二次根式的加减 二次根式PPT优秀课件
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15.3 二次根式的加减运算课件(共19张PPT)
归纳总结：
二次根式的加减法： 二次根式的加减运算，其实就是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化为最并.
一化简二找相同的被开方数三合并.
例2 计算下列各式：
二次根式的加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
15.3 二次根式的加减运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式加减法法则.2.熟练进行二次根式的加减混合运算.
学习重难点
掌握二次根式加减法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的加减混合运算.
复习巩固
最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
归纳总结：
随堂练习
C
.
6
拓展提升
D
D
归纳小结
1.二次根式的加减运算步骤：一化简二找相同的被开方数三合并.
2.二次根式加减法 首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
新知引入
知识点 二次根式的加减运算
做一做
1.计算下列各式：2.请将你的做法和大家进行交流.
含相同二次根式
合并
就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式也可以合并.
归纳：
可合并的二次根式的条件：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同.
例题解析
例1 计算下列各式：
二次根式的加减法： 二次根式的加减运算，其实就是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化为最并.
一化简二找相同的被开方数三合并.
例2 计算下列各式：
二次根式的加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
15.3 二次根式的加减运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式加减法法则.2.熟练进行二次根式的加减混合运算.
学习重难点
掌握二次根式加减法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的加减混合运算.
复习巩固
最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
归纳总结：
随堂练习
C
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6
拓展提升
D
D
归纳小结
1.二次根式的加减运算步骤：一化简二找相同的被开方数三合并.
2.二次根式加减法 首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
新知引入
知识点 二次根式的加减运算
做一做
1.计算下列各式：2.请将你的做法和大家进行交流.
含相同二次根式
合并
就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式也可以合并.
归纳：
可合并的二次根式的条件：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同.
例题解析
例1 计算下列各式：
《二次根式的加减法》PPT课件 (共19张PPT)
3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。
4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是 不是也有他那样的缺点或不足。
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 mn2 2与
是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
考考你
45计算： (1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243) (4)(5 75 4 12) (5 108 3 27)
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是 不是也有他那样的缺点或不足。
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 mn2 2与
是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
考考你
45计算： (1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243) (4)(5 75 4 12) (5 108 3 27)
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
《二次根式的加减》课件
VS
详细描述
在进行二次根式的加减运算时，有时需要 对二次根式进行合并或简化。学生在合并 或简化过程中，容易出错，导致计算结果 错误。例如，将$sqrt{5} + sqrt{2}$错误 地合并为$sqrt{7}$，或将$sqrt{4} sqrt{9}$错误地简化为$3 - 2$。
PART 05
练习与巩固
2023 WORK SUMMARY
《二次根式的加减》 ppt课件
REPORTING
目录
• 二次根式的加减概述 • 二次根式的加减运算方法 • 二次根式的加减运算实例 • 二次根式的加减易错点解析 • 练习与巩固
PART 01
二次根式的加减概述
二次根式的加减定义
定义
二次根式的加减运算是指将具有 相同被开方数的二次根式进行合 并或分离的过程。
计算
$(sqrt{5} + 2sqrt{2})(sqrt{5} 2sqrt{2})$
计算
$(sqrt{3} + sqrt{2})^{2}$
计算
$(sqrt{5} - sqrt{3})^{2}$
综合练习题
解方程
$3sqrt{2}x = 4sqrt{3}x$
解方程
$(sqrt{3} + sqrt{2})x = 5$
THANKS
感谢观看
REPORTING
解方程
$(sqrt{5} - sqrt{3})x^{2} - (sqrt{5} + sqrt{3})x = 0$
解方程组
${begin{array}{l}sqrt{2}x - sqrt{6}y = 4 sqrt{3}x + sqrt{5}y = 7 end{array}$
《二次根式的加减》二次根式PPT教学课件(第2课时)
试卷下载： .
/shiti/
教案下载： .
/jiaoan/
ppt论坛： . .cn
ppt课件： .
