卡尔曼滤波中文
非线性卡尔曼滤波器
UKF计算步骤：
PF
PF
● 粒子滤波(PF: Particle Filter)的思想基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo methods)，它是 利用粒子集来表示概率，可以用在任何形式的状态空间模型上。其核心思想是通过从后 验概率中抽取的随机状态粒子来表达其分布，是一种顺序重要性采样法(Sequential Importance Sampling)。简单来说，粒子滤波法是指通过寻找一组在状态空间传播的随 机样本对概率密度函数进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差分 布的过程。这里的样本即指粒子,当样本数量N→∝时可以逼近任何形式的概率密度分布。
EKF
首先围绕滤波值 xˆk 将非线性函数 f , g 展开Taylor级数并
略去二阶及以上项，得到一个近似的线性化模型，然后应用 Kalman滤波完成对其目标的滤波估计等处理。
1.对状态模型的一阶Taylor展示：
xk f
xˆk 1
f xˆk 1
xk 1 xˆk 1 k
令
f
F
xˆk 1
f1 f1
xˆ1
xˆ2
f xˆk 1
F
f2 xˆ1
f2 xˆ2
fn fn
xˆ1 xˆ2
f1
xˆn
f2 xˆn
fn
xˆn
g1 g1
xˆ1
xˆ2
g xˆk
H
g2 xˆ1
g2 xˆ2
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用来估计系统状态的算法。
它是一种有效的滤波算法，被用于许多模式拟合场合，如智能位置跟踪或自动控制系统。
卡尔曼滤波的核心思想是，通过先验概率分布来估计状态，而这种先验概率分布是基于观察到的测量值，以及我们对变化过程的知识，形成的。
也就是说，卡尔曼滤波给出了一种融合当前观测值和之前观测值的知识技术，用之来估计状态变量，而不仅仅是根据当前观测值来估计。
它的工作原理是，从先前状态估计，然后反馈新观测的量，根据测量值更新估计状态。
这样就可以得到一个更准确的估计。
简而言之，卡尔曼滤波使得我们可以使用当前测量值和先前观测值的组合，以估计一个可能的状态，而不仅仅是根据当前测量值来估计。
这就是卡尔曼滤波的优势所在。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
卡尔曼滤波与均值滤波
卡尔曼滤波与均值滤波卡尔曼滤波（Kalman Filter）和均值滤波（Mean Filter）是信号处理中常用的滤波算法，用于对信号进行平滑处理和噪声去除。
它们在不同的应用场景中具有各自的优势和适用性。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，能够根据先验信息和测量值来估计系统的状态。
它基于贝叶斯滤波理论，通过将系统的状态建模为高斯分布，并利用系统的动力学模型和测量模型进行状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是通过融合先验信息和测量信息，来获得对系统状态的最优估计。
均值滤波是一种简单的滤波算法，通过计算信号的均值来平滑信号并去除噪声。
它的基本原理是将信号中的每个样本值替换为其周围一定窗口大小内所有样本值的平均值。
均值滤波的优点是计算简单，适用于对周期性噪声和高频噪声的去除。
然而，均值滤波无法处理非线性系统和非高斯噪声，对于信号中的尖峰噪声和突变等情况效果较差。
卡尔曼滤波和均值滤波在滤波效果和计算复杂度上存在明显的差异。
卡尔曼滤波通过融合多个测量值和先验信息，能够提供对系统状态的最优估计，并且在处理非线性系统和非高斯噪声时具有较好的性能。
然而，卡尔曼滤波需要对系统的动力学模型和测量模型进行建模，并且计算复杂度较高，对系统的要求也较高。
相比之下，均值滤波的计算简单，适用于对周期性噪声和高频噪声的去除。
它不需要对系统进行建模，只需要将信号进行平均处理即可。
均值滤波的缺点是无法处理非线性系统和非高斯噪声，对于信号中的尖峰噪声和突变等情况效果较差。
在实际应用中，我们需要根据具体的信号处理需求选择合适的滤波算法。
如果需要对系统状态进行估计，并且信号噪声较大或者非高斯分布，可以选择卡尔曼滤波算法。
如果只是对信号进行简单的平滑处理，并且噪声较小或者呈高斯分布，可以选择均值滤波算法。
除了卡尔曼滤波和均值滤波，还有很多其他的滤波算法可以用于信号处理。
例如，中值滤波可以有效地去除椒盐噪声；高斯滤波可以平滑信号并保持信号的细节信息；小波变换可以在时域和频域上进行信号分析和滤波。
【译】图解卡尔曼滤波（KalmanFilter）
【译】图解卡尔曼滤波（KalmanFilter）译者注：这恐怕是全网有关卡尔曼滤波最简单易懂的解释，如果你认真的读完本文，你将对卡尔曼滤波有一个更加清晰的认识，并且可以手推卡尔曼滤波。
原文作者使用了漂亮的图片和颜色来阐明它的原理（读起来并不会因公式多而感到枯燥），所以请勇敢地读下去！本人翻译水平有限，如有疑问，请阅读原文；如有错误，请在评论区指出。
推荐阅读原文，排版比较美:)背景关于滤波首先援引来自知乎大神的解释。
“一位专业课的教授给我们上课的时候，曾谈到：filtering is weighting（滤波即加权）。
滤波的作用就是给不同的信号分量不同的权重。
最简单的loss pass filter，就是直接把低频的信号给1权重，而给高频部分0权重。
对于更复杂的滤波，比如维纳滤波, 则要根据信号的统计知识来设计权重。
从统计信号处理的角度，降噪可以看成滤波的一种。
降噪的目的在于突出信号本身而抑制噪声影响。
从这个角度，降噪就是给信号一个高的权重而给噪声一个低的权重。
维纳滤波就是一个典型的降噪滤波器。
”关于卡尔曼滤波Kalman Filter 算法，是一种递推预测滤波算法，算法中涉及到滤波，也涉及到对下一时刻数据的预测。
Kalman Filter 由一系列递归数学公式描述。
