初二数学下册最简二次根式课件(新版)新人教版

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新人教版八年级下册初二数学16.1二次根式.优秀PPT课件

人教版数学教材八年级下
第16章二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，取3.14）；它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.

人教版初中数学八年级下册《二次根式化简》PPT课件

勇攀
高峰！
( 2003年·河南省)实数p在数轴上的位
பைடு நூலகம்
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p 1
勇闯难关！
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1 的值
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
2a0 ， b20
练习3:
1
1
2
2
2 1
2 x 12 x 1 (x>0 )
3 x2 2xy y2 x y2
(x﹤y)
yx
再接再厉！
已知：a b 6与 a b 8 互为相反数，求： a,b的值。
愈战愈勇！
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c)2 (b a c)2
16.1二次根式化简
学习目标
1、探索二次根式性质 ( a)2 a（a 0）和 a2 aa 0 的推导过程，并理解其意义。
2、会运用性质进行二次根式的化简。
3、了解代数式的概念。
复习回忆
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质1:
a 0, a 0（. 双重非负性 )
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
1、从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方 a2 先平方,后开方
2、从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任意实数
3、从运算结果来看:
a 2=a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0)
二、代数式的概念

人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)

C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围（1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 b 3

《最简二次根式》课件

最简二次根式的定义
最简二次根式的定义
如果二次根式满足被开方数中不含有分母，且被开方数的因数是整数、因式是整式，则称该二次根式是最简二次根式。
最简二次根式的特点
最简二次根式的被开方数中不含有分母，且被开方数的因数是整数、因式是整式。
最简二次根式的性质
性质1
性质3
最简二次根式的被开方数中不含有分母。
配方法
总结词
配方法是化简最简二次根式的另一种常用方法，适用于无法直接开平方的根式。
详细描述
配方法是通过对根式进行配方处理来化简最简二次根式的方法。通过对根式进行配方，将其转化为完全平方的形式，从而简化根式。
因式分解法
总结词
因式分解法是化简最简二次根式的另一种有效方法，适用于含有平方因子的根式。
掌握最简二次根式的化简方法，能够将复杂的二次根式化为最简形式。
在实际应用中，能够根据问题的需要，灵活运用最简二次根式的知识解决问题。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
因式分解法是通过提取根式中的平方因子来化简最简二次根式的方法。对于形如 $sqrt{a^2 + b^2}$ 的根式，可以提取平方因子，将其化为 $(a+b)(a-b)$ 的形式，从而简化根式。
04 最简二次根式的应用
在几何学中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。最简二次根式可以用来表示和计算直角三角
计算题：化简二次根式$sqrt{frac{25}{81}}$的结果是____。（答案： $frac{5}{9}$）
答案解析
判断题解析
最简二次根式的定义是被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式。因此，判断题答案是正确的。

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件

求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓广探索题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能力提升题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版数学八年级下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、

八年级数学下册 16.1 二次根式课件 (新版)新人教版

求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
3.已知 a ，你能求出 a 的取值范围吗？ a 1
切入点：分类讨论思想。
4.已知 1 0 a 为一个非负整数，试求非负整数 a 的值
3 x2 2 x 1, 其中x 3.
例4 计算:
1
3 5
2 3
2
|
4 5
2 3
|;
2
2 7
3 2 5
4 5
3 7
2
.
例 5：已知：x＜0，化简： 16x2
解： 1 6 x 2 = （ 4 x ） 2 =|4x| ∵x<0 , ∴4x＜0,
∴原式 = - 4x
练一练： x 2-6 x + 9 + x 2+ 2 x + 1 ( -1 < x < 3 ) 解：原式 = （ x-3） 2 + （ x+1） 2 = |x-3| + |x+1| ∵ -1<x<3 , ∴ x-3＜ 0 , x+1>0 ∴ 原式 = (3-x) + (x+1) = 4
3.已知 1 有意义,那A(a,
a
a )在
象限.
4.．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 + ( 3 4)2 +…+
( 2010 201)21
5.如果 ( a 5) 2 +│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长。
例3 计算:
1 102
2
15 ;
2 3 2 ;
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x

《最简二次根式》二次根式PPT课件

2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125．分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1，那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不含开得尽方的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1．（２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4

