1.6微积分基本定理

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人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理

的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式，再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)

微积分基本定理

或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数
在
计算定积分归结为求原函数的问题。
1、已知f ( x)是一次函数，其图象过点(3,4), 且

1
0
f ( x)dx 1, 求f ( x)的解析式
2、已知f (a) (2ax a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0
1
练一练：已知f(x)=ax² +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,

1
0
f ( x)dx 2, 求a, b, c的值
' ' -1
+1
'
'
'
'
'
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．
2

sin xdx

2
0
sin xdx
我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0；（2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；（3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值；（4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方的面积时，定积分的值为0．
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。
例３:计算解

2
0
2 x , 0 x 1 f ( x)dx,其中 f ( x) 5, 1 x 2

要点讲解：微积分基本定理

1 / 21.6 微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2 / 22200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.（1）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰；（2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x '=的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x) 内容＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a

2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)

[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章导数及其应用
学习导航
学习目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观学法了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示指导了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定

微积分基本定理

(理)1.6微积分基本定理【素养目标】1．利用图形直观了解并掌握微积分基本定理的含义，培养直观想象的核心素养。

2．会利用微积分基本定理求函数的积分，培养数学运算的核心素养。

【课前·预习案】[问题导学]知识点1.微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，【思考1】f(x)和F(x)有何关系？[提示]F′(x)＝f(x)．【思考2】利用定积分的几何意义求⎰20(2x＋1)d x 的值．[提示]由定积分的几何意义得⎰20(2x＋1)d x＝6. 【思考3】求F(2)－F(0)的值．[提示]F(2)－F(0)＝4＋2＝6.【思考4】你得出什么结论？[提示]⎰20f(x)d x＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．〖梳理〗微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．知识点2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)d x＝0.[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一。

（）(2)如果⎰b a f(x)d x＝⎰b a g(x)d x，那么是否一定有f(x)＝g(x)。

（）（3）⎰b a f(x)d x=⎰b a|f(x)|d x。

（）解析：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值，（1）错；当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，⎰102x d x＝⎰103x2d x，但f(x)≠g(x)，（2）错；⎰b a f(x)d x表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)，||f(x)是非负的，所以⎰b a|f(x)|d x表示在区间[a，b]上所有以||f(x)的图象为曲边的曲边梯形的面积和，（3）错；答案：（1）×（2）×（3）×2．π2π2-⎰(1＋cos x)d x等于()A．π B．2C ．π－2D ．π＋2解析：∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 答案：D 3．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.答案：D4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 解析：ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 答案：435．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析：∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k＝1. 答案：1【课堂·探究案】探究一求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x . 解：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.（2）因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 【方法总结】求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．【跟踪训练1】若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3.答案：B探究二分段函数的定积分【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【素养解读】解：图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.【方法总结】求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．【跟踪训练2】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解：ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究三定积分的应用【例3】已知x ∈(0,1]，t ∈[－1,1]，f (x )＝⎰1(1－2x＋2t )d t ，则f (x )的值域为________．解析：f (x )＝⎰1(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]|10＝2－2x∵x ∈(0,1]，∴f (x )∈[0,2)．答案：[0,2)【方法总结】解决定积分问题时，一要确定好积分变量，二要清楚积分上、下限，三要明确积分的几何意义，注意积分与平面图形面积的区别与联系，四要会用导数方法寻找原函数，五要用好积分性质和微积分基本定理．【互动探究】⎰1(t 2＋t )d x ＝________．解析：⎰1(t 2＋t )d x ＝(t 2＋t )x |10＝t 2＋t .答案：t 2＋t【跟踪训练3】求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解：所求面积为 S ＝5π4π2-⎰|sin x |d x＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.【本节小结】【基础巩固】1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑=n1i b －ans ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④解析：由定积分可得①②③④都正确。