它提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。
卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。
Kalman Filter 也可以被认为是一种数据融合算法（Data fusion algorithm），已有50多年的历史，是当今使用最重要和最常见的数据融合算法之一。
Kalman Filter 的巨大成功归功于其小的计算需求，优雅的递归属性以及作为具有高斯误差统计的一维线性系统的最优估计器的状态。
Kalman Filter 只能减小均值为0的测量噪声带来的影响。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全包含噪声的测量(英文:measurement)中，估计动态系统的状态。
应用实例卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪声的观察序列预测出物体的坐标位置及速度. 在很多工程应用(雷达, 计算机视觉)中都可以找到它的身影. 同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要话题.比如,在雷达中,人们感兴趣的是跟踪目标,但目标的位置,速度,加速度的测量值往往在任何时候都有噪声.卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响,得到一个关于目标位置的好的估计。
这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波),也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑).命名这种滤波方法以它的发明者鲁道夫.E.卡尔曼（Rudolf E. Kalman）命名. 虽然Peter Swerling实际上更早提出了一种类似的算法.斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器.卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器. 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表.目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现.卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器.除此以外,还有施密特扩展滤波器,信息滤波器以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种.也行最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机,计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在.卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter ）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
(中文)第二章 卡尔曼滤波器
两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合
下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的
假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均
值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 p xk1 | z1:k1 是高 斯的，那么要使 p xk | z1:k 也是高斯的话，隐含了下面的假设：
结构框图
计算步骤
Pn a2 n 1 Q
Gn
R
cPn c2Pn
n 1 cGn Pn
sˆn n a sˆn 1n 1Gnxn acsˆn 1n 1
Initiation sˆ00,0 P1 G1 1, sˆ11
信号矢量：例1
（同时估计若干个信号）
si n aisi n 1 wi n , i 1, 2, , q
2.2 维纳滤波器的迭代实现
信号模型和测量模型： sn asn 1 wn xn csn vn
因果IIR维纳滤波器 （前面推导结果）：
sˆ n n , sˆ n n 1 , xˆ n n 1
分别代表用n时刻以及n-1时刻及以 前所有数据对s(n)和x(n)的估计值
迭
代
差分方程
形
sˆn n f sˆn 1n 1Gnxn
使用观察值更新预测（求后 验分布均值）
mk|k mk|k1 Kk zk Hk mk|k 1
求估计误差功率（求后验分 布方差）
Pk|k Pk|k 1 Kk Hk Pk|k 1
初始估计：m0|0 P0|0
2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）
1。Extended Kalman Filter(EKF)
卡尔曼滤波
1．2卡尔曼滤波在谱图分析中的应用卡尔曼(Kalman fliter)滤波理论是维纳(Wiener)滤波理论的发展，它最早用于随机过程的参数估计，后来很快在各种最优滤波理论和最优控制中得到了及其广泛的应用。
Kalman滤波器具有以下特点：(1)其数学公式用状态空间概念描述；(2)它的解是递推计算的，即Kalman滤波器是一种自适应滤波器。
Kalman滤波能有效去除噪声的干扰，获得真实信号及参数的估计值，具有适应性广、计算速度快、所需内存少、适于计算机自动分析等特点。
因此在多组分共存体系测定中，利用Kalman滤波算法可将多组分体系中各组分的信号分离出来，从而实现多组分同时测定。
