名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件:专题五 微切口17 隐性圆的研究1
专题五 微切口17 隐性圆的研究1

专题五 解析几何
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
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二轮提优导学案 ·数学
专题五 解析几何
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=1,圆 M:(x+a+3)2+
(y-2a)2=1(a 为实数).若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q,使得∠OQP=30°,则 a 的 取值范围为__-__65_,__0_ ·数学
【解析】如图,过点 Q 作圆 O 的切线,设切点为 P′, 在圆 O 上要存在点 P 满足∠OQP=30°,即∠OQP′≥30°. 因为 sin∠OQP′=OOPQ′≥12,所以 OQ≤2.设 Q(x,y),则 x2+y2≤4.因为点 Q 在圆 M 上,即圆 M 与 x2+y2≤4 有公共 点,所以 1≤(a+3)2+(-2a)2≤9,解得-65≤a≤0,所以 a 的取值范围为-65,0.
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆;
策略二 策略三
动点 P 对两定点 A,B 的张角是 90°k1·k2=-1或P→A·P→B=0确定隐圆; 两定点 A,B,动点 P 满足 P→A·P→B=λ 确定隐圆.
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二轮提优导学案 ·数学
专题五 解析几何
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【解析】 以线段 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面 直角坐标系 xOy,设点 C(x,y),由 A(-1,0),B(1,0)及C→A·C→B=λ,得 x2+y2=λ+1,且
0>λ≥-1.当两圆外切或外离时,OB=1≥ λ+1+12,解得 λ≤-34;当圆 B 内切或内含
(变式(1))
数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题PPT文档共61页

6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌,集体的声音, 集体的 动作, 集体的 表情, 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律, 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便要勇敢地 走到底 ,决不 回头。 ——左
10、一个人应该:活泼而守纪律,天 真而不 幼稚, 勇敢而 鲁莽, 倔强而 有原则 ,热情 而不冲 动,乐 观而不 盲目。 ——马 克思
56、书不仅是生活,而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次,但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许,为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处, 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件:专题五 解析几何 分类题型解析(4讲50张PPT)

圆的方程是常考问题,但有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐
藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识
来求解,常见的策略如下:
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆;
【解析】 设 M(x,y),则(x+3)2+y2+(x-1)2+y2=16,
即(x+1)2+y2=4,所以
1+3 a2≤2,解得
a≤-
25或
a≥
5 2.
(2) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.
设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l 上,若圆 C 上存在一点 M,使得 MA =2MO,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_,__1_52___.
由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤152.
(3) 在△ABC 中,若 BC=2 2,A→B·A→C=1,则△ABC 面积的最大值为____6____.
【解析】 如图,以 BC 的中点为坐标原点 O,BC 为 x 轴建立平面直角坐标系,则
B(- 2,0),C( 2,0). 设 A(x,y),则A→B·A→C=(- 2-x,-y)·( 2-x,-y)=x2+y2
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=1,圆 M:(x+a+3)2+
(y-2a)2=1(a 为实数).若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q,使得∠OQP=30°,则 a 的 取值范围为__-__65_,__0_ .
高考二轮数学人教版课件:第2部分 专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

第二部分 专题五 解析几何
高考二轮总复习 • 数学
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(4)因为焦点F(1,0),所以p=2, 设点My42,y,根据抛物线的定义得:y42+1=4,解得y=±2 3, 所以点M的坐标为(3,±2 3).
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圆锥曲线方程的求法
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.
【解析】 易知直线AB不与y轴平行, 设其方程为y-2=k(x-4), 代入双曲线C:x22-y2=1, 整理得(1-2k2)x2+8k(2k-1)x-32k2+32k-10=0, 设此方程两实根为x1,x2, 则x1+x2=8k2k22k--11,
第二部分 专题五 解析几何
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【解析】 (1)由抛物线和圆的对称性可得B,C关于x轴对称, 再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径,B,C,F三点共线, xB=2p,代入抛物线的方程可得yB=p, 所以圆的半径R=p.
第二部分 专题五 解析几何
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1.(1)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知椭圆方程为
x2 m+3
+
y2 m-6
=
1(m>6),则其焦距为__6__.
(2)(2019·安徽A10联盟最后一卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,
点A在抛物线上,若点P是抛物线准线上的动点,O为坐标原点,且|AF|
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2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为ax22+by22=1或ay22+bx22=1,其中a>b>0; (2)双曲线的标准方程为ax22-by22=1或ay22-bx22=1,其中a>0,b>0; (3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件:专题一 微切口1 变角与变式

