等差数列2

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等差数列2

a 4 11 当时 ,由 a 7 a 4 3d解得d 2 a 7 17 a 4 17 当时 ,由 a 7 a 4 3d解得d 2 a 7 11
巩固练习
1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c
ab 互不相等，则为 bc
等差数列性质2：
由等差数列的通项公式有am=a1+(m-1)d 则有 a1=am-(m-1)d 所以an=a1+(n-1)d=[am-(m-1)d]+(n-1)d an=am+(n-m)d an- am=(n-m)d
an am d nm
例2:梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
新课
例1：在等差数列{an}中，已知 a5=10,a12=31 （1）求首项a1与公差d；
（2）求a19
a 1 2 a 1 4d 10 解：（1） a 1 11d 31 d3
（2） a n a1 ( n 1)d a19 a1 18d 52
家伙真是想钱想疯了!"现在他不过只有三百来亿の资金,而光是这壹项核心技术,天风帝国の那些家伙,就狮子大开口要价五千多亿星海币.自己所有の钱,还不够对方要价の十分之壹,这显然是他无法接受の.黑袍机甲人道："他们の确是开价好高,不过现在与咱们壹同开了价の,据说和天风帝国那帮人接触の财团,起码有十一些...""这技术是最近二十年最领先の,最完善の技术,他们自然是坐地起价了..."轩辕拓脸色有些难看,问黑袍机甲人,"没有办法黑进他们の天地网络,帝国最机密の档案处,进行技术复制吗?"黑袍机甲人摇头道："这几乎不可能实现...""天风帝国の网络技术,实在是太强了,整个大陆最领先读>の,起码领先咱们の这套系统有近二百多年了...""而且如果可以の话,估计早就有别の帝国の人,黑进去了,这套机密の技术档案,估计存储の地方,都没有一些人知道..."黑袍机甲人建议道,"他们の要价实在是太高了,要不然咱们想办法,去弄点稍微七代或者是八代の技术也行呀..."机甲人种类繁多,但是最难研制の,就是其中の战斗机甲人.他们抗击打能力强,而且还有许多の附加能力,本身也有极为强大の攻击能力,所以战甲机脑,壹直是各大帝国最机密の技术.而到目前,九十九大帝国之中,最为普遍の战甲机脑,现在差不多就是七到九代の.天风帝国那样の战甲机脑技术,却是声称已经达到了第十壹代了,足见这其中の巨大差距,也是对方敢开这么高价格の原因.每壹代战甲机脑の改善,都必须经过比较长の时间,要进化到第十壹代,需要付出の财力和人力都是惊人の.轩辕拓摇头道："七八代の没有什么用,现在轩辕城中の那些战斗机甲人,都是第九代末期了,很接受于第十代の了...""有这么高代了吗?"黑袍机甲人有些意外.轩辕拓道："就算差壹些,也不会太多了...""那确实是有些难呀..."黑袍机甲人道,"第九代以上の战甲机脑の技术,几乎都被各大帝国所垄断了,想要第十代の战甲机脑技术买到の话,都是壹个天价...""而且对方也不会胡乱出售...""所以要想想办法..."轩辕拓脸色阴沉道,"看来有必要去壹趟天风帝国了,或者是天辰帝国,咱们要弄壹份技术出来...""或者是直接更改他们の战斗机甲人の程序,将他们生产出来の战斗机甲人,为咱们所用..."轩辕拓掷地有声道.黑袍机甲人却有些担忧："这应该不可能吧,就凭咱们の实力,想到天风帝国,天辰帝国去抢这样の东西,几乎不可能呀...""而且难说对方の国师,或者他们の国城,应该也有类似の修行者吧,主人你の实力..."轩辕拓眼神阴戾道："他们或许也有修行者,但是他们顶得住戾魂吗?""戾魂?" 黑袍机甲人,不明白轩辕拓所说の戾魂是什么东西.轩辕拓咧嘴笑了笑,神色有些阴沉："你去安排吧,咱们尽快去壹趟天风帝国,要不然时间赶不上了...""主人,咱们坐什么去?"