/kejian/
语文课件： .
/kejian/yuwen/ 数学课件： .
/kejian/shuxue/
英语课件： .
/kejian/yingyu/ 美术课件： .
/kejian/meishu/
科学课件： .
1
2
4 2 + 6 2 × 6 × 500 = 2 2 + 3 2 × 6 × 500
= 5 2 × 6 × 500
= 5000 3 3 .
答：这段路基的土石方为5000 32
链接中考
(2021•包头)若x= 2 + 1，则代数式x2-2x+2的值为( C )
A．7
B．4
x2-2x+2=(x-1)2+1
= 3
B.
3
2
6
2
3
2
3
的结果是(
2
C )
C. 3
D．2 3
预习检测
2．计算( 80＋ 20)× 5的结果是( D )
A．6
B．2 5
( 80＋ 20)× 5
= (4 5＋2 5)× 5
= 6 5× 5
= 30
C．2 10
D．30
新知讲解
长方形的长为 2 + 5，宽为 6，它的面积是多少？
长方形的面积=( 2 + 5) × 6
=2−
3
2
3
易错提示
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；
对于(1)：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
/shiti/
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科学课件： .
1
2
4 2 + 6 2 × 6 × 500 = 2 2 + 3 2 × 6 × 500
= 5 2 × 6 × 500
= 5000 3 3 .
答：这段路基的土石方为5000 32
链接中考
(2021•包头)若x= 2 + 1，则代数式x2-2x+2的值为( C )
A．7
B．4
x2-2x+2=(x-1)2+1
= 3
B.
3
2
6
2
3
2
3
的结果是(
2
C )
C. 3
D．2 3
预习检测
2．计算( 80＋ 20)× 5的结果是( D )
A．6
B．2 5
( 80＋ 20)× 5
= (4 5＋2 5)× 5
= 6 5× 5
= 30
C．2 10
D．30
新知讲解
长方形的长为 2 + 5，宽为 6，它的面积是多少？
长方形的面积=( 2 + 5) × 6
=2−
3
2
3
易错提示
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；
对于(1)：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
《二次根式的加减》二次根式PPT课件3 (共22张PPT)
●当堂检测反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第17页第1,2题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职 责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己 是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定， 站不稳的样子。
二次根式的加减ppt课件
通过加减法可以简化复杂的二次根式 ，使其更易于理解和计算。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理、工 程、建筑等领域，需要使用二次根式 的加减法来计算结果。
02
二次根式的加减法运算
根式的合并同类项
合并二次根式中的同类项
在二次根式的加减法中，需要将具有相同根指数和被开方数 的项进行合并，简化表达式。
在几何图形中，周长的计算也需要使用到二次根式加减法运算。例如，在矩形、三角形、 多边形等图形中，需要使用到周长公式进行计算。
04
二次根式的加减法注意事项
根式加减法的限制条件
根式加减法仅适用于 被开方数相同的二次 根式。
根式加减法要求根号 内的表达式必须有意 义，即不能有虚数次 方根。
被开方数相同的二次 根式才能进行加减运 算。
计算 $2sqrt{2} - sqrt{3}$ 计算 $3sqrt{2} + 2sqrt{3}$
提高练习题
01
计算 $(sqrt{2} + sqrt{3})^2$
02
计算 $(2sqrt{2} - sqrt{3})^2$
03
计算 $(sqrt{2} - sqrt{3})^2$
04
计算 $(3sqrt{2} + 2sqrt{3})^2$
二次根式下的数必须是非负的 。
二次根式具有非负性，即 $sqrt{a^2} = |a|$。
根式的加减法规则
合并同类二次根式
只有同类二次根式才能进行加减 运算。同类二次根式是指被开方 数相同的二次根式。
二次根式的加减法
将同类二次根式的系数相加减， 被开方数和根号符号保持不变。
根式加减法的意义
简化二次根式
函数中的根式加减
