2017版高考数学专题1集合与常用逻辑用语3命题及充分必要条件理

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高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语:命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语:命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件【考点梳理】1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.(2)如果p ⇔q ,那么p 与q 互为充要条件.(3)如果p q ,且q p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.4.集合与充要条件设集合A ={x |x 满足条件p },B ={x |x 满足条件q },则有:(1)若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件,若A ⊂≠B ,则p 是q 的充分不必要条件.(2)若B ⊆A ,则p 是q 的必要条件,若B ⊂≠A ,则p 是q 的必要不充分条件.(3)若A =B ,则p 是q 的充要条件.【考点突破】考点一、四种命题的关系及其真假判断【例1】(1) 命题“若4πα=,则tan 1α=”的逆否命题是( ) A.若4πα≠,则tan 1α≠ B.若4πα=,则tan 1α≠C.若tan 1α≠,则4πα≠ D.若tan 1α≠,则4πα=(2) 给出下列命题:①“∃x 0∈R ,x 20-x 0+1≤0”的否定;②“若x 2+x -6≥0,则x >2”的否命题;③命题“若x 2-5x +6=0,则x =2”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 [答案] (1)C (2)C[解析] (1)命题“若p ,则q ”的逆否命题是“若⌝q ,则⌝p ”,显然⌝q :tan 1α≠,⌝p :4πα≠,所以该命题的逆否命题是“若tan 1α≠,则4πα≠”. (2) ①的否定是“∀x ∈R ,x 2-x +1>0”是真命题,①正确;②的否命题是“若x 2+x -6<0,则x ≤2”,由x 2+x -6<0,得-3<x <2,∴x ≤2成立,②正确;③由x 2-5x +6=0,得x =2或x =3,原命题是假命题,因此可知逆否命题为假命题,③错误.综上可知,真命题是①,②.【类题通法】1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p ,则q ”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.2.判断命题真假的2种方法(1)直接判断:判断一个命题是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反例即可.(2)间接判断(等价转化):由于原命题与其逆否命题为等价命题,如果原命题的真假不易直接判断,那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假.【对点训练】1. 命题“若a >b ,则a +c >b +c ”的否命题是( )A.若a ≤b ,则a +c ≤b +cB.若a +c ≤b +c ,则a ≤bC.若a +c >b +c ,则a >bD.若a >b ,则a +c ≤b +c[答案] A[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a >b ,则a +c >b +c ”的否命题是“若a ≤b ,则a +c ≤b +c ”.2. 原命题:设a ,b ,c ∈R ,若“a >b ”,则“ac 2>bc 2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个[答案] C[解析] 原命题:若c =0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为设a ,b ,c ∈R ,若“ac 2>bc 2”,则“a >b ”.由ac 2>bc 2知c 2>0,∴由不等式的基本性质得a >b ,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个.考点二、充分条件与必要条件的判断【例2】(1) 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x ,x ≥-1,ln (-x ),x <-1,则“x =0”是“f (x )=1”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2) 设x ∈R ,则“2-x ≥0”是“|x -1|≤1”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 [答案] (1)B (2)B[解析] (1)若x =0,则f (0)=e 0=1;若f (x )=1,则e x=1或ln(-x )=1,解得x =0或x =-e.故“x =0”是“f (x )=1”的充分不必要条件.(2)由2-x ≥0,得x ≤2,由|x -1|≤1,得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2,x ≤2⇒0≤x ≤2,故“2-x ≥0”是“|x -1|≤1”的必要而不充分条件.【类题通法】充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p ,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.【对点训练】1.已知集合A ={1,a },B ={1,2,3},则“a =3”是“A ⊆B ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为由“a =3”可以推出“A ⊆B ”,反过来,由A ⊆B 可以得到“a =3或a =2”,不一定推出“a =3”,所以“a =3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件.2.已知a ,b 都是实数,那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ,故必要性成立.当a =1,b =0时,满足a >b ,但ln b 无意义,所以ln a >ln b 不成立,故充分性不成立.考点三、充分条件、必要条件的应用【例3】已知P ={x |x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求m 的取值范围.[解析] 由x 2-8x -20≤0得-2≤x ≤10,∴P ={x |-2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≥-2,1+m ≤10,1-m ≤1+m ,∴0≤m ≤3.综上,可知0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【变式1】本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件?并说明理由.[解析] 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9, 这样的m 不存在.【变式2】本例条件不变,若⌝P 是⌝S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.[解析] 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}.∵⌝P 是⌝S 的必要不充分条件,∴P 是S 的充分不必要条件,∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[-2,10]⊂≠[1-m ,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10, ∴m ≥9,则m 的取值范围是[9,+∞).【类题通法】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【对点训练】已知p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是________.[答案] [9,+∞)[解析] 法一:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10,∴⌝p 对应的集合为{x |x >10或x <-2},设A ={x |x >10或x <-2}.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0),∴⌝q 对应的集合为{x |x >1+m 或x <1-m ,m >0},设B ={x |x >1+m 或x <1-m ,m >0}.∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件, ∴B ⊂≠A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m <-2,1+m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤-2,1+m >10,解得m ≥9,∴实数m 的取值范围为[9,+∞).法二:∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件.即p 是q 的充分不必要条件,由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0). ∴q 对应的集合为{x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0}, 设M ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10,∴p 对应的集合为{x |-2≤x ≤10},设N ={x |-2≤x ≤10}.由p 是q 的充分不必要条件知,N ⊂≠M ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m <-2,1+m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m >10,解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9,+∞).。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题

• 一
四种命题及其相互关系
• 四种命题关系间的处理策略 • (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: • ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; • ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
• (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题
是假命题,只需举出反例. • (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真 同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化 为判断其等价命题的真假.
第一章
集合与常用逻辑用语
第 2讲 命题及概念.
考情分析 2017·全国卷Ⅰ,3
命题趋势 1.判断命题的真假. 2.写出一个命题的逆命题、否 命题、逆否命题等. 3.常以函数、不等式等其他知 识为载体,考查一个命题是 另一个命题的什么条件. 4.考题多以选择题、填空题形
• • • • • • •
4.用集合关系判断充分条件、必要条件 以p:x∈A,q:x∈B的形式出现. (1)若p是q的充分条件,则A________ B. ⊆ ⊆ (2)若p是q的必要条件,则B________ A. (3)若p是q的充分不必要条件,则A________B. (4)若p是q的必要不充分条件,则B________A. = (5)若p是q的充要条件,则A________ B.
• • • •
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)语句x2-3x+2=0是命题.( × ) (2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.(× ) (3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成 立”. ( √ ) • (4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意 义相同.( ×)
• 2.四种命题及其相互关系 • (1)四种命题间的相互关系 若q,则p • 若原命题为:若p则q,则逆命题为____________ ,否命题为 若¬ p,则¬ q 若¬ q,则¬ p ____________ ,逆否命题为______________. • (2)四种命题的真假关系 相同 • 两个命题互为逆否命题,它们有_________ 的真假性; • 两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性_________.

全国版2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1集合常用逻辑用语函数与导数课件理

全国版2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1集合常用逻辑用语函数与导数课件理

6.函数的零点:零点存在性定理 7.导数的几何意义
8.函数的单调性与导函数值的关系
9.函数的极值、最值 10.定积分、微积分基本定理
热考题型一 【考情分析】
集合
难度:基础题
题型:以选择题、填空题为主
考查方式:以集合的运算为主要考查对象,常与函数、 不等式、方程等知识交汇命题.
A ðU B
ðU B
加油时间 2015年5月1日 2015年5月15日
加油量(升) 12 48
加油时累计里程(千米) 35 000 35 600
注:“累计里程”是指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
)
【解析】选B.
48 35 600 35 000
【考题集训】 1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定 是 ( ) B.∀x∈R,x2=x D.∃x0∈R,x02=x0
A.∀x∉R,x2≠x C.∃x0∉R,x02≠x0
【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,所以命题 “∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.
A.∅
ðU ห้องสมุดไป่ตู้ B.{2}
=(
)
C.{5}
D.{2,5}
【解析】选B.A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥ ={x∈N|2≤x< }={2}.
5},ðU A
5
热考题型二
【考情分析】
常用逻辑用语
难度:基础题
题型:以选择题为主
考查方式:涉及知识面较广,常与函数、不等式、三 角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在 一起考查.
x 2 x 2, x 0, 即h(x)=f(x)+f(2-x)= 2,0 x 2, x 2 5x 8, x 2. y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,

高考数学 集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(理科)

高考数学 集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(理科)
-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. [解析] ∵B⊆A,∴①若B=∅, 则2m-1<m+1,此时m<2.
②若B≠∅,则2mm+-11≥≥-m2+,1, 2m-1≤5.
解得2≤m≤3.由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为 (-∞,3].
[答案] (-∞,3]
[易错提醒] 将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条 件时,应注意子集与真子集的区别,此类问题多与不等 式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把 端点值代入进行验证,否则易产生增解或漏解.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 集合子集个数的判定
含有n真子集的个数为2n-2(除空集 和集合本身,此时n≥1).
[例1] 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x
<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
()
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,所以A={1,2}.由
题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},
{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
[答案] D
[易错提醒] (1)注意空集的特殊性:空集是任何集合的子集,是 任何非空集合的真子集. (2)任何集合的本身是该集合的子集,在列举时千万 不要忘记.

2x

3>0


x>
3 2


B

3 xx>2
.