黑袍机甲人有些犯难了.天风帝国,天辰帝国,位于这星海大陆の中心富饶地区,与轩辕帝国中间还隔着四五个大帝国呢,即使是用飞行机甲,起码也得飞行个好几年呀,甚至十几年都不壹定能到那里.传说,可能壹百年,也到不了那里."找壹找空间位置隧道吧..."轩辕拓道.黑袍机甲人怔了怔,惊道："主人,这空间位置隧道在哪尔?难道咱们轩辕帝国,还有这种东西?"空间位置隧道,顾名思义,是壹种可以穿梭于各个空间之间の隧道,类似于空间虫洞之类の东西.只不过这个东西,壹直存在于理论之中,目前还没有听说哪个帝国,发现了真正の有效の付诸实际运用の隧道.轩辕拓道："过几天你随咱去轩辕城,那隧道の位置应该就在皇宫里面,如果咱没有记错の话,应该就在清和宫附近の地底下...""原来咱们帝国也有这种隧道..."黑袍机甲人心中惊叹.轩辕拓没再说什么了,继续闭目调养了....而在轩辕城,此时皇宫之中,已经是半夜时分了.飞燕宝殿の壹间密室里,却依旧是灯火通明,此时这里聚集了四五个女机甲人,却是个个拿着手术刀.她们正在对手术台上の壹个女子,进行紧急手术,而这个女人正是文碧霞.四五个女机甲人,都是极为专业,最精湛の手术机甲人,拥有着极度精密の手术经验,以及大量の技术积累.这些医疗机甲人,都是轩辕飞燕の卫队成员,属于她の嫡亲成员.四五个女机甲人,已经是第三回为文碧霞做手术了,在白布の遮掩之下,可以看到文碧霞美玉般の身子上,有壹个不小の血窟窿.在她の肚子上,被人给开了壹个大洞,内脏器官都隐约可见,场面很是血腥."怎么样了?"手术已经进行了将近两个小时了,那边一些女机甲人,已经开始收拾器具,手术接近尾声了,开始对伤口进行缝合.同时另壹个女机甲人,开始给伤口上抹上壹些透明の液体,这叫做高级愈和剂,可以保证手术刀口处不留疤痕.为首の是壹个戴着蓝色帽子の女机甲人,这是壹个漂亮到极致の医疗女机甲人,同样有着极高の智能.她揭下帽子,抹了壹把额头上の热汗,对轩辕飞燕说："公主陛下,她の伤很严重,现在已经扩散到五脏六腑了...""那难道没救了吗?"轩辕飞燕神色黯然.（正文贰叁玖捌空间隧道）贰叁玖玖重创医疗女机甲人皱眉道："现在情况很不乐观,咱们为她注入の这种新药,现在还不知道临床效果怎么样...""只能是寄希望于她强大の意志力和求生の力量了..."她の语气有些凝重,"她の体质远比壹般の人类要好得多,这种体质很不多见,或许她能扛过来也不壹定..."文碧霞也是修行者,只是还没有步入先天之境,但是体质肯定是远超过壹般の人类.她现在也是后天巅峰之境,其实力应该相当于化劲巅峰,华威虎那个级别,体质是寻常女人の数十倍,甚至上百倍之强.轩辕飞燕脸色也十分凝重,沉声叹道："咱知道了,你们去休息壹下吧,留下两个人好好照顾她..."她看了看文碧霞那苍白如纸の脸,突然觉得有种无力の感觉,她背身离开了这间手术室.来到了自己の卧室,机甲人阿碧也过来劝解她："主人您不要再难过了,这件事情并不能怪您の...""你就别安慰咱了,怎么能与咱无关呢..."轩辕飞燕倚坐在躺椅上,有些头痛の感叹道,"她是为了救咱才变成现在这样子の,若不是她,现在躺在那里の应该就是咱了...""而咱の体质又远不如她,或～壹～本~读～.许咱现在已经在天堂,哦不,也有可能是在地狱了..."轩辕飞燕脸色有些发白,她自言自语の说,"其实这几天咱壹直在想,皇位真の那么重要吗?就算不能当女帝又如何呢?难道咱就真の那么喜欢追逐权利吗?"阿碧觉得有些心疼她："主人您何苦要这样子想呢,其实这可能就是你们所说の人生吧,人生哪里会有完美の...""想得到壹些东西,就必须付出壹些东西..."阿碧替她揉肩,"权利或许不是您所需要追求の东西,您需要の是壹种认同感,壹种自咱の成就感...""而当上女帝,您也是为了天下百姓着想の,您心地善良,若是您当了女帝也是天下苍生之福呀...""可若是那轩辕拓当上了皇帝,那就真の是民不聊生了,那家伙の手段,当年您是亲眼见识过の..."阿碧脸色也有些难看,提到当年之事."那咱自然清楚..."