专题04_三角函数(教师版)自己整理

2014届高考数学二轮复习资料 专题三：三角函数（教师版）

【考纲解读】

1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2

πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函

数的基本关系式:sin 2

x+cos 2

x=1,

sin tan cos x

x x

=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-

2

π,

2

π

)内的单调性.

4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.

5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.

6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

【考点预测】

从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.

预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.

【要点梳理】

1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.

2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:

(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22

sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；

(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()2

2

αβ

αβ

ααββ+-=+-=+

;

(5)公式变形:2

1cos 2cos 2αα+=

, 2

1cos 2sin 2

αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;

(6)构造辅助角(以特殊角为主):

sin cos )(tan )b

a b a

αααϕϕ+=+=.

3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、

2π、π、32

π、2π，求出五个特殊点； (2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;

(3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2

k π

π+

()k Z ∈, 求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22

k x π

πωϕ-

≤+≤22

k π

π+

()k Z ∈;

22

k x π

πωϕ+

≤+≤322

k π

π+

()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:

(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】

考点1 三角函数的求值与化简

此类题目主要有以下几种题型：

⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值

故f (x )的定义域为

.Z ,2|R ⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧∈-≠∈k k x x ππ （Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 2

2

-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=a a

从而)

2

sin()

42cos(21)(π

π

+

-

+=

a a a f ＝a

a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪

⎭⎫ ⎝⎛

++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++ ＝.5

14

)sin (cos 2=+a a

【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和

推理能力，以及求角的基本知识..

【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，

2π），且2

sin α+1cos 24

α=，则tan α的值等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】因为α∈（0， 2

π

），且2

sin α+1cos 24α=

，所以2

sin α+221cos sin 4

αα-=, 即2

1cos 4

α=

,所以cos α=12或12-(舍去),所以3π

α=,

即tan α=选D.

考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质

考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基

础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.

【备考提示】：三角函

数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.

练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f