π
12 π
=-2,则tanα+1π2=-2<0.
12
因为α为第二象限角,所以sin α+1π2 = 255 ,cos α+1π2 =-
5 5
,则sin
α+56π
=
-sinα-π6=-sinα+1π2-π4=cosα+1π2sin π4-sinα+1π2cos π4=-31010.
23π+cosπ3+αsin
2π 3
=232×-12+13× 23=
3-2 6
2 .
已知cosα-β2=-2 7 7,sinα2-β=12,且π2<α<π,0<β<π2. (1) 求cosα+2 β的值; 【思维引导】
【解答】 因为π2<α<π,0<β<π2, 所以π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2,
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题一 三角函数和平面向量 微切口1 变角与变式
(1) (2019·淮阴中学)已知cosπ6-θ=a,那么cos56π+θ+sin23π-θ= ___0_____.
【思维引导】
【解析】因为cos56π+θ=cosπ-π6-θ=-cosπ6-θ=-a, sin23π-θ=sinπ2+π6-θ=a, 所以cos56π+θ+sin23π-θ=-a+a=0.
(2) (2019·河南百校联盟4月联考改编)若α为第二象限角,且tan
2tan αtan 1π2-2,则sinα+56π=_-__3_1_01_0__. 【解析】由tan α+tan 1π2=2tan αtan 1π2-2,
α+tan
π 12
=
tan α+tan 得
1-tan αtan
高考二轮复习专题-导数中的隐零点问题优质课件(共21张PPT)

法二:分参角度,当t 2时,x13 3 x12 (2 t )x1 16 t,其中x1 [ ,0]
t( x1
1)
x13
3 x12
2 x1
16
t
x13
3 x12 2 x1 x1 1
16
x12
2 x1
16 x1 1
设h( x)
x2
2x
16 , h'( x) x1
解:设f(x)=ex ln x,f '(x) ex 1 ,令g(x) ex 1 ,
x
x
g '(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱex
1 x2
0, g(x)在(0, )上单调递增,
g(1)
e
1
0, g( 1 )
1
e2
2
0, 存在唯一的零点
2
x0
(
1 2
,
1),
使得g(x0
)
ex0
1 x0
0.
当x (0, x0 ),g(x) 0,即f '(x) 0, f (x)单 调 递 减 ;
2x 2
16 ( x 1)2
2( x 1)3 16 ( x 1)2
令h'( x) 0, x 1, x ( ,1),h'( x) 0, x (1,0),h'( x) 0.
h( x)min h(1) 11, 2 t 11.
评析:法二通过分参,构造函数,避开了直接把极值点代入求值。 不等式的恒成立转化为函数的最值问题是我们常用的处理方法。
x13 3 x12 3 x1 7 0 ( x1 1)3 8 0 1 x1 0
t 3 x12 6 x1 2 3( x1 1)2 1 11
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件:专题五 微切口18 隐性圆的研究2

