2016考研高等数学中值定理与导数的运用必背定理
中值定理及导数应用
![中值定理及导数应用](https://img.taocdn.com/s3/m/2f185152af1ffc4ffe47ac5f.png)
应注意的问题: 如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论
就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
bx
f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3)
二、拉格朗日中值定理
观察与思考: 设连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不
相等。
简要证明: 令 j(x)=f(x)f(a) f (b) f (a) (xa),
ba
则函数j(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件,
于是至少存在一点x(a, b),使j (x)=0,即
由此得
j (x)=f (x) f (b) f (a) =0,
ba
f(b)f(a)=f (x)(ba)。
f
(x)=
f(x)=
lim
xx
f (x) f (x ) 0, x x
f
(x)=
f(x)=
lim
xx
f (x) f (x ) 0, x x
因此必有f (x)=0。
罗尔定理: 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a,
b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0。
内可导,那么在(a, b)内至少有一点x,使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。
拉格朗日中值定理的几何意义:
y
C1
y=f(x) B
C2 A
O ax
hbx
拉格朗日中值定理:
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)
高等数学第三章中值定理与导数的应用
![高等数学第三章中值定理与导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/5013b521453610661ed9f444.png)
1 0. 当 x 0 时 0 , 因此由上式得 cos
0? 问是否可由此得出 lim cos 1 x
x0
不能 !
因为 ( x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
备用题 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续, (0 ,1) 可导,且 f (1) 0 ,
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
1
分析:
例5. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x) cos ln x sin1 x x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
中值定理与导数的应用
![中值定理与导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/ee040d429b6648d7c1c746ff.png)
第三章 中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数)(x f 满足:(1)在闭区间],[b a 上连续, (2)在开区间),(b a 内可导, (3)在区间端点处的函数值相等,即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零,即0)('=ξf .例:设函数)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,0)1(=f ,证明:在(0,1)内存在ξ,使得ξξξ)()(f f -='.【分析】本题的难点是构造辅助函数,可如下分析:()0)(0)()(0)()()()(='→='+→='+→-='x xf x f x x f f f f f ξξξξξξ【证明】令)()(x xf x G =,则)(x G 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且0)1(1G (1)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知,存在)1,0(∈ξ,使得)()()(ξξξξf f G '+='.即ξξξ)()(f f -='例:设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值,f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明:存在(,)a b ξ∈,使得()().f g ξξ''''=【分析】需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理,事实上,若令()()()F x f x g x =-,则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理,关键是找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈,使得()0F c =,则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对()F x '用罗尔定理即可。
中值定理与导数的应用(高等数学)
![中值定理与导数的应用(高等数学)](https://img.taocdn.com/s3/m/ec0087601711cc7931b7162a.png)
(2) 函数的极值及其求法
定义 设函数f ( x )在区间(a , b0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
(
1 1 x
2
) 0.
