§1.6微积分基本定理
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
微积分基本定理
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数
在
计算定积分归结为求原函数的问题。
1、已知f ( x)是一次函数，其图象过点(3,4), 且
1
0
f ( x)dx 1, 求f ( x)的解析式
2、已知f (a) (2ax a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0
1
练一练：已知f(x)=ax² +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
1
0
f ( x)dx 2, 求a, b, c的值
' ' -1
+1
'
'
'
'
'
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．
2
sin xdx
2
0
sin xdx
我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0．
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。
例３:计算 解
2
0
2 x , 0 x 1 f ( x)dx,其中 f ( x) 5, 1 x 2
要点讲解：微积分基本定理
1 / 21.6 微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2 / 22200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.（1）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰； （2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x '=的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。
1.6微积分基本定理第2课时 (精品教案)
§1.6.2微积分基本定理【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．【教学目标】：（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系; （2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系； （3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。
【教学重点】：（1）运用基本定理求定积分（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：（1）求函数()f x 的一个原函数()F x（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x 【教学过程设计】：（基础题）1. 22(sin cos )d x x x ππ-+⎰的值是（ ）(A)0 (B)4π(C)2 (D)4答案：C解释：()2222(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππππ--+=-+=⎰2. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是（ ） (A)2(B)3(C)52(D)4答案：B 解释：332222cos d cos d (cos )d S x x x x x x ππππ==+-⎰⎰⎰3202sin sin 123x x πππ=-=+=3. sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为 答案：4解释：220sin d sin d sin d x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰20cos (cos )4x x πππ=--=4.设201()512x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。
1.6微积分基本定理--王峰
解:
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
y
1
2
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx
0 1
1
2
6.
o
1 2
x
例4 求
2
1
1 dx. x
1 解 当 x 0时， 的一个原函数是 ln( x) ( x 0) , x 1 1 1 dx [ln( x )]| 2 x 2 ln 1 ln 2 ln 2.
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
O
a
c
b
x
复习：2、定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么： 定积分
b
a
f ( x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
S1 S2
S3
2、定积分
形面积的代数和来表示。
b
a
f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯
1 dx x
1 (2) (2 x 2 )dx 1 x
3
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F (b) F (a )
b a
例1 计算下列定积分
(1)
2
1
1 dx x
2
3
解:(2)∵ ( x )' 2 x ,
3 3 1 1 (2 x 2 )dx 2 xdx 2 dx 1 1 1 x x
郑011 1.6微积分基本定理导学案2013-14高二下数学2-2
f′(3x)dx＝(
a
A．f(b)－f(a)
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬
答案
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
C．－cosx 4.答案 A 解析 F(x)＝
D．－sinx
x
costdt＝sint
0
6
x ＝sinx－sin0＝sinx. 0
(2x－4)dx＝16－4＝12.
0
所以 F′(x)＝cosx，故应选 A. ) B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)]
b
f′(3x)dx＝(
a
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 课题 学习 目标 重点 难点 §1.6 微积分基本定理 课时 1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解牛 顿-莱布尼兹公式 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的 关系），直观了解微积分基本定理的含义 学习流程 [知识链接]： （1）定义表达式：
sin xdx的几何意义？
③当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取____值， 且等于_______________面积；
问题 3：① 求 ②
2
0
sin xdx ______________ .
2
0
sin xdx的几何意义？
3 1 2. （ - 2 sin 0
③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲 边梯形面积时，定积分的值为_____ ，且等于_________________ _______________________面积．
1.6微积分基本定理课件人教新课标2
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为_0_，且等于位于x轴上方的曲边梯形 面积_减__去__位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导 数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常 取原函数的常数项为0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区 间上必须是连续函数.( )
分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分
值是确定的.
【即时练】
1.若a=
1
0
(x-2)dx，则被积函数的原函数为(
)
A.f(x)=x-2
B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= 1 x2-2x+C D.f(x)=x2-2x
2
2.下列积分值等于1的是( )
A. 1 0
xdx
C. 1 0
2.分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是 分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定 积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分 段函数的定积分再计算.
【变式训练】1.
