先验有色噪声补偿的卡尔曼滤波组合导航算法

收稿日期：2017-12-11修回日期：2018-04-07作者简介：杨其（1983-），男，山东菏泽人，讲师，博士研究生。

研究方向：飞行器动力学与制导。

刘新学，男，教授，博士生导师。

摘要：根据飞行器实际情况，将舱内捷联惯导安装等效为弯扭耦合激励扰动下的Timoshenko 梁和阻尼弹簧振子混合系统，分析其激励响应获取惯导随机误差中的有色噪声。

将有色噪声作为先验信息，通过微分方程描述并导入惯导误差模型，设计增强的卡尔曼滤波组合导航算法，通过仿真飞行验证了算法的稳定性并与传统卡尔曼滤波组合导航进行了对比分析。

关键词：捷联惯导，弯扭耦合振动，有色噪声，卡尔曼滤波中图分类号：V448；TJ760文献标识码：ADOI ：10.3969/j.issn.1002-0640.2019.02.032引用格式：杨其，刘新学，孟少飞，等.先验有色噪声补偿的卡尔曼滤波组合导航算法［J ］.火力与指挥控制，2019，44（2）：161-165.先验有色噪声补偿的卡尔曼滤波组合导航算法杨其1，2，刘新学1，孟少飞1，刘庆宝2（1.火箭军工程大学初级指挥学院，西安710025；2.火箭军工程大学士官学院，山东青州262500）Integrated Navigation Kalman Filtering Algorithm withPriori Colored Noise CompensationYANG Qi 1，2，LIU Xin-xue 1，MENG Shao-fei 1，LIU Qing-bao 2（1.School of Primary Command ，Rocket Force University of Engineering ，Xi ’an 710025，China ；2.School of Sergeant ，Rocket Force University of Engineering ，Qingzhou 262500，China ）Abstract ：Accordi ng to the actual circumstance of the aircraft ，the SINS （Strapdown InertialNavigation System ）is equivalent to Timoshenko -beam hybrid system ，which is considered under the lateral-torsional coupling vibration ，in order to separate the colored noise in random error of SINS.The colored noise is described by differential equations as priori information and imported into the inertial navigation error model ，designed enhanced kalman filtering algorithm.Finally ，with the flight simulation ，the stability of the algorithm is verified and compared with the traditional kalman filtering algorithm.Key words ：strapdown inertial system ，lateral-torsional coupling vibration ，colored noise ，kalman filtering algorithmCitation format ：YANG Q ，LIU X X ，MENG S F ，et al.Integrated navigation kalman filtering algorithm with priori colored noise compensation ［J ］.Fire Control &Command Control ，2019，44（2）：161-165.0引言飞行器在实际使用工况下，由于受到发动机振动、气流扰动等因素的作用，始终处于复杂动态环境中，会造成与之相固连的捷联惯导误差模型系数发生改变，产生随机动态误差。

虽然目前各种研究和试验均而表明动态条件下的随机误差与静态标定环境下并不吻合［1-2］，但目前大多数飞行器误差模型仍将其归入单纯的随机误差，并未进行来源和成因的分析，也没有相应标定的方法，一方面原因是因为动态环境的复杂性无法精准预测，另一方面原因在于振动对惯导设备带来的影响缺乏根源性的机理分析。

目前对于随机误差的研究多集中在导航算法研究上［3-5］，利用卡尔曼滤波方法对误差进文章编号：1002-0640（2019）02-0161-05Vol.44，No.2Feb ，2019火力与指挥控制Fire Control &Command Control 第44卷第2期2019年2月161··（总第44-）火力与指挥控制2019年第2期行滤波补偿可以有效克服惯导系统静态误差模型的局限，提高导航解算的精度。

但卡尔曼滤波在驱动参数设置不科学的前提下，也会存在收敛较慢甚至发散的可能。

本文从惯导安装的动力学模型出发，利用模态分析的方法求解动态误差的数字特征，设计考虑有色噪声补偿的增强卡尔曼滤波，并利用算例仿真验证了方法的可行性。

1惯导本体动态响应分析在忽略惯导本体内部受力变形和仪表级随机安装误差等因素时，即假设本体具有绝对刚度情况下，根据实际工况假设受到弯扭耦合激励的扰动，将惯导安装支架等效为Timoshenko梁，减振系统等效为弹簧（横向振动）、扭簧（扭转振动）和阻尼器，惯导本体等效为质量件，系统受到沿Timoshenko梁横向作用力p（x，t）和绕剪切中心的扭转力q（x，t）的共同作用，且认为梁的剪切中心和截面质心并不重合，两者之间距离为χα，等效混合系统如图1所示。