f (1) f (1) 2 arcsin x arccos x (1 x 1). 2 又
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2
f ( x) C, x (1,1)
极值的第二判别法 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
' f 即 ( ) 0
(1)
(2) 拉格朗日中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ,使等式
( 2)
(1)
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
极值点可以是不可导点。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
![高等数学 第3章 第一节 中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/72dd0facd5d8d15abe23482fb4daa58da1111c5d.png)
(函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数, 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分;
,
5
6
时,cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件,且:
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理,至少存在一点 ∈(a,b) ,
即:
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程, 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时, x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然,函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于: f f b f a
ba
或: f f b f a 0
ba
AB的方程为:
2016考研数学:高数重要定理汇总
![2016考研数学:高数重要定理汇总](https://img.taocdn.com/s3/m/ad316790d4d8d15abe234e46.png)
2016考研数学:高数重要定理汇总导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等,即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导,且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0(或A0(或f(x)>0),反之也成立。
中值定理及导数应用笔记
![中值定理及导数应用笔记](https://img.taocdn.com/s3/m/5dd71af16e1aff00bed5b9f3f90f76c661374cbe.png)
中值定理及导数应用笔记中值定理是微积分学中一个重要的定理,它的主要内容是,若在定义域上的某个闭区间上存在函数f(x),其满足f(a)=f(b)且f 第一次导数在区间内存在,则必有存在一个定点c,使得f(c)=f (a)=f(b)以及f(c)=0,这个定点c就是中值定点。
中值定理的应用非常广泛,在定理的基础上我们可以对函数的最大值、最小值、极值点,以及函数的单调性、函数的奇偶性等等特性进行讨论、分析。
首先,我们来讨论二次函数的性质。
知函数f(x)=ax2+bx+c(a ≠0),利用中值定理,可以知道f(x)=2ax+b=0,解得x=-b/2a,即为函数的极值点。
者,我们可以利用中值定理来判断函数是否在某个区间内单调,即在定义域上的某个闭区间上用f(x)>0或f(x)<0来判断函数是否在该区间是单调递增或单调递减。
此外,中值定理还可以用来判断函数是否是奇函数或偶函数。
知函数f(x),如果f(-x)=f(x),则定义为偶函数,此时f(x)在全定义域上的值都为0;如果f(-x)=-f(x),则为奇函数,此时f(x)在任意定义域上均有值,且f(0)=0。
另外,中值定理还可以用于分析多元函数的极值点的性质及其存在的条件,以及在不同情况下求解极值点的方法。
多元函数中,若某个极值点对所有变量都满足偏导数为0,则此极值点为极大值点;如果有变量的偏导数大于0,则此极值点为极小值点。
最后,中值定理作为微积分的重要定理,在微积分的诸多数学问题的求解过程中发挥着至关重要的作用,它也被广泛用于物理学和工程学中的各种应用领域,以帮助人们求解多变量函数的极值点问题。
本文就以中值定理为主题,介绍了它的定义特性,原理及其应用,以期为大家带来一些有用的指导,同时帮助大家在实际应用中更加得心应手,从而掌握微积分的精髓。
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
![高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/93321fdb18e8b8f67c1cfad6195f312b3169ebb4.png)
(3)
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理,了解柯西定理; 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题; ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项,掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式; ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法; ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法,并会用其证明一些相关问题。
证:由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件, 则 (1,2),使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续,在(1,1)内可导,且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理, (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值,试证:曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证:曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值,且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析:只需证明 sin x x 0 3 cos x
证:令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
,显见
f
(0)
0;
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
第四章 中值定理与导数的应用
![第四章 中值定理与导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/7259dc4ca2161479171128c0.png)
3)在(a,b)内任一点 x 处
都不等于零.
则在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得等式
(柯西公式) 成立. 在柯西定理中,当 F(x)=x 时,则有
,于是定理的结论变成
而这正是拉格朗日值定理的结论.因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况,或者 说柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
我们先看一下柯西中值定理的几何意义,然后再证明这个定理.
7
解:1)f(x)在[0,1]上连续:
2)f(x)在(0,1)内可导(
在
(0,1)内有定义),故 f(x)满足拉格朗日中值定理的条件.
,
设
由此解得
(负根不在所给的区间内,舍去)
故取 =
,则有
成立.
即验证了拉格朗日中值定理对 f(x)=arctanx 在[0,1]上正确.
三、柯西中值定理
如果函数 f(x)和 F(x)满足条件: 1)在闭区间[a,b]上连续; 2)在开区间(a,b)内可导;
(图四) 因此它不满足条件 2),虽然满足条件 1)和 3),但定理结论不成立.从图形上看,显然没有水平 切线.
例 3. (x)=x,x∈[0,1]
函数 f(x)满足条件 1)和 2),但 f(0)≠f(1)(见图五)
(图五) 3
因此不满足条件 3),所以在(0,1)内不存在ξ,使
,也即定理的结论不成立.从图形上
看,显然也没有水平切线. (2)罗尔定理的三个条件是充分的,而不是必要的。即如果定理的三个条件不完全满足或
都不满足时,定理的结论也有可能成立.
例 4.