1
0
(ex+2x)dx等于(
)
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
2.计算定积分
1(x2+sin 1
x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2，
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
高中数学选修2-2学案11：1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理教材新知知识点微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.问题1：f(x) 和F′(x)有何关系？问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛2(2x＋1)d x的值．问题3：求F(2)－F(0)的值．问题4：⎠⎛2(2x＋1)d x与F(2)－F(0)有什么关系？1．微积分基本定理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x＝．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则⎠⎛ab f(x)d x＝．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x＝；若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，再计算F (b )－F (a )． (3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 常考题型题型一 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x )d x ；(3)sin 2x2d x .名师点津由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练π⎰21.计算下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x ； (2)⎠⎛19x (1＋x )d x ；题型二 求分段函数的定积分例2 已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .名师点津分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2.计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|d x .题型三 利用定积分求参数例3 设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．名师点津利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限． 跟踪训练3.已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的[解析]式．课堂验收1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 2．(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B. π4 C ．2D ．43．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.4．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．5．计算下列定积分．ππ⎰22－(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x .——★ 参 考 答 案 ★——问题1：[答案]F ′(x )＝f (x )． 问题2：[答案]⎠⎛02 (2x ＋1)d x ＝6.问题3：[答案]F (2)－F (0)＝6－0＝6. 问题4：[答案]⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．连续 f (x ) F (b )－F (a ) F (b )－F (a ) 2. (1) S 上 (2)－S 下 (3)S 上－S 下 0例1 解：(1) ⎠⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33＋x 2＋3x＝253. (2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e x d x＝sin x－e x＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴sin 2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ＝π4－12＝π－24. 跟踪训练1. 解：(1)因为(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x ，所以⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x dx ＝(e x ＋ln x )21＝e 2＋ln 2－e. (2)因为x (1＋x )＝x ＋x ，32212()23x x +′＝x ＋x ，所以⎠⎛19x (1＋x )d x ＝⎠⎛19(x ＋x )d x ＝9322112()23x x +＝1723.2121210－π－ππ⎰20π⎰2π20例2 解：⎠⎛0πf (x )d x ＝f (x )d x ＋f (x )d x ＝(4x －2π)d x ＋cos x d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以(4x －2π)d x ＋cos x d x ＝(2x 2－2πx )＋sin x＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.跟踪训练2.解：因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.例3 解：因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0的值为33. 跟踪训练3.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ π⎰20ππ⎰2π⎰2ππ⎰2π⎰2ππ⎰2π20ππ21由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.课堂验收 1．[答案]C[解析]选项A ，因为⎝⎛⎭⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12；选项B ，因为⎝⎛⎭⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝⎛⎭⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12. 2．[答案]C[解析](sin x ＋cos x )d x ＝sin x d x ＋cos x d x ＝(－cos x )＋sin x＝2.3．[答案]13[解析]由于⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 310＝13. 4．[答案]⎣⎡⎦⎤23，2[解析]⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－⎝⎛⎭⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 5．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln 2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln 1 ＝143－ln 2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，11011ππ⎰22－ππ⎰22－ππ⎰22－ππ22－ππ22－且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x |32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32.。
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
第一章 1.6 微积分基本定理
b (4) cos xdx＝sin x a .
a
人教A版数学 ·选修2－2
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1 b (5) xdx＝ln x a (b>a>0)．
b
a
x b x (6) e dx＝e a .
b
a
x a b b x (a>0 且 a≠1)． (7) a dx＝ a ln a a
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1．计算下列定积分．
1 3 (1) (x －2x)dx；
0
(2) (x＋cos x)dx； (3)
2 0
1
2 0
x sin2 dx； 2
1 (4) dx. xx＋1
2
人教A版数学 ·选修2－2
1 4 解析：(1)∵( x －x2)′＝x3－2x， 4 1 4 3 1 2 ∴ (x －2x)dx＝( x －x )0 ＝－ . 4 4
3 (2)求 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
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在区间[0,3]上的定积分；
-3
[解析]
3 1 2 3 (1) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx＋ f(x)dx
0
0
1
2
1 3 2 3 x ＝ x d x ＋ x dx＋ 2 dx
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求分段函数与绝对值函数定积分的方法： (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常 常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分 再计算．
1.6 微积分基本定理
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预习交流 2
填一填:结合下列各图形,判断相应定积分的值的符号: ������ (1) ������ f(x)dx 0
(2)
������ ������
g(x)dx
0
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(3)
������ ������
h(x)dx
0
提示:(1)> (2)< (3)>
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课堂合作探究
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问题导学
1.6
微积分基本定理
课前预习导学
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学习目标 1.能说出微积分基本定理; 2.能运用微积分基本定理计算 简单的定积分; 3.能掌握微积分基本定理的应 用. 重点难点 重点:微积分基本定理以及利用 定理求定积分; 难点:复合函数定积分计算.
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预习导引
1.微积分基本定理 (1)一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那 么
一、简单定积分的计算 活动与探究 1
计算下列各定积分. 2 (1) 0 xdx; (2) (3) (4)
1 3 (1-t )dt; -2 0 x ( cos x+ e )dx; -π 4 2 t dx. 2
思路分析:根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数 等于被积函数的原函数,再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函 数可结合导数公式表.