A∩B

{x|1<x<3}∩xx>32 =32,3. [答案] D

2017年高考数学考前回扣教材1 集合与常用逻辑用语

2017年高考数学考前回扣教材1 集合与常用逻辑用语

2017年高考数学考前回扣教材1 集合与常用逻辑用语回扣1集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的运算性质:①A∪B=A⇔B⊆A;②A∩B=B⇔B⊆A;③A ⊆B⇔∁UA⊇∁UB.(2)子集、真子集个数运算公式:关于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.(3)数轴和V enn图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体运算时不要不记得集合本身和空集这两种专门情形.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关咨询题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q:若p、q中至少有一个为真,则命题为真命题,简记为:一真则真.(2)命题p∧q:若p、q中至少有一个为假,则命题为假命题,p、q同为真时,命题才为真命题,简记为:一假则假,同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),其否定为特称命题綈p:∃x0∈M,綈p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),其否定为全称命题綈p:∀x∈M,綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p,则p是q的充分不必要条件;(2)若p⇏q且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;(3)若p⇔q,则称p是q的充要条件;(4)若p⇏q且q⇏p,则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时,一定要明白得好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x|y=lg x}——函数的定义域;{y|y=lg x}——函数的值域;{(x,y)|y=lg x}——函数图象上的点集.2.易混淆0,∅,{0}:0是一个实数;∅是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,然而0∉∅,而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的咨询题时,专门要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B,A∩B=A,A∪B=B求解集合A时,务必分析研究A=∅的情形.5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p,则q”,则该命题的否定为“若p,则綈q”,其否命题为“若綈p,则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时,不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件咨询题,第一要弄清谁是条件,谁是结论.1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m等于()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案B解析∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m∈{1,3,m},∴m=1或m=3或m=m,由集合中元素的互异性易知m=0或m=3.2.设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范畴是()A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案 A解析 若A ⊆B ,则a ≥2,故选A.3.已知集合M ={x|-3<x ≤5},N ={x|x<-5或x>5},则M ∪N 等于( )A.{x|-3<x<5}B.{x|-5<x<5}C.{x|x<-5或x>-3}D.{x|x<-3或x>5}答案 C解析 在数轴上表示集合M 、N ,则M ∪N ={x|x<-5或x>-3},故选C.4.满足条件{a}⊆A ⊆{a ,b ,c}的所有集合A 的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 D解析 满足题意的集合A 能够为{a},{a ,b},{a ,c},{a ,b ,c},共4个.5.已知集合U =R(R 是实数集),A ={x|-1≤x ≤1},B ={x|x2-2x<0},则A ∪(∁UB)等于( )A.[-1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.(-∞,1]∪[2,+∞)答案 D解析 B ={x|x2-2x<0}=(0,2),A ∪(∁UB)=[-1,1]∪(-∞,0]∪[2,+∞)=(-∞,1]∪[2,+∞),故选D.6.下列命题正确的是( )(1)命题“∀x ∈R ,2x>0”的否定是“∃x0∈R ,20x ≤0”; (2)l 为直线,α,β为两个不同的平面,若l ⊥β,α⊥β,则l ∥α;(3)给定命题p ,q ,若“p ∧q 为真命题”,则綈p 是假命题; (4)“sin α=12”是“α=π6”的充分不必要条件.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)答案 C解析 命题“∀x ∈R ,2x>0”的否定是“∃x0∈R ,20x ≤0”;l 为直线,α,β为两个不同的平面,若l ⊥β,α⊥β,则l ∥α或l ⊂α;给定命题p ,q ,若“p ∧q 为真命题”;则p 且q 是真命题,綈p 且綈q 是假命题;“sin α=12”是“α=π6”的必要不充分条件,因此(1)(3)为真,选C.7.设命题p :∃x0∈R ,使x20+2x0+a =0(a ∈R),则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a>-2B.a<2C.a ≤1D.a<0答案 D解析 设f(x)=x2+2x +a ,则p 为真命题⇔f(x)在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8.已知命题p :在△ABC 中,若AB<BC ,则sin C<sin A ;命题q :已知a ∈R ,则“a>1”是“1a <1”的必要不充分条件.在命题p ∧q ,p ∨ q ,(綈p)∨q ,(綈p)∧q 中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 A解析 由题意得,在△ABC 中,若AB<BC ,即c<a ,由正弦定理可得sin C<sin A ,因此p 真,又已知a ∈R ,则“a>1”是“1a <1”的充分不必要条件,因此q 假,只有p ∨q 为真命题,故选A.9.已知命题p :∀m ∈[0,1],x +1x ≥2m ,则綈p 为( )A.∀m ∈[0,1],x +1x <2mB.∃m0∈[0,1],x +1x ≥20mC.∃m0∈(-∞,0)∪(1,+∞),x +1x ≥20mD.∃m0∈[0,1],x +1x <20m答案 D 解析 按照全称命题与特称命题的关系,可知命题p :∀m ∈[0,1],x +1x ≥2m ,则綈p 为“∃m0∈[0,1],x +1x <20m ”,故选D.10.下列结论正确的是________. (1)f(x)=ax -1+2(a>0,且a ≠1)的图象通过定点(1,3);(2)已知x =log23,4y =83,则x +2y 的值为3;(3)若f(x)=x3+ax -6,且f(-2)=6,则f(2)=18;(4)f(x)=x(11-2x -12)为偶函数; (5)已知集合A ={-1,1},B ={x|mx =1},且B ⊆A ,则m 的值为1或-1.答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x =1时,f(1)=a0+2=1+2=3,则函数的图象通过定点(1,3),故(1)正确;(2)已知x =log23,4y =83,则22y =83,2y =log283,则x +2y =log23+log283=log2(83×3)=log28=3,故(2)正确;(3)若f(x)=x3+ax -6,且f(-2)=6,则(-2)3-2a -6=6,即a =-10,则f(2)=23-2×10-6=-18,故(3)错误;(4)函数的定义域为{x|x ≠0},关于原点对称, f(x)=x(11-2x -12)=x ·1+2x 21-2x , 则f(-x)=-x ·1+2-x 21-2-x =-x ·2x +122x -1=x ·1+2x 21-2x =f (x),即有f(x)为偶函数,则f(x)=x(11-2x -12)为偶函数,故(4)正确; (5)已知集合A ={-1,1},B ={x|mx =1},且B ⊆A ,当m =0时,B =∅,也满足条件,故(5)错误,故正确的是(1)(2)(4).11.已知M 是不等式ax +10ax -25≤0的解集且5∉M ,则a 的取值范畴是________________.答案 (-∞,-2)∪[5,+∞)解析 若5∈M ,则5a +105a -25≤0,∴(a +2)(a -5)≤0且a ≠5,∴-2≤a <5,∴5∉M 时,a<-2或a ≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a ,b ,c 满足1a +1b =2c ,则称a ,b ,c是调和的;若满足a +c =2b ,则称a ,b ,c 是等差的.若集合P 中元素a ,b ,c 既是调和的,又是等差的,则称集合P 为“好集”,若集合M ={x||x|≤2 014,x ∈Z},集合P ={a ,b ,c}⊆M ,则(1)“好集”P 中的元素最大值为________;(2)“好集”P 的个数为________.答案 2 012 1 006解析 因为a =-2b ,c =4b ,若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的,又是等差的,则1a +1b =2c 且a +c =2b ,故满足条件的“好集”为形如{-2b ,b ,4b}(b ≠0)的形式,则-2 014≤4b ≤2 014,解得-503≤b ≤503,且b ≠0,P 中元素的最大值为4b =4×503=2 012.符合条件的b 值可取1 006个,故“好集”P 的个数为1 006.13.设命题p :实数x 满足x2-4ax +3a2<0,其中a<0;命题q :实数x 满足x2+2x -8>0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范畴是________.答案 (-∞,-4]解析 由命题q :实数x 满足x2+2x -8>0,得x<-4或x>2,由命题p :实数x 满足x2-4ax +3a2<0,其中a<0,得(x -3a)(x -a)<0,∵a<0,∴3a<x<a ,∵q 是p 的必要不充分条件,∴a ≤-4,∴a ∈(-∞,-4].14.已知命题p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x +12≤1,命题q :x2-2x +1-m2<0(m>0),若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范畴是________.答案 (2,+∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x +12≤1⇔-1≤x +12-1≤1⇔0≤x +12≤2⇔-1≤x ≤3, ∴p :-1≤x ≤3;∵x2-2x +1-m2<0(m>0)⇔[x -(1-m)][x -(1+m)]<0⇔1-m<x<1+m ,∴q :1-m<x<1+m.∵p 是q 的充分不必要条件,∴[-1,3]是(1-m ,1+m)的真子集, 则⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m<-1,1+m>3, 解得m>2.。

高三数学问题:1.3-含参数的常用逻辑用语问题(含答案)

高三数学问题:1.3-含参数的常用逻辑用语问题(含答案)

2017届高三数学跨越一本线问题三 含参数的常用逻辑用语问题通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点.考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者.一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p 则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理.【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤,集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,且命题p 是命题的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用p 是的必要不充分条件⇔⊂B A ≠解题 【解析】由已知得{|04}A y y =≤≤,{|1}B x m x m =-≤≤. ∵p 是的必要不充分条件,∴A B ⊂≠.则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.∴14m -≤≤,故m 的取值范围为[1,4].【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【小试牛刀】设p :114≤-x ;:2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数的取值范围. 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21. 【解析】由114≤-x 得,1141≤-≤-x , 故210≤≤x 由2(21)(1)0x a x a a -+++≤()()10x a x a ⇔--+≤⎡⎤⎣⎦1a x a ⇔≤≤+若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,∴p 是q 的必要而不充分条件,即[]1,21,0+⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤⇒2110a a 021≤≤-⇒a ,故所求的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21. 二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题.根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数321()3f x mx x x =++在区间(1,2)上单调递增;命题:q 函数C 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“()p q ∨⌝”为真命题,“()p q ⌝∨”也为真命题,求实数m 的取值范围.【分析】先确定p 真值相同.再根据p ,同真时或同假确定实数m 的取值范围.【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆;命题q :双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈,若命题“p q ∧”为假命题,“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】215m ≤<【解析】若命题p 为真命题 ,则2240D E F +->,即22(2)4(22)0m m m --->整理得220m m -<,解得02m <<.若命题为真命题,则25(1,4)5me +=∈,解得015m << 因为命题p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,所以p q 、中一真一假,若p 真假,则m ∈∅ ; 若p 假真,则215m ≤<,所以实数m 的取值范围为215m ≤<.三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的.【例3】若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则实数m 的取值范围是( )(A )[10,6]- (B )(6,2]- (C )[2,10]- (D )(2,10)-【分析】命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解.【解析】由命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则命题“x R ∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题.所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤ .故选(C ). 【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理.【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-,,2224820x x m m --+-≥成立;[]: 1 2q x ∃∈,,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【答案】12m <或32m =. 【解析】若p 为真:对[]1 1x ∀∈-,,224822m m x x -≤--恒成立,设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--,∴()f x 在[]1 1-,上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,解得1322m ≤≤,∴p 为真时:1322m ≤≤;若为真:[]1 2x ∃≤,,212x mx -+>成立,∴21x m x -<成立.设()211x g x x x x-==-,易知()g x 在[]1 2,上是增函数,∴()g x 的最大值为()322g =,∴32m <,∴为真时,32m <, ∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,∴32m =,当p 假真时132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或,∴12m <,综上所述,m 的取值范围是12m <或32m =.四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围.【例3】已知命题p :“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题:“022,2=-++∈∃a ax x R x ”. 若命题“p 且”是真命题,则实数的取值范围为( ) A .2-≤a 或1=a B .2-≤a 或21≤≤a C .1≥a D .12≤≤-a【分析】若命题“p 且”是真命题,则命题,p q 都是真命题,首先将命题,p q 对应的参数范围求出来,求交集即可.【点评】命题p 是恒成立问题,命题是有解问题.【小试牛刀】已知2:(0,),1p x x mx ∀∈+∞+≥-恒成立,:q 方程222128x y m m +=+表示焦点在轴上的椭圆,若命题“p 且”为假,求实数m 的取值范围. 【答案】(,4]-∞.【解析】由题意:若p 为真,则有1()m x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立.12(1x x x+≥= 取“=”)2m ∴≥-若为真,则有2280m m >+>,即42m -<<-或4m >,由p 且为假,则p 、中至少一个为假.若p 、均为真,则4m >,∴p 且为假,实数m 的取值范围是(,4]-∞【迁移运用】1.【2017四川双流中学高三模拟】已知命题p ⌝:存在()2,1∈x 使得0>-a e x,若p 是真命题,则实数a 的取值范围为( )A .()e ,∞-B .(]e ,∞-C .()+∞,2e D .[)+∞,2e 【答案】D【解析】若存在)2,1(∈x ,使得0>-a e x ,则2max ()x a e e <=,若p 为真命题,则p ⌝为假命题,实数a 的取值范围为),[2+∞e .故本题正确答案为D . 2.【2017河南南阳一中高三上学期月考】已知“x k >”是“,则的取值范围是( )A .[2,)+∞B .[1,)+∞C .(2,)+∞D .(,1]-∞- 【答案】A 可得1x <-或2x >,因为“x k >”是“条件,所以“x k >”是“1x <-或2x >”的真子集,所以2k ≥,故选A.3.【2017使得0122<+-x x λ成立”是假命题,则实数λ的取值范围为( )A .3=λ【答案】A4.函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是( )A .2≥aB .6=aC .3≥aD .0≥a 【答案】D .【解析】函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数则2≥a ;选项A 是充要条件;选项B 、C 是充分不必要条件;故选D .5.命题“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A .4a ≥B .4a ≤C .3a ≥D .3a ≤ 【答案】C【解析】即由“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”.因为x [1,2]∈,所以2[1,4]x ∈,20x a -≤恒成立,即2x a ≤, 因此4a ≥;反之亦然.故选C .6.已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是( ) A .0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B .000,0,()0a x f x ∃>∃>≤. C .0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D .000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C .7.【2017广东郴州高三第二次教学质量监测】若命题:p “020223x x R a a ∃∈-≤-,”是假命题,则实数的取值范围是________. 【答案】[1,2]【解析】“020223x x R a a ∃∈-≤-,”是假命题等价于2223x x R a a ∀∈->-,,即223a a -≥-,解之得12a ≤≤,即实数的取值范围是[1,2].8.已知关于的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ,集合{|22}=-≤≤B x x .若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________.. 【答案】-2,0].【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,可知A B,因此a≥-2且a +2≤2 解得a∈-2,0]9.已知命题:p R x ∈∃,0122≤++ax ax .若命题⌝p 是真命题,则实数的取值范围是 .【答案】)1,0[【解析】若命题⌝p 是假命题,即对于012,2>++∈∀ax ax R x ,当0=a 时,显然成立,当0≠a 时,则100<<⇒⎩⎨⎧<∆>a a ,综上)1,0[∈a .10.由命题“x∈R,x 2+2x +m≤0”是假命题,求得实数m 的取值范围是(a,+∞),则实数a =. 【答案】1.【解析】由题意得命题“∀x∈ R,x 2+2x +m>0”是真命题,所以Δ=4-4m<0,即m>1,故实数m 的取值范围是(1,+∞),从而实数a 的值为1.11.【2015学年江苏省涟水中学高三12月月考数学试卷】已知命题:“2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<”为真命题,则实数的取值范围是. 【答案】a>4.【解析】2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<⇔当(1,4)x ∈时,20x ax a -+<有解⇔(1,4)x ∃∈,使得21x a x >-,设2(x)1x f x =-,则222(x 1)(x)0(1)x x f x --'==-解得x=0,2,当(1,2)x ∈(x)0,(x)f f '<单调递减,当(2,4)x ∈(x)0,(x)f f '>单调递赠,所以2(x)1x f x =-的最小值为(2)4f =,所以a>4.12.【2015届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷】若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<,则实数m 的取值范围是. 【答案】3441≤≤m . 【解析】因为不等式的102x m x m -+<-成立的充分非必要条件是1132x <<,所以111||0322x m x x x x m -+⎧⎫⎧⎫<<⊂<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,当12m m -<即1m >-时,不等式的102x m x m -+<-解集为{|12}x m x m -<<, 由11|{|12}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂-<<⎨⎬⎩⎭得:1131221m m m ⎧-≤⎪⎪⎪≥⎨⎪>-⎪⎪⎩,解之得:3441≤≤m ,当12m m -=即1m =-时,不等式102x m x m-+<-解集为∅;当12m m ->即1m <-时,不等式102x m x m-+<-解集为{|21}x m x m <<-由11|{|21}}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂<<-⎨⎬⎩⎭得:1231121m m m ⎧≤⎪⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎪⎩,此时m 无解,所以m 的取值范围为3441≤≤m . 13.设命题p :实数满足22430x ax a -+<,其中0a >;命题:实数满足2560x x -+≤. (1)若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围; (2)若p 是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围. 【答案】(1) [)2,3(2)()1,214.已知命题P :在R 上定义运算⊗:.)1(y x y x -=⊗不等式1)1(<-⊗x a x 对任意实数恒成立;命题Q :若不等式2162≥+++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立.若P Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,求实数的取值范围. 【答案】123>-<<-∴a a 或.【解析】由题意知,x a x x a x )1)(1()1(--=-⊗若命题P 为真,01)1()1(2>+---x a x a 对任意实数恒成立,∴①当01=-a 即1=a 时,01>恒成立,1=∴a ;②当01≠-a 时,⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(4)1(012a a a ,13<<-∴a , 综合①②得,13≤<-a若命题Q 为真,0>x ,01>+∴x ,则有)1(2)6(2+≥++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立 , 即2)4(++-≥x x a 对任意的*N x ∈恒成立,令2)4()(++-=xx x f ,只需max )(x f a ≥, 224242)(-=+-=+⋅-≤xx x f ,当且仅当)(4*N x x x ∈=即2=x 时取“=”,2-≥∴aP Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,Q P ,∴中必有一个真命题,一个假命题,(1)若P 为真Q 为假,则⎩⎨⎧-<≤<-213a a ,23-<<-a ,(2)若P 为假Q 为真,则⎩⎨⎧-≥>-≤213a a a 或,1>∴a ,综上:123>-<<-∴a a 或.15.设命题p :实数满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:实数满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.(1)若1,a =且p q ∧为真,求实数的取值范围; (2)若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2,3) (2) (]1,2【解析】(1)当1a =时,{}:13p x x <<,{}:23q x x <≤, 又p q ∧为真,所以p 真且真, 由1323x x <<⎧⎨<≤⎩,得23x <<所以实数的取值范围为(2,3)(2) 因为p ⌝是⌝的充分不必要条件, 所以是p 的充分不必要条件, 又{}:3p x a x a <<,{}:23q x x <≤,所以0233a a a >⎧⎪≤⎨⎪>⎩,解得12a <≤所以实数的取值范围为(]1,216.【2016湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】设:p 实数满足:03422<+-a ax x (0>a ),:q 实数满足:121-⎪⎭⎫⎝⎛=m x ,()2,1∈m()I 若41=a ,且q p ∧为真,求实数的取值范围; ()II 是p 的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x;(Ⅱ)11[,]32.()II 是p 的充分不必要条件,记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ,{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a … 得2131≤≤a ,即的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦,… 17. 【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】设命题:p 实数满足22430x ax a -+<,0a ≠;命题:q 实数满足302x x-≥-. (Ⅰ)若1a =,p q ∧为真命题,求的取值范围;(Ⅱ)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围.18.已知命题p :“方程230x ax a -++=有解”,q:“11042x xa +->∞在[1,+)上恒成立”,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数的取值范围.【答案】206a a -<≤≥或【解析】:26p a a ≤-≥或.令21,2xt t t a =+> 02t <≤ ,:0q a ∴≤.∵pq 一真一假,∴260a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或 或260a a -<<⎧⎨≤⎩ 得:206a a -<≤≥或19.命题p 实数满足03422<+a ax -x (其中0a >),命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x- (1)若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围;(2)若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1)()2,3.;(2)(1,2].【解析】由:03422<+a ax -x (其中0a >),解得3a x a <<, 记(,3)A a a = 由⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x-,得132,3或x x x -≤≤⎧⎨><-⎩,即23x <≤,记(]2,3B =. (1)若1a =,且p q ∧为真,则(1,3)A =,(]2,3B =,又p q ∧为真,则1323x x <<⎧⎨<≤⎩,所以23x <<,因此实数的取值范围是()2,3.(2)∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,∴p 是的必要不充分条件,即B A ≠⊂,(]2,3(,3)a a ≠⊂,则只需3302a a >⎧⎨<≤⎩,解得12a <≤,故实数a 的取值范围是(1,2].20.【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-,,2224820x x m m --+-≥成立;[]: 1 2q x ∃∈,,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真:对[]1 1x ∀∈-,,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-,上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时: 若为真:[]1 2x ∃≤,,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2,上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是21.【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-,,2224820x x m m --+-≥成立;[]: 1 2q x ∃∈,,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真:对[]1 1x ∀∈-,,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-,上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时: 若为真:[]1 2x ∃≤,,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2,上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是。