人教版数学高二选修2-2讲义1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理1．了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点) 2．掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1微积分基本定理阅读教材P51～P53“例1”以上内容，完成下列问题．1．内容：如果f(x)是区间[a，b]上的__________函数，并且F′(x)＝f(x)，那么b f(x)d x＝__________.⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做____________．2．表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成__________，即b f(x)dx＝⎠⎛a______________＝______________.【答案】 1.连续F(b)－F(a)牛顿-莱布尼茨公式2．F(x)|b a F(x)|b a F(b)－F(a)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()【答案】(1)√(2)√(3)√2．若a＝1(x－2)d x，则被积函数的原函数为()⎠⎛A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝12x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x【答案】 C3．⎠⎜⎛π2cos x d x＝________.【解析】⎠⎜⎛π2cos x d x＝sin x⎪⎪⎪⎪π2＝sinπ2－sin 0＝1.【答案】 1教材整理2 定积分与曲边梯形面积的关系阅读教材P53“例2”以下部分～P54的内容，完成下列问题．设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图1-6-1①，则⎠⎛ab f(x)d x＝__________.(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图1-6-1②，则⎠⎛ab f(x)d x＝________.①②③图1-6-1(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图1-6-1③，则⎠⎛ab f(x)d x＝______________.特别地，若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝______.【答案】(1)S上(2)－S下(3)S上－S下1．如图1-6-2，阴影部分的面积为________．图1-6-2【解析】根据定积分的几何意义知S阴影＝－⎠⎜⎛π232πcos x d x＝－sin x⎪⎪⎪⎪32ππ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin32π－sinπ2＝2.【答案】 22．如图1-6-3，定积分⎠⎛ab f(x)d x的值用阴影面积S1，S2，S3表示为⎠⎛ab f(x)d x＝________.图1-6-3【解析】根据定积分的几何意义知⎠⎛ab f(x)d x＝S1－S2＋S3.【答案】S1－S2＋S3[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分⎠⎛xA．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1(2)求下列定积分．①⎠⎛12(x2＋2x＋3)d x；②⎠⎛π2sin2x2d x.【自主解答】(1)⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)⎪⎪⎪1＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1＝e.【答案】 C(2)①⎠⎛12(x2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2， ∴⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. 【导学号：62952051】【解析】 (1)⎠⎛1(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．【自主解答】(1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x +⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x.【解】设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，－3≤x<－32，6，－32≤x≤32，4x，32<x≤3.所以⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝⎠⎜⎛-3－32(－4x)d x＋⎠⎜⎛－3232 6 d x＋⎠⎜⎛3234x d x＝－2x2⎪⎪⎪－32-3＋6x⎪⎪⎪⎪32－32＋2x2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝⎛⎭⎪⎫9－94＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究⎠⎛【提示】令y＝⎠⎛1(x2＋cx＋c)2d x，则y＝⎠⎛1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫15x5＋c2x4＋c2＋2c3x3＋c2x2＋c2x⎪⎪⎪1＝15＋76c ＋73c 2＝73⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋142－73×116＋15.∵73>0，∴当c ＝－14时，⎠⎛01(x 2＋cx ＋c )2d x 最小．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．【自主解答】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k 2＋b ＝1. ②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4， ①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2，∴a 3＋b2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 【解析】选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2．⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2sin x d x ＋⎠⎜⎛-π2π2cos x d x ＝(－cos x )| π2－π2＋sin x⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2.【答案】 C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.【导学号：62952052】【解析】由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．【解】由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。

1.6微积分

π 0
π 0
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0 0 1
2
1
2
1 2 1 1 2 | ＝ x－2x 0＋ 2x －x |2 1 1 1 1 2 2 ＝1－2－0＋2×2 －2－2×1 －1＝1.
3
悟·技法 1.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形. (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.
(4)计算定积分,写出答案.
2.根据平面图形的面积求参数的求解策略
先利用定积分求出平面图形的面积,再据条件构建方程(不等式)求解.
b v t dt a (v(t)≥0)在时间区间［a，b］上的定积分，即s＝_________.
注：设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 (1)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx.
a a 0 a a
(2)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0.
3 2
（4）如图,圆O:x2+y2=π 2内的正弦曲线y=sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是 .
【解析】阴影部分的面积为 2 sin xdx 2(cos x) |0 4, 圆的面积为 3， 0

