【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 椭圆的定义与标准方程学案 理
高考第一轮复习数学：8.1 椭圆
第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形;了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容;进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义;标准方程;简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题;成了解析几何的主要内容;在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中;圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题;有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特;每年的试卷中客观题2至3道;主观题1道;分值占全卷的15%左右;“难、中、易”层次分明;既有基础题;又有能力题.2.全面考查重点突出试题中;圆锥曲线的内容几乎全部涉及;考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三;通过知识的重新组合;考查学生系统掌握课程知识的内在联系;重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性;重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中;圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点;解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念对概念定义应“咬文嚼字”；2.熟悉曲线会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想“小处着手”即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法.8.1 椭圆●知识梳理定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长＞|F 1F 2|的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e ∈0;1的点的轨迹方程1. 22a x +22b y =1a ＞b ＞0;c =22b a -;焦点是F 1－c ;0;F 2c ;02.22a y +22bx =1a ＞b ＞0;c =22b a -;焦点是F 10;－c ;F 20;c x =a cos θ;y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1a ＞b ＞01.范围：|x |≤a ;|y |≤b2.对称性：关于x ;y 轴均对称;关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1－a ;0;A 2a ;0；短轴端点B 10;－b ;B 20;b4.离心率：e =a c∈0;1 5.准线：l 1：x =－c a 2;l 2：x =ca 26.焦半径：Px ;y ∈Er 1=|PF 1|=a +ex ;r 2=|PF 2|=a －ex思考讨论对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1a ＞b ＞0;其性质如何 焦半径公式怎样推导●点击双基1.2003年北京宣武区模拟题已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点;过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点;则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B3.参数方程θ为参数2.2004年湖北;6已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2;点P 在椭圆上;若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点;则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°;只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4;b =3得c =7;∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ; y =3sin ϕ A.0;0;0;－8 B.0;0;－8;0 C.0;0;0;8 D.0;0;8;0解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1;∴c =4.易得焦点0;0;8;0. 答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆;那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上;则k2>2;即k <1.又k >0;∴0<k <1. 答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上;它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍;则点P 的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析例1 已知F 1为椭圆的左焦点;A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点;P 为椭圆上的点;当PF 1⊥F 1A ;PO ∥ABO 为椭圆中心时;求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率;即求ac;只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值;因此只需把a 、c 用同一量表示;由PF 1⊥F 1A ;PO ∥AB 易得b =c ;a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22by =1a ＞b ＞0;F 1－c ;0;c 2=a 2－b 2;3.2003年春季北京椭圆 ϕ为参数的焦点坐标为则P －c ;b 221ac -;即P －c ;a b 2.∵AB ∥PO ;∴k AB =k OP ;即－ab =ac b 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ; ∴e =a c =bb 2=22.评述：由题意准确画出图形;利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例2 如下图;设E ：22a x +22by =1a ＞b ＞0的焦点为F 1与F 2;且P ∈E ;∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题;设|PF 1|=r 1;|PF 2|=r 2;则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2;问题即获解决. x y Or r F F PAB 1122证明：设|PF 1|=r 1;|PF 2|=r 2;则S =21r 1r 2sin2θ;又|F 1F 2|=2c ; 由余弦定理有2c 2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=r 1+r 22－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=2a 2－2r 1r 21+cos2θ; 于是2r 1r 21+cos2θ=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ. 评述：解与△PF 1F 2P 为椭圆上的点有关的问题;常用正弦定理或余弦定理;并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动;由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长;而高逐渐变大;故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数;所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角;故2θ∈0;π;θ∈0;2π.这样;θ也逐渐变大;当P 运动到B 时;∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题;读者不妨一试.例3 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点;M 为AB 的中点;直线OMO 为原点的斜率为22;且OA ⊥OB ;求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程;需求a 、b ;为此需要得到关于a 、b 的两个方程;由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ;易得a 、b 的两个方程. 解：设Ax 1;y 1;Bx 2;y 2;M 221x x +;221y y +.x +y =1; ax 2+by 2=1; ∴221x x +=b a b +;221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M b a b +;ba a +.