1 3
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三、微积分基本定理的应用 活动与探究 3
已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f'(0)=0, 的值. 思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解 方程组求出 a,b,c 的值.
1.6微积分基本定理课件人教新课标4
ax ln a
1
ex x
e x ln | x |
付出，不一定会有收获；不付出，却一 定不会有收获，不要奢望出现奇迹.
e x ln | x |
例1
计
算
下
列
定
积
分
:
1
2
1
1 x
d
x
;
2
3 1
2
x
1 x2
dx .
解 （1）因为 ln x ' 1 ,
x
所以
2 1
1dx x
ln
x
|12
ln 2 ln 1 ln 2.
（2）因为
x2
'
2
x,
1 x
'
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
3 2 3x2 + 2x -1 dx = ____9_____ -1
4
2
1
ex +1 dx = ___e_2___e___1__
3．计算定积分
3 1
3
x
2
1 x2
dx
解:
因为
x3
'
3x2
,
1 x
'
1 x2
所以原式
3 3x2dx
1
31 1 x2 dx
3 3x2dx
1
3 1
1 x2
dx
x3
3 1
1 x
3 1
33 13
1 3
1 1
76 3
4.计算下列定积分 : 1
π
cos 2xdx ;
微积分基本定理
§1.6微积分基本定理 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .5155复习1：函数33cos y x x =的导数为复习2：若函数2()cos (3)3f x x π=+，则2()9f π'=二、新课导学※ 学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x .※ 典型例题例1 计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰变式：计算0⎰小结：计算定积分()b a f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x .例2. 计算下列定积分：0sin xdx π⎰，2sin xdx ππ⎰，20sin xdx π⎰.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cos dx ππ-⎰；0cos dx π⎰；322cos dx ππ-⎰小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.※ 动手试试练1. 计算：211()x dx x-⎰练2.计算0sin xdx π-⎰三、总结提升※ 学习小结1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.※ 知识拓展微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号（ ） A ．正 B.当0ab <<时为正，当0a b <<时为负C ．负D ．以上结论都不对2. 函数0cos xy xdx =⎰的一阶导数是（ ） A ．cos x B ．sin x - C ．cos 1x - D ．sin x3. 与定积分320|sin |x dx π⎰相等的是（ ）A ．320|sin |xdx π⎰B ．320sin xdx π⎰C ．320sin sin xdx xdx πππ-⎰⎰ D.32202sin sin xdx xdx πππ+⎰⎰4.211)dx ⎰= 5.2211dx x ⎰=1. 计算定积分：（1）220(42)(4)x x dx --⎰；（2）22123x x dx x--⎰.2. 计算定积分30sin xdx π⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么.。
微积分基本定理
解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，
①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，
②
ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝31ax3＋cx10
＝13a＋c＝－2，
③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
1234
解答
4.已知 f(x)＝c4oxs－x2，π，π2<0x≤≤xπ≤，π2，
＋x |2＋(12x2－x)|42
＝1＋(2－π2)＋(4－2 0)＝7－π2.
解答
(2)求定积分 ʃ 20|x2－1|dx.
解 ∵|x2－1|＝1x2－－x12， ，xx∈ ∈[[01， ，12]， ， 又(x－x33)′＝1－x2，(x33－x)′＝x2－1， ∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx ＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx ＝(x－x33)|10＋(x33－x)|21 ＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
有什么关系？
答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，
F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝ f(x)? 答案 不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
④ʃ bacos xdx＝sin x|ba.
⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
⑥ʃ baexdx＝ex|ba. ⑦ʃ baaxdx＝lnaxaba(a>0 且 a≠1).
1.6微积分基本定理-人教版高中数学选修2-2课件
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大，即t越小时，区间[a, b]的划分就越细，
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax，则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex，则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x，则f
'(x)
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1.6微积分基本定理
一：教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
21()T T v t dt ⎰
=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则
()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=
()a a f t dt ⎰=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a
f t dt ⎰ 令x b =，有()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即
()()|()()b
b a a f x dx F x F b F a ==-⎰
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x
-⎰。
解：（1）因为'1(ln )x x
=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=⎰。
（2））因为2''211()2,()x x x x
==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。
练习：计算
120x dx ⎰ 解：由于313
x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13 例2．计算下列定积分： 2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰
，
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππ
ππ=-=---=-⎰， 2
200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分
的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600
⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车
停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t=
4.931.8
≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93
201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！。