第三章 立体及其表面交线的投影
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机械制图 第三章 立体及立体表面交线
第三章立体及立体表面交线目的要求：1）掌握平面立体和回转体的投影特性，以及表面取点线的方法2）熟悉立体表面上常见交线的画法（截交线、相贯线）重点难点：1）掌握和熟练运用各种立体的投影特性求解表面取点线的方法2）熟练求解立体表面上截交线和相贯线授课学时：8学时主要作图练习：1）完成平面立体、回转体的三面投影，平面立体、回转体表面找点、找线。
2）单个截平面截棱柱、棱锥后的三面投影。
3）多个截平面（切口）截棱柱、棱锥的三面投影，尤其是长方体截切后的三面投影。
4）单个和多个截平面截切圆柱、圆锥、圆球后的三面投影，尤以带槽的圆柱和圆球为主。
5）圆柱与圆柱相贯、同轴回转体相贯的各种情况作图、综合作图。
6）授课内容：机件形状是多种多样的，经过分析，都是由一些基本几何体所组成。
而几何体又是由一些表面所围成，根据这些表面的性质，几何体可分为两类：平面立体——由若干个平面所围成的几何体，如棱柱、棱锥等。
曲面立体——由曲面或曲面与平面所围成的几何体，最常见的是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。
用投影图表示一个立体，就是把围成立体的这些平面和曲面表达出来，然后根据可见性判别哪些线是可见的，哪些线是不可见的，把其投影分别画成粗实线和虚线，即可得立体的投影图。
§3-1 平面立体的投影平面立体各表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成，棱线又由其端点确定。
因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
一、棱柱以正六棱柱为例，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚为一直线。
棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。
棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影为类似形。
图3-1 正六棱柱的投影二、棱锥以四棱锥为例，其底面为一长方形，呈水平位置，水平投影反映底面的实形。
左右两个棱面是正垂面，其正面投影积聚为直线，水平和侧面投影均为类似三角形，前后两个棱面为侧垂面，其侧面投影积聚为直线，水平和正面投影同样为类似的三角形。
工程制图PPT【第3章 基本体的投影及表面交线】
e’
e”
b” b’
[例]完成圆锥被切割后的水平投影和侧面投影。
5’6’ 3 ’4’ 1 ’2 ’
6” 4”
2”
5” 3”
1”
2
4
6
5
1
3
圆球的截交线
投影面平行面与球相交
截交线总是圆
[例] 完成圆球被正垂面切割后的水平投影和侧面投影。
b’
b”
g’h’ c’d ’ e’f ’
a’
h” d”
f”
g” c”
结论1
结论2
相贯线向大圆柱 的轴线方向凸起
两圆柱相交
[例]求两圆柱的相贯
线。
1 ’ 5’ 6’ 3 ’ 2 ’4’
1 ”3” 5”6”
4”
2”
01 分析形状 02 作特殊点
03 作一般点
4
1
3
5
6
2
Ⅳ Ⅲ
Ⅰ Ⅴ
Ⅵ Ⅱ
04 判断可见性 05 平滑连接 06 整理轮廓
两圆柱正交产生相贯线的形式 两外表面相交 外表面与内表面相交 两内表面相交
外表面与内表面相交
1’
3’
2 ’4’
1 ”3”
4”
2”
4
1
3
2
两内表面相交
1’
3’
2 ’4’
1 ”3” 2”
4”
4
1
3
2
求圆柱被穿竖孔和横孔后的相贯线
圆柱与圆锥相交 [例]求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
3’
4’
5’7’
6’8’
1 ’2’
3“4”
7”8“
5”6“
1”
2”
第三章_基本体及表面交线
三角形线框。
二. 圆锥体及其表面的点
s'
s"
最左
最右
m΄
最后
(m˝)
辅助平面法 最前
s
m
②作最能反映形状、特征的图形 ①作三视图中的中心线 ⑤圆锥面的投影 ④顶点的投影 ③在V面、W面上作底面积聚投影
三、 圆球及其表面的点
形成：
圆母线绕直径旋转而成。
构成： 球由曲面所围成。 视图分析： 三个视图分别为三个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。
绘制它们的投影时，由于它们的表面没有明显
的棱线，绘制曲面立体的投影，就是绘制组成
曲面立体的所有曲面或曲面与平面的投影，曲
面的投影是绘制曲面可见与不可见的分界线。
一、圆柱及其表面的点 形成：
圆柱面可看作直线绕与它平行的轴线旋转而成。
构成： 圆柱体由圆柱面、顶面、底面所围成。 视图分析：
圆柱的投影一个是圆，另二个视图是两个全等
辅助平面法
P
2、辅助平面法