∵k OM =22;∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ;∴11x y ·22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∵x 1x 2=ba b +-1;y 1y 2=1－x 11－x 2; ∴y 1y 2=1－x 1+x 2+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =22－1;b =222－1. ∴所求方程为22－1x 2+222－1y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题;通常采取设而不求;即设出Ax 1;y 1;Bx 2;y 2;但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2;而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.2004年全国Ⅰ;7椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2;过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交;一个交点为P ;则|2PF |等于由 ∴a +bx 2－2bx +b －1=0.A.23 B. 3 C.27D.4 解法一：如下图设椭圆的右焦点为F 1;左焦点为F 2;过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1;∴a =2;b =1;c =3.∴F 13;0.设P 3;y P 代入42x +y 2=1;得y P =21;∴P 3;21;|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4;∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23;∴|PF 2|=27. 解法三：由解法一得P 3;21; 又F 2－3;0;∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙. 2.2003年昆明市模拟题设F 1、F 2为椭圆的两个焦点;以F 2为圆心作圆F 2;已知圆F 2经过椭圆的中心;且与椭圆相交于M 点;若直线MF 1恰与圆F 2相切;则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ;2a －c 2+c 2=4c 2;a c 2+2a c －2=0;ac=3－1.答案：A3.2005年春季北京;10椭圆252x +92y =1的离心率是____________;准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5;b =3;c =4;e =54;准线方程为x =±452=±425.答案：54 x =±425 4.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0上任意一点;P 与两焦点连线互相垂直;且P 到两准线距离分别为6、12;则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上;短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形;焦点到椭圆上的点的最短距离是3;求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ;b =3c ;又a －c =3;解得a 2=12;b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1. 6.直线l 过点M 1;1;与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点;若AB 的中点为M ;试求直线l的方程.解：设Ax 1;y 1、Bx 2;y 2;则421x +321y =1;①422x +322y =1.②①－②;得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点; ∴x 1+x 2=2;y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43x －1; 即3x +4y －7=0. 培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ;焦点在坐标轴上;直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ;且OP ⊥OQ ;|PQ |=210;求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1m >0;n >0;设Px 1;y 1;Qx 2;y 2;解方程组y =x +1; mx 2+ny 2=1.消去y ;整理得m +nx 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4m +nn －1>0;即m +n －mn >0;OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0; 即x 1x 2+x 1+1x 2+1=0;2x 1x 2+x 1+x 2+1=0;∴nm n +-)1(2－n m n-2+1=0. ∴m +n =2.①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=2102;将m +n =2代入;得m ·n =43. ② m =21; m =23; n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8.2003年南京市模拟题设x 、y ∈R ;i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量;若向量a =x i +y +2j ;b =x i +y －2j ;且|a |+|b |=8.1求点Mx ;y 的轨迹C 的方程.2过点0;3作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点;设OP =OA +OB ;是否存在这样的直线l ;使得四边形OAPB 是矩形 若存在;求出直线l 的方程；若不存在;试说明理由.1解法一：∵a =x i +y +2j ;b =x i +y －2j ;且|a |+|b |=8;∴点Mx ;y 到两个定点F 10;－2;F 20;2的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆;方程为122x +162y =1.解法二：由题知;22)2(++y x +22)2(-+y x =8; 移项;得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ; 两边平方;得x 2+y +22=x 2+y －22－1622)2(-+y x +64; 整理;得222)2(-+y x =8－y ; 两边平方;得4x 2+y －22=8－y 2;展开;整理得122x +162y =1.2∵l 过y 轴上的点0;3;若直线l 是y 轴;则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0;解①②得 或∴P 与O 重合;与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3;Ax 1;y 1;Bx 2;y 2; y =kx +3;122x +162y =1; －21＞0恒成立;且x 1+x 2=－23418k k +;x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ;∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ;使得四边形OAPB 是矩形;则OA ⊥OB ;即OA ·OB =0.∵OA =x 1;y 1;OB =x 2;y 2; ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0; 即1+k 2x 1x 2+3kx 1+x 2+9=0; 即1+k 2·－23421k ++3k ·－23418k k ++9=0;即k2=165;得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3;使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0;在矩形ABCD 中;AB =4;BC =4a ; O 为AB 的中点;点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动;且BC BE =CD CF =DADG;P 为GE 与OF 的交点如下图.问是否存在两个定点;使P 到这两点的距离的和为定值 若存在;求出这两点的坐标及此定值；若不存在;请说明理由.y分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程;据此可判断是否存在两点;使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意;有A －2;0;B 2;0;C 2;4a ;D －2;4a .设BC BE =CD CF =DADG=k 0≤k ≤1; 由此有E 2;4ak ;F 2－4k ;4a ;G －2;4a －4ak . 直线OF 的方程为2ax +2k －1y =0. ① 直线GE 的方程为－a 2k －1x +y －2a =0. ②由①②消去参数k ;得点Px ;y 满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 由 消y 得4+3k 2x 2+18kx －21=0.此时;Δ=18k 2－44+3k 2当a 2=21时;点P 的轨迹为圆弧;所以不存在符合题意的两点. 