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理、工 程、建筑等领域，需要使用二次根式 的加减法来计算结果。
02
二次根式的加减法运算
根式的合并同类项
合并二次根式中的同类项
在二次根式的加减法中，需要将具有相同根指数和被开方数 的项进行合并，简化表达式。
在几何图形中，周长的计算也需要使用到二次根式加减法运算。例如，在矩形、三角形、 多边形等图形中，需要使用到周长公式进行计算。
04
二次根式的加减法注意事项
根式加减法的限制条件
根式加减法仅适用于 被开方数相同的二次 根式。
根式加减法要求根号 内的表达式必须有意 义，即不能有虚数次 方根。
被开方数相同的二次 根式才能进行加减运 算。
计算 $2sqrt{2} - sqrt{3}$ 计算 $3sqrt{2} + 2sqrt{3}$
提高练习题
01
计算 $(sqrt{2} + sqrt{3})^2$
02
计算 $(2sqrt{2} - sqrt{3})^2$
03
计算 $(sqrt{2} - sqrt{3})^2$
04
计算 $(3sqrt{2} + 2sqrt{3})^2$
二次根式下的数必须是非负的 。
二次根式具有非负性，即 $sqrt{a^2} = |a|$。
根式的加减法规则
合并同类二次根式
只有同类二次根式才能进行加减 运算。同类二次根式是指被开方 数相同的二次根式。
二次根式的加减法
将同类二次根式的系数相加减， 被开方数和根号符号保持不变。
根式加减法的意义
简化二次根式
函数中的根式加减
二次根式加减ppt课件
答案及解析
计算
化简
$sqrt{27} + sqrt{3} = 3sqrt{3} + sqrt{3} = 4sqrt{3}$
$2sqrt{3} - sqrt{2} = sqrt{3} - sqrt{2}$
比较大小
$sqrt{25} = 5$，因为 $5 > 3$，所以 $sqrt{25} > 3$
判断正误
01
02
03
识别同类二次根式
首先需要识别出表达式中 的同类二次根式，即具有 相同被开方数的二次根式 。
合并同类二次根式
将同类二次根式进行合并 ，即将它们的系数相加减 ，根号下的被开方数保持 不变。
举例说明
将表达式中的 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{2}$ 合并为 $2sqrt{2}$。
$sqrt{8} + sqrt{18} = 2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$，不等于 $2sqrt{2}$，所以判 断为错。
THANKS
感谢观看
sqrt{2}}{sqrt{2} times sqrt{2}} = frac{sqrt{6}}{2}$。
二次根式的化简技巧
利用平方差公式
对于形如 $sqrt{a^2 - b^2}$ 的表达式，可以利 用平方差公式进行化简。
利用完全平方公式
对于形如 $sqrt{a + b}$ 或 $sqrt{a - b}$ 的表达 式，可以利用完全平方公式进行化简。
二次根式的加减法规则
总结词
掌握二次根式的加减法规则是进行运 算的关键。
详细描述
二次根式的加减法需先将各项化为最 简二次根式，然后合并同类二次根式 。
《二次根式的加减》二次根式PPT课件4 (共23张PPT)
先把这些式子化为最简二次根式， 由于它们的被开方数相同，所以它 们是同类二次根式． 注意：判断一组式子是否为同类二 次根式，只需看化为最简二次根式 后的被开方数是否相同，与最简二 次式前面的因式及符号无关．
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
3
75
2 3
1 27
1 50
8ab
3.几个二次根式相加减先把各个二次 根式化成最简二次根式,再把同类二次 根式分别合并.
•
1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职 责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己 是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定， 站不稳的样子。
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2 2 2 2
F
T
练习
判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3 5;
F
22
3
2 2 2;
F
8 18 4 9 2 3 5 2
F
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3） 2 2 3
5dm 7.5dm
18dm
8dm
18 3 2 5
思考:二次根式的加减的一般步骤.
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约 需要多少米钢材（精确到0.1米）?