图1等效混合系统示意图Timoshenko梁是基于初等力学中平截面变形假设的梁模型，即假设初始垂直于中性轴的截平面在变形时仍保持垂直，但考虑剪切变形和转动惯量。

借鉴文献［6-7］中利用哈密顿原理建立的Timoshenko梁运动方程，可得混合系统运动微分方程为：（1）（2）（3）（4）（5）式中，上标（·）表示对时间求导；上标（'）表示对位置求导；c1、c2、c3分别表示梁的弯曲振动阻尼、截面旋转阻尼、扭转振动阻尼；EI表示梁的弯曲刚度；kGA表示梁的截面旋转刚度；GJ表示梁的剪切刚度；θ表示横向振动引起的梁截面旋转角度；w表示梁的横向振动位移；ψ表示梁的扭转振动角度；ρI表示梁的转动惯量；m表示梁的线密度；Iα表示单位长度梁的惯性矩；m i表示振子质量；w i表示振子横向振动位移；c i v表示振子横向振动阻尼器的阻尼系数；k i v表示线弹簧刚度系数；x i v表示线弹簧安装位置；J i表示振子转动惯量；ψi表示振子扭转角度；c i r表示振子扭转振动阻尼器的阻尼系数；k i r表示扭簧刚度系数；x i r表示扭簧安装位置；δ（）表示Dirac函数；F i v、F i r分别表示横向振动和扭转运动约束力。

通过观察等效系统可以发现，弹簧振子与梁仅在弹簧安装位置发生相互作用，在方程形式上等效于梁上一点激振力引起的动力学响应，即梁结构振动的Green函数形式［8-10］。

利用弯扭耦合情况下的格林函数求解并对系统进行复模态分析，在假设系统阻尼为非经典情况下，最终可求得振子横向振动中响应位移、响应加速度协方差函数为：（6）（7）式中，αn（t）表示系统的模态响应，p为特征值矩阵，A i表示梁位移与振子位移关系的矩阵，Y表示分离变量系数矩阵，表示αn（t）的协方差函数矩阵。

同样获得振子扭转响应角度协方差函数为（8）在令的情况下，式（6）~式（8）分别表示外部激励导致混合系统中振子产生横向振动位移w i、横向加速度和扭转角度的方差，由此可以进一步确定惯性仪表随机误差中的有色噪声。

2先验有色噪声的确定通过混合模型响应分析，可以看到惯导本体在受到外部激励后，会围绕静态安装位置产生微小的横向振动和扭转振动响应，而响应产生的加速度和角速度也被惯性仪表所敏感进入导航解算，直接产生测量误差，即（9）式中，表示惯导本体在扰动中实际输出加速度和角速度，表示飞行器产生的加速度和角速度，表示两者之间的误差。

由式（9）可得，产生的测量加速度误差方差为（10）另一方面，当本体质心与飞行器质心不重合，存在安装杆臂时，当飞行器持续受到外部激励时捷联惯导本体也将持续产生动态响应［11］，即本体质心P始终处于变化中，杆臂r p也不再为常量，则杆臂变162··0346（总第44-）化造成的加速度误差应表示为：（11）式中，ωib 为飞行器角速度，Δr 为杆臂变化量。

不失一般性地认为杆臂误差仍围绕静态条件下常值发生变化，根据式（6）并结合方差性质，可得杆臂变化量的方差为（12）在动态响应条件下外杆臂矢量变化造成加速度误差的方差为：（13）式中，C 1、C 2代表由位置关系决定的常系数。

而同时发生的绕扭转振动轴的旋转运动虽然不会造成杆臂矢量的变化，但旋转会造成加速度计敏感轴方向发生变化，如图2所示。

图2绕X 轴旋转图2中，表示真实情况下的本体坐标系，表示理论本体坐标系。

在不计扭转响应的情况下，本体坐标系各正交轴上的加速度敏感值换算到地理坐标系中可表示为：（14）式中，C b t 表示由本体坐标系向地理坐标系的转换矩阵，a b 表示本体坐标系中敏感到的加速度，a t 表示转换到地理坐标系后的加速度。

而在扭转响应的情况下，真实本体坐标系中敏感到的加速度转换到地理坐标系中应表示为：（15）式中，表示由实际本体坐标系向理论本体坐标系的转换矩阵，且有由此造成的加速度转换误差可表示为：（16）结合式（8）可以求得该误差的方差Var （Δa t ）。

显然，在动态条件下惯导本体受激响应导致的误差在误差模型中被归入随机误差，加速度产生的随机误差Δa 主要由Δa c 、Δa p 和Δa t 组成。

为了使机理更为清晰，本文仅分析了受激响应对加速度造成的影响，按照同样的方法考虑扭转振动并结合几何位置关系，可以得到受激响应对角速度影响，即陀螺的随机误差，文中不再赘述。

3有色噪声补偿的卡尔曼滤波在未获得先验有色噪声信息的情况下，组合导航卡尔曼滤波在使用中对于惯性仪表的随机误差一般以白噪声来描述，以Ψ角误差方差为基础推导而来的惯导系统方程可描述为［10］：（17）式中，δr 表示位置误差，δv 表示速度误差，表示姿态误差，ωen 、ωin 、ωie 分别表示计算地理系相对于地球系、计算地理系相对于惯性系、地球系相对于惯性系的旋转角速度，f 表示测量加速度，G 表示测量角速度，δg 表示重力误差，S f 、S G 分别表示加速度计和陀螺的比例因子误差，0、ε0分别表示加速度计和陀螺的常值漂移，r 、εr 分别表示加速度计和陀螺的随机游走，u 、u ε分别表示加速度计和陀螺的白噪声，A g 、G g 分别表示重力误差模型中的系数矩阵，u g 表示单位高斯白噪声，δI 表示卫星天线与惯导的杆臂误差。