高考理科数学辅导集合与常用逻辑用语

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第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例1】设集合A ={a +1,a -3,2a -1,a 2+1},若-3∈A ,求实数a 的值. 【解析】令a +1=-3⇒a =-4,检验合格; 令a -3=-3⇒a =0,此时a +1=a 2+1,舍去; 令2a -1=-3⇒a =-1,检验合格; 而a 2+1≠-3;故所求a 的值为-1或-4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定-3是集合A 的元素,但A 中四个元素全是未知的,所以需要讨论;而当每一种情况求出a 的值以后,又需要由元素的互异性检验a 是否符合要求.【变式训练1】若a 、b ∈R ,集合{1,a +b ,a }={0,ba,b },求a 和b 的值.【解析】由{1,a +b ,a }={0,ba,b },得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+a b a b b a ,1,0或②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0b a a b b a 显然①无解;由②得a =-1,b =1.题型二 集合的基本运算【例2】已知A ={x |x 2-8x +15=0},B ={x |ax -1=0},若B ⊆A ,求实数a .【解析】由已知得A ={3,5}.当a =0时,B =∅⊆A ;当a ≠0时,B ={1a}.要使B ⊆A ,则1a =3或1a =5,即a =13或15.综上,a =0或13或15.【点拨】对方程ax =1,两边除以x 的系数a ,能不能除,导致B 是否为空集,是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(2010江西)若集合A ={x ||x |≤1,x ∈R },B ={y |y =x 2,x ∈R },则A ∩B 等于( ) A.{x |-1≤x ≤1} B.{x |x ≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A=[-1,1],B=[0,+∞),所以A∩B=[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|x2-14x+24≤0},x,t∈R,且A⊆B.(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b-a,若A的区间“长度”为3,试求t的值;(2)某个函数f(x)的值域是B,且f(x)∈A的概率不小于0.6,试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3,所以log2t-2=3,即log2t=5,所以t=32.(2)由x2-14x+24≤0,得2≤x≤12,所以B=[2,12],所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y,因为f(x)∈A的概率不小于0.6,所以y10≥0.6,所以y≥6,即log2t-2≥6,解得t≥28=256.又A⊆B,所以log2t≤12,即t≤212=4 096,所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).【变式训练3】设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|2x-1≥1},则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}【解析】选C.化简得M={x<-2或x>2},N={x|1<x≤3},故图中阴影部分为∁R M∩N={x|1<x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈,∉和⊆,⊈的使用,实质上就是准确把握两者之间是元素与集合,还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言,借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化,以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时,是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容,如A⊆B,A∩B=A,A∪B=B等条件中,集合A可以是空集,也可以是非空集合,通常必须分类讨论.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.(1)若m,n都是奇数,则m+n是奇数;(2)若x+y=5,则x=3且y=2.【解析】(1)逆命题:若m+n是奇数,则m,n都是奇数,假命题;否命题:若m,n不都是奇数,则m+n不是奇数,假命题;逆否命题:若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数,假命题.(2)逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,真命题;否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题;逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题.【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p,则q”为真,则下列命题中一定为真的是()A.若⌝p,则⌝qB.若⌝q,则⌝pC.若q,则pD.若⌝q,则p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m>0,且为常数,已知条件p:|x-2|<m,条件q:|x2-4|<1,若⌝p是⌝q的必要非充分条件,求实数m的取值范围.【解析】设集合A={x||x-2|<m}={x|2-m<x<2+m},B={x||x2-4|<1}={x|3<x<5或-5<x<-3}.由题设有:⌝q⇒⌝p且⌝p不能推出⌝q,所以p⇒q且q不能推出p,所以A⊆B.因为m>0,所以(2-m,2+m)⊆(3,5),故由2+m≤5且2-m≥3⇒0<m≤5-2,故实数m的取值范围为(0,5-2].【点拨】正确化简条件p和q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是()A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<2【解析】选A.因为A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},且A∩B=∅,所以如图,由画出的数轴可知,即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{a n}的各项都不为零,求证:对任意n∈N*且n≥2,都有1a1a2+1a2a3+…+1a n-1a n=n-1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列.【证明】(1)(充分性)若{a n}为等差数列,设其公差为d,则1 a1a2+1a2a3+…+1a n-1a n=1d[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1a n-1-1a n)]=1d(1a1-1a n)=a n-a1da1a n=n-1a1a n.(2)(必要性)若1a1a2+1a2a3+…+1a n-1a n=n-1a1a n,则1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n -1a n +1a n a n +1=n a 1a n +1, 两式相减得1a n a n +1=n a 1a n +1-n -1a 1a n ⇒a 1=na n -(n -1)a n +1.①于是有a 1=(n +1)a n +1-na n +2,②由①②得na n -2na n +1+na n +2=0,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1(n ≥2). 又由1a 1a 2+1a 2a 3=2a 1a 3⇒a 3-a 2=a 2-a 1,所以n ∈N *,2a n +1=a n +2+a n ,故{a n }为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练3】设0<x <π2,则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x sin x <1,因为x ∈(0,π2),所以x sin x >x sin 2x ,由此可得x sin 2x <1,即必要性成立.若x sin 2x <1,由于函数f (x )=x sin 2x 在(0,π2)上单调递增,且π2sin 2π2=π2>1,所以存在x 0∈(0,π2)使得x 0sin 2x 0=1.又x 0sin x 0>x 0sin 2x 0=1,即x 0sin x 0>1,所以存在x 0′∈(0,x 0)使得x 0′sin 2x 0′<1,且x 0′sin x 0′≥1,故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别,主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的,所以我们在证明一个命题的真假时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有:①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等;②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等;③原命题分类复杂,而逆否命题分类简单;④原命题化简复杂,而逆否命题化简简单.3.p 是q 的充分条件,即p ⇒q ,相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包含关系:P ⊆Q ,即P Q 或P =Q ,必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于P =Q .4.以下四种说法表达的意义是相同的:①命题“若p ,则q ”为真;②p ⇒q ;③p 是q 的充分条件;④q 是p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例1】判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ,都有x 2-x +1>12;(2)∃α,β使cos(α-β)=cos α-cos β; (3)∀x ,y ∈N ,都有x -y ∈N ; (4)∃x 0,y 0∈Z ,使得2x 0+y 0=3.【解析】(1)真命题,因为x 2-x +1=(x -12)2+34≥34>12.(2)真命题,例如α=π4,β=π2,符合题意.(3)假命题,例如x =1,y =5,但x -y =-4∉N . (4)真命题,例如x 0=0,y 0=3,符合题意.【点拨】全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题,举反例即可;特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p :∃x ∈R ,使tan x =1,命题q :∀x ∈R ,x 2>0.则下面结论正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧⌝q ”是假命题C.命题“⌝p ∨q ”是真命题D.命题“⌝p ∧⌝q ”是假命题【解析】选D.先判断命题p 和q 的真假,再逐个判断.容易知命题p 是真命题,如x =π4,⌝p 是假命题;因为当x =0时,x 2=0,所以命题q 是假命题,⌝q 是真命题.所以“p ∧q ”是假命题,A 错误;“p ∧⌝q ”是真命题,B 错误;“⌝p ∨q ”是假命题,C 错误;“⌝p ∧⌝q ”是假命题,D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定 【例2】写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p :∀x ∈R ,x 2-x +14≥0;(2)q :所有的正方形都是矩形; (3)r :∃x ∈R ,x 2+2x +2≤0; (4)s :至少有一个实数x ,使x 3+1=0.【解析】(1)⌝p :∃x ∈R ,x 2-x +14<0,是假命题.(2)⌝q :至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3)⌝r :∀x ∈R ,x 2+2x +2>0,是真命题. (4)⌝s :∀x ∈R ,x 3+1≠0,是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p :∀x ∈(1,+∞),log 3x >0,则⌝p 为. 【解析】∃x 0∈(1,+∞),log 3x 0≤0. 题型三 命题的真假运用【例3】若r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0,如果“对任意的x ∈R ,r (x )为假命题”且“对任意的x ∈R ,s (x )为真命题”,求实数m 的取值范围.【解析】因为由m <sin x +cos x =2sin(x +π4)恒成立,得m <-2;而由x 2+mx +1>0恒成立,得m 2-4<0,即-2<m <2.依题意,r (x )为假命题且s (x )为真命题,所以有m ≥-2且-2<m <2, 故所求m 的取值范围为-2≤m <2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出,然后由r (x )为假命题(取A 的补集),s (x )为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合:在定义域内存在x 0,使得f (x 0+1)=f (x 0)+f (1)成立.已知下列函数:①f (x )=1x;②f (x )=2x ;③f (x )=lg(x 2+2);④f (x )=cos πx ,其中属于集合M 的函数是(写出所有满足要求的函数的序号).【解析】②④.对于①,方程1x +1=1x+1,显然无实数解;对于②,由方程2x +1=2x +2,解得x =1;对于③,方程lg[(x +1)2+2]=lg(x 2+2)+lg 3,显然也无实数解; 对于④,方程cos[π(x +1)]=cos πx +cos π, 即cos πx =12,显然存在x 使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题,特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定,一定要注意与否命题的区别:全称命题的否定,先要将它变成特称命题,然后将结论加以否定;反过来,对特称命题的否定,先将它变成全称命题,然后对结论加以否定.而命题的否命题,则是将原命题中的条件否定当条件,结论否定当结论构成一个新的,即否命题.。