Sarah C．Rutan将Kalman滤波用于色谱分析。
他们发现用Kalman滤波不仅可以定性地分析二元异构体，还可以定量地给出组分的浓度，最大误差小于7％，并且用Kalman滤波还可以较好地分离重叠峰。
H．N．A．Hassan等人用Kalman滤波分析毒品的三种成分，取得了较好的分析结果。
刘思东等人用Kalman滤波处理伏安法重叠峰，讨论了1mol／LKCL支持电介质中Pb(I)和Td(II)线性扫描伏安法和示差脉冲伏安法重叠峰的分离情况，获得满意结果。
结合Kalman滤波与其它化学计量学方法来处理信号，在谱图分析中也得到了较广的应用。
Chunsheng Yi等人在分析多组分的紫外光谱时，先用Kalman滤波器滤波，后用线性神经网络分析数据，发现只需要迭代15次，组分就可以完全分离。
David D．Gexow等人将因子分析和Kalman滤波结合用于分析色谱，得到比较满意的结果。
1标量卡尔曼滤波器传输或测量信号s(n)时，由于存在噪声，接收或者测量得到的数据石(n)和s(n)不同．为了从菇(n)中提取或者恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对石(n)进行滤波，使它的输出)，(n)尽可能逼进s(n)，成为s(n)的最佳估计[2]，即：Y(，1)=；(n) ．(1)设s(n)含有加性噪声口(n)，对应的信号模型和测量模型分别为：s(n)=as(n一1)+删(，1) ，(2)省(n)=cs(，1)+tI(n) ，(3)彬(斥)是信号模型中的白噪声激励，秽(疗)是信号传输或测量中引入的加性白噪声，口和c都是不大于1的常数．。
小波卡尔曼滤波
小波卡尔曼滤波一、简介小波卡尔曼滤波（Wavelet Kalman Filtering）是一种用于状态估计的滤波算法，在信号处理和控制系统中具有广泛应用。
它结合了小波分析的多尺度特性和卡尔曼滤波的状态估计能力，能够对信号进行高效的时频分析和滤波处理。
二、小波分析小波分析是一种基于时间-频率分析的信号处理方法，它能够在不同分辨率上对信号进行分解和重构。
小波分析具有良好的时频局部化特性，能够捕捉信号的短时非平稳特征。
小波函数具有可调节的尺度和位移参数，通过对信号进行连续小波变换，可以得到不同尺度下的小波系数。
在小波分解中，低频部分表示信号的平稳成分，高频部分表示信号的细节信息。
三、卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种递推的、最优的线性滤波算法，用于估计系统的状态变量。
卡尔曼滤波基于贝叶斯滤波理论，通过利用系统的动力学模型和观测模型，可以对系统状态进行准确估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态由状态向量表示，观测由观测向量表示。
通过动力学方程和观测方程的线性变换，可以得到状态向量的预测和更新公式。
卡尔曼滤波使用系统的预测值和测量值进行状态估计，通过最小化预测误差和观测误差的加权平方和，得到最优估计。
四、小波卡尔曼滤波原理小波卡尔曼滤波结合了小波分析和卡尔曼滤波的优势，能够实现对非平稳信号的时频分析和滤波处理。
其基本原理如下：1.对信号进行小波分解，将信号分解为不同尺度的小波系数。
2.利用卡尔曼滤波对小波系数进行滤波和估计。
3.利用小波重构将滤波后的小波系数重构为滤波后的信号。
小波卡尔曼滤波的关键是定义状态向量和观测向量，并建立状态转移模型和观测模型。
在小波卡尔曼滤波中，状态向量由小波系数和状态变量组成，观测向量由观测值和观测噪声组成。
通过卡尔曼滤波算法，可以对状态进行预测和更新，同时滤波小波系数和估计信号。
五、小波卡尔曼滤波的应用小波卡尔曼滤波在信号处理和控制系统中具有广泛应用，主要用于非平稳信号的处理和状态估计。
以下是小波卡尔曼滤波的一些应用场景：1. 生物医学信号处理小波卡尔曼滤波可以用于生物医学信号的滤波和分析，如心电信号、脑电信号等。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波
更新
首先要算出以下三个量：
(测量余量，measurement residual) (测量余量协方差)
(最优卡尔曼增益）
然后用它们来更新滤波器变量x与P：
https:///wiki/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2
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卡尔曼滤波 维基百科，自由的百科全书
最后两项可以抵消，得到 .
这个公式的计算比较简单，所以实际中总是使用这个公式，但是需注意这公式仅在使用最优卡尔曼增益的时 候它才成立。如果算术精度总是很低而导致数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就 不能使用这个简化；必须使用上面导出的后验误差协方差公式。
预测
使用Jacobians矩阵更新模型
更新
预测
如同扩展卡尔曼滤波器（EKF）一样, UKF的预测过程可以独立于UKF的更新过程之外，与一个线性的（或者 确实是扩展卡尔曼滤波器的）更新过程合并来使用；或者，UKF的预测过程与更新过程在上述中地位互换亦 可。
应用
自动驾驶仪 动态定位系统 经济学，特别是宏观经济学，时间序列模型，以及计量经济学 惯性引导系统 雷达跟踪器
https:///wiki/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2
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卫星导航系统
卡尔曼滤波 维基百科，自由的百科全书
参见
即时定位与地图构建 快速卡尔曼滤波 比较：维纳滤波及the multimodal Particle filter estimator.
