和应用，灵便运用各种教学方法，引导学生掌握三角函数的知识。

惟独这样，才干让学生在学习中更好地理解和应用三角函数。