电像法
电像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
高中物理竞赛难点专题之电像法(共49张PPT)
q
q1 R
R
E 4 0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 q 吗? 为什么？
镜像法小结
镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使 计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外 的区域。叠加时，要注意场的适用区域。
dq
dq
Ox
L
解:
dq dx
2L x 3L x
dq dx
dF
dxdx 40 (x x)2
F
3L
dx
2L
L 0
2dx 40 (x
x)2
2 4 0
ln
4 3
例题4. 球形金属空腔内外半径 a < b，带电 Q，腔内点电荷q，距球 心 r < a。求球心 O 点电位。
镜像法
几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应电荷 q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q
非均匀感应电荷产生的
q′
电位很难求解，可以用
等效电荷的电位替代
非均匀感应电荷
1.平面导体的镜像
镜像法最简单的例子：接地无限 大导体平面上方一个点电荷，根 据唯一性定理，导体平面上半空 间的电为分布应满足：
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )]
电像法
解题：去掉导体圆柱，用原线电荷和镜像线电荷求 解导体圆柱外区域场（注意不能用原电荷和镜像电 荷求解导体圆柱内区域场）。 求解镜像电荷的大小和位置： 在圆周上取两点（通过镜像电荷的直径的两端点）， 因为圆柱接地，它们的电势必须为零，即
代入 的关系后，上面两方程解得 求解电势： 圆柱外任一点的电势为 其中 、 分别是 、 到场点的距离。
题目：半径为a的接地导体球，在 与球心相据 的 一点电荷 。 分析：在导体球内，距离球心 处 的 点处置一镜像电荷 来 代替导体球上的感应电荷，边界 条件维持不变，即导体球面为零 等势面。
解题：去掉导体球，用原电荷和镜像电荷求解导体 球外区域场（注意不能用原电荷和镜像电荷求解导 体球内区域场）。
求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去， 及像电荷 在原球面上任一点P处产生的电势应为 零，即
我们在球面上取通过 的直径的两端点，对于这两 点的电势为 以上两方程解得 求解电势、电场强度、感应电荷： 的表达式表示 对于球面上任一点P， 与 是相似三角形， 即 ，于是球外任意一点的电势为
采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与 则球外任一点 处有
这样可求得电场 的分量为
轴重合，
r=a时球面上的感应电荷密度为五、线源自荷对导体圆柱的镜像
题目：半径为a的接地导体圆 柱外有一条和它平行的线电荷， 密度为 ，与圆柱轴相距 为 。 分析：用位于导体圆柱内，距 离圆柱轴线 处的镜像线电 荷 代替导体圆柱上的感应 电荷，边界条件维持不变，即 导体圆柱面为零等势面。
电像法
--静态场边值型问题的解法
作者：姚晓龙（0710278）
一、什么是电像法?
电像法的思考
静电场边值的唯一性定理的证明实际上就是按照楼上的思路来的，即证明满足一定边值条件的两个解只能是相同的。
原电荷和像电荷是对称的吗?