-2=1, 即点 A 在以(0,0)为圆心, 3为半径的圆周上除去与 x 轴的交点,
所以 A 到 BC 距离的最大值,即为半径 3, 所以 Smax=12×2 2× 3= 6.
(变式(3))
常见的求隐圆的策略如下: 策略四 两定点 A,B,动点 P 满足 PA2+PB2 是定值确定隐圆; 策略五 两定点 A,B,动点 P 满足PPAB=λ(λ>0,λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆); 策略六 构造或者直接求动点的轨迹. 利用几何法简化研究直线与圆及圆与圆的位置关系: 直线与圆有关的网络交汇问题,利用直线与圆及圆与圆的位置关系,借助圆的几何 性质的代数表示(相切条件,勾股数等)简化运算,充分体现解析几何的特点“代数的方 法研究几何性质,利用几何性质可简化其运算”.
【解析】 设 M(x,y),则(x+3)2+y2+(x-1)2+y2=16,
即(x+1)2+y2=4,所以
1+3 a2≤2,解得
a≤-
25或
a≥
5 2.
(2) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.
设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l 上,若圆 C 上存在一点 M,使得 MA =2MO,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_,__1_52___.
(2) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点 A(0,2),若 圆 C 上存在点 M,满足 MA2+MO2=10,则实数 a 的取值范围是__[_0_,_3_] __.
【解析】 设点 M(x,y),由 A(0,2),O(0,0)及 MA2+MO2=10,得 x2+(y-2)2+x2 +y2=10,整理得 x2+(y-1)2=4,即点 M 在圆 E:x2+(y-1)2=4 上.若圆 C 上存在点 M 满足 MA2+MO2=10,也就等价于圆 E 与圆 C 有公共点,所以|2-1|≤CE≤2+1,即 |2-1|≤ a2+a-32≤2+1,整理得 1≤2a2-6a+9≤9,解得 0≤a≤3,即实数 a 的取 值范围是[0,3].
第2部分 专题5 强基专题5 隐圆问题 课件(共21张PPT)

d=
k|82+k| 1≤6,解得-3
7
7≤k≤3
7
7 .]
类型3 两定点A,B,动点P满足|PA|2+|PB|2是定值,确定隐 圆(距离平方圆)
【例3】 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2- 4x=0及点A(-1,0),B(1,2).
(1)在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P 的个数,若不存在,说明理由.
[跟进训练] 1.如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距 离为1,则实数a的取值范围是________.
-65,0 [由题意得圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4与圆x2+y2=1相 交,所以2-1< 2a2+a+32<1+2,1<5a2+6a+9<9,
5a2+6a+8>0, 5a2+6a<0,
第二部分 核心专题 师生共研
专题五 解析几何 强基专题5 隐圆问题
考查直线与圆、圆与圆的综合问题时题设条件中没有直接给 出相关圆的信息,而是隐含在题目中,要通过分析和转化,发现 圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识来解决问题,这类 问题称为“隐圆”问题.
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
(2)若圆C上存在唯一的点Q,使得Q→A·Q→B+2=λ,求λ的值.
[解] (1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆心C(2,0),半径为2. 假设圆C上存在点P,
设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2 +(y-2)2=12,
≤y≤
27,所以点
M的纵坐标的取值范围是-
27,
27.]
【例1】 (1)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),
高考数学二轮复习“隐圆”问题课件(30张)(全国通用)

PPAB2=x-x21+2+y+y2+212=x2+x2+y2-y2+2x+4y+2y+4 2 =2-2+2x+4y+2y+4 2=-2x+y+y+3 2=12-12×xy- +1232,
令 t=xy-+1232,即 2x-2ty-3t-1=0,则动直线 2x-2ty-3t-1=0 与圆 x2+y2=2 必须有公共点,所以|-43+t-4t12|≤ 2,解得-7≤t≤1,所以PPAB2=12-2t ∈[0,4],即PPAB∈ [0,2],故PPAB的最大值是 2.
所以点
M
的
轨
迹
方
程
为
x+12
2
+
y-12
2
=
1 2
(
除
去
原
点
)
,
所
以
AM
的最大值为
-4+122+0-122+ 22=3 2.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-2),B(1,-1),P 为圆 x2+y2=2 上一动点,则PPAB的最大值是___2_____.
方法二:设 P(x,y),则 x2+y2=2,
则 x2+y2-2x+2y+2=λ(x2+y2+4y+4),即(λ-1)·(x2+y2)+2x+(4λ-2)y+4λ- 2=0,因为 x2+y2=2,所以 x+(2λ-1)y+3λ-2=0,则动直线 x+(2λ-1)y+3λ-2 =0 与圆 x2+y2=2 必须有公共点,所以 1+|3λ-2λ-2| 12≤ 2,解得 0≤λ≤4,即PPAB∈[0,2], 故PPAB的最大值是 2.
微难点10 “隐圆”问题
栏 目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
“隐形圆”说课讲解

