名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件：专题五 微切口17 隐性圆的研究1
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专题五 微切口17 隐性圆的研究1
二轮提优导学案 ·数学
专题五 解析几何
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
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二轮提优导学案 ·数学
专题五 解析几何
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋
(y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的 取值范围为__－__65_，__0_ ·数学
【解析】如图，过点 Q 作圆 O 的切线，设切点为 P′， 在圆 O 上要存在点 P 满足∠OQP＝30°，即∠OQP′≥30°. 因为 sin∠OQP′＝OOPQ′≥12，所以 OQ≤2.设 Q(x，y)，则 x2＋y2≤4.因为点 Q 在圆 M 上，即圆 M 与 x2＋y2≤4 有公共 点，所以 1≤(a＋3)2＋(－2a)2≤9，解得－65≤a≤0，所以 a 的取值范围为－65，0.
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
策略二 策略三
动点 P 对两定点 A，B 的张角是 90°k1·k2＝－1或P→A·P→B＝0确定隐圆； 两定点 A，B，动点 P 满足 P→A·P→B＝λ 确定隐圆．
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二轮提优导学案 ·数学
专题五 解析几何
Thank you for watching
【解析】 以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系 xOy，设点 C(x，y)，由 A(－1,0)，B(1,0)及C→A·C→B＝λ，得 x2＋y2＝λ＋1，且
0>λ≥－1.当两圆外切或外离时，OB＝1≥ λ＋1＋12，解得 λ≤－34；当圆 B 内切或内含
(变式(1))
专题五 解析几何
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
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二轮提优导学案 ·数学
专题五 解析几何
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋
(y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的 取值范围为__－__65_，__0_ ·数学
【解析】如图，过点 Q 作圆 O 的切线，设切点为 P′， 在圆 O 上要存在点 P 满足∠OQP＝30°，即∠OQP′≥30°. 因为 sin∠OQP′＝OOPQ′≥12，所以 OQ≤2.设 Q(x，y)，则 x2＋y2≤4.因为点 Q 在圆 M 上，即圆 M 与 x2＋y2≤4 有公共 点，所以 1≤(a＋3)2＋(－2a)2≤9，解得－65≤a≤0，所以 a 的取值范围为－65，0.
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
策略二 策略三
动点 P 对两定点 A，B 的张角是 90°k1·k2＝－1或P→A·P→B＝0确定隐圆； 两定点 A，B，动点 P 满足 P→A·P→B＝λ 确定隐圆．
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【解析】 以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系 xOy，设点 C(x，y)，由 A(－1,0)，B(1,0)及C→A·C→B＝λ，得 x2＋y2＝λ＋1，且
0>λ≥－1.当两圆外切或外离时，OB＝1≥ λ＋1＋12，解得 λ≤－34；当圆 B 内切或内含
(变式(1))
数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题PPT文档共61页
数学高考二轮热点难点 微专题五隐圆问题
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题五 解析几何 分类题型解析(4讲50张PPT)
于圆 C 时，OB＝1≤ λ＋1－12，解得 λ≥54(舍去)．故负数 λ 的最大值是－34.
圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐
藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识
来求解，常见的策略如下：
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
【解析】 设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16，
即(x＋1)2＋y2＝4，所以
1＋3 a2≤2，解得
a≤－
25或
a≥
5 2.
(2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.
设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上，若圆 C 上存在一点 M，使得 MA ＝2MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_，__1_52___．
由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤152.
(3) 在△ABC 中，若 BC＝2 2，A→B·A→C＝1，则△ABC 面积的最大值为____6____．
【解析】 如图，以 BC 的中点为坐标原点 O，BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，则
B(－ 2，0)，C( 2，0)． 设 A(x，y)，则A→B·A→C＝(－ 2－x，－y)·( 2－x，－y)＝x2＋y2
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋
(y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的 取值范围为__－__65_，__0_ ．
圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐
藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识
来求解，常见的策略如下：
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
【解析】 设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16，
即(x＋1)2＋y2＝4，所以
1＋3 a2≤2，解得
a≤－
25或
a≥
5 2.
(2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.
设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上，若圆 C 上存在一点 M，使得 MA ＝2MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_，__1_52___．
由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤152.