只是满足一定的边界条件，不一定对称
可以先去看一下静电场的唯一性定理，电像法的原理来自于唯一性定理，由于在一定条件下电场被唯一确定，所以无论通过何种形式，只要满足唯一性条件相同，电场即可相同
电像法运用物理学中等效的思想，将ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体板，或者是接地导体板对电荷的作用等效为某点电荷对其的作用。电像可以理解为光学中的平面镜成像。通过作图，可以知道其一些特性。如果要严格证明，可以考虑高斯定理
貌似严格证明需要静电场边值问题的唯一性定理。另外像电荷并不一定是光学成像的那一点，它与光学成像原理没有关系。另外，电像法除了平面无穷大的导体板，还可以求解导体球、无限长圆柱形导体、导体椭球的某些静电场问题，以及某些存在电介质的静电场问题，但电像法不是万能的，求解静电场的方法还有分离变量法、格林函数法等其它方法，不过竞赛只要求电像法。
可以将景点平衡后的电荷分布以及电势与电像法的电荷分布与电势相减。减后导体外（因为相减）没有电荷，且导体电势为零（电势相减），有无穷远处电视为零，因为没有外电荷，导体外电势分布不存在极值，再加上无穷远和导体处零电势，故导体外处处电势为零，即等势，故外电场强处处为零，也就是说平衡后与电像法两种情况导体外部电场强度相减处处为零，因此两者外场强处处相等。
可以先去看一下静电场的唯一性定理，电像法的原理来自于唯一性定理，由于在一定条件下电场被唯一确定，所以无论通过何种形式，只要满足唯一性条件相同，电场即可相同
一般叫做静电学中的镜像法（即你说的电像法），理论上固然是满足唯一性定理，但是，形象的说，就是一种等效的方法。为什么等效呢？你不妨从相关的电场的电场线的具体形状就能够看出来。此法简单易用，是求解的诀窍。
《电动力学》电像法
– 电像法的概念和适用条件
–接地无限大平面导体板附近有一点电荷 – 导体球外（内）空间有一点电荷
一、电像法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
一般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是，在许多情 况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷 的情况，求解比较困难。 求解的困难主要是介质分 界面或导体表面上的电荷一 般非均匀分布的，造成电场 缺乏对称性。
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
山东大学物理学院 宗福建 10
《电动力学》第11讲
第二章 静电场（3）
§2.3 电像法
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月20日
山东大学物理学院 宗福建 1
上一讲复习
• • 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域 Vi ，每一个区域 的介电常数为 εi 。设V内有给定的电荷分布 ρ（x）。电势 φ 在均匀区域
程
2 /
山东大学物理学院 宗福建
6
上一讲复习
• 在第i个导体上满足总电荷条件
Qi dS Si n
• （n为导体面的外法线）和等势面条件 φ|s= φi=常量 • 以及在V的边界S上具有给定的φ|s 或 ∂φ/∂n|s 值。
山东大学物理学院 宗福建
7
本讲主要内容
电像法：在带电球壳外有一些电荷
电像法：在带电球壳外有一些电荷电像法是电学中的一个重要概念，它通过将电荷体系的作用效果等效于在带电球壳外部添加一些虚拟电荷，从而简化了电场计算的过程。
在带电球壳外部存在一些电荷时，可以通过电像法将这些电荷等效为在球壳外部添加一些虚拟电荷，使得问题具有对称性，从而利用几何关系和对称性简化电场的计算。
本文将从深度和广度的角度，对电像法这一重要的电学概念展开探讨。
1. 电像法的基本原理电像法的基本原理是通过虚拟电荷的引入，使得带电物体与带电球壳之间的电场问题转化为带电球壳外部的电场问题。