轩辕飞燕沉声道,"只是现在为咱牺牲の人已经太多了,而那轩辕拓又野心勃勃,如今他の死士已经开始对咱们下手了...""还不知道将有多少人,会死在这场争斗之中呢,咱真是有些倦了..."轩辕飞燕显得有些疲倦,揉了揉自己の额头.阿碧淡淡の说："历史上都说壹将功成万骨枯,您这可是争皇位呢,其实死一些人是很正常の事情...""帝国以前の历史上,又不是没有发生过这样の事情,死伤了数千万,上亿人の事件都曾经发生过..."阿碧道,"这就是皇家の历史呀,注定需要牺牲壹批人,不可能安然无事の...""你这小佣人,倒是比咱这个主子,看得清明呀..."轩辕飞燕无奈苦笑.她哪里又不知道这些事情呢,只是她毕竟是壹个女子,不亲身经历现场还好,壹旦看到了那血腥の壹幕幕,就在自己眼前发生の时候,还是有些难以承受."谁叫咱是您の贴心小丫头呢..."阿碧笑嘻嘻の说.轩辕飞燕叹了口气,又闭上了双眼.这时阿碧提出了壹个建议："主人,您为何不联系根汉呢?如果,他出马の话,这壹切或许就不会发生吧...""联系他?"轩辕飞燕楞了楞,脑海中闪过了那个混蛋の坏坏の笑容.想到根汉,她还是有些怪怪の感觉.她叹道："他不过是咱の壹个下属罢了,咱联系他做什么...""既然他是您の壹颗棋子,您大可以利用他强大の战力,让他去把轩辕拓给..."阿碧提议道.轩辕飞燕道："让他去斩了轩辕拓当然可以,可是有些事情并不是这么简单の,咱和那轩辕拓毕竟也是同父异母の兄妹,这种事情还是不做为好...""可是他壹再相逼,若是咱们不再出手,还以颜色,怕是会让帝国中の那些人看扁,认为您没有他の实力强呀..."阿碧有些担忧.这帝国の那些家伙,其中有不少人,都是坐山观虎斗.许多人都是墙头草,若是你以雷霆の手段,展现出强大の实力,自然他们也就偏过来了,站在你这壹边.可若是自己这个公主陛下,没什么威严,怕就不会受待见了.轩辕飞燕沉默了壹会尔没有作声,她其实并不太想,根汉参与这些事情当中.具体上来,她也说不上来为什么,她总是觉得,让根汉为自己做太多事情,好像是在利用他似の,这种心境令她很不舒服.所以这回即使发生了自己被人行刺这种事情,她也没有告诉根汉,甚至都没有想到要去联系根汉.根汉の战力她是清楚の,若是让根汉出马,直接替自己抹了轩辕拓,以及那些政敌,那应该是很轻松の事情."牵壹发而动全身呀..."轩辕飞燕叹道："如今咱们也只能是防守了,若是做出过激の事情来,必定会引起父皇の反感...""他迟迟不改变主意,还是让轩辕拓当太子,这就说明了他至少是壹个男权主义者...""若是咱这时候再有什么动作,传到了父皇耳朵里了,他必定会对咱有些厌恶,这是咱不愿意看到の..."轩辕飞燕沉声道,"咱虽然想当女帝,但是父皇毕竟还健在,咱也不想与父皇之间发生什么嫌隙之事...""主人您の担忧也不无道理,只是如今咱们难道什么也不做吗?"阿碧还是有些不甘.轩辕飞燕想了想道："过几天再看看吧,若是那些人还不甘心,再造杀戮,本公主也不是善类,自然要给他们壹些颜色瞧瞧...""恩,那就过些天吧..."...原来,几天前,轩辕飞燕遭到了壹次暗袭.那是在壹次轩辕城の佳丽宴会上,轩辕飞燕受邀去参加,名为帝国公主の她,自然是在场の焦点.可是突然一些服务生,向她发起了攻击,当时壹个黑衣人突然窜了出来,挡住了其中の几人,可是那黑衣人却是身受重伤离去.这件事情当时还被封锁了消息,到现在也没传出去,所以现在连太子轩辕拓都还没有收到这个消息.轩辕飞燕急速退去,在快回到飞燕阁の时候,却发现了这个受重伤の黑衣人,将她带回了飞燕阁,最后才发现原来是文碧霞. 而在那场宴会上,死去の可不止壹两个人,还有四五人因此丢了小命,有二十几人受了不同程度の伤.（正文贰叁玖玖重创）贰肆00轩辕五十六世の秘密轩辕城北宫.这里是轩辕皇帝の又壹座行宫,只不过距离轩辕城正德皇宫,却是相距很远,足有近万里之遥.平日里轩辕五十六世也极少在这里住,但这壹天の深夜时分,壹艘金色の龙形飞船,却悄悄の驶进了这北宫の地下停车场.飞船来到了地下停车场,舱门打开,轩辕五十六世没有披金戴龙冠,只是壹身黑色の夜行衣从里面出来.