所以点A落在区域M内的概率是 4 . 3 答案： 4
1 2 2 1 3 | x － x － ln x (2) 1＝－ln 2. xdx＝2 2 1
2
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝

【数学】1.6《微积分基本定理(第2课时)》课件(人教A版选修2-2) (2)

π
πБайду номын сангаас
(cosx－e )dx＝ cosxdx－ exdx (3)－π －π －π
1 ＝sinx|－π－e |－ π＝ π－1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分： ∫105x4dx； (1) 2 3 ( x＋ 1 )26xdx. (2)1 x
解：(1)∵(x5)′＝5x4， ∫105x4dx＝x5|10＝105－25＝99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋1＋2)6xdx (2)1 1 x x ＝1(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|3 1 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2＋2x＋3)dx
2 2
2
＝1x2dx＋12xdx＋13dx x 2 25 22 2 ＝ |1＋x |1＋3x|1＝ . 3 3
π
3
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上， x 轴下在方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 a
b
S上 f(x)dx＝_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则a f(x)dx＝______．－S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时， b S上－S下如图③，则 f(x)dx＝____________．

1.5.3_定积分的概念_1.6_微积分基本定理

c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
梳理
(1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ；
②结论：ʃ b af(x)dx＝ F(b)－F(a) ； ③符号表示：ʃ b af(x)dx＝
F(x)|b a ＝ F(b)－F(a) .
类型一求定积分
1 2 ＝(－cos x) | ＋x | ＋(2x －x)|4 2 2 π π ＝1＋(2－2)＋(4－0)＝7－2.
2 (2)求定积分 ʃ 2 | x 0 －1|dx.
解
2 1 － x ，x∈[0，1， 2 ∵|x －1|＝ 2 x －1，x∈[1，2]，
3 x3 x 又(x－ 3 )′＝1－x2，( 3 －x)′＝x2－1， 2 1 2 2 2 ∴ʃ 2 | x － 1|d x ＝ ʃ | x － 1|d x ＋ ʃ 0 0 1|x －1|dx 2 2 2 ＝ʃ 1 (1 － x )d x ＋ ʃ 0 1(x －1)dx
答案
1 1 由定积分的几何意义知，ʃ 0(2x＋1)dx＝ ×(1＋3)×1＝2， 2
F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 1 0(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
引申思考：f(x)与F(x)之间有关系吗？
思考2
对一个连续函数 f(x) 来说，是否存在唯一的 F(x) ，使得 F′(x) ＝ f(x)? 答案不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数
ʃ2 x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1 围成的梯形 1(x＋1)dx 的值与直线 x＝1，面积有何关系？
答案相等.
梳理
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定