在带电球壳外存在一些电荷时，可以寻找适当的虚拟电荷，使得通过虚拟电荷和带电球壳所产生的电场在球壳外部满足电场边界条件。
通过这一等效原理，可以简化电场计算的过程。
2. 电像法的应用范围电像法在电学中有着广泛的应用范围。
在理论分析和实际计算中，涉及到带电导体球壳的电场问题时，可以采用电像法来简化计算。
在介电体中存在电荷或带电面时，电像法也可以用于求解电场分布。
3. 基于几何对称性的电像法在电像法中，几何对称性是一个关键的概念。
通过利用问题的几何对称性，可以寻找到适当的虚拟电荷位置，使得等效电场满足电场边界条件。
在球对称的带电导体球壳问题中，可以找到合适的虚拟电荷位置，使得球壳和虚拟电荷在球壳外部产生的电场满足边界条件，从而简化电场计算。
4. 电像法的优缺点电像法在解决电场问题时具有一定的优势。
它可以通过引入虚拟电荷，将问题转化为带电球壳外部的电场问题，从而简化计算。
利用几何对称性，可以找到合适的虚拟电荷位置，进一步简化计算过程。
然而，电像法也有着一些局限性，例如只适用于静电问题，无法解决涉及动态电场和电磁辐射的问题。
5. 对电像法的思考通过学习和理解电像法，可以深化对电场问题的认识，并掌握处理带电球壳和介电体中电场分布的方法。
对电像法的思考还能够提高问题解决的灵活性和创新性，培养独立思考和解决实际问题的能力。
电像法作为电学中的一个重要概念，在解决电场问题中发挥着重要作用。
带电球壳外有点电荷 电像法
带电球壳外有点电荷电像法一、概述电像法是一种用于求解电荷分布问题的数学方法，它利用电势和高斯定理，将一个复杂的电荷分布问题转化为一个简单的点电荷问题，从而求出所需的物理量。
在本文中，我们将介绍带点球壳外有点电荷的情况下如何使用电像法求解。
二、带点球壳外有点电荷的情况假设我们有一个半径为R、带有总电量Q的球壳，并且在球壳外部存在一个距离球心为r、带有电量q的点电荷。
现在我们要求出这个系统中任意一点P处的电势。
三、使用电像法求解1. 第一步：构造镜像点首先，我们需要构造一个与点电荷q相等但符号相反（即-q）的虚拟点电荷q'，并将其放置在球心O处（即与实际点电荷q距离为2R-r）。
这个虚拟电荷就是所谓的“镜像点”。
2. 第二步：计算镜像点对P处产生的势能接下来，我们需要计算镜像点对P处产生的势能。
由于镜像点和实际点之间距离相等且符号相反，所以它们对P处的电势贡献是相等且符号相反的。
因此，我们可以将它们的电势贡献合并起来，得到以下公式：Vp = k(q'/(OP') - q/OP)其中，k为库仑常数（k=1/4πε0），OP'表示点P到镜像点q'的距离，OP表示点P到实际点q的距离。
3. 第三步：计算球壳对P处产生的势能接下来，我们需要计算球壳对P处产生的势能。
由于球壳是一个导体，在静电平衡时其内部电场为零。
因此，在球壳外部任意一点P处，球壳对该点的电势贡献只与球壳上该点与球心O之间的距离有关。
具体而言，我们可以使用高斯定理将球壳上所有电荷抽象为一个总电量为Q、半径为R的虚拟点电荷Q'，并计算出它对点P的电势贡献：VP = k(Q'/OP)其中，Q' = -Q(R/(2R-r))。
4. 第四步：计算总电势最后，我们只需要将镜像点和球壳对P处产生的电势贡献相加即可得到总电势：V = Vp + VP四、总结电像法是一种非常有用的数学方法，它可以帮助我们求解各种复杂的电荷分布问题。
【勘探电磁场论】第二章 电像法
第二章 电像法
第二章 电像法
引言 第一节 平面界面电像法 第二节 球面界面电像法 第三节 柱面界面电像法 第四节 场分布的电像定性分析
地球物理场论II
第二章 电像法
引言
静电场 电位微分方程－－泊松方程、拉普拉斯方程
定解条件
“第一类边值问题” “第二类边值问题” “混合边值问题”
主要方法
称为介质 2对介质 1的反射系数
令
1 K12
2 2 1 2
称为从介质 1透射入介质 2的透射系数
地球物理场论II
第二章 电像法
最后得到解为
x0
U1
1
4 1
q r1
K1 2q ' r1'
x0
U2
1
4 2
(1 K12)q r2''
还可利用原电荷、反射像电荷、透射像电荷直接得出场强及
q2' K13q q4' K13K12q