B 2m
AD 4m 1mC解： 根据勾股定理得：
AB AD2 BD2 42 22
20 2 5
BC BD2 CD2 22 12 5 所需钢材的长度为： AB BC AC BD 2 5 5 5 2 3 5 7 13.7 答：大约需要13.7m的钢材.
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 3
2
2 (2) 3 ,5 3 ,6 3 ,17 3 , 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18, 32, 2
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
32 5 3 5 3 3 5 2 x 1 3. 9 x 6 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x
12 20
4 3 x
2.
1 解： 1.2 12 6 3 48 4 3 2 3 12 3 14 3 3
3 5 2
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
48 12 2 3 4 3
1 2
18 3 2 45
2 3 3
50
5 2
1 1 3
32
2 2
4 2
3 5
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次 根式前面的因式及符号无关．
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减法的步骤：
交流 归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
2.计算：
先化简,后合并
(1) 4 7
( 2) 2 5 5
(1)2 7 6 7
(2) 80 20 5
(3) 18 ( 98 27 )
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
1 (4)( 24 0.5 ) ( 6) 8
(3)10 2 3 3
1 (4)3 6 2 4
注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 2 与 3 )不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么? F 1 8 3 8 3 ;
2
33
4 9 4 9;
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 2. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
3.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
练习3：
如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度 d(两圆半径之差).
解：R r S
s
18
8
2
3 2
2 2
R-r
答：圆环的宽度 d为
2
cm.
反 馈 练 习
练习1：
(1) 18 8
3
8 18 4 2
例1计算： （1） 12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
2
3
1
12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
问题：
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？
8 18
2 2 3 2 （化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律）
5 2
8 18 dm 8 18 5 2 7.5 ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
m n
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x吨 列火车共运多少？2x _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
13
2 4 2
2
5 2
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
F
T
练习
判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3 5;
F
22
3
2 2 2;
F
8 18 4 9 2 3 5 2
F
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3） 2 2 3
5dm 7.5dm
18dm
8dm
18 3 2 5
思考:二次根式的加减的一般步骤.
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约 需要多少米钢材（精确到0.1米）?
B 2m
AD 4m 1mC解： 根据勾股定理得：
AB AD2 BD2 42 22
20 2 5
BC BD2 CD2 22 12 5 所需钢材的长度为： AB BC AC BD 2 5 5 5 2 3 5 7 13.7 答：大约需要13.7m的钢材.
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 3
2
2 (2) 3 ,5 3 ,6 3 ,17 3 , 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18, 32, 2
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
32 5 3 5 3 3 5 2 x 1 3. 9 x 6 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x
12 20
4 3 x
2.
1 解： 1.2 12 6 3 48 4 3 2 3 12 3 14 3 3
3 5 2
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
48 12 2 3 4 3
1 2
18 3 2 45
2 3 3
50
5 2
1 1 3
32
2 2
4 2
3 5
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次 根式前面的因式及符号无关．
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减法的步骤：
交流 归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
2.计算：
先化简,后合并
(1) 4 7
( 2) 2 5 5
(1)2 7 6 7
(2) 80 20 5
(3) 18 ( 98 27 )
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
1 (4)( 24 0.5 ) ( 6) 8
(3)10 2 3 3
1 (4)3 6 2 4
注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 2 与 3 )不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么? F 1 8 3 8 3 ;
2
33
4 9 4 9;
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 2. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
3.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
练习3：
如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度 d(两圆半径之差).
解：R r S
s
18
8
2
3 2
2 2
R-r
答：圆环的宽度 d为
2
cm.
反 馈 练 习
练习1：
(1) 18 8
3
8 18 4 2
例1计算： （1） 12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
2
3
1
12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
问题：
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？
8 18
2 2 3 2 （化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律）
5 2
8 18 dm 8 18 5 2 7.5 ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
m n
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x吨 列火车共运多少？2x _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
13
2 4 2
2
5 2
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x