人教版数学高二第一章 1.6微积分基本定理

1.6 微积分基本定理数学选修2－21.6 微积分基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 51～P 54的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为S .①由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )与y (t )之间有什么关系？提示：v (t )＝y ′(t )．②如何利用y ＝y (t )表示物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝y (b )－y (a )．③若v (t )表示物体在任意时刻t 的速度，如何用v (t )求物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝⎠⎛a bv (t )d t .④由①②③能否得出结论S ＝⎠⎛a bv (t )d t ＝⎠⎛a by ′(t )d t ＝y (b )－y (a )成立？提示：能．(2)计算定积分⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x ，∫2π0S i n x d x ，由计算结论你能发现什么规律？提示：⎠⎛0πS i n x d x ＝2，∫2ππS i n x d x ＝－2，∫2π0 S i n x d x ＝0. 即定积分的值可正，可负，还可能为0.(3)根据⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x 和∫2π0S i n x d x 值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P 54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．提示：当曲边梯形在x 轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x 轴下方时，定积分的值取负值；当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.2．归纳总结，核心必记 (1)微积分基本定理内容如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．符号⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ). 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 ①当曲边梯形在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上． ②当曲边梯形在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 下．③当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a bf (x )d x ＝0.[问题思考](1)满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bg (x )d x ，那么是否一定有f (x )＝g (x )？请举例说明．提示：不一定，例如：当f (x )＝2x ，g (x )＝3x 2时，⎠⎛012xdx ＝⎠⎛013x 2dx ，但f(x )≠g(x )．(3)如图，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf(x )dx 的值？提示：⎠⎛a bf(x )dx ＝S 1－S 2＋S 3.(4)你认为⎠⎛a bf(x )dx ，⎠⎛a b|f(x )|dx 和||⎠⎛a bf (x )d x 有什么不同？提示：①⎠⎛a b f(x )dx 表示的是由x 轴，函数f(x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)；②||f (x )是非负的，所以⎠⎛a b|f(x )|dx 表示在区间[a ，b]上所有以||f (x )的图象为曲边的曲边梯形的面积和；③||⎠⎛a bf (x )d x 则是⎠⎛a bf(x )dx 的绝对值．三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x )≥0，x ∈[a ，b]，三者的值是相同的．[课前反思](1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分与曲边梯形的面积有什么关系？知识点1求简单函数的定积分[思考1] 如何利用微积分基本定理求函数f(x )在[a ，b]上的定积分⎠⎛a bf(x )dx ?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤： (1)求f(x )的一个原函数F(x )； (2)计算F(b)－F(a)．[思考2] 我们知道，已知函数f(x )，则满足F ′(x )＝f(x )的函数y ＝F(x )不唯一，那么⎠⎛abf(x )dx 的值唯一吗？名师指津：由于⎠⎛a bf(x )dx ＝F(b)－F(a)，且f(x )的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故⎠⎛a b f(x )dx 是唯一的．讲一讲1．(链接教材P 53－例1)计算下列定积分． (1)⎠⎛01(x 3－2x )dx ； (2)∫π20(x ＋coS x )dx ；(3)∫π20Sin 2x 2dx ; (4)⎠⎛121x (x ＋1)dx .[尝试解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2′＝x 3－2x ， ∴⎠⎛01(x 3－2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)∵⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x ′＝x ＋coS x ， ∴∫π20(x ＋coS x )dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x |π20＝π28＋1. (3)Sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12coS x ， ∴∫π20Sin 2x 2dx ＝∫π20⎝⎛⎭⎫12－12cos x dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (4)∵f(x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，且[ln x －ln(x ＋1)]′＝1x －1x ＋1，∴⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]21＝ln 43.类题·通法用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．练一练1．计算下列定积分．(1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(2)⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ；(3)⎠⎛49x(1＋x)dx ；(4)⎠⎛0e33x ＋2dx ；(5)∫π2－π2coS 2xdx .