高三数学第一轮复习椭圆.ppt

x2 y2 ∴所求椭圆方程为 ＋ ＝ 1. 32 16
课堂互动讲练
考点四 直线与椭圆
在讨论直线与椭圆位置关系时，先 联立直线与椭圆组成的方程组，然后消 去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，这时 方程一定为一元二次方程，接下来利用 判别式大于零、等于零、小于零判断直 线与椭圆相交、相切、相离，相交时注 意根与系数的关系x1＋x2＝
(1)求此椭圆的方程； (2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭 圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆 的短轴长，求m的值．
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x2 y2 解：(1)设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0) a b c 3 则 c＝ 3， ＝ ，∴a＝2，b＝1. 2分 a 2 x2 2 ∴所求椭圆方程为 ＋ y ＝1. 4分 4
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而 y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋ 1，9 分 3 3k2 2k2 于是 x1x2＋ y1y2＝－ 2 － 2 － 2 ＋1 k ＋4 k ＋4 k ＋4 －4k2＋1 ＝ 2 ＝ 0， k ＋4 1 2 化简得－4k ＋ 1＝0，所以 k＝± . 10 分 2 1 4 12 当 k＝ ± 时，x1＋x2＝∓ ，x1x2＝－ . 2 17 17
答案：4
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考点一 求椭圆的标准方程
求椭圆方程，若中心和对称轴已 知，则只求a、b即可，而a、b、c有关 系式a2＝b2＋c2，由方程的思想，还须 列出两个关于a、b、c的关系式，即可 求出a、b，解决问题的关键是：列方 程(组)，解方程(组)，求待定系数．
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例1 求满足下列各条件的椭圆的标准 方程： (1)长轴长是短轴长的3倍且经过 点A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一 个正三角形，且焦点到同侧顶点的距 离为 3；
6分
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【名师点评】 (1)解析几何与向 量的结合是近几年高考的热点，解题 时应尽量将向量问题转化为非向量问 题； (2)涉及弦长问题时，一般不会求 方程组的解，而是利用两点间的距离 公式，借助根与系数关系，利用整体 代入的方法求解．
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高考检阅
(本题满分 12 分 )已知椭圆的两焦点为 3 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，离心率 e＝ . 2
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若椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为 y2 x2 2＋ 2＝ 1(a>b>0)， a b ∵椭圆过点 A(3,0)， 02 9 ∴ 2＋ 2＝1， a b ∴b＝3，又 2a＝3· 2b， ∴a＝9， y2 x2 ∴方程为 ＋ ＝ 1. 81 9 2 2 2 x y x 2 综上所述，椭圆方程为 ＋ y ＝ 1 或 ＋ ＝1. 9 81 9
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例3
x2 y2 椭圆 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0) 的两个焦 a b 点为 F1(－c,0)、F2(c,0)，M 是椭圆上 → → 一点，满足F1M· F2M＝ 0.求离心率 e 的取值范围．
【思路点拨】 设M(x，y)，由 题意将x表示为关于e的不等式，根据 椭圆上的点的取值范围得到关于e的不 等式，即可得．
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【思路点拨】 由已知条件设出 椭圆的标准方程，解方程(组)，用待 定系数法求解，应注意处理椭圆焦点 位置不确定时的情况．
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【解】 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为 x2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0)， a b ∵椭圆过点 A(3,0)， 9 ∴ 2＝ 1，a＝3， a ∵2a＝3· 2b， ∴b＝ 1， x2 2 ∴方程为 ＋ y ＝1. 9
c e＝ a
(0，±c)
c e＝ a
基础知识梳理
椭圆的离心率的大小与椭圆的扁 平程度有怎样的关系？ 【思考·提示】 离心率越接近 1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆 就越接近于圆．
三基能力强化
1．已知两定点A(－1,0)， B(1,0)，点M满足|MA|＋|MB|＝2，则 点M的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 答案：C
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【解】 两定圆的圆心和半径分 别是O1(－3,0)，r1＝1， O2(3,0)，r2＝9. 设动圆圆心为M(x，y)，半径为 R， 则由题设条件，可知 |MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R， ∴|MO1|＋|MO2|＝10，
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由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点 的椭圆上，且 a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16，
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设点H(x，y)是椭圆上的一点，则 |HN|2＝x2＋(y－3)2 ＝(2b2－2y2)＋(y－3)2 ＝－(y＋3)2＋2b2＋18(－b≤y≤b)． ①若0<b<3，则－b>－3， 当y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9.