当a 2≠21时;点P 的轨迹为椭圆的一部分;点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时;点P 到椭圆两个焦点－221a -;a ;221a -;a 的距离之和为定值2.当a 2＞21时;点P 到椭圆两个焦点0;a －212-a ;0;a +212-a 的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法;椭圆的方程和性质;利用方程判定曲线的性质;曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点;尤其是第二定义;如果运用恰当可收到事半功倍之效如关于求焦半径的问题.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义;如下图所示：1|PF 1|+|PF 2|=2a ;||||11PM PF =||||22PM PF =e ；2|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ;|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； 3|BF 2|=|BF 1|=a ;|OF 1|=|OF 2|=c ；4|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =c b 2;|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系;及利用第二定义解决问题;关键是注意数形结合;函数与方程的思想;等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：1椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2如下图;它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2;且若记∠OF 1B 2=θ;则cos θ=ac =e .2应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹;本质上;它与坐标系无关;而坐标系是研究的手段.实际上;人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系;从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系;这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等;均不因坐标系的改变而改变.3椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时;其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时;其轨迹不存在.4椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中;总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中;只要A 、B 、C 同号;就是椭圆方程.5当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离;焦点弦长相关时;常利用椭圆的第二定义;转化为点到准线的距离来研究;即正确应用焦半径公式.6使用椭圆的第二定义时;一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的;则上述之比就不再是常数了.拓展题例例1 2003年太原市模拟题如下图;已知△OFQ 的面积为S ;且OF ·FQ=1.1若21＜S ＜2;求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； 2设|OF |=cc ≥2;S =43c ;若以O 为中心;F 为一个焦点的椭圆经过点Q ;当|OQ |取最小值时;求椭圆的方程.解：1由已知;得|sin π－θ=S ; θ=1. ∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2;∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. 2以O 为原点;OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22b y =1a ＞b ＞0;Qx ;y .OF =c ;0;则FQ =x －c ;y .∵21|OF |·y =43c ;∴y =23.又∵OF ·FQ =cx －c =1;∴x =c +c1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c c ≥2.可以证明：当c ≥2时;函数t =c +c1为增函数; ∴当c =2时;|OQ |min =49)212(2++=234;此时Q25;23.将Q 的坐标代入椭圆方程;2425a +249b =1; a 2=10; a 2－b 2=4. b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1.例2 2002年春季全国已知某椭圆的焦点是F 1－4;0、F 24;0;过点F 2;并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ;且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点Ax 1;y 1、Cx 2;y 2满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.1求该椭圆的方程；2求弦AC 中点的横坐标；3设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ;求m 的取值范围.1解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10;得a ＝5.又c ＝4; 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．2解：由点B 4;y B 在椭圆上;得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425;离心率为54．根据椭圆定义;有｜F 2A ｜＝54425－x 1;｜F 2C ｜＝54425－x 2．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列;得得解得54425－x 1＋54425－x 2＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8． 设弦AC 的中点为Px 0;y 0;则x 0＝221x x +＝28＝4．方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列;得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59;①由Ax 1;y 1在椭圆252x ＋92y ＝1上;得y 12＝25925－x 12;所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝5125－4x 1.②同理可得2222)4(y x +-＝5125－4x 2． ③将②③代入①式;得5125－4x 1＋5125－4x 2＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为Px 0;y 0;则x 0＝221x x +＝28＝4．3解法一：由Ax 1;y 1;Cx 2;y 2在椭圆上;得 9x 12＋25y 12＝9×25;④9x 22＋25y 22＝9×25．⑤由④－⑤得9x 12－x 22＋25y 12－y 22＝0; 即9221x x +＋25221y y +2121x x y y --＝0x 1≠x 2.将221x x +＝x 0=4;221y y +＝y 0;2121x x y y --＝－k1k ≠0代入上式;得9×4＋25y 0－k 1＝0k ≠0． 由上式得k ＝3625y 0当k ＝0时也成立.由点P 4;y 0在弦AC 的垂直平分线上;得 y 0＝4k ＋m ;所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P 4;y 0在线段BB ′B ′与B 关于x 轴对称的内部;得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中;未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P 4;y 0; 所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1x －4k ≠0.⑥将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1;得9k 2＋25x 2－50ky 0＋4x ＋25ky 0＋42－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0当k ＝0时也成立.以下步骤同解法一.。
【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习 第8篇 椭圆的定义与标准方程学案 理
第五十课时 椭圆的定义与标准方程课前预习案考纲要求1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、基础知识梳理1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做②定义的符号表示： 。
注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当122a F F < 时， 。
③,,a b c 之间的关系 。