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝⎝⎛⎭⎫1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝274. (2)∵(Sin x ＋e x )′＝coS x ＋e x ， ∴⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ＝(Sin x ＋e x )0－π＝(0＋1)－(0＋e －π)＝1－e －π. (3)原式＝⎠⎛49(x ＋x )dx＝⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx . ∵⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x 12，⎝⎛⎭⎫12x 2′＝x ， ∴⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx＝23x 3294＋12x 294＝2716. (4)∵[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2，∴⎠⎛0e33x ＋2dx ＝ln(3x ＋2)e 0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(5)原式＝∫π2－π2coS 2xdx ＝∫π2－π21＋cos 2x2dx∵⎝⎛⎭⎫x 2＋sin 2x 4′＝1＋cos 2x 2，∴∫π2－π2coS 2xdx ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋14sin 2x |π2－π2 ＝π4＋14Sin π－⎝⎛⎭⎫－π4＋14sin (－π) ＝π2.知识点2求分段函数的定积分[思考] ⎠⎛ab f(x )dx 、⎠⎛ac f(x )dx 、⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)之间有什么关系？名师指津：⎠⎛a b f(x )dx ＝⎠⎛a c f(x )dx ＋⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)．讲一讲2．求函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈[1，2]，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．[尝试解答] 由积分性质，得：⎠⎛03f(x )dx ＝⎠⎛01f(x )dx ＋⎠⎛12f(x )dx ＋⎠⎛23f(x )dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x dx ＋⎠⎛232x dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 12dx ＋⎠⎛232x dx ＝x 4410＋23x 3221＋2x ln 232＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.类题·通法分段函数定积分的求法求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分．练一练2．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|dx . 解：因为f(x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|dx＝⎠⎜⎛－4－3(－x －3)dx ＋⎠⎛－30(x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.知识点3根据定积分求参数讲一讲3．设函数f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f(x )dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[思路点拨] 分别求出⎠⎛01f(x )dx 和f(x 0)的值，然后利用二者相等建立关于x 0的方程求解．[尝试解答] 因为f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝a x 2＋c ，所以⎠⎛01f(x )dx ＝∫10(a x 2＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝a x 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.类题·通法利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．练一练3．设f(x )＝a x ＋b ，且⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1，求f(a)的取值范围．解：由⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1可得，⎠⎛1－1(a x ＋b)2dx ＝⎠⎛1－1(a 2x 2＋2ab x ＋b 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 23x 3＋abx 2＋b 2x |1－1＝1，即2a 2＋6b 2＝3，则b 2＝3－2a 26≤36＝12，即－22≤b ≤22. 于是f(a)＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝⎛⎭⎫b －162＋1912，所以－22≤f(a)≤1912.即f(a)的取值范围为⎣⎡⎦⎤－22，1912. [课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用微积分基本定理求定积分，见讲1和讲2； (2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见讲3.3．正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点．课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1 求简单函数的定积分 1.⎠⎛02(x －1)d x 等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．2解析：选C ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.2.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)10＝(e 1＋1)－e 0＝e .3．∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析：选D ∵(x ＋Sin x )′＝1＋coS x ， ∴∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝(x ＋Sin x )π2－π2＝π＋2.4．计算定积分∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝________.解析：∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 答案：23题组2 求分段函数的定积分5．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f(x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在解析：选C ⎠⎛02f(x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 310＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋4－2－2＋12＝56. 6．计算下列定积分： (1)⎠⎛25|x －3|dx ；(2)若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x>0，求∫π2－1f(x )dx .