Kalman卡尔曼滤波(由射影定理引申而来)
四、Kalman滤波器
1、五个递推公式
初值x(0 0), P(0 0)
2、递推算法流程图：
读y(t)
ˆ x (t t 1)
(t )
P (t t 1)
t t 1
K (t )
ˆ x (t t )
P (t t )
Kalman滤波递推算法框图
谢谢！
ˆ y (k k 1)
新息 (k ) 的几何意义
定理一：新息序列
(k )
是零均值白噪声。
注：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率 具有相同能量的随机噪声称为白噪声。
证明： 因为射影是无偏差的，所以 ˆ E (k ) Ey(k ) Ey (k k 1) Ey(k ) Ey(k ) 0, k 1 不妨设 i j, 因为 (i) L( y(1), , y(i 1)), 且有 L( y(1), , y( j )) L( y(1), , y(i 1)), 故有 (i) L( y(1), , y( j )), ˆ 而 ( j ) y ( j ) y ( j j 1) L( y (1), , y ( j )), 因而 (i) ( j ), 即 E[ (i ) T ( j ) 0], 所以 (i) 是白噪声。
• 定理三：（递推射影公式）设随机变量 x R , 随机序列 y(1), , y(k ), R m , 且它们存在二阶矩， 则有递推射影公式
n
proj( x y (1), y (k )) proj( x ห้องสมุดไป่ตู้ (1), , y (k 1)) E ( x T (k )][ E ( (k ) T (k )] 1 (k )
(完整)卡尔曼滤波介绍
卡尔曼滤波一、卡尔曼滤波的起源谈到信号的分析与处理，就离不开滤波两个字。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内，为了消除噪声，可以把FIR滤波器或者IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要直接进行时域滤波,从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但其所依据的理论，即针对随机信号的估计理论,是自成体系的.人们对于随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”.为了“估计"，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度.最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的.当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作，这项研究是用于防空火力控制系统的.维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应,需要求解著名的维纳–霍夫方程。
这种滤波理论所求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
从维纳–霍夫方程来看，维纳滤波算法是十分低效的。
这种算法要求设置大量的存储器来保存过去的测量数据,一个新的数据到来后，要进行刷新，重新计算自相关和互相关序列。
再者，求解这个方程需要耗费大量时间对高阶矩阵求逆。
因此,维纳滤波算法难以运用于实时处理中，尤其是无法用于军事、航空航天等领域。
为此,许多科技工作者进行了多方探索，但在解决非平稳过程的滤波问题时,能给出的方法很少。
到20世纪50年代中期，随着空间技术的发展，要求对卫星轨道进行精确地测量，这种方法越来越不能满足实际应用的需要。
为此，人们将滤波问题以微分方程表示,提出了一系列适应空间技术应用的精炼算法。
1960年和1961年，卡尔曼（R. E. Kalman）和布西（R. S。
Bucy)提出了递推滤波算法，成功的将状态变量引入到滤波理论中来，用消息与干扰的状态空间模型代替了通常用来描述它们的协方差函数，将状态空间描述与离散数间刷新联系起来，适于计算机直接进行计算，而不是去寻求滤波器冲激响应的明确公式。
卡尔曼滤波的计算步骤
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用于估计状态变量的递归算法，它基于观测数据和系统模型来进行预测和更新。以下是卡尔曼滤波的计算步骤：
1.初始化：定义系统的状态变量（例如位置、速度等）和观测数据的初始值。设定初始估计值和协方差矩阵。
2.预测（预测步骤）：
使用系统的动力学模型（包括状态转移矩阵和过程噪声协方差矩阵）预测下一个时刻的状态。
更新估计的协方差矩阵，加入获取实际的观测值。
利用观测模型（包括观测矩阵和观测噪声协方差矩阵）将预测的状态与观测数据进行比较，计算观测残差。
利用计算得到的残差和估计的协方差矩阵，更新状态估计值和协方差矩阵。这里使用卡尔曼增益来平衡预测和观测之间的权重。
4.重复预测和更新步骤：重复进行预测和更新步骤，以递归方式估计下一个时刻的状态。
eskf通俗解释-概述说明以及解释
eskf通俗解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述eskf是一种重要的技术方法，它在现代信息领域广泛应用。
本文将对eskf进行深入解析，从什么是eskf、它的应用领域、优势和不足等方面展开讨论。
通过全面了解eskf，我们可以更好地认识其在科技领域的重要性和潜力。
深入探讨eskf的意义，对于推动科技的发展和应用具有重要的意义。
1.2文章结构文章结构部分主要包括了引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们会对文章的主题进行概述，说明文章的结构和目的。
在正文部分，我们将详细介绍什么是eskf、它的应用领域以及它的优势和不足。
在结论部分，我们将总结eskf的重要性，展望它的发展前景，并给出结束语。
通过这样清晰的文章结构，读者能够更好地理解并吸收文章的内容。
1.3 目的本篇文章的目的在于向读者介绍和解释eskf这一概念。
通过对eskf 的概述、应用领域、优势和不足的分析，帮助读者更加全面地了解这一概念。
同时，通过总结eskf的重要性和展望其发展前景，让读者对eskf的未来发展有更深入的了解和思考。
希望本文能够增加读者对eskf的认识，促进eskf在各个领域的应用和发展，并激发读者对eskf的兴趣和探索欲望。
2.正文2.1 什么是eskf:ESKF是Error-State Kalman Filter的缩写，中文名为误差状态卡尔曼滤波器。
它是一种用于状态估计的滤波器，常用于无人系统、导航系统和机器人领域。
简单来说，ESKF是一种能够通过测量值和模型预测值来估计系统状态的算法。
它的核心思想是通过比较测量值和模型预测值之间的误差来不断校正系统状态的估计值，使估计值逐渐趋近于真实值。
ESKF与传统的卡尔曼滤波器相比，更适用于非线性系统和高动态系统。
它能够有效处理传感器噪声、系统误差和模型不精确性等问题，提高系统的鲁棒性和准确性。
总的来说，ESKF是一种强大的状态估计算法，能够帮助系统实时准确地估计状态，并对系统的稳定性和性能起到关键作用。
仔细看完你就懂卡尔曼滤波（KalmanFilter）
仔细看完你就懂卡尔曼滤波（KalmanFilter）一、引言以下我们引用文献【1】中的一段话作为本文的開始：想象你在黄昏时分看着一仅仅小鸟飞行穿过浓密的丛林。
你仅仅能隐隐约约、断断续续地瞥见小鸟运动的闪现。
你试图努力地猜測小鸟在哪里以及下一时刻它会出如今哪里，才不至于失去它的行踪。
或者再想象你是二战中的一名雷达操作员，正在跟踪一个微弱的游移目标。
这个目标每隔10秒钟在屏幕上闪烁一次。
或者回到更远的从前。
想象你是开普勒，正试图依据一组通过不规则和不准确的測量间隔得到的非常不精确的角度观測值来又一次构造行星的运动轨迹。
在全部这些情况下。
你都试图依据随对问变化并且带有噪声的观察数据去预计物理系统的状态（比如位置、速度等等）。
这个问题能够被形式化表示为时序概率模型上的推理，模型中的转移模型描写叙述了运动的物理本质，而传感器模型则描写叙述了測量过程。
为解决这类问题。
人们发展出来了一种特殊的表示方法和推理算法——卡尔曼滤波。
二、基本概念回忆一下HMM的基本模型（例如以下图所看到的）。
当中涂有阴影的圆圈（y t-2, y t-1, y t）相当于是观測变量，空白圆圈（x t-2, x t-1, x t）相当于是隐变量。
这事实上揭示了卡尔曼滤波与HMM之间拥有非常深的渊源。
回到刚刚提及的那几个样例，你所观測到的物体状态（比如雷达中目标的位置或者速度）相当于是对其真实状态的一种预计（由于观測的过程中必定存在噪声），用数学语言来表述就是P(y t | x t)，这就是模型中的測量模型或測量概率（Measurement Probability）。
另外一方面，物体当前的（真实）状态应该与其上一个观測状态相关，即存在这样的一个分布P(x t | x t-1)，这就是模型中的转移模型或转移概率（Transition Probability）。
当然，HMM中隐变量必须都是离散的，观測变量并无特殊要求。
而从信号处理的角度来讲，滤波是从混合在一起的诸多信号中提取出所需信号的过程[2]。
卡尔曼滤波中文
3 择随机变量 X1 的方法是令选取 的值最小化损耗或风险的平均值 E {L[x1 (t1 ) − X1 (t1 )]} = E [E {L[x(t1 ) − X1 (t1 )]|y (t0 ), . . . , y (t)}] (3)
既然式3右边第一个期望值不依赖于 X1 的选择，而是由 y (t0 ), . . . , y (t) 唯 一决定，所以最小化 refeq3 等价于最小化 E {L[x1 (t1 ) − X1 (t1 )]|y (t0 ), . . . , y (t)} 在少量附加的假设之下，最佳估计就可以用简单的方法刻画出来。 定理 1. 假定 L 如式2且由式1定义的条件分布函数 F (ξ )： ¯ 对称： A 关于均值 ξ ¯) = 1 − F (ξ ¯ − xi) F (ξ − ξ ¯ 是凸的： B 对ξ≤ξ F (λξ1 + (1 − λ)ξ2 ) ≤ λF (ξ1 ) + (1 − λ)F (ξ2 ) ¯ and 0 ≤ λ ≤ 1 for all ξ1 , ξ2 ≤ ξ 则最小化损耗（式3）的随机变量 x∗ 1 (t1 |t) 是条件期望 x∗ 1 (t1 |t) = E [x1 (t1 )|y (t0 ), . . . , y (t)] (5) (4)
2 符号约定
贯穿本文，我们主要与离散（或者抽样）动力系统打交道；换句话说， 信号将在等间距的时刻（抽样瞬间）被观测到。选择合适的时间尺度，相 邻两次抽样瞬间的时间间隔常数（抽样周期）可以被选择为单位时间。如 此一来，表示时间的变量如 t, t0 , τ , T 等将一直是整数。对离散动力系统 施加这样的约束条件并不是必需的（至少从工程的角度来看是这样） ；使用 这样的离散性，我们可以保有严密的、基础的数学。矢量将用小写粗体字 母如 a, b, . . . , x, y, . . . 表示。矢量，或者更精确的说， n 维矢量是 n 个数 x1 , . . . , xn 的集合； xi 是矢量 x 的坐标或分量。 矩阵将使用大写粗体字母 A, B, Q, Φ, Ψ, . . . 表示；它们是元素 aij , bij , qij , . . . 的 m × n 维数列。矩阵的转置（交换行与列）用一撇来表示。使用 公式时，为求方便，视矩阵为只有一列元素的矩阵。 使用传统的矩阵乘法定义，我们将两个 n 维矢量 x, y 的标量积写成 x′ y =
Kalman滤波中文版
卡尔曼滤波器介绍Greg Welch1and Gary Bishop2TR95-041Department of Computer ScienceUniversity of North Carolina at Chapel Hill3Chapel Hill,NC27599-3175翻译：姚旭晨更新日期:2006年7月24日，星期一中文版更新日期：2007年1月8日，星期一摘要1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文。
从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。
卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。
它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。
卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。
这篇文章介绍了离散卡尔曼理论和实用方法，包括卡尔曼滤波器及其衍生：扩展卡尔曼滤波器的描述和讨论，并给出了一个相对简单的带图实例。
1welch@,/˜welch2gb@,/˜gb3北卡罗来纳大学教堂山分校，译者注。
1Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍21离散卡尔曼滤波器1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文[Kalman60]。
从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。
[Maybeck79]的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以参考[Sorenson70]，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。
更广泛的参考包括[Gelb74,Grewal93,Maybeck79,Lewis86,Brown92,Jacobs93]。
被估计的过程信号卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量x∈ n。
这个离散时间过程由以下离散随机差分方程描述：x k=Ax k−1+Bu k−1+w k−1,(1.1)定义观测变量z∈ m，得到量测方程：z k=Hx k+v k.(1.2)随机信号w k和v k分别表示过程激励噪声1和观测噪声。
低通滤波和卡尔曼滤波
低通滤波和卡尔曼滤波
低通滤波和卡尔曼滤波都是信号处理中常用的滤波技术，用于处理噪声、提取信号信息或估计状态。
以下是它们的简要介绍：
低通滤波：
低通滤波是一种信号处理技术，用于去除高频成分，保留低频成分。
它可以过滤掉信号中高频的噪声或干扰，从而平滑信号并保留低频信息。
低通滤波器的传递函数在低频范围内具有较高的增益，而在高频范围内逐渐减小。
这种滤波器通常用于信号去噪、信号平滑和频率分析等领域。
卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是一种递归的状态估计算法，常用于在有噪声的测量下估计系统的状态。
它结合了预测和测量两个步骤，使用线性系统模型和高斯分布假设来对状态进行估计。
卡尔曼滤波可以根据系统模型和测量数据，计算出最优的状态估计值和状态协方差估计值。
它广泛应用于估计移动目标的位置、姿态、速度等状态，例如在航空航天、导航和机器人领域。
总之，低通滤波用于信号平滑和去噪，而卡尔曼滤波用于状态估计和数据融合。
它们都是信号处理和控制领域中重要的技术，用于改善数据质量和提取有用的信息。
卡尔曼滤波观测方程
卡尔曼滤波观测方程
卡尔曼滤波的观测方程，可以用以下中文来描述：
假设有一个系统，它的状态向量为 x(t)，可以通过观测方程
y(t) 来估计该系统的状态。
其中，y(t) 是一个与状态向量 x(t) 存在某种线性关系的测量向量，其表达式为：
y(t) = H(t) · x(t) + v(t)
式中 H(t) 为状态向量 x(t) 与观测向量 y(t) 之间的线性关系矩阵，v(t) 为内部和外部因素的测量误差向量，它们满足均值为零，方差为 Q(t) 和 R(t) 的高斯分布。
基于以上描述，卡尔曼滤波的观测方程可以表示为：
x(t) = x(t-1) + K(t) · [y(t) - H(t) · x(t-1)]
式中，K(t) 为卡尔曼增益，可以通过先验估计误差协方差矩阵P(t|t-1)、观测误差协方差矩阵 R(t) 和状态与观测之间的线性关系矩阵 H(t) 计算得出。
此外，在卡尔曼滤波模型中，还需要进行预测和纠正操作，以最优化估计系统状态向量 x(t)。
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处理线性滤波以及预测问题的一种新途径R.E.Kalman1引言通讯与控制中的理论与实际问题中有很重要的一类具有统计性质。
这样的问题有：（1）、随机信号的预测；（2）、从随机噪声中分离随机信号；（3）、在有噪声的情况下探测已知形式的信号（脉冲、正弦波）。
在Wiener开拓性的工作中，他证明[1]从问题（1）和问题（2）可导出所谓Wiener-Hopf积分方程；他同样给出了解决具有实际重要意义的特殊情况——定态统计和有理数频谱——之积分方程的方法（频谱因式分解）。
在Wiener的基础性工作之后出现了许多延伸和推广。
Zadeh与Ragazzini给出了有限存储器情况的解[2]。
Bode和Shannon[3]同时独立的给出上述情况的解，并且给出了简化的求解方法。
Booton讨论了非定态统计Wiener-Hopf方程[4]。
这些结果现在都写入了标准教科书中[5,6]。
最近Darlington[7]沿着这些主线给出了一种稍微有些不同的方法。
对抽样信号的延伸，参见Franklin[8]和Lees[9]的工作。
基于Wiener-Hopf方程（同样应用于非定态问题，尽管前述方法一般并非如此）特征函数的方法由Davis[10]开创并被许多其他人应用，例如Shinbrot[11],Blum[12],Pugachev[13],Solodovnikov[14].在所有这些工作中，目标都是获取一个线性动力系统的明确说明（Wiener滤波器），由此可以完成预测、分离或者探测随机信号。
现有求解Wiener问题的方法受制于若干限制，这样就使得它们的实际用处收到削弱：1.最佳的滤波器由其脉冲响应具体指定。
由这些数据合成滤波器并非易事。
2.数值确定最佳的脉冲响应往往十分复杂并且不很适合机器计算。
这种情况随着问题复杂度的增加而迅速变得更为糟糕。
11引言23.重要的推广（如增长存储器滤波器、非定态预测）需要新的推导过程，经常给非专业人士带来相当大的困难。
4.这些推导过程的数学部分并不透明。
基本假设及其后果趋于模糊。
本文回避上述困难，提出看待这些问题的整个集合的新方式。
以下是本文的亮点：5.最佳估计和正交投影。
Wiener问题是以条件分布与期望的观点处理的。
这样，Wiener理论的基本事实可以迅速获取；结果的范围以及基本假设可以清楚的显现出来。
可以看到所有的统计计算以及结果都基于一阶和二阶平均；不需要其他的统计数据。
这样一来困难（4）便被排除。
这种方法在概率论中为人们所熟知（见Doob[15]第148至155页以及Lo`eve[16]第455至464页），但在工程上还没有大量的应用。
6.随机过程模型。
继前人之后，尤其是Bode与Shannon[3],任意随机信号可以被表示（直到二阶平均统计性质）为线性动力系统受独立或不相关随机信号（“白噪声”）激励后的输出。
这是工程上应用Wiener理论的标准手法[2,3,4,5,6,7]。
这里用到的方法与传统方法相比只在线性动力系统的描述方法上不同。
我们将强调状态以及状态过渡；换言之，线性系统将以一阶差分（或微分）方程组来刻画。
为了利用（5）中提到的简化，这种观点是自然的，也是必要的。
7.求解Wiener问题。
使用状态——过渡方法，单独一次推导即覆盖多种问题：增长与有限存储器滤波器、定态与非定态统计等等；（3）中的困难消失了。
正确猜测出估计问题的“状态”后，接下来就是最佳估计误差协方差矩阵的非线性差分（或微分）方程。
这个方程与Wiener-Hopf方程有些相似。
对方称的求解开始于观测开始的t0时刻；随后每个时刻t方程的解都代表给定区间(t0,t)上观测的最佳预测误差协方差。
从t时刻的协方差矩阵我们立刻可以获得刻画最佳线性滤波器的系数，而无需进一步的计算。
8.对偶问题。
对Wiener问题的新的公式化使其接触到基于“状态”观点的成长中的控制系统新理论[17,18,19,20,21,22,23,24]。
令人惊讶的是，Wiener问题是无噪声最佳调整器问题的对偶，而此问题已经被本文的作者利用状态——过渡方法解决[18,23,24]。
两个问题的2符号约定3 数学背景完全一致——这一点一直以来都被人们所怀疑，但直到现在两者的类比才被明确指出。
9.应用。
新方法的威力在理论调研与复杂实际问题的数值解答中大多显而易见。
在后面的案例中，最好借助机器计算。
这种类型的例子将在后面讨论。
为了给应用提供一些感觉，包含了两个非定态预测的标准例子；在这些例子中，（7）中提到的非线性差分方程甚至可以得到近似形式的解。
为了参考方便，主要结果都用定理的形式显示。
只有定理3和定理4是原创的。
下一个章节以及附录主要服务于用适用于当前目的的形式来回顾人们熟知的资料。
2符号约定贯穿本文，我们主要与离散（或者抽样）动力系统打交道；换句话说，信号将在等间距的时刻（抽样瞬间）被观测到。
选择合适的时间尺度，相邻两次抽样瞬间的时间间隔常数（抽样周期）可以被选择为单位时间。
如此一来，表示时间的变量如t,t0,τ,T等将一直是整数。
对离散动力系统施加这样的约束条件并不是必需的（至少从工程的角度来看是这样）；使用这样的离散性，我们可以保有严密的、基础的数学。
矢量将用小写粗体字母如a,b,...,x,y,...表示。
矢量，或者更精确的说，n维矢量是n个数x1,...,xn的集合；xi是矢量x的坐标或分量。
矩阵将使用大写粗体字母A,B,Q,Φ,Ψ,...表示；它们是元素aij,bij,qij,...的m×n维数列。
矩阵的转置（交换行与列）用一撇来表示。
使用公式时，为求方便，视矩阵为只有一列元素的矩阵。
使用传统的矩阵乘法定义，我们将两个n维矢量x,y的标量积写成x′y=n∑i=1xiyi=y′x标量积显然是标量，也就是说并非矢量。
类似的，关于n×n维矩阵Q的二次型是，x′Qy=n∑i,j=1xiqijxj2符号约定4我们定义表达式xy′（式中x′是m维矢量，y是n维矢量）为m×n维矩阵，矩阵元为xiyj.我们将随机矢量x的期望值记为E(x)=Ex（见附录）。
为方便起见，通常省略E后面的括号。
因为常数与E算符对易，故这种省略在简单情况中并不会引起混淆。
从而，Exy′是矩阵元为E(xiyj)的矩阵；ExEy是以E(xi)E(yj)为矩阵元的矩阵。
为方便参考，下面给出基本符号表：最佳估计t时间，当前时间。
t0观测开始时刻。
x1(t),x2(t)基本随机变量。
y(t)观测到的随机变量。
x?1(t1|t)给定y(t0),...,y(t)之后对x1(t1)的最佳估计。
L损耗函数（是其自变量的非随机函数）。
?估计误差（随机变量）。
正交投影Y(t)随机变量y(t0),...,y(t)生成的线性流形。
ˉx(t1|t)x(t1)在Y(t)上的正交投影。
?x(t1|t)x(t1)正交于Y(t)的分量。
随机过程模型Φ(t+1;t)过渡矩阵。
Q(t)随机激励的协方差。
求解Wiener问题x(t)基本随机变量。
y(t)观测到的随机变量。
Y(t)由y(t0),...,y(t)生成的线性流形。
Z(t)由?y(t|t?1)生成的线性流形。
x?(t1|t)给定Y(t)之后对x(t1)的最佳估计。
?x(t1|t)给定Y(t)之后对x(t1)最佳估计的误差。
3最佳估计53最佳估计为具体描述将要研究问题的类型，需考虑以下情况。
已知信号x1(t)和噪声x2(t).只能观察到和y(t)=x1(t)+x2(t).假定我们已经观测并确切的知道y(t0),...,y(t)的值，关于t=t1（t1可能小于、等于或者大于t）处的值（非观测量）我们可以从已知信息中推断出什么？如果t1<t,这是数据平滑（插值）问题。
如果t1=t,这称为滤波。
如果t1>t，称为预测问题。
既然我们有足够一般性的方法来处理以上以及类似的问题，以下我们将使用共同的术语估计。
正如Wiener指出[1]的那样，估计问题的天然背景属于概率论和统计学的范畴。
因此信号、噪声以及它们的和都是随机变量，进而它们可被视为随机过程。
从随机过程的概率论描述中我们可以确定特定信号或者噪声抽样发生的概率。
对于随机变量y(t)的任意给定的测量值η(t0),...,η(t)原则上也可以确定随机变量x1(t1)于同一时刻取不同值ξ1(t)的概率。
这就是条件概率分布函数Pr[x1(t1)≤ξ1|y(t0)=η(t0),...,y(t)=η(t)]=F(ξ1)(1)显然，F(ξ1)代表了随机变量y(t0),...,y(t)测量结果传递的关于随机变量x1(t1)所有信息。
随机变量x1(t1)的任何统计估计都是上述分布的某种函数，因而是随机变量y(t0),...,y(t)的（非随机）函数。
该统计估计记为X1(t1|t),如果观测到的随机变量集合或者待估计时间在上下文中是明确的，也可记为X1(t1)或者X1.假定X1以随机变量y(t0),...,y(t)的固定函数的形式给出。
那么X1本身就是一个随机变量，只要y(t0),...,y(t)的实际值已知，即可知X1的实际值。
一般来说，X1(t1)的实际值与x1(t1)的（未知）实际值是不同的。
为了取得确定X1的合理方法，自然要为不正确的估计指定罚函数或损耗函数。
确切的说，损耗函数应当（1）非负，（2）是估计误差?=x1(t1)?X1(t1)的单调不递减函数。
故此，定义损耗函数L(0)=0L(?2)≤L(?1)≤0when?2≤?1≤0(2)L(?)=L(??)常见的损耗函数有：L(?)=a?2,a?4,a|?|,a[1?exp(??2)]等等，其中a是大于零的常数。
3最佳估计6一种（但并非唯一的）自然而然的选择随机变量X1的方法是令选取的值最小化损耗或风险的平均值E{L[x1(t1)?X1(t1)]}=E[E{L[x(t1)?X1(t1)]|y(t0),...,y(t)}](3)既然式3右边第一个期望值不依赖于X1的选择，而是由y(t0),...,y(t)唯一决定，所以最小化refeq3等价于最小化E{L[x1(t1)?X1(t1)]|y(t0),...,y(t)}(4)在少量附加的假设之下，最佳估计就可以用简单的方法刻画出来。
定理1.假定L如式2且由式1定义的条件分布函数F(ξ)：A关于均值ˉξ对称：F(ξ?ˉξ)=1?F(ˉξ?xi)B对ξ≤ˉξ是凸的：F(λξ1+(1?λ)ξ2)≤λF(ξ1)+(1?λ)F(ξ2)forallξ1,ξ2≤ˉξand0≤λ≤1则最小化损耗（式3）的随机变量x?1(t1|t)是条件期望x?1(t1|t)=E[x1(t1)|y(t0),...,y(t)](5)证明：正如Sherman最近所指出[25]的，该定理是概率论中一个著名引理的直接结论。