(3) 在△ABC 中，若 BC＝2 2，A→B·A→C＝1，则△ABC 面积的最大值为____6____．
【解析】 如图，以 BC 的中点为坐标原点 O，BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，则
B(－ 2，0)，C( 2，0)． 设 A(x，y)，则A→B·A→C＝(－ 2－x，－y)·( 2－x，－y)＝x2＋y2
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专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋
(y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的 取值范围为__－__65_，__0_ ．
高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
第二部分 专题五 解析几何
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(4)因为焦点F(1,0)，所以p＝2， 设点My42，y，根据抛物线的定义得：y42＋1＝4，解得y＝±2 3， 所以点M的坐标为(3，±2 3)．
第二部分 专题五 解析几何
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圆锥曲线方程的求法
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．
【解析】 易知直线AB不与y轴平行， 设其方程为y－2＝k(x－4)， 代入双曲线C：x22－y2＝1， 整理得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0， 设此方程两实根为x1，x2， 则x1＋x2＝8k2k22k－－11，
第二部分 专题五 解析几何
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【解析】 (1)由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称， 再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线， xB＝2p，代入抛物线的方程可得yB＝p， 所以圆的半径R＝p.
第二部分 专题五 解析几何
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第二部分 专题五 解析几何
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1．(1)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知椭圆方程为
x2 m＋3
＋
y2 m－6
＝
1(m>6)，则其焦距为__6__.
(2)(2019·安徽A10联盟最后一卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，
点A在抛物线上，若点P是抛物线准线上的动点，O为坐标原点，且|AF|
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2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1或ay22＋bx22＝1，其中a＞b＞0； (2)双曲线的标准方程为ax22－by22＝1或ay22－bx22＝1，其中a＞0，b＞0； (3)抛物线的标准方程为x2＝±2py，y2＝±2px，其中p＞0．
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题一 微切口1 变角与变式
π
12 π
＝－2，则tanα＋1π2＝－2<0.
12
因为α为第二象限角，所以sin α＋1π2 ＝ 255 ，cos α＋1π2 ＝－
5 5
，则sin
α＋56π
＝
－sinα－π6＝－sinα＋1π2－π4＝cosα＋1π2sin π4－sinα＋1π2cos π4＝－31010.
23π＋cosπ3＋αsin
2π 3
＝232×－12＋13× 23＝
3－2 6
2 .
已知cosα－β2＝－2 7 7，sinα2－β＝12，且π2<α<π，0<β<π2. (1) 求cosα＋2 β的值； 【思维引导】
【解答】 因为π2<α<π，0<β<π2， 所以π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题一 三角函数和平面向量 微切口1 变角与变式
(1) (2019·淮阴中学)已知cosπ6－θ＝a，那么cos56π＋θ＋sin23π－θ＝ ___0_____.
【思维引导】
【解析】因为cos56π＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a， sin23π－θ＝sinπ2＋π6－θ＝a， 所以cos56π＋θ＋sin23π－θ＝－a＋a＝0.
(2) (2019·河南百校联盟4月联考改编)若α为第二象限角，且tan
2tan αtan 1π2－2，则sinα＋56π＝_－__3_1_01_0__. 【解析】由tan α＋tan 1π2＝2tan αtan 1π2－2，
α＋tan
π 12
＝
tan α＋tan 得
1－tan αtan
高考二轮复习专题-导数中的隐零点问题优质课件(共21张PPT)
法二：分参角度，当t 2时，x13 3 x12 (2 t )x1 16 t,其中x1 [ ,0]
t( x1
1)
x13
3 x12
2 x1
16
t
x13
3 x12 2 x1 x1 1
16
x12
2 x1
16 x1 1
设h( x)
x2
2x
16 , h'( x) x1
解：设f(x)=ex ln x,f '(x) ex 1 ，令g(x) ex 1 ,
x
x
g '(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱex
1 x2
0, g(x)在(0, )上单调递增，
g(1)
e
1
0, g( 1 )
1
e2
2
0, 存在唯一的零点
2
x0
(
1 2
,
1),
使得g(x0
)
ex0
1 x0
0.
当x (0, x0 ),g(x) 0,即f '(x) 0, f (x)单 调 递 减 ；
2x 2
16 ( x 1)2
2( x 1)3 16 ( x 1)2
令h'( x) 0, x 1, x ( ,1),h'( x) 0, x (1,0),h'( x) 0.
h( x)min h(1) 11, 2 t 11.