例 求圆台与圆球的相贯线
例5 求圆台与圆球的相贯线 。
分析：由于圆锥与 圆球的投影均无积聚性， 相贯线的点不能再用表 面取点法求得，须用辅 助平面的方法求取。 思路：用一个水平 辅助平面切割物体，与 圆锥相交为圆，与球相 交也为圆，两圆的交点 即为相贯线上的点。
2、辅助平面法 例 求圆台与圆球的相贯线 。 作图步骤： (1) 求特殊点：点I、II是 1’ 相贯线的最左和最右点， 也是最高和最低点，点III、 3’(4’) 5’(6’) 2’ IV是最前和最后点。 (2) 求一般点：相贯线V、 VI两点； 4 6 (3) 依次光滑连接相贯线 2 1 上各点； (4) 连线并判断可见性， 5 3 最后完成轮廓线的投影。
二. 圆锥体及其表面的点
s'
s"
最左
最右
m΄
最后
(m˝)
辅助平面法 最前
s
m
②作最能反映形状、特征的图形 ①作三视图中的中心线 ⑤圆锥面的投影 ④顶点的投影 ③在V面、W面上作底面积聚投影
三、 圆球及其表面的点
形成：
圆母线绕直径旋转而成。
构成： 球由曲面所围成。 视图分析： 三个视图分别为三个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。
绘制它们的投影时，由于它们的表面没有明显
的棱线，绘制曲面立体的投影，就是绘制组成
曲面立体的所有曲面或曲面与平面的投影，曲
面的投影是绘制曲面可见与不可见的分界线。
一、圆柱及其表面的点 形成：
圆柱面可看作直线绕与它平行的轴线旋转而成。
构成： 圆柱体由圆柱面、顶面、底面所围成。 视图分析：
圆柱的投影一个是圆，另二个视图是两个全等
辅助平面法
P
2、辅助平面法
例 求圆台与圆球的相贯线
例5 求圆台与圆球的相贯线 。
分析：由于圆锥与 圆球的投影均无积聚性， 相贯线的点不能再用表 面取点法求得，须用辅 助平面的方法求取。 思路：用一个水平 辅助平面切割物体，与 圆锥相交为圆，与球相 交也为圆，两圆的交点 即为相贯线上的点。
2、辅助平面法 例 求圆台与圆球的相贯线 。 作图步骤： (1) 求特殊点：点I、II是 1’ 相贯线的最左和最右点， 也是最高和最低点，点III、 3’(4’) 5’(6’) 2’ IV是最前和最后点。 (2) 求一般点：相贯线V、 VI两点； 4 6 (3) 依次光滑连接相贯线 2 1 上各点； (4) 连线并判断可见性， 5 3 最后完成轮廓线的投影。
工程制图第03章基本立体及其表面交线的投影
4）因侧表面AA1BB1的W投影为可见，故k″也为可见。
a′
c′ b′
c〞 a〞 b〞
C V
A
W B
C1
K
B1
A1
bb1
aa1 k
H
k′
a1′
(c1′ )
c (c1 )
k〞
b1′
c1〞 a1〞 Y2 b1〞
Y2
a (a1) k
b (b1)
例2 在三棱柱表面上有点M，已知点M 的H 投影m，求作 它的另外两投影m′、m〞。
b1′
c1〞 a1〞 Y3 b1〞
c (c1 )
m
a (a1)
b (b1)
Y3
正六棱柱由顶面、底面和六个 侧面组成。
其中顶面和底面是互相平行的 正六边形，六个侧面都是相同 的长方形并与顶面、底面相垂 直。
六个侧面中每相邻两个侧面相 交产生一条交线，称为棱线。
六个侧面形成互相平行且垂直 于顶面和底面的六条棱线。
左右
Z
左右
a′
上
下
c′ b′
c〞 a〞 b〞 上 下
a1′
(c1′ )
b1′ c1〞 a1〞
X
O
后
c (c1)
前
a (a1)
b (b1)
左右
YH
b1〞
YW
2) 投影图之间的位置关系
H投影反映物体前、后和左、右的位置关系； 投影规律适用于 V投影反映物体上、下和左、右的位置关系； 所有物体的投影
W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。
求出辅助线SD的H、W投影sd、s″d″，则点Ｋ的H、W投影k、k″ 必在sd、s″d″上。
s′
V S
a′
c′ b′
c〞 a〞 b〞
C V
A
W B
C1
K
B1
A1
bb1
aa1 k
H
k′
a1′
(c1′ )
c (c1 )
k〞
b1′
c1〞 a1〞 Y2 b1〞
Y2
a (a1) k
b (b1)
例2 在三棱柱表面上有点M，已知点M 的H 投影m，求作 它的另外两投影m′、m〞。
b1′
c1〞 a1〞 Y3 b1〞
c (c1 )
m
a (a1)
b (b1)
Y3
正六棱柱由顶面、底面和六个 侧面组成。
其中顶面和底面是互相平行的 正六边形，六个侧面都是相同 的长方形并与顶面、底面相垂 直。
六个侧面中每相邻两个侧面相 交产生一条交线，称为棱线。
六个侧面形成互相平行且垂直 于顶面和底面的六条棱线。
左右
Z
左右
a′
上
下
c′ b′
c〞 a〞 b〞 上 下
a1′
(c1′ )
b1′ c1〞 a1〞
X
O
后
c (c1)
前
a (a1)
b (b1)
左右
YH
b1〞
YW
2) 投影图之间的位置关系