全国版2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件理

全国版2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件理
B={1,3,4},则A∪( B)= . ðU 【解析】由题意, B={2},所以A∪( B)={1,2,3}. ðU ðU 答案:{1,2,3}
6.(2015·江苏高考)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5}, 则集合A∪B中元素的个数为 .
【解析】因为A={1,2,3},B={2,4,5},
【母题变式】
1.本例(3)中,是否存在实数m,使A⊆B?若存在,求实数m
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】由A⊆B,得 m 1< 2, m< 3, 即 2m 1>7, m>4, 不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B.
2.本例(3)中,若B={x|m+1≤x≤1-2m},A m的取值范围.
所以-1∈A,所以A错误; 令-11=3k-1,k=-
10 令-34=3k-1,k=-11, 3 所以-34∈A,所以D错误.
∉Z,所以-11∉A,所以B错误;
因为k∈Z,所以k2∈N,则3k2-1∈A,所以C正确.
(2)选C.由{a,b,c}={0,1,2}得,a,b,c的取值有以下情况: 当a=0时,b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件; 当a=1时,b=0,c=2或b=2,c=0,此时不满足条件;
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},
B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4},由A⊆C⊆B,
方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、
2个,即C的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有 22=4个.
方法二:C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共

(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3课 简单的逻辑联结词、

(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3课 简单的逻辑联结词、

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修1-1P13习题3改编)若命题p :2是质数;q :不等式x 2-2x-3<0的解集为(-1,3),则命题“p 且q ”是 命题.(填“真”或“假”) 【答案】真【解析】因为2是质数,故p 为真命题;q 也是真命题,故p 且q 为真命题.2.(选修1-1P15例1改编)命题“∀x ∈R ,x 2+x+1>0”的否定是 .【答案】∃x ∈R ,x 2+x+1≤03.(选修1-1P16习题4改编)命题“∃x ∈N ,x 2≤0”的否定是 .【答案】∀x ∈N ,x 2>04.(选修1-1P21本章测试6改编)命题“对于函数f (x )=x 2+a x (a ∈R ),存在a ∈R ,使得f (x )是偶函数”为 命题.(填“真”或“假”) 【答案】真【解析】当a=0时,函数是偶函数,故为真命题.5.(选修1-1P21本章测试10改编)已知命题p :∀x ∈R ,sin x+cos x>m 是真命题,那么实数m 的取值范围是 . 【答案】(-∞,【解析】∀x ∈R ,sin x+cosπ4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈[,所以.1.全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫作全称命题.如“对任意实数x∈M,都有p(x)成立”简记成“∀x∈M,p(x)”.2.存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫作存在性命题.“存在实数x0∈M,使p(x0)成立”简记成“∃x0∈M,p(x0)”.3.简单逻辑联结词有或(符号为∨),且(符号为∧),非(符号为¬).4.命题的否定:“∀x∈M,p(x)”与“∃x∈M,¬p(x)”互为否定.5.复合命题的真假:对“p且q”而言,当p,q均为真时,其为真;当p,q中有一个为假时,其为假.对“p或q”而言,当p,q均为假时,其为假;当p,q中有一个为真时,其为真.当p为真时,¬p为假,当p为假时,¬p为真.6.常见词语的否定如下表所示:【要点导学】要点导学各个击破判断复合命题的真假例1已知命题p:存在x∈R,使tan x=1;命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},给出下列复合命题:①p∧q;②p∧¬q;③¬p∨q;④¬p∨¬q.其中真命题是.(填序号)【思维引导】先判断命题p,q的真假,然后对用逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断.【答案】①③【解析】命题p:存在x∈R,使tan x=1是真命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“¬p∨¬q”是假命题.故答案为①③.【精要点评】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相对,做出判断即可.变式写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题,并指出所构成的这些新命题的真假.(1)p:连续的三个整数的乘积能被2整除,q:连续的三个整数的乘积能被3整除;(2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分;(3)p:方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同,q:方程x2+x-1=0的两个实数根的绝对值相等.【思维引导】逐个判断每个命题的真假,根据p,q的真假及真值表确定新命题的真假.【解答】(1)p或q:连续的三个整数的乘积能被2整除或能被3整除,真命题;p且q:连续的三个整数的乘积能被2整除且能被3整除,真命题;非p :连续的三个整数的乘积不能被2整除,假命题. (2)p 或q :矩形的对角线相等或互相平分,真命题;p 且q :矩形的对角线相等且互相平分,真命题;非p :矩形的对角线不相等,假命题.(3)p 或q :方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号相同或绝对值相等,假命题;p 且q :方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号相同且绝对值相等,假命题;非p :方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号不相同,真命题.【精要点评】常用逻辑用语中的“或”、“且”、“非”与日常生活用语中的意义不尽相同,主要体会“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”这三个新命题的构成方法.含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p :∀x ∈R ,x 2-x+14≥0;(2)q :所有的正方形都是矩形; (3)r :有的实数没有平方根;(4)s :所有末位数字是0或5的整数都能被5整除; (5)t :菱形的对角线互相垂直平分.【思维引导】 本题考查命题的否定形式,要分析其是全称命题还是存在性命题,要抓住本质,然后根据其否定形式来判断其真假.【解答】(1)¬p :∃x ∈R ,x 2-x+14<0,假命题.(2)¬q :至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)¬r :所有的实数都有平方根,假命题.(4)¬s :存在一个末位数字是0或5的整数,但它不能被5整除,假命题. (5)¬t :存在一个菱形,它的对角线互相不垂直或互相不平分,假命题.【精要点评】在含有一个量词的命题的否定中,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可.判断一个命题是全称命题还是存在性命题时,要抓住其本质含义是全部还是部分.对于特称命题的判断,只要能找到符合要求的元素使命题成立,即可判断该命题成立,对于全称命题的判断,必须对任意元素证明这个命题为真,而只要找到一个特殊元素使命题为假,即可判断该命题不成立.变式已知命题p:∃x∈R,x2+2ax+a≤0,则命题p的否定是;若命题p为假命题,则实数a的取值范围是.【思维引导】存在性命题的否定是全称命题,要判定一个全称命题为真,必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立→利用“三个二次”之间的联系求解.【答案】∀x∈R,x2+2ax+a>0(0,1)【解析】由存在性命题的否定是全称命题,知¬p:∀x∈R,x2+2ax+a>0.因为命题p为假命题,所以¬p是真命题,即关于x的不等式x2+2ax+a>0恒成立,从而Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.【精要点评】要写一个命题的否定,得先分清其是全称命题,还是存在性命题,注意命题的否定与否命题的区别.对于真假,可以直接判定,也可以先判定原命题,再判定其否定.与逻辑有关的参数范围问题例3已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,2x+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是.【思维引导】由命题p是真命题,则命题是一个恒成立问题,可以得出a≤1,由命题q为真命题,则说明方程有解,从而可得出a≥1或a≤-2.再由真值表分析可得,“p且q”是真命题,即说明命题q和命题p都是真命题,由此可得a的取值范围.【答案】{a|a≤-2或a=1}【解析】由“p且q”是真命题,知p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,则a≤x2恒成立,因为x∈[1,2],所以a≤1.若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实数根,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.综上,实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.【精要点评】复合命题的真假:对p 且q 而言,当q ,p 均为真时,其为真;当p ,q 中有一个为假时,其为假.对p 或q 而言,当p ,q 均为假时,其为假;当p ,q 中有一个为真时,其为真.利用真值表,可以先行对命题进行判断,然后对多个命题进行判断.变式1 已知命题p :方程2x 2+ax-a 2=0在[-1,1]上有解;命题q :只有一个实数x 0满足不等式20x +2ax 0+2a ≤0,若命题“p ∨q ”是假命题,求实数a 的取值范围.【解答】因为命题“p ∨q ”是假命题,所以p ,q 均为假命题. 当p 为真命题时,由2x 2+ax-a 2=0,得(2x-a )(x+a )=0,所以x=2a或x=-a ,所以2a≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.所以当p 为假命题时,a>2或a<-2.当q 为真命题时,问题转化为抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个交点,所以Δ=4a 2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q 为假命题时,a ≠0且a ≠2.综上,实数a 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).变式2 (2014·西安模拟)给定两个命题,命题p :对任意实数x ,都有ax 2>-ax-1恒成立,命题q :关于x 的方程 x 2-x+a=0有实数根.若“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值范围.【思维引导】若p 为真命题,求出参数a 的取值范围;若q 为真命题,求出参数a 的取值范围.由“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,得p ,q 中有且仅有一个为真命题,从而可列出关于a 的不等式组,即可得a 的取值范围.【解答】若p 为真命题,则a=0或20-40a a a >⎧⎨<⎩,,即0≤a<4;若q 为真命题,则(-1)2-4a ≥0,即a ≤14.因为“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,所以p,q中有且仅有一个为真命题.若p真q假,则14<a<4;若p假q真,则a<0.综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪144⎛⎫ ⎪⎝⎭,.【精要点评】解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来,然后转化为集合交、并、补的基本运算.1.(2014·湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题为.(填序号)【答案】②③【解析】依题意可知,命题p为真命题,命题q为假命题.由真值表可知p∧q为假,p∨q为真,p∧(¬q)为真,(¬p)∨q为假.2.(2015·全国卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.【答案】∀n∈N,n2≤2n【解析】由存在性命题的否定知,命题p的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.3.已知命题p:∀x∈[0,1],a≥e x,命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是.【答案】[e,4]【解析】因为命题“p∧q”是真命题,所以p,q同为真.因为对任意x∈[0,1],a≥e x,所以a≥e.由“∃x∈R,x2+4x+a=0”,可得判别式Δ=16-4a≥0,即a≤4.综上,e≤a≤4.4.(2015·山东卷)若“∀x∈π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【答案】1【解析】若“∀x∈π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,tan x≤m”是真命题,则m大于或等于函数y=tan x在π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值.因为函数y=tan x在π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为增函数,所以函数y=tan x在π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1,所以m≥1,即实数m的最小值为1.【融会贯通】融会贯通能力提升已知命题p:∀x∈(0,+∞),12x⎛⎫⎪⎝⎭+m-1<0,命题q:∃x∈(0,+∞),mx2+4x-1=0.若“p且q”为真命题,求实数m的取值范围.【思维引导】【规范解答】命题p是真命题⇔12x⎛⎫⎪⎝⎭+m-1<0对x>0恒成立⇔m-1<-12x⎛⎫⎪⎝⎭对x>0恒成立.………………………………………………………………………………………………2分当x>0时,0<12x⎛⎫⎪⎝⎭<1,从而-1<-12x⎛⎫⎪⎝⎭<0,所以m-1≤-1,即m≤0 (6)分命题q是真命题⇔关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.因为x>0,由mx 2+4x-1=0,得m=21x -4x=21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-4∈[-4,+∞).因为“p 且q ”为真命题,所以p 和q 都是真命题. 所以m 的取值范围是[-4,0].……………………………………14分【精要点评】与不等式有关的全称命题或存在性命题常与函数的最值有关.如“对任意的x ∈R ,f (x )>a 恒成立”通常的处理方法为:(1)构造函数g (x )=f (x )-a ,∀x ∈R ,f (x )>a ⇔g (x )min >0;(2)分离参数法,∀x ∈R ,f (x )>a ⇔t<h (x )恒成立,只要t<h (x )min 即可.趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第5~6页.【检测与评估】第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、 填空题1.(2015·徐州模考)若命题p :∀x ∈R ,2x 2-1>0,则命题p 的否定是 .2.若条件p :|x +1|≤4,条件q :2<x <3,则¬p 是¬q 的 条件.3.(2014·金陵中学)已知命题p :关于x 的方程x 2-ax +4=0有实根;命题q :关于x 的函数y =2x 2+ax +4在[3,+∞)上是增函数.若“p ∨q ”是真命题,“p ∧q ”是假命题,则实数a 的取值范围是 .4.已知命题p:3-2-1xx≥0,q:2x2-5x+3>0,那么¬p是q的条件.5.(2015·苏州模考)已知命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,命题q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数,若p且q为真命题,则实数a的取值范围是.6.若对任意的x0<a,都满足2x-2x0-3>0,则实数a的最大值为.7.已知命题p:“∃x∈R,2ax2+ax-38>0”,若命题p是假命题,则实数a的取值范围为.8.已知下列结论:①若命题p:∃x∈R,tan x=,命题q:∀x∈R,x2-x+1>0,则命题“p∧¬q”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,那么l1⊥l2的充要条件是ab=-3;③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确的结论为.(填序号)二、解答题9.已知命题p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;命题q:关于x的不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.10.已知命题p:函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2,1)上不单调,若命题p的否定是一个真命题,求实数a的取值范围.11.已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,q:1-m≤x≤1+m(m>0).(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若m=5,“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数x的取值范围.三、选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)12.(2015·宜宾一诊)给出下列三个命题:①命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x-1≥0;②“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件;③若“p∨q”为真命题,则“p∧q”为真命题.其中正确命题的个数为.13.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意的a,b∈P,都有a+b,a-b,ab,ab∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域,数集F={a+a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题是.(填序号)【检测与评估答案】第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.∃x∈R,2x2-1≤02.充分不必要【解析】¬p:|x+1|>4⇒x<-5或x>3,¬q:x≤2或x≥3,所以¬p⇒¬q,但¬q¬p,故¬p是¬q的充分不必要条件.3.(-∞,-12)∪(-4,4) 【解析】若p 真,则Δ=a 2-16≥0,即a ≤-4或a ≥4;若q 真,则-4a≤3,即a ≥-12.由“p ∨q ”是真命题,“p ∧q ”是假命题,知命题p 和q 一真一假.若p 真q 假,则a<-12;若p 假q 真,则-4<a<4,故实数a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).4. 必要不充分 【解析】¬p :x ≤1或x>32,q :x<1或x>32,所以¬p 是q 的必要不充分条件.5.1223⎛⎤ ⎥⎝⎦, 【解析】命题p :关于x 的函数y=x 2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,即32a ≤1,a ≤23.命题q :关于x 的函数y=(2a-1)x 在R 上为减函数,即 0<2a-1<1,12<a<1.若p 且q 为真命题,则有a ≤23且12<a<1,所以12<a ≤23,即实数a 的取值范围是1223⎛⎤ ⎥⎝⎦,.6. -1 【解析】由20x -2x 0-3>0,得x 0>3或x 0<-1.又对任意的x 0<a ,不等式20x -2x 0-3>0恒成立,故实数a 的最大值为-1.7.[-3,0] 【解析】因为命题p :“∃x ∈R ,2ax 2+ax-38>0”为假命题,所以对于任意的x ,都有2ax 2+ax-38≤0,所以a=0显然成立.当a<0时,则Δ=a 2+3a ≤0,所以-3≤a<0.综上,实数a 的取值范围是[-3,0].8. ①③ 【解析】①命题p 为真命题,命题q 为真命题,所以“p ∧¬q ”为假命题,故①正确;②当b=a=0时,有l 1⊥l 2,故②不正确;③正确.所以正确结论的序号为①③.9.若p 为真命题,则有2-40-0m m ⎧∆=>⎨<⎩,,所以m>2.若q为真命题,则有Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0,所以1<m<3.由“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,知命题p与q一真一假.当p真q假时,由213mm m>⎧⎨≤≥⎩,或,得m≥3;当p假q真时,由213mm≤⎧⎨<<⎩,,得1<m≤2.综上,m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).10.因为命题p的否定是一个真命题,所以命题p是假命题,即函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2,1)上单调. 因为f'(x)=3x2+a,当a≥0时,f'(x)≥0,所以f(x)在(-2,1)上单调递增,满足题意;当a<0时,令f'(x)=3x2+a=0,解得由题意知(-2,1),所以1-2⎪⎪⎩,,即-3-12aa≤⎧⎨≤⎩,,联立a<0,得a≤-12.综上,a的取值范围为(-∞,-12]∪(0,+∞).11.p:-1≤x≤5.(1) 因为p是q的充分条件,所以[-1,5]是[1-m,1+m]的子集,所以1--115mmm>⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,,,得m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).(2) 当m=5时,q:-4≤x≤6.依题意知p与q一真一假.当p真q假时,由-15-46xx x≤≤⎧⎨⎩,或,得x∈∅.当p假q真时,由-15-46x xx⎧⎨≤≤⎩或,,得-4≤x<-1或5<x≤6.所以实数x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].12. 2【解析】若命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x-1≥0,故①正确;“x2-4x-5>0”⇔“x>5或x<-1”,故“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件,故②正确;若“p∨q”为真命题,则p,q中至少存在一个真命题,若此时两个命题一真一假,则“p∧q”为假命题,故③错误.故正确命题的个数为2.13.③④【解析】要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验,如①对除法如12∉Z不满足,所以排除;对②,当有理数集Q中多一个元素i(i是虚数单位),则会出现1+i不属于该集合,所以它也不是一个数域;③④成立.。