2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。
（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。
预习自测1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )A.10B.20C.241D.4412．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案典型例题考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（ ） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在当堂检测1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+b y x 过点（－2，3），则其焦距为（ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2019年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案A 组全员必做题1．（2019年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2019年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e =,a+b=3求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P(0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案预习自测1.C2.D3.B典型例题【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=. 【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C当堂检测1.D2.C3.D4.DA 组全员必做题1.C2.4633.221 4xy+=4.221 2xy+=5.22143x y+=.B组提高选做题1.221 84x y+=2.221 4xy+=3.221 2xy+=。
高考数学 《椭圆的定义及标准方程》
椭圆的定义及标准方程主标题：椭圆的定义及标准方程副标题：为学生详细的分析椭圆的定义及标准方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的定义，椭圆标准方程难度：2重要程度：5考点剖析：1.理解椭圆的定义；2．掌握椭圆的标准方程及其几何性质，命题方向：1.从考查内容看，椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，其中直线与椭圆位置关系的问题更是高考考查的热点．2．从考查形式看，对定义、标准方程和几何性质的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题；直线与圆锥曲线位置关系的问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度．规律总结：椭圆的定义及标准方程规律总结：一条规律：椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔n >m >0. 两种方法：求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．知识梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：(1)若 22a c > ，则集合P 为椭圆；(2)若 22a c = ，则集合P 为线段；(3)若 22a c < ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质。
高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质
椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-， 方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。
2016届高三数学一轮复习第8篇椭圆的定义与标准方程学案理
第五十课时 椭圆的定义与标准方程课前预习案考纲要求1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、命题趋势：椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。
定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。
基础知识梳理1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做②定义的符号表示： 。
注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当122a F F < 时， 。
③,,a b c 之间的关系 。
2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。
（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。
预习自测1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )A.10B.20C.241D.4412．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠= ，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案典型例题考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（ ） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在当堂检测1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+by x 过点（－2，3），则其焦距为 （ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2013年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案 A 组全员必做题1．（2013年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2013年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e =,a+b=3求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案预习自测1.C2.D3.B典型例题【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=.【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C当堂检测1.D2.C3.D4.DA 组全员必做题1.C2.4633. 2214x y += 4. 2212x y += 5. 22143x y +=.B 组提高选做题1. 22184x y += 2. 2214x y += 3. 2212x y +=。
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
高三椭圆相关知识点
高三椭圆相关知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，涉及到椭圆的定义、性质、参数方程等方面的知识。
在高三阶段，学生需要掌握围绕椭圆的基本概念和计算方法。
本文将重点介绍高三椭圆相关的知识点，以帮助学生加深对椭圆的理解和应用。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点称为焦点，两焦点间的距离称为焦距。
椭圆的形状由焦距和离心率决定，离心率是椭圆的一个重要参数，定义为离心率等于焦距与椭圆长轴的比值。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是含有坐标的一次方程，其一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
在该方程中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是由参数t的函数给出的，椭圆上的任意一点的坐标可以表示为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中0≤t≤2π。
四、椭圆的性质1. 焦点和准线：椭圆的焦点在椭圆的长轴上，且位于中心的左右两侧。
同时，每条过焦点和垂直于长轴的直线称为准线。
2. 圆和双曲线的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆即为圆。
当离心率等于1时，椭圆退化成双曲线。
3. 对称性：椭圆具有对称性，对于任意一点P(x, y)在椭圆上，以中心O为对称中心，点P关于中心O的对称点也在椭圆上。
4. 焦半径的性质：从椭圆上的任意一点P到两焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度，即PF₁ + PF₂ = 2a。
5. 点到椭圆的判定：对于给定的点P(x, y)，可以通过计算(x-h)²/a² + (y-k)²/b²的值是否小于1来判断该点是否在椭圆上。
五、椭圆的方程变换椭圆的方程可以通过平移、缩放和旋转等方式进行变换。
具体来说，通过平移可以改变椭圆的中心位置，通过缩放可以改变椭圆的长短轴长度，通过旋转可以改变椭圆相对于坐标轴的方向。
2016届高三数学一轮复习课件：8.6椭圆
.∴
1
a 2
b
2
5, .