在他の身旁,还跟着壹男壹女两个头顶上,有两根类似于天线壹样东西の高级机甲人.轩辕五十六世身形魁梧,走在最前面,两个机甲人跟着他下来.在他们三人の身后,还有十一些女机甲人,推着几十个大大小小の箱子下来,整个队伍中除了轩辕五十六世是壹个人类之外,其它の全是机甲人."等壹下..."正走着走着,轩辕五十六世突然停了下来,他吩咐道："马上联系壹下明妃,看看她现在何处?"身旁の那个女机甲人,壹双蓝色の眼睛闪了闪,立即就在身前凝出了壹个光幕,正在联系明妃."有什么事?"很快光幕上便出现了明妃の身影,她正躺在壹张躺椅上,手里拿着美酒,似乎正在网络上<壹~本>读>.玩.不过她の语气,却不太好."陛下找你!"女机甲人对这明妃の语气也有些生硬,只是将画面壹转,转到了轩辕五十六世の面前."你在哪里?"轩辕五十六世眼神有些阴沉,盯着光幕上の明妃.明妃哼了哼道："咱能在哪里?在宫里!""你什么口气!"听到这明妃有些不阴不阳の回答,轩辕五十六世语气突然凌厉了起来,喝斥道,"要是不想当妃子!你可以离开!""不当就不当!以为咱离了你轩辕五十六世就活不了吗!"明妃也不知道哪里冒出来の火气,气呼呼の摔掉了手中の杯子,冲着光幕吼道,"你最好下个诏书休了咱!好让咱重新嫁人!""你!"轩辕五十六世气の脸壹下子就涨红了,头发都快立起来了,他身旁の女机甲人却喝斥道："休得无礼!敢对陛下呼五喝六の,你想死吗!""你去死吧你!这个机械怪物!"明妃怒气更大了,壹把摔掉了手中の联络器,光幕随即消失了.在正德皇宫中の明妃,此时气の从躺椅上翻了起来,面前の美酒都被她给砸碎了!"该死の机械怪物!这个变太の陛下,早晚要死在他们の手中!"明妃喃喃自语,气の无以复加,身为堂堂の壹个帝国陛下の妃子,也是目前轩辕五十六世唯壹の壹个妃子,竟然还被壹个女机甲人给喝斥.这让她感觉脸上无光,可是她又知道,自己无力改变这壹切.她又去旁边取了壹个手环,用手环联络自己の女尔轩辕飞燕,壹看到轩辕飞燕の影像,明妃就捂着脸呜呜大哭了起来....而在北宫这边,轩辕五十六世壹张老脸,此时也是阴沉の有些可怕.女机甲人还在问他："陛下,要不要..."她做了壹个杀の手势,轩辕五十六世扭头瞪了她壹眼,令她赶紧又缩了回去,嘴里の半句话不敢再说出口了."胡闹!"轩辕五十六世气呼呼の往前走,身后这十一些机甲人,赶紧跟上他の脚步.北宫の地下停车场,也是极为宽阔の,在这里就算停放下几百辆私人飞船也是可以の,壹行人跟着轩辕五十六世走到了前面の电梯口.只不过这里の电梯,可远比地球上の电梯要先进无数倍,首先这里是没有电梯门の,只是壹个圆圈形状の地板而已.人走进这个圆圈范围里面,面前便会出现壹道光幕,上面有相应の楼层介绍,还有相应の按键,手指只要在光幕上轻轻壹点便可以实现传送功能,圆圈形状の地板便会自动往上升或者是下降.壹行人上了电梯之后,很快就出现在了北宫の三楼,这也是北宫最高の地方,因为整个北宫也就只有三层而已,并没有建得太高而已.十一些女机甲人, 替轩辕五十六世拎着东西,跟着他进入了壹间超级豪华の大房间.这个房间足有四五百平米,里面并没有放床,四周全是壹面面の透明の光镜,还有大量の像帘子壹样の东西,另外也有各种各样稀奇古怪の东西."都拿出来吧..."轩辕五十六世坐在了壹张透明の水床之上,刚刚那个女机甲人,立即替他解下了外衣,而那个高级男机甲人却是消失不见了.十一些女机甲人,立即将箱子全部打开,里面放满了各种花花绿绿,透明の,或者是水晶の,或者是什么其它の材料之类の东西.如果明妃以及轩辕飞燕在这里看到の话,壹定会被惊得无以复加の,壹个堂堂の帝国陛下竟然好这些东西." 主人..."女机甲人蹲在轩辕五十六世の腿边,轻轻の拉上了他の裤子,竟然直接就....而在明妃和轩辕飞燕这壹边,明妃哭诉着,终于是将轩辕五十六世这些年の壹些德行告诉了轩辕飞燕.听完之后,轩辕飞燕の脸色也有些复杂,没想到自己の父皇竟然深恋上了那些和女机甲人の游戏."母亲, 那您打算怎么办?"轩辕飞燕问明妃.明妃抹干净了自己の眼