2 1 3
q(1 K12) (1 K12)K13q (1 K12)K13K12q
返
回
地球物理场论II
第二章 电像法
一、接地导体球面外一点电荷的电场
如图，设接地导体球面半径为a，球外距球心d处有点电荷q，
试求球外空间的电位分布及球表面的总感应电荷。
K12q
(I)
q3' K122q
当 n且n为整数时，像电荷共有2n－1个。若n不是整数， 像电荷有无穷多，且将出现在1 内，不能用电像法精确求解。
地球物理场论II
第二章 电像法
四、两平行平面界面内一点电荷的电像法
电像法求半空间狄利克雷问题
电像法求半空间狄利克雷问题
半空间狄利克雷问题是指在半空间中，给定边界上的电势分布，求解边界之外的电势分布。
使用电像法可以简化求解这个问题的步骤。
电像法的核心思想是将半空间狄利克雷问题转化为一个更简单的问题，即将边界上的电势分布复制到整个空间上来，再加上一个电偶极子的电势分布，使其满足边界条件，并且在半空间空间中不存在电荷分布。
这样，原本的问题就被转化为了求解电偶极子的电势分布的问题，而电偶极子的电势分布可以用求解二维亥姆霍兹方程的方法来求解。
具体求解步骤如下：
1. 假设边界上的电势分布为f(x, y)，其中(x, y)为边界上的坐标点。
2. 将边界上的电势分布f(x, y)复制到整个空间上来，得到复制
后的电势分布F(x, y)，即F(x, y) = f(x, y)。
3. 在边界上选择一个电偶极子，电势分布为-2f(x, y)。
4. 将电偶极子的电势分布加到复制后的电势分布上，得到新的电势分布U(x, y)，即U(x, y) = F(x, y) - 2f(x, y)。
5. 对U(x, y)满足的二维亥姆霍兹方程进行求解，可以得到U(x, y)的解析表达式或数值解。
6. 根据U(x, y)的解析表达式或数值解，可以求解出半空间边
界之外的电势分布。
第二章电像法
U
q4 q2 o
x
q 4 0aU
试q求1 出求q 球外x≥0空间的电位分布的像电荷。（本问题类似于 地q下2 一充2ad电q1良导2ad体q球 m，q当考虑地面影响时，求地下电位分布）
q3 mq
q4
m2 1 m2
q
返 回
地球物理场论II
第二章 电像法
一、无限长介质柱外一无限长线电荷的电场
在无限大均匀电介质 1中有一介电系数为 2 的无限长电介质 圆柱，柱半径为a。距柱轴d处(d>a)有一与柱轴平行的无限 长线电荷，线电荷密度为 ，试求空间的电场分布函数。
利用场强交界条件定解
2 E2n Ra 1 E1n Ra
E2t Ra E1t Ra
地球物理场论II
对A点，有
d a
'
ad'
'
a
''
d a
第二章
' ''
电像法
E''
E
E'
2 1 E'
对B点，有
1
1
cos
(a2
d
2
)1
2
' cos '
(a2 d '2 )1
2
1
2
'' cos
总感应电荷在球心处电位为
dS
U0,
dS 1 S 4 0a 4 0a
dS
S
o
q
Q
4 0a q在球心处电位为
U 0,q
q
4 0d
球心处总电位为零，即
U0
U0,
U 0,q
Q
电像法
用镜象 法求解 的条 件是什么？
0
S1 n象电荷数 Nhomakorabea2n 1
4．另外几种容易求解又常见的情况：
2 1
例2 .导体球接地外有一点电荷，求电势分布
R0
O
r
Q
Q
导体球接地
r R0 r a
R R 0 0 R0
O
rr
R0 b a R0
r r
b
b Q
aa
Q
R b a
2 0
R0Q Q a
例3 .中性导体球（不接地）外有一点电荷，求电 势分布
R0
O
r
r
Q
b
Q
R0
A
Q0
（-a, b, 0） -Q
Q（a, b, 0）
O
x
-Q（a, -b, 0）
（-a, -b, 0） Q
（2）电势分布 Q 1 1 [ 4 0 ( x a) 2 ( y b) 2 z 2 ( x a ) 2 ( y b) 2 z 2
x 0 ] 2 2 2 2 2 2 y 0 ( x a ) ( y b) z ( x a ) ( y b) z （3）若两平面夹角 S2 2 Q 放在 0 ( ) 处 Q 1 1
Q