因为函数 f(x)在点
处不连续、不可导,
且
(见图六),
(图六) 所以 f(x)不满足罗尔定理的全部条件,但是我们可以在区间
中值定理与导数的应用-§3.1 中值定理
![中值定理与导数的应用-§3.1 中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/f6abc511c5da50e2534d7f08.png)
于是对于x0 x U ( x0 ) ,有 f ( x0 x) f ( x0 )
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
f ( x0 x ) f ( x0 ) 当 x 0 时, 0; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0. 当 x <0 时, x 根据函数 f ( x ) 在 x0 处可导及极限的保号性得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
同理可知,方程还有两个根 2 , 3分别属于区间 2,3 及
3,4 . 因此,有且仅有三个实根,它们分别属于区间 1, 2 , 2, 3 及 3, 4 .
例3 若 f ( x )在区间 [a , b]上连续,在 ( a , b ) 内可导,且 满足 f ( x ) 0,及 f (a ) f (b) 0 , 证明方程 f ( x ) 0
三、柯西中值定理
柯西中值定理 设函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足条件: (1)在闭区间 [a , b] 上连续; (2)在开区间( a , b ) 内可导, 且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零. 则在 ( a , b ) 内 至少有一点 (a b), 使得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
(2)若 M m , 由于 f (a ) f (b), 所以 M 和 m 至少有一个不 等于 f ( x ) 在区间 [a , b] 端点处的函数值.不妨设 M f (a ) , 则必定在 (a, b) 有一点 使 f ( ) M . 因此任取 x [a, b] 均有 f ( x ) f ( ) , 从而由费马引理有 f ( ) 0 . 证毕
第三章 中值定理与导数的应用
![第三章 中值定理与导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/8e65c33710a6f524ccbf85ba.png)
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛,它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系,自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中,函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件,为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数),使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理,再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上,证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上 单调增加,那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ,这时,曲线上各点切线的倾斜角都是锐角,它们的 切线斜率f′(x)都是正的,即f′(x)>0.同样地,如图3-5所 示,如果函数y=f(x)在[a,b]上单调减少,那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线,这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角, 它们的斜率f′(x)都是负的,即 f′(x)<0.由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面,我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点;
《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第1节 中值定理
![《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第1节 中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/c025c92de2bd960590c677cf.png)
拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 法国数学家. 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献, 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 余年来 接地溯源于他的工作, 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 .
y
C M•
y = f ( x)
•
D
A•
•N
ξ1 x
o a
ξ2 b
x
分析: 证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b) .
f (b) − f (a ) ( x − a) . 弦 AB方程为 y = f (a ) + 方程为 b−a 曲线 f ( x )减去弦 AB ,
所得曲线 a , b 两端点的函数值相等 .
(1)
f ′(ξ ) = 0 .
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) .
在[−1 , 3]上连续 , 在( −1 , 3) 上可导 , 且 f ( −1) = f ( 3) = 0 , Q f ′( x ) = 2( x − 1) , 取 ξ = 1 (1 ∈ ( −1 , 3)) , f ′(ξ ) = 0 .
f (b) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )] . b−a F ( x ) 满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ ,
作辅助函数
使得 F ′(ξ ) = 0 . 即
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) − =0, b−a 拉格朗日中值公式 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) .