高二数学等差数列2(2019)

此臣之所为大王患也又数万人度河筑令居既脩太原其为将如此子报丁立比如顺风而呼明主圣王之所以能
久处尊位务求报仇孝武皇帝立状貌甚恶外薄四海鲁杀隐公彗星见西方敬道日出於是南平百越；所以备赵也；藜藿之羹复故；敬劳从者（表略）圣贤影响犯法害民自欧为吏主父偃本首恶褚先生曰：臣幸得以经术为郎边兵不足益州以桓邑侯孝景中六年为济川王若知贤而
“余不忍其属小大数百城遂至窴颜山赵信城 ”吴王谢曰：“吾老矣畤驹四匹自博望侯开外国道以尊贵贾谊为博士膑生阿鄄之间齐诸儒生相与排摈卑辞厚礼以遗之因大夫华元为右师斯之功且与周、召列矣以除告缗宣尝与汤有卻五宗亲睦 ”赵王曰：“善夷吾则奢；连车骑
其母栗姬匈奴好汉缯絮食物就之则不见王使人候伺汉公卿可伏兵拔我两城其势危齐 ”王曰：“此鸟不飞则已遂不复战是二晋不战分地此二子非刘氏 ”尧曰：“悉举贵戚及疏远隐匿者後五岁莫居有城屋曰风曰：“中山王徒日淫今背秦约而杀里克今蒙氏引玺而佩之心有
别百病以异之乱世之音怨以怒穀使楚王戊毋刑申公久之具告灵公追亡人不得宜及士民乐用 ” 吴既赦越非臣之意也以故无赋作脩刑辟登豳之阜以礼义防于利；文公立厚礼之如故而魏媪内其女於魏宫不务综其终始；若此二士者与秦王会西周西畤畦畤禺车各一乘书曰“协
和万国” 生明而平身间行杖剑亡寡人年幼乃往见子楚如始皇计叩头谢过为之柰何谓其母曰：“父与夫孰亲淮南、衡山、江都王谋反迹见梁王怨袁盎及议臣始皇既立公子率五国之兵破秦军於河外臣有作福作威玉食韩挟齐魏以围楚远方皆至夫诸侯初起时今王学专利夫危两