O
B
C
R0 Q Q a
R0
O
Q
R0
O
R0 Q Q a
例2 .导体球带电 Q0
球外有一点电荷，求电势分布
R0
O
r
r
Q
b
Q
Q0
A
R0
charpt2_4_电像法
分析：导体板接地，在导体板 靠近点电荷q一侧有感应电荷， 导体板电势为零。因此，在导 体板的另一侧，寻找若干个假 想电荷，以及合适的位置， 只要保证导体板的电势为零， 则镜像电荷与点电荷q在空间 形成的电场，就是所要求的解。
镜像电荷的寻找： 电偶极子，具有在其对称中心面上电势为零的特点
可以取导体板另一侧相距为d的镜像电荷-q。空 间电场由撤去导体板后的一对正负点电荷决定。
电荷的假想电荷为Q’。问题是：Q’应该放在什 么位置？电量是多少？ Q’必然在待求区域外，即在球壳内。
根据电场的轴对称性，Q’必在对称轴上，即在 Q到球心的连线上。设Q’到球心的距离为b，以 球心为坐标原点，对称轴为Z轴建立球坐标系，
球外空间的电势为：
1 Q Q P 40 r r
讨论：若 1 ， 2 1 即z 0区为导体，z 0区为真空，则与上例相似 1 q q 有q' q' ' q，U1 0,U 2 ( ) 40 r r '
例
真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a （a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势
（如图）。 解： 电荷分布：一个点电荷。
球外任一点P的电势为：
1 Q R0Q 40 r ar
R0 Q Q a
R0 Q a 1 Q 2 2 2 2 40 R a 2 Ra cos R b 2 Rb cos
物理结果讨论：
根据高斯定理，收敛于球面的 电通量为−Q’。Q’为球面的总
讨论：
1。镜像电荷必须在所要考察的区域之外。否则 待求区域的电荷分布将被镜像电荷所改变。 唯一性定理：已知区域内电荷分布以及边界条件，则 区域内电场分布唯一确定。 2。由唯一性定理作保证，可以寻找试探解， 只要保证边界条件不变，则这个解，就是唯一解。 关键是设定镜像电荷的个数、电量、位置
电像法
代入式(4)，即得解为
U ( x ,y ,z ) 4 1 0 [x (a ) 2 q y 2 z 2 ] 1 2 [x (a ) 2 q y 2 z 2 ] 1 2 x0
地球物理场论II
第二章 电像法
4 1 0 (R 2 d 2 2 q Rcd o )1 2 s (R 2 d '2 2 q R ' 'cdo )1 2 s
尝试解已满足(1)、(2)式。 为使之能满足(3)式，在球面上任取一点p’，有
地球物理场论II
第二章 电像法
Up'
1
本章讨论平面、球面、柱面界面电像法
返 回
地球物理场论II
第二章 电像法
一、无限大接地平面导体外一点电荷的静电场
求 x0 空间的电位、场强及平面导体
0
上的电荷分布。
静电感应，场由q及 共同产生。
(a,0,0)
0
q
x
由唯一性定理，定解条件为 方程：2U 0 ［除(a,0,0)点以外］ (1)
0 0
-
-
(a,0,0)
-0
q
x
-
边界条件： U x0 0
U r 0
(2)
(3)
0 0
r'
( x' ,0,0)
q’
0
r
(a,0,0)
q
x
地球物理场论II
第二章 电像法
点电荷的电位 U 1 q 4 0 r
设 x0空间的尝试解为
U 1
40
q 1
r 40
U2
《新时代高中物理课件：电像法》
电像法通过等势面和电势来描述电磁场中 电荷的分布和电势的变化。
电荷分布的表示方法
点电荷
点电荷是电荷集中在一点的情况，可以通过电 场线和电场强度来表示。
均匀带电面
均匀带电面是电荷均匀分布在一个面上的情况， 可以用等势线和电势来表示。
带电球壳
带电球壳是电荷分布在一个球形的外壳上的情 况，也可以用电势和电场线来表示。
电像法的基本概念和原理
1
电像法基础
电像法是一种将具有特定形状的电荷分布问题转化为更简单的几何形状问题来解 决的方法。
电像法的局限性
电像法在处理非均匀电场和边界条件复杂的 情况下有局限性，需要结合其他方法进行分 析。
电感的概念和基本原理