人教版初中数学八年级下册16.1.1二次根式课件(共20张ppt)

（2）将m,n的值代入并化简： (x x n ) x2 n
xm xm
（3）请选一个你喜欢的x的值代入求值.
人教版八年级数学 16.1.1二次根式
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果答对可以得到相应的小组分.
人教版八年级数学 16.1.1二次根式
(3分题)
下列各式中：① - x2 -5 ② （a 2）2 ③ 3 3 ④ ⑤ x 3(x 3) ⑥ 2x 其中是二次根式
形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式
人教版八年级数学 16.1.1二次根式
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式
1.形式上含有二次根号 2.表示a的算术平方根 3.a≥0, a ≥0 (双重非负性) 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
研学人教版八年级数学 16.1.1二次根式
探究一：判断下列各式哪些是二次根式?
拓展延伸人教版八年级数学 16.1.1二次根式
1.已知实数x,y满足 y x 3 3 x 4 ,求：（1）x的取值范围；（2）以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长.
2.(走进中考)已知 x 2y 3 x 1 0，则 p(x,y)是第象限.
硕果累累人教版八年级数学 16.1.1二次根式
人教版八年级数学
第十六章二次根式
授课教师：疯狂的粉笔
人教版八年级数学 16.1.1二次根式
预学人教版八年级数学 16.1.1二次根式
(1)物体从高处自由落下时，落到地面所用时间t（单位：秒）与开始落下时离地面的高度 h(单位；m)满足关系:
Байду номын сангаас
h 5t 2

最简二次根式-课件

可以使用有理化因子或变量替代等方法进行分母有理化。
如何将一个二次根式分解成最简二次根式的积的形式？
1
因数分解
将二次根式分解为因数的乘积。
2
最简形式化简
对每个因数进行化简，得到最简二次根式的积。
如何用最简二次根式表示三角函数值？
最简二次根式可以通过角度大小和三角函数之间的关系，用最简二次根式表示三角函数的值。
最简二次根式和指数函数有何关系？
最简二次根式是指数函数的一个特殊形式，可以用指数函数方程表示最简二次根式。
如何求一个二次根式的近似值？
可以使用近似求根的方法，如牛顿迭代法和二分法，来求得二次根式的近似值。
最简二次根式和复数有什么关系？
最简二次根式可以用复数形式表示，也可以从复数角度理解最简二次根式的性质和特点。
√2
平方根2
√5
平方根5
√3
平方根3
√6
平方根6
如何把一个二次根式化简为最简二次根式？
1
步骤一
分解二次根式的因数。
2
步骤二
去除二次根式中的因数。
3
步骤三
整理后化简为最简二次根式。
如何判断一个二次根式是否为最简二次根式？
1 没有因数
二次根式中不含有因数。
2 无法再化简
无法进行进一步化简，已是最简形式。
最简二次根式可以应用于解决三角形、圆形等几何形状的实际测量问题。
2
物理计算
最简二次根式可以应用于模型推导、物理计算和工程测量中的实际问题。
3
金融计算
最简二次根式可以应用于金融领域中的财务计算和投资分析等实际问题。
什么是分母有理化，如何进行分母有理化？
1 分母有理化概念

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT

．
典例解析
例1 计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 3 6) 2 2.
解：(2) (4 2 3 6) 2 2 4 22 23 62 2
多项式除以单项式法则
23 3 2
二次根式除法法则
算中思先与考乘有：除理(2，数)中后、，加实每减数一；运步算的一依样据，是在什混么合？运
例2 计算：
思考二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
探究1 由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？
探究2 由，你能求出
的值吗？由此你有何发现？
典例解析
(1) ( 2 3)( 2 - 5) ； (2) ( 5 3)( 5 - 3)
解：(1)( 2 3)( 2 - 5) ( 2)2 3 2 5 2 15 2 2 2 15
13 2 2
思考：（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
(3)( 3 2)2 ( 3)2 2 2 3 22 7 4 3;
(4)(2 5 2)2 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 22 4 10
综合应用
(3 10)2015(3 10)2015 解： (3 10)2015(3 10)2015
(3 10)(3 10)2015 (9 10)2015
例3 计算下列各题：
练习
1.计算： (1) 2( 3 5); (3)( 5 3)( 5 2);