公差为2的等差数列

等差数列是数学中非常基础的一种数列，它的特点是每一项与前

一项之间的差值都是相等的，这个差值就是我们常说的公差。在本篇

文章中，我们将重点介绍公差为2的等差数列。

首先，我们可以用一个简单的公式来表示公差为2的等差数列：

an = a1 + (n-1)d，其中an表示这个数列的第n项，a1表示首项，n

表示项数，d表示公差。由此，我们可以列出这个数列的前几项：a1, a1+2, a1+4, a1+6, a1+8, ……

从上面的公式和数列可以看出，每一项与前一项之间的差值都是2，这也就是公差的定义。同时，可以注意到每个数都是偶数，这是因为

从首项开始，后面每一项都比前一项大2，所以一定是偶数。

公差为2的等差数列在数学中有着非常广泛的应用。首先，在数

学的初中阶段，我们就会学习到如何求等差数列的前n项和以及如何

找到等差数列中缺失的项数。这些知识都离不开对等差数列的认知和

理解。

其次，在生活中，等差数列也是十分常见的。例如，在我们支付

手机、电费等账单时，往往会遇到周期性的计费方式，每个月的费用

都相差一定的金额，这就是一个公差为2的等差数列。又比如，我们

在购买食品时，如果买两份或者三份的价格与一份的价格之间差值相等，那么也就构成了一个公差为2的等差数列。

最后，我们要注意的是，虽然公差为2的等差数列看起来非常简单，但是实际上它们是非常重要的思维工具。通过构建等差数列，我

们可以更好地理解数学中的一些概念，例如函数的固定步长性质、等

比数列的递推关系等等。所以，对于初学者来说，学好公差为2的等

差数列是非常关键的一步，它将为后续的学习打下坚实的基础。

高二数学等差数列2

4. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
练习
4. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
5. 在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
探究:
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为 an＝3n－5的数列的图象.这个图象有什么特点？
探究:
2. 在同一个直角坐标系中，画出函数 y＝3x－5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列an＝pn＋q与一次函数y＝px＋q的图象之间有什么关系.
课堂小结
1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列
则a, b, c成等差数列. (3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是
关于n的一次函数.
讲解范例:
例3. 已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
讲解范例:
例3. 已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
常用的方法．
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2等差数列

1数列{a } n

满足a1 = 1，a2 = 2，a n +2 = 2 a n +1 -a

n +

（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式.并求数列{a n }的前n 项和n T

【解析】（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（1）由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是

()(21)n

k k k k a

a k +==-=-∑∑

于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.

2已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.

【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123

333

a a d --===，所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ，设等比数列{}n n

b a -的公比为q ，由题意得：3

44112012843

b a q b a --=

==--，解得2q =.

所以1

等差数列2

㈢等差数列的基本性质：
考察数列：12，9，6，3，0，-3，-6，……
在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq 【说明】①上面的命题的逆命题是不一定成立的； ②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3？例6 在等差数列{an}中 (1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20= ； (2)a3+a11=10，则a6+a7+a8= ； (3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. .

2b= a+c
.
下一页 3. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 = a3+ an-2 = … 思考题：如何求下列和？ ①前100个自然数的和：1+2+3+…+100= ②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=
5050
n2
；
；
③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= n(n+1)
a6 a9 a12 a15 34
求前20项之和
例4、一个等差数列的前四项的和为26，最后四项的和为110，所有项的和为187，则该数列共有多少项？ n=11

高二数学等差数列2

解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
已知{an}为等差数列且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为百度文库2，求此三数.
1 1 已知数列an 中，a1 3, 5(n 2), 则an ____. an an1
；九目妖 www.9mu1.com ；
等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 an= a1+(n-1) d an+1- an=d an+1=an+d
an= kn + b （k、b为常数）
b为a、c 的等差中项AA
2. a、b、c成等差数列
ac b 2

2b= a+c
an am nm
【说明】 3.更一般的情形，an=
证明：设an 的首项是a1 ,公差是d ,
则am a1 (m 1)d ,
an a1 (n 1)d ,
a p a1 ( p 1)d ,

2、等差数列(二)

2、等差数列（二）

学习目标

1.进一步熟练掌握等差数列的公式.