评析：法二通过分参，构造函数，避开了直接把极值点代入求值。 不等式的恒成立转化为函数的最值问题是我们常用的处理方法。
x13 3 x12 3 x1 7 0 ( x1 1)3 8 0 1 x1 0
t 3 x12 6 x1 2 3( x1 1)2 1 11
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题五 微切口18 隐性圆的研究2
－2＝1， 即点 A 在以(0,0)为圆心， 3为半径的圆周上除去与 x 轴的交点，
所以 A 到 BC 距离的最大值，即为半径 3， 所以 Smax＝12×2 2× 3＝ 6.
(变式(3))
常见的求隐圆的策略如下： 策略四 两定点 A，B，动点 P 满足 PA2＋PB2 是定值确定隐圆； 策略五 两定点 A，B，动点 P 满足PPAB＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)； 策略六 构造或者直接求动点的轨迹． 利用几何法简化研究直线与圆及圆与圆的位置关系： 直线与圆有关的网络交汇问题，利用直线与圆及圆与圆的位置关系，借助圆的几何 性质的代数表示(相切条件，勾股数等)简化运算，充分体现解析几何的特点“代数的方 法研究几何性质，利用几何性质可简化其运算”．
【解析】 设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16，
即(x＋1)2＋y2＝4，所以
1＋3 a2≤2，解得
a≤－
25或
a≥
5 2.
(2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.
设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上，若圆 C 上存在一点 M，使得 MA ＝2MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_，__1_52___．
(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点 A(0,2)，若 圆 C 上存在点 M，满足 MA2＋MO2＝10，则实数 a 的取值范围是__[_0_,_3_] __．
【解析】 设点 M(x，y)，由 A(0,2)，O(0,0)及 MA2＋MO2＝10，得 x2＋(y－2)2＋x2 ＋y2＝10，整理得 x2＋(y－1)2＝4，即点 M 在圆 E：x2＋(y－1)2＝4 上．若圆 C 上存在点 M 满足 MA2＋MO2＝10，也就等价于圆 E 与圆 C 有公共点，所以|2－1|≤CE≤2＋1，即 |2－1|≤ a2＋a－32≤2＋1，整理得 1≤2a2－6a＋9≤9，解得 0≤a≤3，即实数 a 的取 值范围是[0,3]．
第2部分 专题5 强基专题5 隐圆问题 课件(共21张PPT)
d＝
k|82＋k| 1≤6，解得－3
7
7≤k≤3
7
7 .]
类型3 两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐 圆(距离平方圆)
【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－ 4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．
(1)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由.
[跟进训练] 1．如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距 离为1，则实数a的取值范围是________．
－65，0 [由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相 交，所以2－1< 2a2＋a＋32<1＋2,1<5a2＋6a＋9<9，
5a2＋6a＋8＞0， 5a2＋6a＜0，
第二部分 核心专题 师生共研
专题五 解析几何 强基专题5 隐圆问题
考查直线与圆、圆与圆的综合问题时题设条件中没有直接给 出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现 圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的相关知识来解决问题，这类 问题称为“隐圆”问题．
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
(2)若圆C上存在唯一的点Q，使得Q→A·Q→B＋2＝λ，求λ的值．
[解] (1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2. 假设圆C上存在点P，
设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2 ＋(y－2)2＝12，
≤y≤
27，所以点
M的纵坐标的取值范围是－
27，
27.]
【例1】 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，
高考数学二轮复习“隐圆”问题课件(30张)(全国通用)
【解析】方法一：设 P(x，y)，则 x2＋y2＝2，
PPAB2＝x－x21＋2＋y＋y2＋212＝x2＋x2＋y2－y2＋2x＋4y＋2y＋4 2 ＝2－2＋2x＋4y＋2y＋4 2＝－2x＋y＋y＋3 2＝12－12×xy－ ＋1232，
令 t＝xy－＋1232，即 2x－2ty－3t－1＝0，则动直线 2x－2ty－3t－1＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以|－43＋t－4t12|≤ 2，解得－7≤t≤1，所以PPAB2＝12－2t ∈[0,4]，即PPAB∈ [0，2]，故PPAB的最大值是 2.