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由题意知： b2＋6b＋9＝50， b＝5 2 －3，这与 0<b<3 矛盾． ②若b≥3，则－b≤－3， 当y＝－3时， |HN|2有最大值2b2＋18， 由题意知：2b2＋18＝50，∴b2＝ 16，符合条件．
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∵0≤x2≤a2 ， ∴0≤a2(2 －
a2 2 2 )≤ a ， c
a2 1 即 0≤2－ 2 ≤1,0≤2－ 2≤1， c e 2 解得 ≤e≤1 ，又 ∵0<e<1 ， 2 2 ∴ ≤e<1. 2
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【思维总结】 椭圆的几何性质 主要是围绕椭圆中的“六点”(两个焦 点、四个顶点)，“两线”(两条对称轴 )，“两形”(中心、焦点以及短轴端点 构成的三角形、椭圆上一点和两焦点 构成的三角形)，“两围”(x的范围，y 的范围)． 而本题易忽略y的范围而不对y的 取值进行讨论．
源自文库 课堂互动讲练
a＝ 2c (2)由已知 ， a－ c＝ 3 a＝ 2 3， ∴ c＝ 3，
x2 ∴ 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程为 12 2 2 2 y x y ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝1. 9 9 12
从而 b2＝9，
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【名师点评】 一般求已知曲线类型的 曲线方程问题，通常用待定系数法，可采用 “先定形，后定式，再定量”的步骤：(1)定形 ——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的 位置；(2)定式——根据“形”设方程的形式， 注意曲线方程的应用，如当椭圆的焦点不确 定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2 ＝1(m＞0，n＞0)；(3)定量——由题设中的 条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过 解方程(组)得到量的大小．
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考点二 椭圆的定义
由椭圆的定义可知在平面内与两 个定点F1，F2的距离之和等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．可以 将椭圆上的点到两个焦点的距离进行 转化，从而解决有关线段长度的问 题．一般地，遇到与焦点距离有关的 问题时，首先应考虑用定义来解题．
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例2 一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2 ＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内 切，试求动圆圆心的轨迹方程． 【思路点拨】 两圆相切，圆心 之间的距离与两圆半径有关，据此可 以找到动圆圆心满足的条件．
第1课时
椭圆
基础知识梳理
1．椭圆的定义 平面内动点P到两个定点F1，F2的距 离的和等于常数2a，当 2a＞|F1F2| 时，动 点P的轨迹是椭圆；当 2a＝|F1F2| 时，轨 迹为线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不 存在．
基础知识梳理
2．椭圆的标准方程与几何性质
基础知识梳理
范围 顶点坐标 对称轴 对称中心 焦点坐标 离心率 |y|≤a，|x|≤b |x|≤a，|y|≤b (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) x轴、y轴 x轴、y轴 坐标原点O 坐标原点O (±c,0)
x2 y2 答案： ＋ ＝1 16 4
三基能力强化
5 ． (2009 年高考上海卷改编 ) x2 y2 已知 F1、F2 是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a a b ＞b＞0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上 → → 一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面 积为 16，则 b＝________.
答案：A
三基能力强化
x2 y2 3．已知椭圆 ＋ ＝1 的焦点 2 m 1 在 y 轴上，且离心率为 ，则 m 的 2 值是( ) 2 4 A. B. 3 3 5 8 C. D. 3 3
答案：D
答案：＋＝1
三基能力强化
4．(教材习题改编)已知椭圆中 心在原点，一个焦点为 F(－2 3， 0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则 该椭圆的标准方程是________．
x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 25 16
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【名师点评】 不明确椭圆定义 或不能将题目所给信息有效转化为椭 圆定义．
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考点三
椭圆的性质及应用
主要问题有两类，一类根据椭圆 方程研究椭圆的几何性质，另一类根 据椭圆几何性质，综合其他知识求椭 圆方程或者研究其他问题，这一类利 用性质是关键．
三基能力强化
2．若△ABC的两个顶点坐标分 别为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长 为18，则顶点C的轨迹方程为( )
x2 y2 y2 x2 A. ＋ ＝1(y≠0) B. ＋ ＝1(y≠0) 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C. ＋ ＝1(y≠0) D. ＋ ＝1(y≠0) 16 9 16 9
x1＋x2 B B － ，而 ＝－ 恰为弦的中点． 2 A 2A
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例4
(解题示范)(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0，－ 3)， (0， 3)的距离之 和等于 4，设点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程； (2)设直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A， → → B 两点，则 k 为何值时OA⊥OB？此 时|A B |的值是多少？
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互动探究
在例 3 中当离心率 e 取得最小值 时，点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2，求此时椭圆的方程． 2 解：当离心率 e 取最小值 时， 2 c 2 2 ＝ ⇒c＝ a，a2－ b2＝ c2⇒a2－ b2 2 a 2 1 2 ＝ a ⇒a2＝ 2b2， 2 x2 y2 ∴椭圆方程可表示为 2＋ 2＝1， 2b b
→
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【思路点拨】
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【解】 (1)设 P(x， y)， 由椭圆定义可知， 点 P 的轨迹 C 是以 (0，－ 3)， (0， 3)为焦 点，长半轴为 2 的椭圆，它的短半轴 b ＝ 22－ ( 3)2＝1， 2 y 故曲线 C 的方程为 x2＋ ＝1. 4分 4
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(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 2 y2 x ＋ ＝ 1， 4 其坐标满足 y＝ kx＋ 1， 消去 y 并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， 2k 3 故 x1＋x2＝－ 2 ， x1x2＝－ 2 . 8分 k ＋4 k ＋4 → → 若OA⊥OB，则 x1x2＋ y1y2＝ 0.
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→ |AB|＝ (x2－x1)2＋ (y2－ y1)2 ＝ (1＋k2)(x2－ x1)2， 2 2 而 (x2－x1) ＝ (x2＋x1) － 4x1x2 3 2 4 12 4 ×13 ＝ 2＋ 4× ＝ . 17 17 172 → 4 65 所以|AB|＝ . 12 分 17
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→ 【解】 设点 M 的坐标为 (x， y)，则F1M＝ (x → → → ＋ c， y)，F2M＝ (x－ c， y)．由F1M· F2M＝0， 得 x2－ c2＋ y2＝0，即 y2＝ c2－x2. ① 2 x 2 2 又由点 M 在椭圆上得 y ＝b (1－ 2)， a 2 x 代入①得 b2(1－ 2)＝ c2－x2， a 2 a 所以 x2＝a2(2－ 2)， c
课堂互动讲练
y＝ x＋ m (2)由x2 2 ＋ y ＝1 4
消去 y 得关于 x 的方程：
5x2＋ 8mx＋4(m2－ 1)＝ 0，则 Δ＝ 64m2－80(m2－ 1)>0 得 m2<5(*) 设 P(x1， y1)、 Q(x2， y2)，则 8 x1＋ x2＝－ m， 5 4(m2－1) x1x2＝ ， 8分 5