4
∴椭圆方程为 y2 + x2 =1.
54
若椭圆焦点在
y 轴上，设其方程为
y2 a2
x2 b2
=1(a＞b＞0).
5
则由
b
2
a2
1, b2
,得
1
a 2
b
2
6,.
5
∴椭圆方程为 y2 + x2 =1.
65
综上，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 =1 或 y2 + x2 =1.
标准方 程及图 形
10/5/2021
第三页，编辑于星期五：二十点 十一分。
范围 __|x|_≤_a_；_|y_|≤_b______ _|x_|≤__b；__|y|_≤_a______
对称性
曲线关于_x轴_、__y轴__、__ _原__点___对称
曲线关于_x轴__、_y轴__、__ _原__点___对称
故选 B
【答案】 B
10/5/20211
第八页，编辑于星期五：二十点 十一分。
4．已知椭圆过点( 3, 5) ，且与椭圆 y2 x2 ＝1 有相同焦点．则该 25 9
椭圆的方程是
．
【解析】方法一 椭圆 y2 x2 ＝1 的焦点为(0，－4)，(0,4)， 25 9
即 c＝4.
由椭圆的定义知，
②求 PF1·PF2 的取值范围.
【解析】(1)由题意，可设椭圆的方程为 x2 y2 1 (a>b>0).
a2 b2
因为 e＝ 1 ，所以 c2 a2 b2 1 ，即 b2 3 .
2
a2
a2
4
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第五十课时 椭圆的定义与标准方程
课前预习案
考纲要求
1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）
2、命题趋势：椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。
定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。
基础知识梳理
1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做
②定义的符号表示： 。
注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当
122a F F < 时， 。
③,,a b c 之间的关系 。
2．椭圆的标准方程
（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。
（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。
预习自测
1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）
A ．
191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14
32
2=+y x 2.已知椭圆的方程是22
21(5)25
x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周
长为( )
A.10
B.20
C.241
D.441
2．P 是椭圆14
52
2=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠= ，则12F PF ∆的面积等于
（
）
A .
3
3
16 B .)32(4- C .)32(16+ D .16
课内探究案
典型例题
考点1：椭圆的定义
【典例1】下列说法中，正确的是（ ）
A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆
B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆
C ．方程()22
22
210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()22
2210,0x y a b a b
+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆
【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆
考点2．椭圆的标准方程
【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),
求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),求椭圆的方程.
【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．
考点3．椭圆的焦距
【典例3】椭圆 6322
2
=+y x 的焦距是（ ） A ．1
B ．)23(2-
C ．2
D ．)23(2+
【变式3】椭圆14
2
2=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．5或3
D ．不存在
当堂检测
1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
2．若椭圆11622
2=+b
y x 过点（－2，3），则其焦距为 （ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22
-，则椭圆方程是
（ ）
A ．22
184y x += B ．
22
1106y x += C ．
22
148y x += D ．
22
1106
x y += 4. （2013年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于
2
1
,则C 的方程是（ ）
A ．14
32
2=+y x B ．13
42
2=+y x C ．12422=+
y x D ．13
42
2=+y x
课后拓展案 A 组全员必做题
1．（2013年高考大纲卷）已知()()1221
,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）
A ．2
212x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π
4
CBA ∠=
.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.
3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积
为8.求椭圆M 的标准方程.
4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为
2
2
，求椭圆C 的方程.
5．已知圆2
2
:(1)1M x y ++=,圆2
2
:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨
迹为曲线C .求C 的方程.
1．（2013年高考安徽）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，，求椭圆C 的方
程.
2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率3
2
e =,a+b=3求椭圆C 的方程;
3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．求
椭圆C 1的方程.
参考答案
预习自测
1.C
2.D
3.B
典型例题
【典例1】C 【变式1】C
【典例2】（1）22
19x y +=或221819y x +=；（2）22193
x y +=.
【变式2】19
8122=+y x 或
1922
=+x y 【典例3】C
【变式3】C
当堂检测
1.D
2.C
3.D
4.D
A 组全员必做题
1.C
2.
46
3
3. 2
214x y += 4. 2
212
x y += 5. 22
143
x y +=.
B 组提高选做题
1. 22
184x y += 2. 2
214x y += 3. 2
212
x y +=。