隐形圆圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示,在等腰直角三角形ABC中,AB= BC = 2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA丄PB,则PC的取值范围是圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线,近几年高考题和高考模拟题中,经常会出现一类有关圆的题目,这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息,而是以隐性的形式出现,但我们通过分析和转化,最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙,综合性强,,充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法,处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来.圆作为几何图形,找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现.策略一由圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x —2a)2+ (y— a —3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________ .(2)( 2016 年南京二模)已知圆 O : x 2 + 寸=1,圆 M : (x — a)2 + (y — a + 4)2 = 1 •若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为 A , B ,使得/ APB=60°则a 的取值范围为 ____________ .(3)( 2017年苏北四市一模)已知 A 、B 是圆C i : x 2 y 2 1上的动点,R ,直线 I : xcos + ysin = 2sin( + ) + 4 与圆 C : (x — m)2+6(y —掐m)2= 1均无公共点,则实数m 的取值范围是 ____________ .(5)( 2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy 中,圆G :x12 y 2 2 , 圆AB= .3 , P 是圆 C 2:(x 3)2 (y 4)21上的动点,贝U P A PB 的取值范围是(4)若对任意C2: x m 2 y m彳m2,若圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA、PB,切点为A、B, ABP的面积为1,则正数m的取值范围是策略二由动点P对两定点A、B张角是90°( k pA k pB 1,或PA PB 0)确定隐形圆例 2 ( 1)已知圆C:(x 3)2 (y 4)2 1 和两点A( m,0),B(m,0) (m 0),若圆上存在点P,使得/ APB=90°,贝m的取值范围是________________•(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(-1 , 0), Q(2, 1),直线I: ax by c 0其中实数a, b, c成等差数列,若点P在直线I上的射影为H,则线段QH的取值范围是______________ .(3)设m R,直线l i : x my 0与直线12 : mx y 2m 4 0 交于点P(X o,y°),贝U x。
数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题

第8页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
解法 2 因为 P 在直线 x+ 3y-b=0 上,所以 3y=-x+b,代入 3x2+3y2+8x -16=0,得 4x2+(8-2b)x+b2-16=0.因为点 P 有且只有两个,所以方程有两个 不相等的根,即 Δ>0,整理得 3b2+8b-80<0,解得 b∈-230,4.
第5页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(2) [-1,2] 解析:设 P(x0,-x0-1),A(x1,y1),则 B(2x1-x0,2y1+x0+1).
则2x1x-1-2x20+-y221=2+1,2y1+x0+12=1,
即x1-x0+2 22+y1+x0+2 12=14, x1-22+y21=1.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
【方法归类】 发现隐圆的方法:1. 利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆. 2. 在平面上给定相异两点 A、B,设点 P 在同一平面上且满足 PA=λPB, 当 λ>0 且 λ≠1 时,点 P 的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆. 3. 两定点 A,B,动点 P 满足P→A·P→B=λ 确定隐形圆. 4. 两定点 A,B,动点 P 满足 PA2+PB2 是定值确定隐形圆.
所以圆 M 和圆 O 有公共点,即 0≤OM≤2,故圆心 O 到直线 l 的距离 d= |-a24+a|1≤2,
解得- 33≤a≤ 33,所以实数 a 的取值范围为- 33, 33.
第7页
专题综述 典型例题 课后作业热点难点微专题五 “隐圆”问题
(4) -230,4 解析:设点 P 坐标为(x,y),因为 PB=2PA,所以 PB2=4PA2,即 (x-4)2+y2-4=4(x2+y2-1),整理得 3x2+3y2+8x-16=0. 解法 1 该方程表示一个圆,圆心-43,0,r=83.因为点 P 有且只有两个,所以直 线和圆相交,故-432-b<83,解得 b∈-230,4.
2022年高三二轮专题复习数学课件 隐圆问题