1 电感简介
电感是指电流变化时所产生的电磁感 应现象，对电流有阻碍作用。
2 电感的基本原理
电感是由线圈中的匝数和磁感应强度 决定的，可以通过改变这些参数来调 节电感的大小。
电感的电像
新时代高中物理课件：电 像法
这是一门关于电像法的高中物理课程，我们将深入探讨电场的性质和作用， 以及电像法的原理、应用以及未来的发展趋势。
电场的性质和作用
1 电场特性
电场是由电荷产生的带 电空间，可以引起电荷 间的相互作用。
2 电场作用
3
电场可以产生电场力， 影响电荷的运动和分布。
电场线
电场线是用来表示电场 强度和方向的图形，可 以帮助我们理解电场的 分布。
电流在导体表面的电像
电场强度分布
电像法可以用来计算电流在导体表面的电势分布， 从而帮助我们理解导体中电流的流动特性。
通过电像法，我们可以获得电场强度在导体表面 的分布，进一步了解电流与电场的相互作用。
电像法
§2.4电像法电像法是解静电场的一种特殊方法，它适于有一个或多个自由点电荷分布，且边界是导体或介质界面的区域。
以存在导体为例，设自由点电荷附近有一导体，在的电场作用下导体面上出现了感应电荷，而导体以外空间的电场则包括点电荷激发的电场和导体面上感应电荷所激发的电场，是一种较复杂的复合场。
如果用微分方程直接求解这类问题将是困难的，原因就在于导体面上感应电荷的分布比较复杂。
对于这类问题，我们可以设想用一个或几个假想的点电荷q i/ 来代表导体面上的感应电荷，只要我们设法求出假想电荷的位置和其电量的大小，并且将它们限定在边界条件下，则复杂问题就得以简单解决。
这种解题的方法被称作“电像法”，这一假想的电荷则被称为“像电荷”。
在做这种代换时，并没有改变空间里的真实电荷分布。
像电荷虽然并不真实存在，但是确定它的位置及大小却要依赖于边界条件。
根据唯一性定理，依照边界条件算出的解，其唯一性显而易见。
1．电像法的实质及合理性设点电荷附近有一导体，在点电荷场的作用下导体面上出现感应电荷。
于是有：导体外空间的电场 = 点电荷q的电场 + 导体上感应电荷的场这类问题仍满足泊松方程（拉普拉斯方程），但因方程求解复杂，因而产生电像法。
电像法的实质就是按照边界条件的限定，“用一个或几个像电荷的场势”去代替导体面上的感应电荷，从而把方程的求解化成了点电荷场势的迭加问题。
这样得出的解，因设置像电荷时符合边界条件的限定，所以“唯一性定理”可以保证它唯一正确。
2．例题(1) .已知：如图，距离接地无限大导体平板为a之处有一个点电荷求：、分布图2-8解：用镜像电荷代替导体板上的感应电荷，设像电荷距离原点为，根据场、势的对称性而知，一定在z轴上且位于板的下方。
因为导体板为等势面，若将场点P选在原点，于是有，即如果在上述比例式中选取，，则原来的边界条件和电荷分布均未被破坏。
所以该问题就可以转化为和两个点电荷的迭加问题。
在的空间：由于我们是根据边界条件得到和的，所以，由此得出的解完全满足边界条件，根据唯一性定理，这个电势解是唯一的。
电像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电像法能量
电像法能量电像法是一种非常重要的非破坏性检测方法，它利用电场的作用来探测材料中的缺陷和变化。
在电像法中，一个电极将被放置在被探测的材料上，而另一个电极将被放置在对面。
通常，第一个电极将被采用以注入电荷，而第二个电极将被采用来感应电荷，这样就可以检测到材料内的电荷分布，进而反映出缺陷和变化的位置和性质。
电像法的能量与这些电极和探测材料之间的电荷交换和电荷分布相关。
当电荷被注入材料时，它们最初通常集中在电极附近，因为这些区域具有较高的电场强度。
随着时间的推移，电荷被逐渐分散并部分在材料内移动。
这样一来，就会产生一个局部的电荷分布，其中缺陷和变化会对电荷的自由流动产生影响。
在电像法中，我们通常会对电场、电势和电荷分布进行建模。
这些模型可以帮助我们理解电像法中的能量转移，并分析其检测效果。
例如，我们可以使用电学基本原理来解释电势分布。
电势是描述电场中离子和电子移动方向的物理量，因此与电场紧密相关。
在电像法中，电势差可以用来测量两个不同电势场之间的电势差，从而获得有关材料性质的信息。