2017年高考数学 考纲揭秘 专题1 集合与常用逻辑用语 理

2017年高考数学 考纲揭秘 专题1 集合与常用逻辑用语 理

(一)集合考纲原文1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(V e n n)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算(十四)常用逻辑用语1.命题及其关系(1)理解命题的概念.(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3.全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义.②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.高考预测1.涉及本专题的题目一般考查集合间的基本关系及运算,四种命题及其关系,结合概念考查充分条件、必要条件及全称命题、特称命题的否定及真假的判断等.2.从考查形式来看,涉及本专题知识的考题通常以选择题、填空题的形式出现,考查集合之间的关系以及概念、定理、公式的逻辑推理等.3.从考查难度来看,考查集合的内容相对比较单一,试题难度相对容易,以通过解不等式,考查集合的运算为主,而常用逻辑用语则重点考查概念的理解及推理能力.4.从考查热点来看,不等式的解法和概念、定理、公式之间的相互推理是本专题主要考查的内容,其要求不高,重在理解.新题速递2 1.已知集合{}21,0,1,2,3,4,{|16,}A B x x x =-=<∈N ,则A B 等于A .{}1,0,1,2,3-B .{}0,1,2,3,4C .{}1,2,3D .{}0,1,2,32.设集合2{|230}A x x x =∈--≤Z ,{}0,1B =,则A B =ð A .{}3,2,1--- B .{}1,2,3- C .{}1,0,1,2,3- D .{}0,13.“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件4.已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>:,则命题p 的否定为 A .()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤: B .()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<: C .()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤: D .()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<:答案。

2017高考数学考试大纲解读系类微刊【上册】理科:专题1 集合与常用逻辑用语 含解析

2017高考数学考试大纲解读系类微刊【上册】理科:专题1  集合与常用逻辑用语 含解析

专题一集合与常用逻辑用语考纲原文呈现1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系;②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;②在具体情境中,了解全集与空集的含义.(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.③能使用韦恩(Verm)图表达集合的关系及运算.2.常用逻辑用语(1)命题及其关系①理解命题的概念;②了解“若p,则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.(2)简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或"、“且”、“非”的含义.(3)全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义;②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考情分析与预测会以选择题的形式在前几题的位置进行考查,难度较低,其中命题的热点仍将以集合的运算为主,通常与不等式紧密联系集合的基本关系的相关命题次之,属送分题.而对常用逻辑用语的考查频率不高,且命题点分散,多为几个知识点综合考查,难度中等,其中充分必要条件的判断与命题的真假判断需重点关注,多结合函数的性质、数列、不等式等式内容进行综合命题.样题深度解读考向2集合的基本运算 样题3:已知集合{||1|3}A x Z x =∈-<,2{|230}B x x x =+-≥,则()R AC B =()A .()2,1-B .()1,4C .{}2,3D .{}1,0-【思路分析】首先通过解绝对值不等式与二次不等式具体化集合,A B ,然后再进行集合的运算【解析】因为不等式|1|3x -<的解集为24x -<<,所以{|24}{1,0,1,2,3}A x Z x =∈-<<=-.不等式2230xx +-≥的解集为3x ≤-或1x ≥,则{|31}B x x x =≤-≤或,所以{|31}R C B x x =-<<,所以(){1,0}R A C B =-,故选D .样题4:设全集RU =,集合}23|{x y x M -==,}23|{x y y N -==,则图中阴影部分表示的是( )合关系考查要求.解答时通常要通过求函数的定义域、值域,或解不等式、方程化简集合,然后根据集合关系建立不等式或方程进行求解.样题分析3:本题以绝对值不等式与二次不等式的解集为背景,难度较小,主要考查集合的交集与补集运算,以及考查逻辑思维能力、运算求解能力.体现《考试大纲》对集合运算的要求.求此类集合的交、并、补时,一般先通过解不等式具体化集合,再由交、并、补的定义求解.一般地,集合元素{}3||32N x x y y ⎧⎫=><⎨⎬⎩⎭=充要条件的判断定.而对一个命题的否定时,注意区分命题的“否定"与“否命题”,命题的“否定”与“否命题"是两个不同的概念,命题的否定形式是只对命题的结论否定,而不否定条件,否命题则是既要否定结论,又要否定条件.押题:已知全集为R,集合{}{}2=-=--≥,则M x x x1,0,1,5,N|20 ()M C N=( )RA.{}0,1B.{}0,1,5D.{}1,1--C.{}1,0,1【答案】A。