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左侧,若直线x+ 3y+m=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,求m的取值范围.
[解] 由题意得A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则由|PA|=2|PB|,得
(x+1)2+y2=2 (x-1)2+y2,即x-532+y2=196,因此圆x-532+y2=196与直
线x+
3
y+m=0有交点,即
另一方面,由于D为AB的中点,所以―O→A +―O→B =2―O→D ,则|―O→A +―O→B |=
2|
―→ OD
|,因而只要求圆(x-3)2+y2=1上一动点D到定点O距离的最大值,易知此最大
值为OC+1=4,故|―O→A +―O→B |的最大值是8.
[答案] 8
类型二
直线和隐圆
[例2] 在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=1交x轴于A,B两点,且点A在点B的
∴2f(x)=g(x)+h(x)≥g(x)+g(x)=2g(x),即f(x)≥g(x)恒
成立,作出g(x)和f(x)的图象如图所示,则g(x)在直线f(x)
的下方或重合,则直线f(x)的截距b>0,且原点到直线y
=2x+b的距离d≥1,d=
|b| 22+1
=
|b| 5
≥1⇒b≥
5或b≤
- 5(舍去),即实数b的取值范围是[ 5,+∞). 答案:[ 5,+∞)
|≤|AC|+1,即
2
-1≤|
―→ AM
|≤
2+
1,即 2-1≤m≤ 2+1.
答案: 2-1, 2+1
3.若定义域均为D的三个函数f(x),g(x),h(x)满足条件:对任意x∈D,点(x,g(x))与
点(x,h(x))都关于点(x,f(x))对称,则称h(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知
2020届江苏省高考二轮复习专题:隐形圆问题梳理及运用课件(共15张PPT)

小结: 核心思想: 合理转化
数形合
常见转化途径: 三角形外接圆 轨迹思想求出圆 阿波罗尼斯圆
作业:
1.在三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边a ,b ,c 满足 2a2+b2+c2=8 , 求三角形ABC面积的最大值. 2.已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD ≤ 2BD恒成立, 则最小正整数t的值为________________.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过A(0,2),O(0,0),D(t,0) ( t > 0 ) 三点,
M是线段AD上的动点,l1,l2是过点B(1,0)且互相垂直的两条直线,其中l1交y轴 于点E,l2 交圆C于P,Q 两点. (1)若t =PQ=6,求直线l2的方程; (2)若t是使 AM ≤ 2BM 恒成立的最小正整数,求三角形EPQ的面积的最小值.
本专题主要来研究发现隐圆并用隐圆解决相关问题.
A
B
C
D
E
轨迹思想
注:ABC 中,若AB为定长,则以下关系表明点C在圆上 :
1. AC2 BC2 定值; 2.kAC kBC - 1;
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆:平面上到两个定点的距离之比为定值(不为1)的点的 轨迹是一个圆。
.
3.已知点A(2,3),点B(6,-3),点P在直线3x - 4y + 3 = 0上,若满足等式 uuur uuur AP BP 2 0 的点P有两个,则实数 的取值范围是_______________.
4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知B,C为圆 x2 y2 4 上两点,点A(1,1), 且 AB AC ,则线段BC的长的取值范围为_______________.
高考数学浙江专用二轮培优名师公开课市级获奖课件:专题五 微点深化 导函数的隐零点问题