所以点
M
的
轨
迹
方
程
为
x＋12
2
＋
y－12
2
＝
1 2
(
除
去
原
点
)
，
所
以
AM
的最大值为
－4＋122＋0－122＋ 22＝3 2.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－2)，B(1，－1)，P 为圆 x2＋y2＝2 上一动点，则PPAB的最大值是___2_____．
方法二：设 P(x，y)，则 x2＋y2＝2，
则 x2＋y2－2x＋2y＋2＝λ(x2＋y2＋4y＋4)，即(λ－1)·(x2＋y2)＋2x＋(4λ－2)y＋4λ－ 2＝0，因为 x2＋y2＝2，所以 x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0，则动直线 x＋(2λ－1)y＋3λ－2 ＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以 1＋|3λ－2λ－2| 12≤ 2，解得 0≤λ≤4，即PPAB∈[0,2]， 故PPAB的最大值是 2.
微难点10 “隐圆”问题
栏 目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
PPAB2＝x－x21＋2＋y＋y2＋212＝x2＋x2＋y2－y2＋2x＋4y＋2y＋4 2 ＝2－2＋2x＋4y＋2y＋4 2＝－2x＋y＋y＋3 2＝12－12×xy－ ＋1232，
令 t＝xy－＋1232，即 2x－2ty－3t－1＝0，则动直线 2x－2ty－3t－1＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以|－43＋t－4t12|≤ 2，解得－7≤t≤1，所以PPAB2＝12－2t ∈[0,4]，即PPAB∈ [0，2]，故PPAB的最大值是 2.
所以点
M
的
轨
迹
方
程
为
x＋12
2
＋
y－12
2
＝
1 2
(
除
去
原
点
)
，
所
以
AM
的最大值为
－4＋122＋0－122＋ 22＝3 2.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－2)，B(1，－1)，P 为圆 x2＋y2＝2 上一动点，则PPAB的最大值是___2_____．
方法二：设 P(x，y)，则 x2＋y2＝2，
则 x2＋y2－2x＋2y＋2＝λ(x2＋y2＋4y＋4)，即(λ－1)·(x2＋y2)＋2x＋(4λ－2)y＋4λ－ 2＝0，因为 x2＋y2＝2，所以 x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0，则动直线 x＋(2λ－1)y＋3λ－2 ＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以 1＋|3λ－2λ－2| 12≤ 2，解得 0≤λ≤4，即PPAB∈[0,2]， 故PPAB的最大值是 2.
微难点10 “隐圆”问题
栏 目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
“隐形圆”说课讲解
隐形圆圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB= BC = 2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA丄PB,则PC的取值范围是圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙，综合性强，，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来.圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现.策略一由圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x —2a)2+ (y— a —3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________ .(2)( 2016 年南京二模)已知圆 O : x 2 + 寸=1,圆 M : (x — a)2 + (y — a + 4)2 = 1 •若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线，切点为 A , B ,使得/ APB=60°则a 的取值范围为 ____________ .(3)( 2017年苏北四市一模)已知 A 、B 是圆C i : x 2 y 2 1上的动点,R ，直线 I : xcos + ysin = 2sin( + ) + 4 与圆 C : (x — m)2+6(y —掐m)2= 1均无公共点，则实数m 的取值范围是 ____________ .(5)( 2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆G ：x12 y 2 2 , 圆AB= .3 , P 是圆 C 2：(x 3)2 (y 4)21上的动点，贝U P A PB 的取值范围是(4)若对任意C2: x m 2 y m彳m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA、PB,切点为A、B, ABP的面积为1,则正数m的取值范围是策略二由动点P对两定点A、B张角是90°( k pA k pB 1，或PA PB 0)确定隐形圆例 2 ( 1)已知圆C：(x 3)2 (y 4)2 1 和两点A( m,0)，B(m,0) (m 0),若圆上存在点P,使得/ APB=90°,贝m的取值范围是________________•(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(-1 , 0), Q(2, 1),直线I: ax by c 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线I上的射影为H,则线段QH的取值范围是______________ .(3)设m R，直线l i : x my 0与直线12 : mx y 2m 4 0 交于点P(X o,y°)，贝U x。
数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题
第8页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
解法 2 因为 P 在直线 x＋ 3y－b＝0 上，所以 3y＝－x＋b，代入 3x2＋3y2＋8x －16＝0，得 4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0.因为点 P 有且只有两个，所以方程有两个 不相等的根，即 Δ>0，整理得 3b2＋8b－80<0，解得 b∈－230，4.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(2) [－1,2] 解析：设 P(x0，－x0－1)，A(x1，y1)，则 B(2x1－x0,2y1＋x0＋1)．
则2x1x－1－2x20＋－y221＝2＋1，2y1＋x0＋12＝1，
即x1－x0＋2 22＋y1＋x0＋2 12＝14， x1－22＋y21＝1.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
【方法归类】 发现隐圆的方法：1. 利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆． 2. 在平面上给定相异两点 A、B，设点 P 在同一平面上且满足 PA＝λPB, 当 λ>0 且 λ≠1 时，点 P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆． 3. 两定点 A，B，动点 P 满足P→A·P→B＝λ 确定隐形圆． 4. 两定点 A，B，动点 P 满足 PA2＋PB2 是定值确定隐形圆．
所以圆 M 和圆 O 有公共点，即 0≤OM≤2，故圆心 O 到直线 l 的距离 d＝ |－a24＋a|1≤2，
解得－ 33≤a≤ 33，所以实数 a 的取值范围为－ 33， 33.