解：(1)∵|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ∈[2，3)，x －3，x ∈[3，5]，∴⎠⎛25|x －3|dx ＝⎠⎛23|x －3|dx ＋⎠⎛35|x －3|dx＝⎠⎛23(3－x )dx ＋⎠⎛35(x －3)dx＝⎝⎛⎭⎫3x －12x 232＋⎝⎛⎭⎫12x 2－3x 53 ＝⎝⎛⎭⎫9－12×9－6＋2＋⎝⎛⎭⎫252－15－92＋9＝52.(2)由已知∫π2－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋∫π20(coS x －1)dx ＝13x 30－1＋(Sin x －x )π20 ＝13＋⎝⎛⎭⎫1－π2＝43－π2. 题组3 根据定积分求参数7．若∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选D ∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝(a 2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝3，a>1，a ＝2，∴a ＝2.8．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：19．已知2≤⎠⎛12(k x ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________．解析：⎠⎛12(k x ＋1)dx ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤23，210．已知f(x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f(x )dx ＝0，求f(x )的解析式．解：设f(x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)，∴a ＋b ＋c ＝0.∵f ′(x )＝2a x ＋b ，①∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(a x 2＋b x ＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f(x )＝－32x 2＋2x －12. [能力提升综合练] 1．已知⎠⎛02f(x )dx ＝3，则⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18解析：选C ⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝⎠⎛02f(x )dx ＋⎠⎛026dx ＝3＋6x 20＝3＋12＝15. 2．若函数f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A .56B .12C .23D .16 解析：选A ∵f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f(x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f(－x )dx ＝⎠⎛12(x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56.3．若y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ，则y 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0解析：选B y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ＝⎠⎛0x Sin t d t ＋⎠⎛0x sin 2t 2d t ＝－coS t x 0－14coS 2t x 0＝－coS x ＋1－14(coS 2x －1)＝－14coS 2x －coSx ＋54＝－12coS 2x －coS x ＋32＝－12(coS x ＋1)2＋2≤2. 4．若f(x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x )dx ，则⎠⎛01f(x )dx 等于( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1解析：选B 因为⎠⎛01f(x )dx 是常数，所以f ′(x )＝2x ，所以可设f(x )＝x 2＋c(c 为常数)，所以c ＝2⎠⎛01f(x )dx ＝2⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝2⎝⎛⎭⎫13x 3＋cx |10，解得c ＝－23，⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 2－23dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－23x 10＝－13. 5.⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝________. 解析：⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝⎠⎛02(16－12x 2－8x ＋6x 3)dx ＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 3－4x 2＋32x 420＝8. 答案：86．若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，sin x －1，x>0，则⎠⎛1－1f(x )dx ＝________. 解析：⎠⎛1－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋⎠⎛01(Sin x －1)dx ＝13x 30－1＋(－coS x －x )10＝13－coS 1. 答案：13－coS 1 7．计算下列定积分．(1)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ；(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx . 解：(1)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x ≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ，x ≥32.∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝∫－32－3(－4x )dx ＋∫32－326dx ＋⎠⎛3324xdx ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝⎛⎭⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx ＝⎠⎛142x dx －⎠⎛141xdx ＝2x ln 241－2x 41＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. 8．已知f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ，求函数F(a)的最小值．解：∵f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x －a ＝6x 2＋4a x －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4a x －2a 2， ∴F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ＝⎠⎛01(6x 2＋4a x ＋a 2)dx ＝(2x 3＋2a x 2＋a 2x )10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，∴当a ＝－1时，F(a)最小值＝1.。