2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题01 集合与常用逻辑用语 理

2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题01 集合与常用逻辑用语 理

集合与常用逻辑用语【考向解读】集合与常用逻辑用语在高考中是以选择题或填空题的形式进行考查的,属于容易题.但命题真假的判断,这一点综合性较强,联系到更多的知识点,属于中挡题.预测2016年高考会以集合的运算和充要条件作为考查的重点.【命题热点突破一】集合的关系及运算集合是高考每年必考内容,题型基本都是选择题、填空题,题目难度大多数为最低档,有时候在填空题中以创新题型出现,难度稍高.在复习中,本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题,研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用.1.集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A =A ,A ∪∅=A ,A ∪B =B ∪A . (2)A ∩A =A ,A ∩∅=∅,A ∩B =B ∩A . (3)A ∩(∁U A )=∅,A ∪(∁U A )=U . (4)A ∩B =A ⇔A ⊆B ,A ∪B =A ⇔B ⊆A . 2.集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,用Venn 图求解.例1、【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ,则ST =( )(A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0,2]U [3,+∞) 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤,所以{|23}S x x x =≤≥或,所以{|023}S T x x x =<≤≥或,故选D .【感悟提升】(1)集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后可借助Venn 图或数轴求解.(2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证.【变式探究】(1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B等于( )A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)(2)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.【答案】(1)C (2)C (3)4(3)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B=(-∞,a),由于A⊆B,如图所示,则a>4,即c=4.点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键,这主要看代表元素,即“|”前面的表述.(2)当集合之间的关系不易确定时,可借助Venn图或列举实例.【命题热点突破二】四种命题与充要条件逻辑用语是高考常考内容,充分、必要条件是重点考查内容,题型基本都是选择题、填空题,题目难度以低、中档为主.在复习中,本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用.这些知识被考查的概率都较高,特别是充分、必要条件几乎每年都有考查.1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.2.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.例2、【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n −1+a 2n <0”的( )(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得,22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-,故是必要不充分条件,故选C.【感悟提升】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法:正、反方向推理,若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件);若p ⇒q ,且q ⇏p ,则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件).(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件);若A =B ,则A 是B 的充要条件.(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.【变式探究】(1)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B解析 m ⊂α,m ∥β⇒/α∥β,但m ⊂α,α∥β⇒m ∥β, 所以m ∥β是α∥β的必要而不充分条件. (2)给出下列命题:①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ②a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ; ③在△ABC 中,sin A >sin B 的充要条件为A >B ;④在△ABC 中,设命题p :△ABC 是等边三角形,命题q :a ∶b ∶c =sin B ∶sin C ∶sin A ,那么命题p 是命题q 的充分不必要条件.其中正确的命题为________.(把你认为正确的命题序号都填上)【答案】①③③正确.由正弦定理知sin A =a 2R ,sin B =b2R,当sin A >sin B 成立时,得a >b ,则A >B ;当A >B 时,则有a >b ,则sin A >sin B ,故命题正确.④不正确.若△ABC 是等边三角形,则a =b =c ,sin B =sin C =sin A ,即命题p 是命题q 的充分条件;若a ∶b ∶c =sin B ∶sin C ∶sin A ,则sin C sin A =b c ,又由正弦定理得a sin A =c sin C ,即sin C sin A =c a ,所以c a =b c ,即c2=ab ,同理得a 2=bc ,b 2=ac ,所以c =a =b ,所以△ABC 是等边三角形.因此命题p 是命题q 的充要条件.综上所述,正确命题的序号是①③. 点评 判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序:“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ,且A 不能推出B ;而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ,且B 不能推出A .(2)举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(3)准确转化:若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则p 是q 的充分不必要条件;若綈p 是綈q 的充要条件,那么p 是q 的充要条件.【命题热点突破三】 逻辑联结词、量词1.命题p ∨q ,只要p ,q 有一真,即为真;命题p ∧q ,只有p ,q 均为真,才为真;綈p 和p 为真假对立的命题.2.命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q );命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q ).3.“∀x ∈M ,p (x )”的否定为“∃x 0∈M ,綈p (x 0)”;“∃x 0∈M ,p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ,綈p (x )”. 例3、【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x >”的否定形式是( ) A .*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x < B .*x n ∀∈∀∈,R N ,使得2n x < C .*x n ∃∈∃∈,R N ,使得2n x < D .*x n ∃∈∀∈,R N ,使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃,∃的否定是∀,2n x ≥的否定是2n x <.故选D . 【感悟提升】(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立;(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算.【变式探究】(1)已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A .若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B .若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行C .若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D .若m ,n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面(2)已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④ 【答案】(1)D (2)C点评 利用等价命题判断命题的真假,是判断命题真假快捷有效的方法.在解答时要有意识地去练习. 【高考真题解读】1.【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = ( )(A )33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B )33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(D )3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ,则ST =( )(A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+ ∞) (D)(0,2]U [3,+∞) 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤,所以{|23}S x x x =≤≥或,所以{|023}S T x x x =<≤≥或,故选D .3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤,Z 为整数集,则A Z 中元素的个数是( )(A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】C 【解析】由题意,{2,1,0,1,2}AZ =--,故其中的元素个数为5,选C.4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =( )(A )(1,1)-(B )(0,1)(C )(1,)-+∞(D )(0,)+∞【答案】C【解析】}0|{>=y y A ,}11|{<<-=x x B ,则AB =∞(-1,+),选C. 5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A B =( )(A ){1} (B ){12}, (C ){0123},,, (D ){10123}-,,,, 【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ,而{1,2,3}A =,所以{0,1,2,3}A B =,故选C.6.【2016年高考北京理数】已知集合{|||2}A x x =<,{1,0,1,2,3}B =-,则A B =( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】由}22|{<<-=x x A ,得}1,0,1{-=B A ,故选C.7.【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð( ) A .[2,3] B .( -2,3 ] C .[1,2) D .(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】根据补集的运算得.故选B .8. 【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x >”的否定形式是( ) A .*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x < B .*x n ∀∈∀∈,R N ,使得2n x < C .*x n ∃∈∃∈,R N ,使得2n x < D .*x n ∃∈∀∈,R N ,使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃,∃的否定是∀,2n x ≥的否定是2n x <.故选D .9.【2016高考山东理数】已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交,也可能平行,故选A. 10.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n −1+a 2n <0”的( )(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得,22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-,故是必要不充分条件,故选C.11.【2016高考天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈,则A B =( ) (A ){1} (B ){4} (C ){1,3}(D ){1,4}【答案】D【解析】{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D.12.【2016高考江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2- 【解析】{1,2,3,6}{|23}{1,2}AB x x =--<<=-13.【2016高考上海理数】设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或,所以是充分非必要条件,选A.14.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =(A )(1,1)- (B )(0,1) (C )(1,)-+∞ (D )(0,)+∞ 【答案】C【解析】}0|{>=y y A ,}11|{<<-=x x B ,则AB =∞(-1,+),选C.1.(2015·天津)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ={2,3,5,6},集合B ={1,3,4,6,7},则集合A ∩(∁U B )等于( )A .{2,5}B .{3,6}C .{2,5,6}D .{2,3,5,6,8} 答案 A解析 由题意知,∁U B ={2,5,8},则A ∩(∁U B )={2,5},选A. 2.(2014·安徽)“x <0”是“ln(x +1)<0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵ln(x +1)<0,∴0<x +1<1,∴-1<x <0. ∵x <0是-1<x <0的必要不充分条件,故选B.3.(2015·陕西)设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N 等于( ) A .[0,1]B .(0,1]C.[0,1) D.(-∞,1]答案 A解析由题意得M={0,1},N=(0,1],故M∪N=[0,1],故选A.4.(2014·山东)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B等于( )A.[0,2] B.(1,3)C.[1,3) D.(1,4)答案 C解析由|x-1|<2,解得-1<x<3,由y=2x,x∈[0,2],解得1≤y≤4,∴A∩B=(-1,3)∩[1,4]=[1,3).5.(2015·湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A B中元素的个数为( ) A.77B.49C.45D.30答案 C6.(2015·浙江)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q等于( )A.[0,1) B.(0,2]C.(1,2) D.[1,2]答案 C解析∵P={x|x≥2或x≤0},∁R P={x|0<x<2},∴(∁R P)∩Q={x|1<x<2},故选C.7.(2015·湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a21+a22+…+a2n-1)·(a22+a23+…+a2n)=(a1a2+a2a3+…+a n-1a n)2,则( )A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案 B解析 若p 成立,设a 1,a 2,…,a n 的公比为q ,则(a 21+a 22+…+a 2n -1)(a 22+a 23+…+a 2n )=a 21(1+q 2+…+q2n -4)·a 22(1+q 2+…+q2n -4)=a 21a 22(1+q 2+…+q2n -4)2,(a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n )2=(a 1a 2)2(1+q 2+…+q2n-4)2,故q 成立,故p 是q 的充分条件.取a 1=a 2=…=a n =0,则q 成立,而p 不成立,故p 不是q 的必要条件,故选B.8.(2015·课标全国Ⅰ)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n,则綈p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2n B .∃n ∈N ,n 2≤2nC .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n答案 C解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”,“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”.9.(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )在x =x 0处导数存在.若p :f ′(x 0)=0;q :x =x 0是f (x )的极值点,则( )A .p 是q 是充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 答案 C解析 当f ′(x 0)=0时,x =x 0不一定是f (x )的极值点, 比如,y =x 3在x =0时,f ′(0)=0, 但在x =0的左右两侧f ′(x )的符号相同, 因而x =0不是y =x 3的极值点.由极值的定义知,x =x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)=0. 综上知,p 是q 的必要条件,但不是充分条件. 10.(2014·陕西)原命题为“若a n +a n +12<a n ,n ∈N *,则{a n }为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A .真,真,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假 答案 A 解析a n +a n +12<a n ⇔a n +1<a n ⇔{a n }为递减数列.原命题与其逆命题都是真命题,所以其否命题和逆否命题也都是真命题,故选A.11.(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0答案 D解析原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.∴所求命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.11。