第7页
专题综述 典型例题 课后作业热点难点微专题五 “隐圆”问题
(4) －230，4 解析：设点 P 坐标为(x，y)，因为 PB＝2PA，所以 PB2＝4PA2，即 (x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，整理得 3x2＋3y2＋8x－16＝0. 解法 1 该方程表示一个圆，圆心－43，0，r＝83.因为点 P 有且只有两个，所以直 线和圆相交，故－432－b<83，解得 b∈－230，4.
2022年高三二轮专题复习数学课件 隐圆问题
THANK YOU !
左侧，若直线x＋ 3y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，求m的取值范围．
[解] 由题意得A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得
（x＋1）2＋y2＝2 （x－1）2＋y2，即x－532＋y2＝196，因此圆x－532＋y2＝196与直
线x＋
3
y＋m＝0有交点，即
另一方面，由于D为AB的中点，所以―O→A ＋―O→B ＝2―O→D ，则|―O→A ＋―O→B |＝
2|
―→ OD
|，因而只要求圆(x－3)2＋y2＝1上一动点D到定点O距离的最大值，易知此最大
值为OC＋1＝4，故|―O→A ＋―O→B |的最大值是8.
[答案] 8
类型二
直线和隐圆
[例2] 在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的
∴2f(x)＝g(x)＋h(x)≥g(x)＋g(x)＝2g(x)，即f(x)≥g(x)恒
成立，作出g(x)和f(x)的图象如图所示，则g(x)在直线f(x)
的下方或重合，则直线f(x)的截距b>0，且原点到直线y
＝2x＋b的距离d≥1，d＝
|b| 22＋1
＝
|b| 5
≥1⇒b≥
5或b≤
－ 5(舍去)，即实数b的取值范围是[ 5，＋∞)． 答案：[ 5，＋∞)
|≤|AC|＋1，即
2
－1≤|
―→ AM
|≤
2＋
1，即 2－1≤m≤ 2＋1.
答案： 2－1， 2＋1
3．若定义域均为D的三个函数f(x)，g(x)，h(x)满足条件：对任意x∈D，点(x，g(x))与
点(x，h(x))都关于点(x，f(x))对称，则称h(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”．已知
2020届江苏省高考二轮复习专题：隐形圆问题梳理及运用课件(共15张PPT)
Q
小结： 核心思想： 合理转化
数形合
常见转化途径： 三角形外接圆 轨迹思想求出圆 阿波罗尼斯圆
作业：
1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足 2a2+b2+c2=8 ， 求三角形ABC面积的最大值． 2.已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD ≤ 2BD恒成立， 则最小正整数t的值为________________．
5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A(0，2)，O(0，0)，D(t，0) ( t > 0 ) 三点，
M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴 于点E，l2 交圆C于P，Q 两点． (1)若t ＝PQ＝6，求直线l2的方程； (2)若t是使 AM ≤ 2BM 恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．
本专题主要来研究发现隐圆并用隐圆解决相关问题.
A
B
C
D
E
轨迹思想
注：ABC 中，若AB为定长，则以下关系表明点C在圆上 ：
1. AC2 BC2 定值； 2.kAC kBC - 1；
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆：平面上到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的 轨迹是一个圆。
.