高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理

求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430，整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.

(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)

高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
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附赠中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。

第一章 1.6 微积分基本定理

b (4) cos xdx＝sin x a .

a
人教A版数学 ·选修2－2
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1 b (5) xdx＝ln x a (b>a>0)．
b
a
x b x (6) e dx＝e a .

b
a
x a b b x (a>0 且 a≠1)． (7) a dx＝ a ln a a
人教A版数学 ·选修2－2
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1．计算下列定积分．
1 3 (1) (x －2x)dx；

0
(2) (x＋cos x)dx； (3)
2 0

1
2 0
x sin2 dx； 2
1 (4) dx. xx＋1
2
人教A版数学 ·选修2－2
1 4 解析：(1)∵( x －x2)′＝x3－2x， 4 1 4 3 1 2 ∴ (x －2x)dx＝( x －x )0 ＝－ . 4 4
3 (2)求 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx.

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在区间[0,3]上的定积分；
-3
[解析]
3 1 2 3 (1) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx＋ f(x)dx

0

0

1

2
1 3 2 3 x ＝ x d x ＋ x dx＋ 2 dx
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求分段函数与绝对值函数定积分的方法： (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．

1.6 微积分基本定理

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预习交流 2
填一填:结合下列各图形,判断相应定积分的值的符号: �� (1) �� f(x)dx 0
(2)
��
g(x)dx
0
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(3)
��
h(x)dx
0
提示:(1)> (2)< (3)>
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课堂合作探究
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问题导学
1.6
微积分基本定理
课前预习导学
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学习目标 1.能说出微积分基本定理; 2.能运用微积分基本定理计算简单的定积分; 3.能掌握微积分基本定理的应用. 重点难点重点:微积分基本定理以及利用定理求定积分; 难点:复合函数定积分计算.
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预习导引
1.微积分基本定理 (1)一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那么
一、简单定积分的计算活动与探究 1
计算下列各定积分. 2 (1) 0 xdx; (2) (3) (4)
1 3 (1-t )dt; -2 0 x ( cos x+ e )dx; -π 4 2 t dx. 2
思路分析:根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数,再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合导数公式表.
1 3
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三、微积分基本定理的应用活动与探究 3
已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f'(0)=0, 的值. 思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出 a,b,c 的值.

微积分基本定理

解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，
①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，
②
ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝31ax3＋cx10
＝13a＋c＝－2，
③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
1234
解答
4.已知 f(x)＝c4oxs－x2，π，π2<0x≤≤xπ≤，π2，
＋x |2＋(12x2－x)|42
＝1＋(2－π2)＋(4－2 0)＝7－π2.
解答
(2)求定积分 ʃ 20|x2－1|dx.
解 ∵|x2－1|＝1x2－－x12，，xx∈ ∈[[01，，12]，，又(x－x33)′＝1－x2，(x33－x)′＝x2－1， ∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx ＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx ＝(x－x33)|10＋(x33－x)|21 ＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
有什么关系？
答案由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，
F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝ f(x)? 答案不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
④ʃ bacos xdx＝sin x|ba.
⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
⑥ʃ baexdx＝ex|ba. ⑦ʃ baaxdx＝lnaxaba(a>0 且 a≠1).

1.6 微积分基本定理

2��-
1 ��2
dx,
∴
3 1
2��3-1dx=
��2
��2
+
1 ��
3 1
=
22.
3
探究一
探究二
思维辨析当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟1.用微积分基本定理求定积分的步骤: (1)求被积函数f(x)的一个原函数F(x); (2)计算F(b)-F(a). 2.用微积分基本定理求定积分的注意事项: (1)有时需先化简被积函数f(x),再求积分; (2)被积函数f(x)的原函数有无穷多个,即F(x)+C,计算时,一般只写一个最简单的,不再加任意常数C.
F'(x)=f(x),那么
��
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,
也叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
��
f(x)dx=F(x)|�� =F(b)-F(a).
名师点拨利用微积分基本定理计算定积分
��
探究一
探究二
思维辨析当堂检测
课堂篇探究学习
求分段函数和简单复合函数的定积分
例2 求解下列各题:
(1)求定积分
4 0
|2x-6|dx;
(2)若
f(x)=
e�� ,�� ≤ sin��,��
0, > 0,
求
π -1f(x)dx;
π
(3)求定积分
2
0
cos
4xdx.
分析:(1)可改写为分段函数,然后根据定积分的性质求解;(2)是分

1.6_微积分基本定理

2 x2 2x 3
1
dx x
3
(
x
1 )2 dx
2
x
2 (ex 2)dx
1
x
• [分析] 先用定积分性质拆分在根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—
莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
分段函数的定积分计算
3
0 2 x dx
f
(x)dx
a

kf
b c
(x)dx k a
f (x)dx
f

(
x)dx.
b a
f
(
x)dx(a

c

b)
二、微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,
并且F ' x f x ,则牛顿—莱布尼兹公式
b
a
f

x dx

F
b

F
a
或 b a
f

x dx
展示小组
探究点（1）（板书展示）
1组
探究点（2）（板书展示）
2组
探究点（3）（板书展示）
3组
探究点（4）（板书展示）
4组
探究点（5）（板书展示）
5组
探究点（6）（板书展示）
6组
探究点（7）（板书展示）
7组
探究点（8）（板书展示）
8组
要求： ⑴板书展示要分层次、要点化，书写要认真、规范。 ⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。不浪
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x