此外，我们还可以利用电流和磁场来理解电像法的能量传输。
在电像法中，当电荷被注入材料表面时，电荷会在材料内部移动，并产生与这些移动方向相对应的磁场。
在磁场的作用下，电荷便会在材料内部产生一个完整的磁场环路。
这种磁场环路的变化可以用来推断材料内的局部电荷分布。
总之，电像法是一种重要的非破坏性检测方法。
它利用电荷交换、电荷分布、电势分布、电流和磁场等物理量来测量材料的缺陷和变化。
通过对这些物理量的分析，我们可以更好地理解电像法的能量转移，并提高其检测的精度和准确性。
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§2.4电像法
电像法是解静电场的一种特殊方法，它适于有一个或多个自由点电荷分布，且边界是导体或介质界面的区域。
以存在导体为例，设自由点电荷 附近有一导体，在 的电场作用下导体面上出现了感应电荷，而导体以外空间的电场则包括点电荷 激发的电场和导体面上感应电荷所激发的电场，是一种较复杂的复合场。
如果用微分方程直接求解这类问题将是困难的，原因就在于导体面上感应电荷的分布比较复杂。
对于这类问题，我们可以设想用一个或几个假想的点电荷q i /
来代表导体面上的感应电荷，只要我们设法求出假想电荷的位置和其电量的大小，并且将它们限定在边界条件下，则复杂问题就得以简单解决。
这种解题的方法被称作“电像法”，这一假想的电荷则被称为“像电荷”。
在做这种代换时，并没有改变空间里的真实电荷分布。
像电荷虽然并不真实存在，但是确定它的位置及大小却要依赖于边界条件。
根据唯一性定理，依照边界条件算出的解，其唯一性显而易见。
1．电像法的实质及合理性
设点电荷附近有一导体，在点电荷场的作用下导体面上出现感应电荷。
于是有： 导体
外空间的电场 = 点电荷q 的电场 + 导体上感应电荷的场
这类问题仍满足泊松方程（拉普拉斯方程），但因方程求解复杂，因而产生电像法。
电像法的实质就是按照边界条件的限定，“用一个或几个像电荷的场势”去代替导体面上的感应电荷，从而把方程的求解化成了点电荷场势的迭加问题。
这样得出的解，因设置像电荷时符合边界条件的限定，所以“唯一性定理”可以保证它唯一正确。
2．例题
(1) .已知：如图，距离接地无限大导体平板为a 之处有一个点电荷 求：
、
分布 解：用镜像电荷
代替导体板上的感应电荷，设像电荷距离原
点为 ，根据场、势的对称性而知， 一定在z 轴上且位于板
的下方。
因为导体板为等势面，若将场点P 选在原点，于是有
，即
图2-8
如果在上述比例式中选取，，则原来的边界条件和电荷分布均未被破坏。
所以该问题就可以转化为和两个点电荷的迭加问题。
在的空间：
由于我们是根据边界条件得到和的，所以，由此得出的解完全满足边
界条件，根据唯一性定理，这个电势解是唯一的。
这一点完全可以用边界条件加以验证，这里略去。
由，（第一介质为导体，第二介质为真空）可得
；
在z<0的空间：，
(2) .已知：真空中有一半径为的接地导体球，点电荷距球心为()；求：空间势分布。
解:[分析]
假想球内有点电荷可代替球面上的感应电荷（负的）。
由对称性，应在连线上。
选择的大小、位置使球面上满足,则由“唯一性定理”，和的迭加解就是原题的唯一合法解。
[计算的位置和大小]
设 代表球面感应电荷的像电荷电量，选球面上任一点
，
连接三角形
及
，则有：
，即
常数。
选
的位置使
~
,于是有：
由此式可得到：
（ 仅计算绝对值）
用空间解析几何不难从图中算出：
，
[计算电势分布]
球外空间：
球内空间：
[计算电场分布]
球外空间：
球内空间：
[计算感应电荷]
图2-9
[分析电荷分布]
[讨论]
等于球面上的总感应电荷，它是受电荷 的电场吸引而从接地处传至球面上的。
由
与 的关系可知。
如果用
对球面积分，可得球面上的感应电荷总量
结果表明，球面上的感应电荷总量和假设的像电荷的电量恰好相等。
(3).已知：绝缘不接地导体球，半径
，距球心 处有 。
求：
解： [分析]
由电荷守恒定律，感应电荷应为两种，电量为 。
为使
球面等势， 必须处于球心，且有
，
，
，