x
min,
x+xln x x-ln x-2 令 g(x)= ,则 g′(x)= ,令 h(x)=x-ln x-2(x>1). x-1 (x-1)2
1 x-1 则 h′(x)=1-x= x >0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,
∵h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,存在 x0∈(3,4),使 h(x0)=0,
f′(x)的零点取到.但 f′(x)=0 是超越方程,无法求出来其解.上述解法中没有直接求解 a x0,而是在形式上假设.这样处理的好处在于通过对 x0 满足的等式 e =2x ,ln x0= 0
2x0
a a 2x0 ln 2-2x0 的合理代换使用, 快速将超越式 e -aln x0 化简为普通的代数式2x +2ax0 0 2 +aln a,然后使用均值不等式求出最小值,同时消掉了 x0.在求解的过程中,不要 急于消掉 x0,而应该着眼于将超越式化简为普通的代数式,借助 f′(x0)=0 作整体代 换,从而使问题获解.
1 -a< -1 e
1 h(x0)<he ,
1 而 h(x)显然是增函数,∴0<x0< e 1 综上,当 a>1-e 时,f(x)>e+1.
1 1 >e,∴hx >h(e)=e+1. x0 0
探究提高
先分离变量,再构造函数,不需要分类讨论,简单、直接,从而简
化解题过程.
热点二
整体代换解决隐零点问题
【例 2】 设函数 f(x)=e2x-aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)的零点的个数; 2 (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln a.
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(2) 已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0).若圆 C 上存在一点 P, 使得∠APB=90°,则 m 的取值范围是__[_4_,6_]___.
【解析】由题知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 的圆心 C(3,4),半径为 1. 因为圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5, 所以圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6,最小值为 4. 又由∠APB=90°,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点,得 PO=12AB=m,所以 4≤m≤6.
(变式(1))
(2) 已知点 A(m,m+6),B(m+2,m+8),若圆 C:x2+y2-4x-4y-10=0 上存在 不 同 的 两 点 P , Q , 使 得 PA ⊥ PB , 且 QA ⊥ QB , 则 m 的 取 值 范 围 是 ___(_-__2_-___7_,__-__2_+____7_) ___.
【解析】 由题意知,以 AB 为直径的圆(x-m-1)2+(y-m-7)2=2 与圆 C:(x-2)2 +(y-2)2=18 相交,则圆心距 d= m-12+m+52∈(2 2,4 2),解得-2- 7<m< -2+ 7.
(3) 已知线段 AB 的长为 2,动点 C 满足C→A·C→B=λ(λ<0),若点 C 总不在以点 B 为圆 心,12为半径的圆内,则负数 λ 的最大值是__-__34____.
数根,即 25x2-110x+57+32λ=0 有两个不相等的实数根,则 Δ=(-110)2-4×25×
(57+32λ)>0,解得 λ<2,所以实数 λ 的取值范围为(-∞,2).
(1) 已知 A,B 是圆 C1:x2+y2=1 上的动点,AB= 3,P 是圆 C2:(x-3)2 +(y-4)2=1 上的动点,那么|P→A+P→B|的取值范围为__[_7_,1_3_]__.
【解析】 以线段 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面 直角坐标系 xOy,设点 C(x,y),由 A(-1,0),B(1,0)及C→A·C→B=λ,得 x2+y2=λ+1,且
0>λ≥-1.当两圆外切或外离时,OB=1≥ λ+1+12,解得 λ≤-34;当圆 B 内切或内含
【思维引导】
【解析】如图,过点 Q 作圆 O 的切线,设切点为 P′, 在圆 O 上要存在点 P 满足∠OQP=30°,即∠OQP′≥30°. 因为 sin∠OQP′=OOPQ′≥12,所以 OQ≤2.设 Q(x,y),则 x2+y2≤4.因为点 Q 在圆 M 上,即圆 M 与 x2+y2≤4 有公共 点,所以 1≤(a+3)2+(-2a)2≤9,解得-65≤a≤0,所以 a 的取值范围为-65,0.
【解析】因为 AB= 3, 所以线段 AB 的中点 H 在圆 O:x2+y2=14上,且|P→A+P→B|=2|P→H|. 因为点 P 是圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=1 上的动点,所以 5-32≤|P→H |≤5+32,即72≤|P→H|≤123,所以 7≤2|P→H|≤13,从而|P→A+P→B|的取 值范围是[7,13].
(3)
已知点 A(2,3),点 B(6,-3),点 P 在直线 3x-4y+3=0 上,若满足等式
→→ AP·BP
+2λ=0 的点 P 有两个,则实数 λ 的取值范围是__(_-__∞_,__2_)___.
【解析】由点 P 在直线 3x-4y+3=0 上,设 Px,3x+4 3,则A→P=x-2,3x+4 3-3, B→P=x-6,3x+4 3+3,所以A→P·B→P=(x-2)(x-6)+3x+4 32-9=116(25x2-110x+57).又 满足A→P·B→P+2λ=0 的点 P 有 2 个,所以116(25x2-110x+57)+2λ=0 有两个不相等的实
策略二 策略三
动点 P 对两定点 A,B 的张角是 90°k1·k2=-1或P→A·P→B=0确定隐圆; 两定点 A,B,动点 P 满足 P→A·P→B=λ 确定隐圆.
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=1,圆 M:(x+a+3)2+
(y-2a)2=1(a 为实数).若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q,使得∠OQP=30°,则 a 的 取值范围为__-__65_,__0_ .
于圆 C 时,OB=1≤ λ+1-12,解得 λ≥54(舍去).故负数 λ 的最大值是-34.
圆的方程是常考问题,但有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐
藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识
来求解,常见的策略如下:
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆;