集合卡尔曼滤波在浅水模式数据同化中的应用

当今时代是信息“爆炸”的时代，在气象科学领 域，我国已经发射了多颗气象卫星。通过卫星和飞机 等各种遥测手段获取信息的数量之多和速度之快， 让我们感受到信息的“爆炸”。对这些非常规数据再
收藕日期：２００６－０５一１７． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（４０１７５０１２）． 作者简介：黄勇（１９７９一）．男。博士生．助教；研究方向：大气
万方数据
８６
解放军理工大学学报（自然科学版）
第９卷
滤波同化等）。此后“集合”思想的引入极大地推动了 同化领域研究的发展。由于解决了背景误差协方差 矩阵估计的困难、更容易考虑模式误差和实现并行 运算等优点，使得集合同化成为未来数据同化方法 发展的一个趋势。
Ｋａｌｍａｎ滤波的理论最早是Ｒ．Ｅ．Ｋａｌｍａｎ［１］于 １９６０年首先提出的。１９６５年Ｒ．Ｈ．Ｊｏｈｎ［２］最早把 Ｋａｌｍａｎ滤波的理论用于气象研究上。２０世纪６０年 代末到２０世纪７０年代初，Ｅ．Ｓ．ＥｐｓｔｅｉｎＥ３］提出的随 机动态预报、Ｈ．Ｋｕｓｈｎｅｒ［４３提出最优非线性滤波估 计、Ｄ．Ｐ．ＰｅｔｅｒｓｅｎＥ５３提出的最优顺序分析并进一步 将Ｋａｌｍａｎ滤波的思想引入气象学领域。１９６９年 Ｃｈａｒｎｅｙ提出了“从不完全的历史资料推断大气现 在状态”的思想，并利用两层原始方程模式作了数值 试验。正是在此基础上人们提出了“四维资料同化的 问题”。１９９４年海洋学者Ｇ．ＥｖｅｎｓｅｎＥ６］首次提出集 合Ｋａｌｍａｎ滤波并把集合Ｋａｌｍａｎ滤波真正用到数 据同化中，利用概率论理论和一些简单的理想数值 试验来证明了集合Ｋａｌｍａｎ滤波可能性和可行性。 最近几年，已经产生了很多新的滤波方法［７￣１ ０。，包 括不加观测扰动的滤波和投影到次空间的滤波。各 种Ｋａｌｍａｎ滤波方法都是遵循“最大限度地保留原 来信号的主要信息，并在此基础上尽可能地简化计 算”这一原则进行的。
Ｃ
Ｓ
舞． ｜簪一
３ 三维变分和集合Ｋａｌｍａｎ滤波同化 效果的比较与分析
集合Ｋａｌｍａｎ滤波是集同化和集合预报于一体
的分析一预报系统［１¨。在分析系统里，它用集合的
动力学；Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕａｎｇｙｏｎｇ一１０２４＠ｙａｈｏｏ．ｅｏｍ．ｃｎ．
加上数量已经可观的常规数据进行处理和充分利用 的数据同化技术受到越来越多的关注与重视。
数据同化可以改进数值模式的预报时效和准确 度，这一点已经为大量的数值实验所证实。随着对数 值预报时效性和准确性要求的不断提高，数据同化 的方法也从２０世纪６０年代的简单同化方法（如插值 法和牛顿张驰法等）发展到现在的具有良好数学物 理基础的高级数据同化方法（如变分同化、Ｋａｌｍａｎ
第９卷第ｌ期 ２００８年２月
解放军理工大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＰＬＡ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
文章编号：１００９—３４４３（２００８）０１一００８５一０６
Ｖ０１．９ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２００８
集合卡尔曼滤波在浅水模式数据同化中的应用
（１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍｅｔｅｏｒｏｌｇｙ，ＰＬＡ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｓｅｉ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１１１０１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｍｅｔｅｏｒｏｌｏｇｉｃａｌ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｇｒａｐｈｉｃ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｔａｆｆ Ｈｅａｄｑｕａｒｔｅｒｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８１，Ｃｈｉｎａ）
Ｘ（五＋１）一Ａ（露）Ｘ（五）＋Ｗ（志），
（１）
ｙ（五）一Ｃ（七）Ｘ（忌）＋Ｖ（屉），
（２）
其中：ｋ表示时刻，ｘ（忌）代表ｋ时刻的模式状态向量
（假设有Ⅳ个分量）；Ａ（七）是愚时刻的状态转换矩阵
（即模式积分）；Ｗ（点）代表ｋ时刻的随机扰动输入
（即模式误差，由模式数学形式不完善、离散数值近
似和边界条件等引起）；ｙ（忌）代表ｋ时刻的观测状态
訾一如＝一罢， １ ’．ｄｄｈ＿＿ｙｆ＿ｖ＋＾一等， ｝ （３）
喾＋圣（塞＋考）吼Ｊ
为了验证集合Ｋａｌｍａｎ滤波的相关理论，本文 设计了以下２组试验，如表１所示。
表１试验分组 Ｔａｂ．１ Ｇｒｏｕｐｉｎｇ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｓ
在三维变分的同化试验中设观测和背景场具有
无偏的高斯误差，则度量模式分析值最优性的目标
１分析变量误差分析：
Ｆｉｇ．１
图Ｉ 集合Ｋａｌｍａｎ滤波同化计算流程图
Ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｆｌｏｗ ｃｈａｒｔ ｏｆ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｄａｔａ ａｓ— ｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ
Ｋａｌｍａｎ滤波的基本思想是这样的一个过程：首 先给定预报模式，然后在模式的动力约束条件下进行 模式状态的预报，接着引入观测数据。根据观测数据 对模式状态进行重新分析，在使观测和模式结果误差 方差达到最小的条件下，得到基于以前所有观测和当 前观测的系统变量的最优估计。随着模式状态预报的 持续进行和不断地将新的观测资料同化到动态模式 系统中，使得预报过程可以不断向前推进。集合 Ｋａｌｍａｎ滤波是一种用集合统计来估计Ｋａｌｍａｎ滤波 方程组中的分析误差协方差矩阵和背景场误差协方 差矩阵的方法。集合Ｋａｌｍａｎ滤波的主要思路是：首 先，根据背景场和观测值的特征误差分布来对背景场 和观测值加以一系列的扰动；然后，用这些加上不同 扰动的背景场和观测场进行分析，得到一组分析值， 用这组分析值的差异作为分析误差的统计样本来进 行分析误差协方差的估计。对这组分析值作一个短期 预报后，也可以得到一组预报值。同样，把这组预报值 的差异作为背景误差的统计样本来进行背景误差协 方差的估计．集合Ｋａｌｍａｎ是一种纯的统计蒙特卡罗
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ，ｓｏｍｅ ｄｅｓｉｒａｂｌｅ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ ｅｘｐｅｒ— ｉｍｅｎｔｓ ｗｅｒｅ ｍａｄｅ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｓｔｅｐｓ ｗｅｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｗｉｔｈ ｓｈａｌｌｏｗ ｍｏｄｅｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｅｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｗａｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎｓ ｗａｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ａｒｅ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｓｈａｌｌｏｗ ｗａｔｅｒ ｍｏｄｅｌ ｄｙ— ｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ。ｔｈｅ ａｂａｎｄｏｎｅｄ ｄｅｖｅｌｐｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｖａｒｉａｎｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｖａｒｉｂｌｅｓ ｃｏｎ— ｔｒｏｌｌｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｅｃａｓｔ ｏｆ ｍｏｄｅｌ ｓｔａｔｅｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ；ｓｈａｌｌｏｗ ｗａｔｅｒ ｍｏｄｅｌ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ
向量；Ｃ（七）是观测转换矩阵；ｙ（五）为观测误差，则集
合Ｋａｌｍａｎ滤波计算流程，如图１所示。
‘
分析
预报变量误差分析：
ｋ，Ｈ卜面而西卜觚，Ｉ—１）１面丽＝驴姗，¨）】‘
焉蕊磊串嬲；㈣州ｃ一㈨，咖洲
—————。Ｉ变量分析：
，
Ｉ ｉｘ（ｋ＿，ｋ）ｆｆｉｆＣ（ｋ／ｋ一１Ｍ（ｋ）［ｒ（ｋ）－－Ｃ（ｋ墒（ｋ／ｋ—１）ｌ
１集合Ｋａｌｍａｎ滤波
方法，模式状态的集合在状态空间中随时间演变，集
合的均值为模式预报值的最优估计，集合的发散分布
代表了误差方差。在测量时刻，每一个测量值被另一
个集合所取代，集合的期望值就是测量值的最优估
计，集合的方差反映了测量误差。
对于一个线性预报模式系统集合Ｋａｌｍａｎ滤波
过程可以用如下计算流程表示：
关键词：集合Ｋａｌｍａｎ滤波同化；浅水模式；数值试验
中图分类号：Ｐ４５６
文献标识码：Ａ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈａｌｌｏｗ ｗａｔｅｒ ｍｏｄｅｌ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ ｅｎｓｅｍｂｌｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｄａｔａ ａｓｓｉｍｉｌａｔｉｏｎ
ＨＵＡＮＧ Ｙｏｎ９１，ＷＡＮＧ Ｙｉｎ９２
黄 勇１， 王 颖２
（１．解放军理工大学气象学院，江苏南京２１１１０１；２．总参气象水文局，北京１０００８１）
摘 要：为了研究集合Ｋａｌｍａｎ滤波同化技术应用于非线性动力学模式的同化效果，通过利用集合Ｋａｌｍａｎ
滤波技术对浅水理论中均质不可压流体运动的动力学模式进行理想的数据同化试验。分析集合Ｋａｌｍａｎ滤
函数为
，
１
，（ｘ）一寺［（ｘ—ｘ６）ＴＢ－１（ｘ—ｘ６）＋（ｙｏ一
厶
Ｃ·Ｘ）７Ｒ＿１（ｙ。一Ｃ·Ｘ）］，
其中：ｒ为背景向量（初估场）；Ｐ为观测向量；Ｂ为
背景误差协方差矩阵；只为观测误差协方差矩阵。
。为了使泛函，（ｘ）达到极值，则最优的ｘ满足：
Ｖ，（Ｘ）＝０。
根据以上的三维变分同化试验，在不考虑模式误 差的情况下，比较集合Ｋａｌｍａｎ滤波和三维变分同化