第三章中值定理与导数的应用
![第三章中值定理与导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/6f82d8a904a1b0717fd5ddc3.png)
第三章中值定理与导数的应用教学目的:1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点:1、罗尔定理、拉格朗日中值定理;2、函数的极值,判断函数的单调性和求函数极值的方法;3、函数图形的凹凸性;4、洛必达法则。
教学难点:1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用;2、极值的判断方法;3、图形的凹凸性及函数的图形描绘;4、洛必达法则的灵活运用。
§3 , 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点X。
的某邻域U(x o)内有定义.并且在X。
处可导.如果对任意x U(x o).有f(x)兰f(x o)(或f(x)可(X o)).那么 f (x。
) =o ,罗尔定理如果函数y#(x)在闭区间[a, b]上连续.在开区间(a, b)内可导.且有f(a)=f(b).那么在(a, b)内至少在一点「使得f ( ) =0 .简要证明:(1)如果f(x)是常函数.则「(x)P .定理的结论显然成立,(2)如果f(x)不是常函数.则f(x)在(a . b)内至少有一个最大值点或最小值点.不妨设有一最大值点工(a .b),于是f()=口)= im f(x)—f()_0IJ x_.仁)“()訓空严_0 所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续.在开区间(a b)内可导.那么在(a b)内至少有一点(a< <b).使得等式f(b)-f(a)f(々b-a)成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f(b)—f(a)f ()二 b -a定理的证明:引进辅函数f(b)-f (a)令(x)孑(x) _f(a) — b —a (x^),容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件::(a)V (b)d O . :(x)在闭区间[a.b ]上连续在开区间(a b)内可导.且f(b)-f (a)申(x)=f "(x) — b~a ,根据罗尔定理.可知在开区间(a b)内至少有一点•.使「()=0 .即f (b) - f ⑻ f ()_ b-a =0f(b)-f(a) 由此得b —a 二f ()即 f(b)_f(a)=f ( )(bv). 定理证毕,f(b)-f(a)f ( )(b-a)叫做拉格朗日中值公式 .这个公式对于b<a 也成立 拉格朗日中值公式的其它形式 :设x 为区间[a . b ]内一点.x : =x 为这区间内的另一点 (.:x>0或.:x<0).则在[x. x7x ] C x>0)或[x i x x ] (. x<0)应用拉格朗日中值公式 .得f(x+心x) -f(x)甘 lx 说x) ‘ Z (0< 日<1), 如果记f(x)为y .则上式又可写为L y f (x n :x) L X (0< T <1),试与微分dyf (x)x 比较:dy=f(x) 是函数增量冷的近似表达式.而 f(x-,x) 是函数增量:y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用 .我们证明如下定理:定理 如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为零.那么f(x)在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点X 1.X 2(X 1<X 2).应用拉格朗日中值定理.就得f(X 2)斗(X 1)斗"(9(X 2 — x i ) (x i < -< X 2). 由假定 f ( ) =0 .所以 f(X 2) _f(X i )=0 .即f(X 2)=f(X l ),因为X i X 2是I 上任意两点.所以上面的等式表明:f(x)在I 上的函数值总是相等的.这就是说 f(x)在区间I 上是- -个常数,证 设f(x)=ln(1 x).显然f(x)在区间[0 . x ]上满足拉格朗日中值定理的条件 就有f(x)—f(0)=f (勺(x-0) . 0<®x 。
高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理)
![高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理)](https://img.taocdn.com/s3/m/2001e042aaea998fcd220e38.png)
f h f
lim
h0
h
存在。我们考虑这点的左导数和右导数,
lim f h f 和 lim f h f
h0
h
h0
h
当 h 充分小时, h a , b 所以此时有
f h f 0
当 h 0 时,有 3/12
f h f 0
h
当 h 0 时,有
存在 a , b 有
Fb Fa F b a 0
10/12
2)考虑函数
x
f
x
f b F b
f a F a
Fx
显然 x 在闭区间a , b 连续,在开区间 a , b
上可导。
a
f a
f F
b b
f a F a
F
a
f aFb f bFa Fb Fa
a
f
b
f F
b b
f a F a
f h f 0
h
利用极限的保号性质
f lim f h f 0
h0
h
f lim f h f 0
h0
h
因此 f 0
注:定理中的三个条件缺一不可。在 0 , 1 考虑函数
1) f x x
2)
f
x
x 1
0 x 1 x 1
4/12
f
x
x
1 x
0 x 1 2
1 x 1 2
二、拉格朗日中值定理 定理2:(拉格朗日中值定理)如果函数
f x 满足以下条件
1)在闭区间 a , b 连续;
2)在开区间 a , b
上可导;
则至少存在一点 a , b, 有
f f b f a
中值定理导数的应用知识点
![中值定理导数的应用知识点](https://img.taocdn.com/s3/m/54dbecb0aaea998fcc220e9c.png)
一、四个中值定理பைடு நூலகம்关系
推 广 推 广
罗 拉格朗日定理 柯
尔 特例 推 特例 特例 西
定 广 定
理 理
泰勒定理
二、微分中值定理
名称
条件
结论
罗尔定理
在 内存在
使得
拉格朗日定理
在 内存在
使得
推论1
在定理条件下,若
则 ( 为常数)
推论2
若 都满足定理条件,
且
则
( 为常数)
柯西定理
、
、 在 内存在
使得
三、洛比达法则
类型
条件
结论
或
型
1若 时, (或 );
2在 内, 和 都存在,且
③ (有限或 )( 可以是 )
四、其他不定型转化为 或
不定型
转 化 过 程.
