2019版一轮优化探究文数练习：第六章第二节等差数列及其前n项和含解析

一、填空题

1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．

解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，

∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，

即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13. 答案：13

2．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．

解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，

∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．

答案：2

3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.

解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2

＝8×182＝72. 答案：72

4．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9

等于________． 解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553

. 答案：3553

5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16

解析：由a n ＝⎩⎨⎧ S 1， n ＝1S n －S n －1

， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16

答案：8

6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.

解析：由题意得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎨⎧

a 1＝2，d ＝2.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .

答案：2n

7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12

＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2

＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2

＝9d 30d ＝310.

答案：310

8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．

解析：由题意得⎩⎨⎧

a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10

，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．

答案：4或5

9．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．

解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .

答案：n 2＋n

二、解答题

10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.

(1)求a 2及{a n }的通项公式；

(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .

解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，