H投影反映物体前、后和左、右的位置关系； 投影规律适用于 V投影反映物体上、下和左、右的位置关系； 所有物体的投影
W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。
求出辅助线SD的H、W投影sd、s″d″，则点Ｋ的H、W投影k、k″ 必在sd、s″d″上。
s′
V S
第三章 立体的投影及表面交线PPT课件
(3')1'
3"
1"
2' (4') 5'
(4) 3
4"
2" 5"
Ⅲ
ⅣⅠ ⅡⅤ
1 (2) 5
图4-10 圆柱体开出一方槽的投影
32
③判断可见性，连线、加深
(3')1' 2' (4') 5'
(4) 3
3"
1"
4"
2" 5"
Ⅲ
ⅣⅠ ⅡⅤ
1 (2) 5
图4-12 圆柱体开出一方槽的投影
33
④检查、完成。
4״
7 ׳5 ׳6׳
5״ 6״
7״
5 7
6
3 1
2 4
19
我们采用的是 哪种解题方法？
积聚法！
20
例2：补全被截切六棱柱的水平投影和侧面投影
1’ 2’(3’)
4’(5’) 6’(7’)
1”
3”
2”
5”
4”
6”
7”
注意：
6
要逐个截平面分析和绘
制截交线。当平面体只有局
7
部被截切时，先假想为整体
常
平面
见 基本体
的
基
本
几
曲面
何 基本体
体
6
一、平面基本体
1.棱柱
⑴ 棱柱的组成
A
由两个底面和几个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
(B)
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图 ⑶ 棱先画柱反面映上底面取形点状的视图。
机械制图3_立体表面交线的投影作图
例2、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的 水平投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
（32）依确次定连截接交各线点与的转水向平轮投廓影线。的交点。
2’
2’
1’
3 5’6’’
4’
1’
3 5’6’’
4’
64
1
2
53
平面与球相交
64
1
2
53
2 4
3 1
2’
3 5’ ’ 4’
6’ 1’
2’
3’ 5’ 4’ 1’ 6’
两个侧平面截圆球的截交线的投 影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4 组合的截交线
首先分析其由哪些基本回转体组成以及它们的连
接关系，然后分别求出这些基本体的截交线，并
依次将其连接。
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
●
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截
交线的另外两个投影。
• 用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、 大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影 的特点，从而选择适当的方法作图。
3、作图步骤
（1）先作出特殊点的投影。 （2）求作一般点 （3）光滑连接各点
回转体相贯的三种基本形式
两外表面相贯
外表面与内表面相贯
64
64
1
2
1
2
53
53
平面与球相交
2 4
3 1
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
第三章 立体的投影及立体表面的交线
例2 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。 此种截交线为一椭 圆。由于圆锥前后对称，故 椭圆也前后对称。椭圆的长 轴为截平面与圆锥前后对称 面的交线——正平线，椭圆 的短轴是垂直与长轴的正垂 线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆锥相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
2.棱柱表面上的取点
二、棱锥
1.棱锥的投影
2.棱锥表面上取点
方法1：
方法2：
3－2 曲面立体的投影
一、圆柱体
1.形成原因和投影分析
圆柱体的投影
2.圆柱体面上取点
二、圆锥体
1. 形成原因和投影分析
2. 圆锥面上的取点
例题
方法1：直素线法
方 法2：辅助纬圆法
过点A在锥面上做一水平辅助圆，该圆与圆锥的轴线垂直，称 此圆为纬圆。
第三章 立体的投影及立体表面的交线
3－1 平面立体的投影 3－2 曲面立体的投影 3－3 平面与立体的截交线 3－4 相贯体的投影
3－1 平面立体的投影
画平面立体的投 影就是画出组成平面 立体各表面及各棱线 的投影，并将可见的 棱线的投影画成粗实 线，不可见的棱线的 投影画成虚线。
一、棱柱
1.棱柱的投影