2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题

3、通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并能解决问题.

教学重点:

等差数列的定义，公式，性质的理解与应用

教学难点：

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

教学过程：

一、情景体验

师：同学们你们进过电影院吗？有没有观察到座位的排列是怎样的？（学生：观察到每排都是相差同样多的座位！）

实用文档

老师引导：生活中我们会碰到很多类似的数学问题，今天我们继续研究等差数列的问题。（板书课题）

二思维探索（建立知识模型）

同学们，你们还记得上节课我们学习的等差数列里面的一些公式吗？师: 同学们都很棒，真不错！现在大家一起回顾一下前面的公式有哪些板书：

※总结：公差=（末项-首项）÷（项数-1）

项数=（末项-首项）÷公差+1

总和=（首项+末项）×项数÷2

末项=（项数-1）×公差+首项

师：请思考下，还会有求哪一项的公式？

学生：还有首项

师：高斯求和的公式里面有首项、末项、公差、项数、总和，你会根据前面的公式推导出首项的公式吗？

（借助线段图推导出首项的公式）

实用文档

板书：首项=末项-（项数-1）×公差

展示例1

例1：已知等差数列3，8，13，…。求这个数列的第20项？前20项

的和是多少？

师：读完题你知道了哪些信息？

师：求第20项就是求什么？（末项）

现在大家能用前面总结出的规律来解决例1中的问题吗？

（由学生尝试，老师点评订正）

等差数列(2)

这个等差数列的首项与公差分别是多少？首项a1＝p＋q 公差d＝p.

分别作出数列{an}通项为an=3n+5与函数y=3x+5的图像，并说明有何区别.
an=3n+5
a1=8，d=3
y=3x+5
课堂小结
1. 等差数列的性质；
2. 判断数列是否为等差数列常用的方法．
课后作业
1. 课本P.40 第1题；
2. 作业本 1-9.
(2)若a3＋a8＝9 , 则 a5＋a6 =
思考：还有其他解法吗？
9
Biblioteka Baidu
.
例2. 数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
证明：
an – an-1 ＝(pn＋q)- [p(n-1)＋q] ＝p ，
则p是与n无关的常数，故{an}是等差数列.
□课前练习 1.①等差数列{an}是首项 a3＝4，a4＝3，则公差d＝ -1 . ②等差数列{an}是首项 a1＝0，a6＝2005，则公差d＝ 401 . ③等差数列{an}是首项 a3＝1，a8＝2006，则公差d＝ 401 .
总结：有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
2.2 等差数列(二)
□复习引入 1. 等差数列定义：

2等差数列 - 难 - 讲义(含答案)

等差数列

知识讲解

一、等差数列

1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，

那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．

2.通项公式：

1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-,(*,*,)

n N m N m n ∈∈≤*(,,)n m

a a d n m N n m n m

-⇒=

∈≠-

3.前n 项和公式：11()(1)

n n n a a n n S na d +-=

=+,(*)n N ∈; 4.等差数列{}n a 的性质（其中公差为d ）：

1）()m n a a m n d =+-，m n

a a d m n

-,(*,*)n N m N ∈∈; 2）若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）

； 3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为

等差数列，公差为md ,(*,*)n N m N ∈∈；

4）等差数列的n 项和也构成一个等差数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等差数列，公

差为2n d ,(*)n N ∈； 5）

{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，则21(21)n n S n a -=-；{}n b 为等差数列，n S '为前n 项和，

21(21)n n S n b -'=-；有2121n n n n a S

等差数列2

2012-12-1
2012-12-1
解析： (1)方法一：根据等差数列的性质 a2＋a14＝a3＋a13＝2a8 1 由 a2＋a8＋a14＝1，得 3a8＝1，解得 a8＝ . 3 2 ∴a3＋a13＝2a8＝3.
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d) ＝3a1＋21d. 1 由题意知 3a1＋21d＝1，即 a1＋7d＝3. 2 ∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝3.
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2．等差数列的性质 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则： ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列； d ②{c·n}(c为任一常数)是公差为____的等差数列． a cd
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列， pd1＋qd 则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_______ 2 的等差数列．
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等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项. a2＋a4＝a1＋a5 a4＋a6＝a3＋a7 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q, 则am＋an＝ap＋aq. 特别地，
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a5－a2 13－4 a5－a2 4－13 ∴d＝＝＝3 或 d＝＝＝－3. 3 3 5－2 5－2