高考数学 考点 第一章 集合与常用逻辑用语 命题及其关系、充分条件与必要条件(理)-人教版高三全册数

高考数学 考点 第一章 集合与常用逻辑用语 命题及其关系、充分条件与必要条件(理)-人教版高三全册数

命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p概念方法微思考若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.提示若A⊂≠B,则p是q的充分不必要条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A⊃≠B,则p是q的必要不充分条件;若A=B,则p是q的充要条件;若A⊄B且B⊄A,则p是q的既不充分也不必要条件.1.(2020•某某)设a R>”的()a>”是“2a a∈,则“1A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由2a a >,解得0a <或1a >, 故1a >”是“2a a >”的充分不必要条件, 故选A .2.(2020•某某)命题p :存在a R ∈且0a ≠,对于任意的x R ∈,使得()()f x a f x f +<+(a ); 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立;命题2:()q f x 单调递增,存在00x <使得0()0f x =, 则下列说法正确的是()A .只有1q 是p 的充分条件B .只有2q 是p 的充分条件C .1q ,2q 都是p 的充分条件D .1q ,2q 都不是p 的充分条件 【答案】C【解析】对于命题1q :当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时, 当0a >时,此时x a x +>, 又因为()f x 单调递减, 所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时, 所以()()f x f x f <+(a ), 所以()()f x a f x f +<+(a ), 所以命题1q ⇒命题p ,对于命题2q :当()f x 单调递增,存在00x <使得0()0f x =, 当00a x =<时,此时x a x +<,f (a )0()0f x ==, 又因为()f x 单调递增, 所以()()f x a f x +<,所以()()f x a f x f +<+(a ), 所以命题2p ⇒命题p , 所以1q ,2q 都是p 的充分条件, 故选C .3.(2020•)已知α,R β∈,则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当2k n =,为偶数时,2n απβ=+,此时sin sin(2)sin n απββ=+=,当21k n =+,为奇数时,2n αππβ=+-,此时sin sin()sin απββ=-=,即充分性成立, 当sin sin αβ=,则2n απβ=+,n Z ∈或2n αππβ=+-,n Z ∈,即(1)k k απβ=+-,即必要性成立,则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件, 故选C .4.(2020•某某)设集合S ,T ,*S N ⊆,*T N ⊆,S ,T 中至少有2个元素,且S ,T 满足: ①对于任意的x ,y S ∈,若x y ≠,则xy T ∈; ②对于任意的x ,y T ∈,若x y <,则yS x∈.下列命题正确的是() A .若S 有4个元素,则S T 有7个元素 B .若S 有4个元素,则S T 有6个元素 C .若S 有3个元素,则S T 有5个元素 D .若S 有3个元素,则S T 有4个元素【答案】A【解析】取:{1S =,2,4},则{2T =,4,8},{1S T =,2,4,8},4个元素,排除C .{2S =,4,8},则{8T =,16,32},{2ST =,4,8,16,32},5个元素,排除D ;{2S =,4,8,16}则{8T =,16,32,64,128},{2S T =,4,8,16,32,64,128},7个元素,排除B ; 故选A .5.(2020•某某)已知空间中不过同一点的三条直线l ,m ,n .则“l ,m ,n 共面”是“l ,m ,n 两两相交”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】空间中不过同一点的三条直线m ,n ,l ,若m ,n ,l 在同一平面,则m ,n ,l 相交或m ,n ,l 有两个平行,另一直线与之相交,或三条直线两两平行. 而若“m ,n ,l 两两相交”,则“m ,n ,l 在同一平面”成立. 故m ,n ,l 在同一平面”是“m ,n ,l 两两相交”的必要不充分条件, 故选B .6.(2020•某某)“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的() A .充分非必要条件B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】(1)若αβ=,则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=,∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件;(2)若22sin cos 1αβ+=,则22sin sin αβ=,得不出αβ=,∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件, ∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件.故选A .7.(2019•某某)设x R ∈,则“250x x -<”是“|1|1x -<”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】250x x-<,05x∴<<,|1|1x-<,02x∴<<,05x<<推不出02x<<,0205x x<<⇒<<,05x∴<<是02x<<的必要不充分条件,即250x x-<是|1|1x-<的必要不充分条件.故选B.8.(2019•某某)设x R∈,则“05x<<”是“|1|1x-<”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】|1|1x-<,02x∴<<,05x<<推不出02x<<,0205x x<<⇒<<,05x∴<<是02x<<的必要不充分条件,即05x<<是|1|1x-<的必要不充分条件故选B.9.(2019•新课标Ⅲ)记不等式组6,20x yx y+⎧⎨-⎩表示的平面区域为D.命题:(,)p x y D∃∈,29x y+;命题:(,)q x y D∀∈,212x y+.下面给出了四个命题①p q∨②p q⌝∨③p q∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中,所有真命题的编号是()A .①③B .①②C .②③D .③④ 【答案】A【解析】作出等式组6,20x y x y +⎧⎨-⎩的平面区域为D .在图形可行域X 围内可知:命题:(,)p x y D ∃∈,29x y +;是真命题,则p ⌝假命题; 命题:(,)q x y D ∀∈,212x y +.是假命题,则q ⌝真命题; 所以:由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有: ①p q ∨真;②p q ⌝∨假;③p q ∧⌝真;④p q ⌝∧⌝假; 故答案①③真,正确. 故选A .10.(2019•新课标Ⅱ)设α,β为两个平面,则//αβ的充要条件是() A .α内有无数条直线与β平行B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线D .α,β垂直于同一平面 【答案】B【解析】对于A ,α内有无数条直线与β平行,αβ或//αβ;对于B ,α内有两条相交直线与β平行,//αβ; 对于C ,α,β平行于同一条直线,αβ或//αβ; 对于D ,α,β垂直于同一平面,αβ或//αβ.故选B .11.(2019•)设点A ,B ,C 不共线,则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】点A ,B ,C 不共线,BC AC AB =-,∴2222BC AC AB AC AB =+-,当AB 与AC 的夹角为锐角时,22202AC AB BCAC AB +-=>, ∴“AB 与AC 的夹角为锐角”⇒“||||AB AC BC +>”,“||||AB AC BC +>”⇒“AB 与AC 的夹角为锐角”,∴设点A ,B ,C 不共线,则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的充分必要条件. 故选C .12.(2019•某某)若0a >,0b >,则“4a b +”是“4ab ”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】0a >,0b >,42a b ab ∴+,2ab ∴,4ab ∴,即44a b ab +⇒,若4a =,14b =,则14ab =, 但1444a b +=+>, 即4ab 推不出4a b +,4a b ∴+是4ab 的充分不必要条件故选A .13.(2019•)设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数),则“0b =”是“()f x 为偶函数”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数), 则“0b =”⇒“()f x 为偶函数”, “()f x 为偶函数”⇒“0b =”,∴函数()cos sin (f x x b x b =+为常数), 则“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选C .14.(2019•某某)已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的() A .充分非必要条件B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】22a b >等价,22||||a b >,得“||||a b >”,∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件,故选C .15.(2018•某某)设x R ∈,则“38x >”是“||2x >”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由38x >,得2x >,则||2x >, 反之,由||2x >,得2x <-或2x >, 则38x <-或38x >.即“38x >”是“||2x >”的充分不必要条件. 故选A .16.(2018•某某)设x R ∈,则“11||22x -<”是“31x <”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由11||22x -<可得111222x -<-<,解得01x <<,由31x <,解得1x <,故“11||22x -<”是“31x <”的充分不必要条件,故选A .17.(2018•某某)已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的() A .充分非必要条件B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】a R ∈,则“1a >”⇒“11a<”, “11a<”⇒“1a >或0a <”, ∴“1a >”是“11a<”的充分非必要条件. 故选A .18.(2018•某某)已知平面α,直线m ,n 满足m α⊂/,n α⊂,则“//m n ”是“//m α”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】m α⊂/,n α⊂,∴当//m n 时,//m α成立,即充分性成立,当//m α时,//m n 不一定成立,即必要性不成立, 则“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件. 故选A .19.(2018•)设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若a ,b ,c ,d 成等比数列,则ad bc =, 反之数列1-,1-,1,1.满足1111-⨯=-⨯, 但数列1-,1-,1,1不是等比数列,即“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的必要不充分条件. 故选B .20.(2018•)设a ,b 均为单位向量,则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】“|3||3|a b a b -=+”∴平方得_|22_|22|9||69|||6a b a b a b a b +-=++,即196916a b a b +-=++, 即120a b =, 则0a b =,即a b ⊥, 反之也成立,则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的充要条件, 故选C .21.(2018•某某)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的() A .充分非必要条件B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件 【答案】D【解析】数列3-,2-,1-,0⋯⋯是递增数列,但{}n S 不是递增数列,即充分性不成立, 数列1,1,1,⋯⋯,满足{}n S 是递增数列,但数列1,1,1,⋯⋯,不是递增数列,即必要性不成立,则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的既不充分也不必要条件, 故选D .22.(2020•新课标Ⅲ)关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题: ①()f x 的图象关于y 轴对称.②()f x 的图象关于原点对称. ③()f x 的图象关于直线2x π=对称.④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是_________. 【答案】②③【解析】对于①,由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠,}k Z ∈,故定义域关于原点对称,由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--;所以该函数为奇函数,关于原点对称,所以①错②对; 对于③,由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-,所以该函数()f x 关于2x π=对称,③对;对于④,令sin t x =,则[1t ∈-,0)(0⋃,1],由双勾函数1()g t t t =+的性质,可知,1()(g t t t =+∈-∞,2][2-,)+∞,所以()f x 无最小值,④错;故答案为:②③.23.(2020•新课标Ⅱ)设有下列四个命题:1p :两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p :过空间中任意三点有且仅有一个平面. 3p :若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. 4p :若直线l ⊂平面α,直线m ⊥平面α,则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________. ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】设有下列四个命题:1p :两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.根据平面的确定定理可得此命题为真命题,2p :过空间中任意三点有且仅有一个平面.若三点在一条直线上则有无数平面,此命题为假命题,3p :若空间两条直线不相交,则这两条直线平行,也有可能异面的情况,此命题为假命题,4p :若直线l ⊂平面α,直线m ⊥平面α,则m l ⊥.由线面垂直的定义可知,此命题为真命题; 由复合命题的真假可判断①14p p ∧为真命题,②12p p ∧为假命题,③23p p ⌝∨为真命题,④34p p ⌝∨⌝为真命题,故真命题的序号是:①③④, 故答案为:①③④.24.(2018•)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈,2]都成立,则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是_________. 【答案】()sin f x x = 【解析】例如()sin f x x =,尽管()(0)f x f >对任意的(0x ∈,2]都成立,当[0x ∈,)2π上为增函数,在(2π,2]为减函数,故答案为:()sin f x x =. 25.(2018•)能说明“若a b >,则11a b<”为假命题的一组a ,b 的值依次为_________. 【答案】1a =,1b =-【解析】当0a >,0b <时,满足a b >,但11a b<为假命题, 故答案可以是1a =,1b =-, 故答案为:1a =,1b =-.1.(2020•某某模拟)已知抛物线22y x =的焦点为F ,抛物线上一点的M 的纵坐标0y ,则01y >是||1MF >的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】抛物线22y x =的焦点为F ,1(2F ∴,0),设0(M x ,0)y ,抛物线上一点的M 的纵坐标01y >,∴点M 的横坐标012x >, 由01||2MF x =+,得||1MF >, 01y ∴>是||1MF >的充分条件,若||1MF >,则01||12MF x =+>,∴012x >,∴201y >,解得01y <-或01y >,01y ∴>不是||1MF >的必要条件, 01y ∴>是||1MF >的充分不必要条件.故选A .2.(2020•某某二模)设x ,y R ∈,则“x y >”是“lnx lny >”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】x ,y R ∈,由x y >,不一定有(lnx lny x >或y 取负值时,对数式无意义), 反之,由lnx lny >,一定有x y >.故“x y >”是“lnx lny >”的必要不充分条件. 故选B .3.(2019•中卫一模)命题“若220a b +=,则0a =且0b =”的逆否命题是() A .若220a b +≠,则0a ≠且0b ≠”B .若220a b +≠,则0a ≠或0b ≠” C .若0a =且0b =,则220a b +≠D .若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠【答案】D【解析】命题“若220a b +=,则0a =且0b =”的逆否命题是“若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠”, 故选D .4.(2020•双流区校级模拟)命题“若ABC ∆的三个内角构成等差数列,则ABC ∆必有一内角为3π”的否命题()A .与原命题真假相异B .与原命题真假相同C .与原命题的逆否命题的真假不同D .与原命题的逆命题真假相异 【答案】B【解析】原命题“若ABC ∆的三个内角构成等差数列,则ABC ∆必有一内角为3π”; 若A ,B ,C 成等差数列,则2A C B +=,又3A C B B π++==;解得3B π=;故其为真命题;否命题:“若ABC ∆的三个内角不能构成等差数列,则ABC ∆任意内角均不为3π” 根据互为逆否命题的两命题同真假,否命题与逆命题互为逆否命题,即可以研究其逆命题的真假;逆命题为:若ABC ∆有一内角为3π,则ABC ∆的三个内角构成等差数列”; 若ABC ∆有一内角为3π,不妨设3B π=,则223A CB B ππ+=-==;所以2A C B +=;即ABC∆的三个内角构成等差数列; 所以其逆命题为真; 则否命题为真; 故选B .5.(2020•某某模拟)已知命题P :“若对任意的0x >都有21x a ->,则1a -”,则命题P 的否命题为()A .若存在0x >使得21x a ->,则1a >-B .若存在0x >使得21x a -,则1a >-C .若1a >-,则存在0x >使得21x a ->D .若1a >-,则存在0x >使得21x a - 【答案】B【解析】否命题是条件、结论都否定,“若对任意的0x >都有21x a ->,则1a -”的否命题为“若存在0x >使得21x a -,则1a >-. 故选B .6.(2019秋•某某期末)某种食品的广告词是:“幸福的人们都拥有”,初听起来,这似乎只是普通的赞美说词,然而它的实际效果可大了,原来这句话的等价命题是() A .不拥有的人们不一定幸福B .不拥有的人们可能幸福 C .拥有的人们不一定幸福D .不拥有的人们就不幸福 【答案】D【解析】“幸福的人们都拥有” 我们可将其化为:如果人是幸福的,则这个人拥有某种食品它的逆否命题为:如果这个没有拥有某种食品,则这个人是不幸福的 即“不拥有的人们就不幸福” 故选D .7.(2019•某某模拟)已知命题0:p x R ∃∈,使得0cos 0lg x >;命题:0q x ∀<,30x >,则下列命题为真命题的是()A .p q ∧B .()p q ∨⌝C .()()p q ⌝∧⌝D .p q ∨ 【答案】D【解析】命题0:p x R ∃∈,使得0cos 0lg x >,1cos 1x -,cos 0lg x ∴,∴命题p 为假命题,命题:0q x ∀<,30x >,是真命题,p q ∴∧为假命题,()p q ∨⌝为假命题,()()p q ⌝∧⌝为假命题,p q ∨真命题,故选D .8.(2020•新华区校级模拟)使不等式||2x 成立的一个必要不充分条件是() A .|1|3x +B .|1|2x +C .2log (1)1x +D .11||2x 【答案】A【解析】根据题意,不等式||2x 即22x -,不等式的解集为[2-,2]; 依次分析选项:对于A ,|1|342x x +⇔-,不等式的解集为[4-,2],是不等式||2x 成立的必要不充分条件,符合题意;对于B ,|1|231x x +⇔-,不等式的解集为[3-,1],不是使不等式||2x 成立的必要不充分条件,不符合题意;对于C ,2log (1)1x +,解可得11x -<,即不等式的解集为(1-,1],是不等式||2x 成立的充分不必要条件,不符合题意;对于D ,11||2x ,变形可得||2||0x x ⎧⎨≠⎩,解可得20x -<或02x <,即不等式的解集为[2-,0)(0⋃,2],是不等式||2x 成立的充分不必要条件,不符合题意;故选A .9.(2020•某某三模)已知条件:0p a b >>,条件11:q a b a>-,则p 是q 的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】0a b >>,0a b a ∴<-<,∴11a b a>-, ∴条件:0p a b >>⇒条件11:q a b a>-, 条件11:q a b a>-成立时,条件:0p a b >>不一定成立, 例如2a =-,3b =时,条件11:q a b a>-成立,条件:0p a b >>不成立,p ∴是q 的充分不必要条件.故选A .10.(2020•某某模拟)“(3)0x lnx ->”是“28x >”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据题意,不等式30(3)00x x lnx lnx ->⎧->⇒⎨>⎩或300x lnx -<⎧⎨<⎩,解可得01x <<或3x >,即不等式的解集为{|01x x <<或3}x >,28x >,解可得3x >,即不等式的解集为{|3}x x >,又由{|3}{|01x x x x >⊆<<或3}x >,则“(3)0x lnx ->”是“28x >”的必要不充分条件; 故选B .11.(2020•梅河口市校级模拟)已知2:20p x x -->,2:210q x x -+,则q 是p ⌝的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】解不等式220x x -->可得1x <-,或2x >, 解不等式2210x x -+可得0x =,故p ⌝,q 解集对应的集合分别为:{|12}A x x =-,{|0}B x x ==.q 是p ⌝的的充分不必要条件.故选A .12.(2020•某某模拟)设a ,b 是非零向量,“0a b =”是“a b ⊥”的() A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】可知a ,b 是非零向量,若0a b =,则a b ⊥; a ,b 是非零向量,若a b ⊥,则0a b =;则“0a b =”是“a b ⊥”的充分必要条件, 故选C .13.(2020•某某模拟)已知α,β是两个不同的平面,a ,b 是两条不同的直线,若αβ⊥且a α⊥,则“a b ⊥”是“b β⊥”的() A .充分必要条件B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条 【答案】C【解析】αβ⊥且a α⊥,a b ⊥可得b β⊥或b β⊂内, 但由αβ⊥且a α⊥,b β⊥可推出a b ⊥, 故a b ⊥”是“b β⊥”的必要而不充分条件, 故选C .14.(2020•西湖区校级模拟)已知圆22:(1)1C x y -+=,直线l 过点(0,1)且倾斜角为θ,则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】直线l 过点(0,1)且倾斜角为θ, 当2πθ≠时,此时直线方程为tan 1y x θ=+,直线l 与圆C 相切,1∴=,整理可得tan 0θ=,0θπ<,0θ∴=,当2πθ=时,此时直线为方程为0x =,此时满足与圆22:(1)1C x y -+=相切;∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件,故选A .15.(2020•某某模拟)已知直线:l y x m =+和圆22:1O x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】O 的方程为221x y +=,表示以(0,0)为圆心、半径1r =的圆.∴圆心到直线l 的方程为y x m =+的距离为1d ==,解得m =;∴当m 时,直线l 与圆O 相切;反之,当直线l 与圆O 相切时,m =,∴“m ”是“直线l 与圆O 相切”的充分不必要条件.故选A .16.(2020•鼓楼区校级模拟)已知m ,n 是两条不同的直线,α是一个平面,且m α⊥,“m n ⊥”是“//n α”的()A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当m α⊥,且m n ⊥,则n α⊂或//n α, 当m α⊥,且//n α,则m n ⊥,故,“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件, 故选A .17.(2020•兴庆区校级模拟)已知a ,b 是两条不同直线,α,β是两个不同的平面,且a α⊂,b β⊂,//a β,//b α,则“a 与b 为异面直线”是“//αβ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】a α⊂,b β⊂,//a β,//b α,若a 与b 为异面直线,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线, 则有//αβ,满足充分性;反之,若//αβ,a α⊂,b β⊂,//a β,//b α,则a 与b 平行或异面,故不满足必要性. 则“a 与b 为异面直线”是“//αβ”的充分不必要条件. 故选A .18.(2020•某某三模)已知3log a b =,0.3c b =,则“0a >”是“0c >”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】若0a >,根据3log a b =得,1b >; 根据0.3c b =,得出0c <; 若0c >,根据0.3c b =得,1b <; 根据3log a b =,得出0a <,∴“0a >”是“0c >”的既不充分也不必要条件.故选D .19.(2020•涪城区校级模拟)已知α、β是两个不同的平面,m 、n 是两条不重合的直线,命题p :若m α⊥,m n ⊥,则//n α;命题q :若αβ⊥,n αβ=,m n ⊥,则m β⊥,则下列命题为真命题的是()A .p q ∧B .p q ∨C .()p q ∨⌝D .()p q ⌝∧ 【答案】C【解析】根据题意,命题p :若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n α⊂,命题p 为假命题, 对于命题q ,若αβ⊥,n αβ=,m n ⊥,则n 与平面β不一定垂直,命题q 为假命题,则p q ∧、p q ∨、()p q ⌝∧都是假命题,()p q ∨⌝为真命题; 故选C .20.(2020•来宾模拟)已知命题p :对任意x R ∈,总有30x >;命题q :“2x >”是“4x >-”的word充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p q∧⌝⌝∧D.p q⌝∧⌝C.p q∧B.p q【答案】Ax>成立,即p为真命题,【解析】根据指数函数的性质可知,对任意x R∈,总有30q:“2x>-”的充分不必要条件,即q为真命题,x>”是“4则p q∧⌝为假命题.⌝∧为假命题,p q∧为真命题,p q⌝∧⌝为假命题,p q故选A.。