3.已知点A（2，3），点B（6，-3），点P在直线3x - 4y + 3 = 0上，若满足等式 uuur uuur AP BP 2 0 的点P有两个，则实数 的取值范围是_______________．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知B，C为圆 x2 y2 4 上两点，点A（1，1）， 且 AB AC ，则线段BC的长的取值范围为_______________．
小结： 核心思想： 合理转化
数形合
常见转化途径： 三角形外接圆 轨迹思想求出圆 阿波罗尼斯圆
作业：
1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足 2a2+b2+c2=8 ， 求三角形ABC面积的最大值． 2.已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD ≤ 2BD恒成立， 则最小正整数t的值为________________．
5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A(0，2)，O(0，0)，D(t，0) ( t > 0 ) 三点，
M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴 于点E，l2 交圆C于P，Q 两点． (1)若t ＝PQ＝6，求直线l2的方程； (2)若t是使 AM ≤ 2BM 恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．
本专题主要来研究发现隐圆并用隐圆解决相关问题.
A
B
C
D
E
轨迹思想
注：ABC 中，若AB为定长，则以下关系表明点C在圆上 ：
1. AC2 BC2 定值； 2.kAC kBC - 1；
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆：平面上到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的 轨迹是一个圆。
.
3.已知点A（2，3），点B（6，-3），点P在直线3x - 4y + 3 = 0上，若满足等式 uuur uuur AP BP 2 0 的点P有两个，则实数 的取值范围是_______________．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知B，C为圆 x2 y2 4 上两点，点A（1，1）， 且 AB AC ，则线段BC的长的取值范围为_______________．
高考数学浙江专用二轮培优名师公开课市级获奖课件：专题五 微点深化 导函数的隐零点问题
x＋xln ∴k< x－1
x
min，
x＋xln x x－ln x－2 令 g(x)＝ ，则 g′(x)＝ ，令 h(x)＝x－ln x－2(x>1). x－1 （x－1）2
1 x－1 则 h′(x)＝1－x＝ x >0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，存在 x0∈(3，4)，使 h(x0)＝0，
f′(x)的零点取到.但 f′(x)＝0 是超越方程，无法求出来其解.上述解法中没有直接求解 a x0，而是在形式上假设.这样处理的好处在于通过对 x0 满足的等式 e ＝2x ，ln x0＝ 0
2x0
a a 2x0 ln 2－2x0 的合理代换使用， 快速将超越式 e －aln x0 化简为普通的代数式2x ＋2ax0 0 2 ＋aln a，然后使用均值不等式求出最小值，同时消掉了 x0.在求解的过程中，不要 急于消掉 x0，而应该着眼于将超越式化简为普通的代数式，借助 f′(x0)＝0 作整体代 换，从而使问题获解.
1 －a< －1 e
1 h(x0)<he ，
1 而 h(x)显然是增函数，∴0<x0< e 1 综上，当 a>1－e 时，f(x)>e＋1.
1 1 >e，∴hx >h(e)＝e＋1. x0 0
探究提高
先分离变量，再构造函数，不需要分类讨论，简单、直接，从而简
化解题过程.
热点二
整体代换解决隐零点问题
【例 2】 设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)的零点的个数； 2 (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln a.
x
min，
x＋xln x x－ln x－2 令 g(x)＝ ，则 g′(x)＝ ，令 h(x)＝x－ln x－2(x>1). x－1 （x－1）2
1 x－1 则 h′(x)＝1－x＝ x >0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，存在 x0∈(3，4)，使 h(x0)＝0，
f′(x)的零点取到.但 f′(x)＝0 是超越方程，无法求出来其解.上述解法中没有直接求解 a x0，而是在形式上假设.这样处理的好处在于通过对 x0 满足的等式 e ＝2x ，ln x0＝ 0
2x0
a a 2x0 ln 2－2x0 的合理代换使用， 快速将超越式 e －aln x0 化简为普通的代数式2x ＋2ax0 0 2 ＋aln a，然后使用均值不等式求出最小值，同时消掉了 x0.在求解的过程中，不要 急于消掉 x0，而应该着眼于将超越式化简为普通的代数式，借助 f′(x0)＝0 作整体代 换，从而使问题获解.
1 －a< －1 e
1 h(x0)<he ，
1 而 h(x)显然是增函数，∴0<x0< e 1 综上，当 a>1－e 时，f(x)>e＋1.
1 1 >e，∴hx >h(e)＝e＋1. x0 0
探究提高
先分离变量，再构造函数，不需要分类讨论，简单、直接，从而简
化解题过程.