;或
五、泰勒公式
分 类
定 理
泰勒公式
设 在含有 的某开区间 内具有直到 阶的导数,则 其中 。
麦克劳林公式
六、可导函数单调性的判定
若 ,又 存在,则
是 的一条斜渐近线
九、弧微分
1. 时,
2. 时,
3. 时,
定理(判别法)
设 ,在 内可导,则
① 上单调递增
② 上单调递减
七、曲线凹凸性的判定定理
定理
补充说明
设 , 在 上存在, 为凹弧
设 , 上可导, 为凹弧 在 内上升。
曲线为凹弧 切线斜率
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 或 ,则 是
的铅直渐近线( 可以是 )
水平渐近线
若 或 ,则 是
的水平渐近线
斜渐近线
高数考研知识点归纳
![高数考研知识点归纳](https://img.taocdn.com/s3/m/b573cf4e5e0e7cd184254b35eefdc8d376ee14ea.png)
高数考研知识点归纳高等数学是考研数学的重要组成部分,其知识点广泛且深入,以下是对高数考研知识点的归纳总结:一、极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小的比较- 函数的连续性与间断点- 连续函数的性质二、导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 隐函数与参数方程的导数- 微分的概念与应用三、中值定理与导数的应用- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何、物理等领域的应用四、不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质- 基本积分公式- 换元积分法- 分部积分法- 定积分的定义与性质- 定积分的计算方法五、级数- 级数的概念与性质- 正项级数的收敛性判别- 幂级数与泰勒级数- 函数项级数的一致收敛性六、多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题- 方向导数与梯度- 多元函数的泰勒展开七、重积分与曲线积分、曲面积分- 二重积分与三重积分- 重积分的计算方法- 曲线积分与曲面积分- 格林公式、高斯公式与斯托克斯定理八、常微分方程- 一阶微分方程的解法- 高阶微分方程- 线性微分方程的解法- 微分方程的应用结束语:考研高等数学的知识点繁多,要求考生不仅要掌握基本的概念和公式,还要能够灵活运用这些知识点解决实际问题。
通过系统地复习和大量的练习,可以提高解题速度和准确率,为考研数学取得高分打下坚实的基础。
希望以上的知识点归纳能够帮助考生更好地复习和准备考研高等数学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2016考研高等数学中值定理与导数的运用必背定理
考研数学是考研科目的重中之重,需要大家多下精力去学习,在复习备考高数的时候我们要在定理定义上好好下功夫。
接下来凯程老师为大家带来了2016考研高等数学中值定理与导数的运用必背定理,希望对大家有所帮助。
1、罗尔定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a
2、拉格朗日中值定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a
3、柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使的等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则
应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f’(x)
如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值
如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点),但函数的驻点却不一定是
极值点。
定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么:(1)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时,f’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时,f’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值。
定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)当f’’(x0)0时,函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定
设f(x)在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’’(x)
判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点(x0,f(x0))是拐点,当两侧的符号相同时,点(x0,f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点。
2016考研高等数学中值定理与导数的运用必背定理已经给大家带来过了,希望我们能够做到学以致用,这样就能够更好地掌握住这些知识点,取得好的考研分数。