(浙江通用)2017版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与

(浙江通用)2017版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与
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解析答案
2.已知命题p:若x=-1,则向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则在命
题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( B )
A.0
B.2
C.3
D.4
解析 向量a,b共线⇔x-x(x+2)=0⇔x=0或x=-1,
∴命题p为真,其逆命题为假,
故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2.
1-m≤1+m, 则1-m≥-2, ∴0≤m≤3.
1+m≤10, ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
解析答案
引申探究
1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴11- +mm= =- 102,, ∴mm==39,, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
反之,若loga3<logb3,则不一定得到3a>3b>3, 例如当 a=12,b=13时,loga3<logb3 成立,但推不出 a>b>1. 故“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件.
解析答案
(2)已知A,B,C为△ABC三个内角,则“cos A+sin A=cos B+sin B” 是“∠C=90°”的( B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由cos A+sin A=cos B+sin B两边平方, 得sin 2A=sin 2B, 故A=B或A+B= π ,
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解析答案
3.(2015·重庆)“x>1”是“ log1 (x+2)<0”的( B )

高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 3 命题及充分必要

高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 3 命题及充分必要

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 3 命题及充分必要条件 文________________________________________________________________________.2.下列命题中真命题的个数为________.①若x 2=1,则x =1;②若x =y ,则x =y ;③若a >b ,则a +c >b +c ;④梯形的对角线一定不垂直.3.“θ=0”是“sin θ=0”的________条件.4.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是_______________________________. 5.已知向量a =(m 2,-9),b =(1,-1),则“m =-3”是“a ∥b ”的________条件.6.(2015·河北邯郸上学期1月教学质检)设a ,b 是两个非零向量,则“a g b <0”是“a ,b 夹角为钝角”的________条件.7.命题p :x =π是y =|sin x |的一条对称轴,q :2π是y =|sin x |的最小正周期,下列命题:①p 或q ,②p 且q ,③非p ,④非q ,其中真命题有________个.8.(2015·浙江杭州七校上学期期末联考)“x ∈{a,3}”是不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个充分不必要条件,则实数a 的取值范围是____________________.9.(2015·湖南改编)设A ,B 是两个集合,则“A ∩B =A ”是“A ⊆B ”的________条件.10.设命题p :2x -1≤1,命题q :(x -a )[x -(a +1)]≤0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.11.(2015·菏泽模拟)有以下命题:①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;③若“m ≤1,则x 2-2x +m =0有实数解”的逆否命题;④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”的逆否命题.其中正确的命题为________.12.(2015·湖北三校联考)若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.13.(2015·益阳模拟)命题p:“若a≥b,则a+b>2 015且a>-b”的逆否命题是________________________________________________________________________.14.(2015·四川成都高中毕业班第一次诊断性检测)已知定义在R上的奇函数f (x),当x≥0时,f (x)=log3(x+1).若关于x的不等式f [x2+a (a+2)]≤f (2ax+2x)的解集为A,函数f (x)在[-8,8]上的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.答案解析1.若x ≥2ab ,则x ≥a 2+b 22.1 3.充分不必要4.若tan α≠1,则α≠π4 5.充分不必要6.必要不充分7.2 8.(-∞,-12]∪(3,+∞) 9.充要10.[0,12] 11.①②③ 12.[3,+∞)13.若a +b ≤2 015或a ≤-b ,则a <b14.[-2,0]。

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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学 专题1 集合与常用逻辑用
语 3 命题及充分必要条件 理
________________________________________________________________________.
2.下列命题中真命题的个数为________.
①若x 2=1,则x =1;
②若x =y ,则x =y ;
③若a >b ,则a +c >b +c ;
④梯形的对角线一定不垂直.
3.“θ=0”是“sin θ=0”的________条件.
4.命题“若α=π4
,则tan α=1”的逆否命题是______________________________________________________________________.
5.(2015·安徽改编)设p :1<x <2,q :2x
>1,则p 是q 成立的________条件.
6.“ab ≠0”是“直线ax +by +c =0与两坐标轴都相交”的________条件.
7.命题p :x =π是y =|sin x |的一条对称轴,q :2π是y =|sin x |的最小正周期,下列命题:①p 或q ,②p 且q ,③非p ,④非q ,其中真命题有________个.
8.(2015·浙江杭州七校上学期期末联考)“x ∈{a,3}”是不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个充分不必要条件,则实数a 的取值范围是____________________.
9.(2015·湖南改编)设A ,B 是两个集合,则“A ∩B =A ”是“A ⊆B ”的________条件.
10.设命题p :2x -1≤1,命题q :(x -a )[x -(a +1)]≤0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.
11.(2015·菏泽模拟)有以下命题:
①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③若“m ≤1,则x 2-2x +m =0有实数解”的逆否命题;
④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”的逆否命题.
其中正确的命题为________.
12.设p:|2x+1|<m(m>0),q:x-1
2x-1
>0,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为________.
13.(2015·益阳模拟)命题p:“若a≥b,则a+b>2 015且a>-b”的逆否命题是________________________________________________________________________.14.(2015·四川成都高中毕业班第一次诊断性检测)已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=log3(x+1).若关于x的不等式f[x2+a(a+2)]≤f(2ax+2x)的解集为A,函数f(x)在[-8,8]上的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
答案解析
1.若x ≥2ab ,则x ≥a 2+b 2
解析 命题的逆命题是“若x ≥2ab ,则x ≥a 2+b 2”.
2.1
解析 ①假;②假,x =y 时,x ,y 不一定有意义;③真,不等式两边同时加上同一个常数,不等号开口方向不变;④假.
3.充分不必要
解析 由于θ=0时,一定有sin θ=0成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sin θ=0”的充分不必要条件.
4.若tan α≠1,则α≠π4
解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题,即“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4
”. 5.充分不必要
解析 当1<x <2时,2<2x <4,∴p ⇒q ;但由2x >1,得x >0,∴q
p . 6.充分必要
解析 ab ≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0,b ≠0,此时直线ax +by +c =0与两坐标轴都相交;又当ax +by +c =0
与两坐标轴都相交时,a ≠0且b ≠0.
7.2
解析 由题意知p 真q 假,则①④为真命题.
8.(-∞,-12
]∪(3,+∞) 解析 不等式2x 2-5x -3≥0的解集为{x |x ≤-12
或x ≥3},由题意要使x ∈{a,3}是不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个充分不必要条件,只需{a,3}是{x |x ≤-12
或x ≥3}的真子集,所以 a ∈(-∞,-12
]∪(3,+∞).
9.充要
解析 由A ∩B =A 可知,A ⊆B ;反过来A ⊆B ,则A ∩B =A .
10.[0,12
] 解析 解不等式2x -1≤1,得12≤x ≤1,故满足命题p 的集合P =[12
,1].解不等式(x -a )[x -(a +1)]≤0,得a ≤x ≤a +1,故满足命题q 的集合Q =[a ,a +1].又q 是p 的必要不充分
条件,则P 是Q 的真子集,即a ≤12且a +1≥1,解得0≤a ≤12,故实数a 的取值范围是[0,12
]. 11.①②③
解析 ①若“x ,y 互为倒数,则xy =1”是真命题;②“面积不相等的两个三角形一定不全等”,是真命题;③若m ≤1,Δ=4-4m ≥0,所以原命题为真命题,故其逆否命题也是真命题;④由A ∩B =B ,得B ⊆A ,所以原命题为假命题,故其逆否命题也是假命题.
12.(0,2]
解析 由|2x +1|<m (m >0),得-m <2x +1<m ,
∴-m +12<x <m -12.由x -12x -1>0得x <12
或x >1. ∵p 是q 的充分不必要条件.
又m >0,∴m -12≤12
,∴0<m ≤2. 13.若a +b ≤2 015或a ≤-b ,则a <b
14.[-2,0]
解析 ∵x ≥0时,奇函数f (x )=log 3(x +1),∴函数f (x )在R 上为增函数.∴f (x )在[-8,8]上也为增函数,且f (8)=log 3(8+1)=2,f (-8)=-f (8)=-2.∴B ={x |-2≤x ≤2}.∵f [x
2+a (a +2)]≤f (2ax +2x ),∴x 2+a (a +2)≤2ax +2x ,即x 2-(2a +2)x +a (a +2)≤0,a ≤x ≤a
+2,A ={x |a ≤x ≤a +2}.∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件,∴A B ,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥-2,a +2≤2,
∴-2≤a ≤0.。

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