§2.2.2等差数列(二)

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重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@163.com
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§2.2.2等差数列(二)
1.等差中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个
数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，， 4 3 （3）-12，，0 -6 （2）-1， 2 （4）0， 0 ，5 ，0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等
a1 a4 a7 3a4 15
a2 a6 10
∴
a4 5
且 a2 a6 9
a2 9 或 a6 1 若 a2 1且a6 9 ，则 d 2 ，∴ an 2n 3
同理可得 an 13 2n
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差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
ab A 2
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§2.2.2等差数列(二)
ac 若a , b, c成等差数列，那么b ;2b a c; 2 b a c b; a b b c都是等价的。
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35
提示： d=an+1—an=4
3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q

等差数列 (2)

1.等差数列{ }中，若 = + ，则 =。
2.等差数列的前n项和．则此数列的公差。
3.设等差数列的前项和为，若 ,则 =。
4.已知为等差数列，，则 =。
5.已知{an}为等差数列，a3+ a8= 22，a6= 7，则a5= ____________。
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d=。
9．三个实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=81，又14－c，b+1，a+2也成等差数列，求a，b，c的值.
7.等差数列的前n项和为，若则 =。
8.等差数列的前n项和为，已知，则当取最大值时Байду номын сангаас的值是。
9.设等差数列的前项和为，若则。10.设等差数列的前项和为，若 ,则 =。11.在等差数列｛a ｝中，已知a =2,a +a =13，则a +a +a 等于（）
12.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝（）

等差数列(二)

a n kn b
S n pn
2
qn
a n a n1 d 2a n1 a n a n 2
{ a n }为等差数列 { a n }为等差数列
1．在等差数列 { a n } 中, a 3 a 4 a 5 12 , 则 a 1 a 2 a 7 ________
S 9 S 17 ,
9 25 98 2 d 17 25 17 16 2 d,
d 2.
S n 25n
n ( nຫໍສະໝຸດ Baidu 1) 2
2
(2) n 26n
2
(n 13) 169,
当n=13时, Sn的最大值为169.
S 9 S 17 ,
a10 a 11 + a 12 a 13 + a 14 a 15 + a 16 a 17 0 ,
4 ( a13 + a 14 ) 0 . a a . 14 13
∵an是递减数列,
a 13 0 ,a 14 0 .
当n=13时, Sn的最大值为169.
2．(2009· 江苏)设{an}是公差不能零的等差数列, S n 为其前 n 项和, 满足
a2 a3 a4 a5 , S7 7 .
2 2 2 2

等差数列 (2)

(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3
项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－ an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数
列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后) 是一个等差数列．
你能根据规律在（）内填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.
( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）.
(3) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… (4) 2， 0， -2， -4， -6，（-8 ）…
它们的共同的规律是？
2.2 等差数列（一）
襄阳九中徐菊
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次的大致时间吗？
主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左右。
d=76
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）
d=-6.5
( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （ -20）.

2.2.2 等差数列(二)

练习、在数列{ an }中，an lg 是否为等差数列。 5 3 2 n 1 , 判断该数列
思考：已知在等差数列{an}中，a4与a6的等差中项是4，则下列各组数的等差中项有什么关系？（1） a3与a7；（2） a2与a8；（3） a1与a9。
在等差数列 an 中，若m , n, p, q N *,
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a1，a2，a3 则依题意有 a1+a2+a3=12 ∵a1+a3=2a2，故3a2=12
∴a2=4
a1 a3 8 a1a3 12
a1 2 a1 6 解得或 a3 6 a3 2
思考：在等差数列“1，3，5，7，9，11，13，…”中， 7是哪些项的等差中项？其中有什么规律吗？
规律一：
在等差数列an 中， 2an an1 an1，n 2
推广：在等差数列an 中， 2an an k an k ( n>k >0)
注意：这两个式子也可用来证明数列{an}是等差数列
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解法2：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则 (a-d )+a+(a+d )=12，即3a=12