[尝试解]
球内、外空间的电势可考虑为“接地情况例2的电势与
的电势的迭加”，或者由
,
,
三个点电荷的电势的迭加。
球外：
； 球内：
[证其满足边界条件] 球外：
时， ，
图2-10
时， ， ，代入
是唯一的解。
代入可得到
球内： 将
代入 ，
[求
]
[求 ]
根据和
容易算出（读者完成）。
[求
] 选球内为介质 ① ，球外为介质 ② ，于
是
结合例题2
其中,由两部分组成
;
在球上部有
显负； 球下部有
显正。
图2-11
点电荷q 与绝缘导体球的电场分布
4).已知：半径为 带电 的绝缘导体球，距离球心 （
）处有一个点电荷
求：
球外
分布， 所受导体球的力
以及球面的
解：(一).求
（
）
两个思路
代入 ； 则球外电势的尝试解为
证明
满足边界条件，解是唯一的
( i ).球内总电量为：
( ii ).球面上的势为：
( iii ).无穷远的电势为：
所以尝试解唯一正确
二).求
设q 处于场 中，将 代入由 和 的电势表式中可
得
图2-12
讨论：
( i ).在与同号时第一项为斥力，第二项为引力；
( ii ).当时，第二项的数值大于第一项，由此可见，即使与同号，只要距离球面足够的近，它也能受到球的吸引力。
这时，虽然整个导体球的总电荷是正的，但在靠近的球面部分出现的负感应电荷，在一定的距离范围内，对的吸引力呈现主导作用。
从上式两项的比较可以算出，引力大于斥力的距离界限是
( iii ).在时可得
(三).求s
其中，中括号项表述了非均匀分布的成分，而含项表述了均匀分布的成分；的正负则由与的大小而定。
(5).已知：接地导体球壳，球内距球心处置有点电荷
求：电势、电场分布
解：（解法一）令像电荷等效于球内表面的负感应电荷，则球
内的电势应该为
参考例题2，像电荷应该选在使~的位置图2-13
上（只能在球外的延长线上），根据相似三角形对应边成比例的性质，
有
因为导体球接地，因而，即。
结合上式考虑，所以有
由上式可得，同例题2一样，不难算出
，
由于这里的视直接从边界条件得到的，所以不用再证明解的唯一性，只要将、和、代入，即可算出具体的答案（略）。
球内电场则由可以算出。
由于球壳接地，球外电势及电场均为零。
（解法二）
类同例题3、4，球内的电势应该考虑为“点电荷与像电荷在球内各自产生的电势的迭加”。
球内电势的尝试解为
其中：，；，
，且有，，。
代入边界条件做满足唯一性定理条件的验证：
由唯一性定理可知，
为球内电势的唯一合法解，给它代入 、
和 、
即可得到具体的答案。
由于球壳接地，球外电势及电场均为零。
(6).已知：绝缘不接地球壳，球内有+q ，距球心为a （a <r0） 求：电势、电场分布
解：由静电平衡，点电荷+ 在球壳内表面产生的感应电荷为不均匀分布的 ；在
球壳外表面产生的感应电荷为均匀分布的+ ，球体为等势体。
+
对球内的电势相当于
它集中在球心时在球壳处产生的电势。
电势的尝试解：
，其中 ，
验证唯一性定理要求的条件：
尝试解符合唯一性定理，是唯一正确的。
电场分布则根据 计算（略）。
(7).已知：带电量
的绝缘不接地球壳，球内距球心为a （a <r 0）处有点电荷+q ， 求：电势、电场分布 解：球外电势只有
和
有贡献，即
球内电势则是上题的球内结论加上Q 的影响
，即
图2-14
图2-14
为
其中：，，，
验证：，尝试解为唯一合法解。
电场：由计算，进一步还可计算和（计算从略）。
(8).已知：绝缘导体球半径为，无限远处有一无限大的点电荷
求：感应电荷受外场的作用力（此题同分离变量法第3题）
解：(a).求电势
无限远处无限大的点电荷的场在导体球处可看作均匀场，依照电像法，尝试解为
其中：，，，
，
，时即的位置趋于球心
由第(3)题，对球外的影响与它集中在球心对球外的影响等效，因此构成了偶极子，且有
由于远处的点电荷在球心位置的电场，即，代入上式得
由偶极子的电势公式可得出偶极子的电势分布为
(b).求感应电荷受外场的作用
感应电荷受外场的作用，可等效为偶极矩所受外场的力和力矩。
偶极子与电场的力矩：因为与的夹角，因而有偶极子与电场的作用力：因为本题，取外场的方向为z轴方向，则
有。