热点二
整体代换解决隐零点问题
【例 2】 设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)的零点的个数； 2 (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln a.
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(2) 已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m,0)．若圆 C 上存在一点 P， 使得∠APB＝90°，则 m 的取值范围是__[_4_,6_]___．
【解析】由题知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 的圆心 C(3,4)，半径为 1. 因为圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5， 所以圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4. 又由∠APB＝90°，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，得 PO＝12AB＝m，所以 4≤m≤6.
(变式(1))
(2) 已知点 A(m，m＋6)，B(m＋2，m＋8)，若圆 C：x2＋y2－4x－4y－10＝0 上存在 不 同 的 两 点 P ， Q ， 使 得 PA ⊥ PB ， 且 QA ⊥ QB ， 则 m 的 取 值 范 围 是 ___(_－__2_－___7_，__－__2_＋____7_) ___．
【解析】 由题意知，以 AB 为直径的圆(x－m－1)2＋(y－m－7)2＝2 与圆 C：(x－2)2 ＋(y－2)2＝18 相交，则圆心距 d＝ m－12＋m＋52∈(2 2，4 2)，解得－2－ 7<m< －2＋ 7.
(3) 已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足C→A·C→B＝λ(λ<0)，若点 C 总不在以点 B 为圆 心，12为半径的圆内，则负数 λ 的最大值是__－__34____．
数根，即 25x2－110x＋57＋32λ＝0 有两个不相等的实数根，则 Δ＝(－110)2－4×25×
(57＋32λ)＞0，解得 λ＜2，所以实数 λ 的取值范围为(－∞，2)．
(1) 已知 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，P 是圆 C2：(x－3)2 ＋(y－4)2＝1 上的动点，那么|P→A＋P→B|的取值范围为__[_7_,1_3_]__．
【解析】 以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系 xOy，设点 C(x，y)，由 A(－1,0)，B(1,0)及C→A·C→B＝λ，得 x2＋y2＝λ＋1，且
0>λ≥－1.当两圆外切或外离时，OB＝1≥ λ＋1＋12，解得 λ≤－34；当圆 B 内切或内含
【思维引导】
【解析】如图，过点 Q 作圆 O 的切线，设切点为 P′， 在圆 O 上要存在点 P 满足∠OQP＝30°，即∠OQP′≥30°. 因为 sin∠OQP′＝OOPQ′≥12，所以 OQ≤2.设 Q(x，y)，则 x2＋y2≤4.因为点 Q 在圆 M 上，即圆 M 与 x2＋y2≤4 有公共 点，所以 1≤(a＋3)2＋(－2a)2≤9，解得－65≤a≤0，所以 a 的取值范围为－65，0.
【解析】因为 AB＝ 3， 所以线段 AB 的中点 H 在圆 O：x2＋y2＝14上，且|P→A＋P→B|＝2|P→H|. 因为点 P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点，所以 5－32≤|P→H |≤5＋32，即72≤|P→H|≤123，所以 7≤2|P→H|≤13，从而|P→A＋P→B|的取 值范围是[7,13]．
(3)
已知点 A(2,3)，点 B(6，－3)，点 P 在直线 3x－4y＋3＝0 上，若满足等式
→→ AP·BP
＋2λ＝0 的点 P 有两个，则实数 λ 的取值范围是__(_－__∞_，__2_)___．
【解析】由点 P 在直线 3x－4y＋3＝0 上，设 Px，3x＋4 3，则A→P＝x－2，3x＋4 3－3， B→P＝x－6，3x＋4 3＋3，所以A→P·B→P＝(x－2)(x－6)＋3x＋4 32－9＝116(25x2－110x＋57)．又 满足A→P·B→P＋2λ＝0 的点 P 有 2 个，所以116(25x2－110x＋57)＋2λ＝0 有两个不相等的实
策略二 策略三
动点 P 对两定点 A，B 的张角是 90°k1·k2＝－1或P→A·P→B＝0确定隐圆； 两定点 A，B，动点 P 满足 P→A·P→B＝λ 确定隐圆．
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题五 解析几何 微切口17 隐性圆的研究1
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋
(y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的 取值范围为__－__65_，__0_ ．
于圆 C 时，OB＝1≤ λ＋1－12，解得 λ≥54(舍去)．故负数 λ 的最大值是－34.
圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐
藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识
来求解，常见的策略如下：
策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；