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平 投影和侧面投影。 s” s’ Pv 3’ (1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’ 3” 2’ 2” 的交点1’、2’、3’为截平 面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、 1’ Ⅲ的正面投影。 1”
a’
b’
c’
c”
a”
b”
(2) 根据线上取点的方法， 求出1、2、3和1”、2”、 3”。
《机械制图》教案——第三章 立体投影及表面交线
第三章基本立体的投影、截交线、相贯线§1立体的投影1．1平面立体的投影本节教学目标：掌握平面立体的投影特性和作图方法；掌握拉伸体的形成、投影及画法；熟悉平面立体表面中特殊位置的点、线的三面投影及画法。
重点：平面立体的投影特性及表面取点、取线的投影。
难点：平面立体表面中特殊位置处点、线的投影。
引入：通过对前面知识的学习已经知道，很多的机械零件都是由一些简单的基本形体组成，比如螺栓，我们可以将它分成正六棱柱、圆柱体和圆锥台三部分。
如果我们要绘制此螺栓的三视图，同学们都应该知道必须要绘制正六棱柱、圆柱体和圆锥台的三视图。
任何一个复杂的物体都可以看成由基本体组成，按组成基本体表面的性质进行分类，基本体可分为平面体和曲面体。
平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。
若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
1.1.1棱柱的投影1. 以正六棱柱为例，分析平面立体的结构，（1）正六棱柱共有几个表面？有何关系？（2）正六棱柱共有几条侧棱？有何关系？提问：1）不同位置的投影有什么不同？2）应怎样放置最合理？提示：使尽可能多的表面和棱线处于特殊位置。
2.投影特性分析（1）投影分析：上、下两个底面——平行的两个侧面——其余的几个侧面（2）三面投影图分析（3）绘图步骤：1）建立投影面系；2）根据三等原则绘制三面投影；3）区分可见性。
3. 棱柱体的投影特性（重点：学生应掌握）（1）当棱柱的底面平行于某一投影面时，棱柱的投影在该面上为与底面相等的正多边形。
（2）另两面投影为几个相邻的矩形线框。
4. 棱柱表面取点、线重点：所取的点、线属于棱柱的哪个面上？进而再求三面投影。
***若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。
例：例：已知四棱柱，试完成其Ｖ、Ｈ投影。
（图7-1）图7-1四棱柱的投影1.1.2棱锥的投影棱锥的投影是棱锥各顶点同面投影连线的集合。
1. 棱锥的定义2. 棱锥的形体分析（1）投影分析：下底面——顶点——其余的几个侧面（2）三面投影图分析（3）绘图步骤：1）建立投影面系；2）根据三等原则绘制三面投影；3）区分可见性。
03 基本立体及其表面交线的投影
X
后 前
a (a1)
c (c1 )
b (b1)
左
右
YH
1、度量关系：长对正、高平齐、宽相等。 2、位置关系：如图。
六棱 柱
空间分析
V YW
W
作图时，先画反映特征的水平投影，再 按投影规律完成其它两个投影。
a’’
六棱柱表面求点？
( b’ ) a’
b’’
b’’
b
作图分析:
b
a
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接 求出a和a``。 (2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性 求出b,再根据YH=YW,由b和b`求出b``。
一、利用积聚性求相贯线
柱柱相贯 两圆柱的轴线分别垂直于不同的投影面时，相交的两圆 柱的表面相对于投影面有积聚性。
我们只讨论: 两轴线垂直相交的两圆柱的相贯线.
例24. 试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。
分析：两个圆柱体的圆柱面 分别在俯视图和左视图上具 有积聚性，因此，它们的相 贯线投影也分别处于这两个 积聚圆上，找出这两个投影， 其主视图投影就很容易求出 了。
第三章
基本立体及其表面交线的投影
§3.1 平面立体的投影 §3.2 曲面立体的投影
§3.3 平面立体的截交线
§3.4 回转体的截交线
§3.5 回转体的相贯线
常 见 的 基 本 立 体
平 面 平面+平面 立 体
棱柱
棱锥
圆柱 曲 面 立 体
曲面+平面
圆锥
曲面+曲面
圆球
圆环
画立体的投影图时，规定： 可见的轮廓线画粗实线, 不可见的轮廓线画细虚线。
立体的投影及其表面交线
详细描述
辅助面法是一种常用的绘制立体投影的方法。通过选择与立体相切的辅助面，将立体置于辅助面上， 根据辅助面上的投影，再结合辅助面的位置和形状，绘制出立体表面交线。这种方法适用于具有复杂 形状的立体，特别是难以用坐标系法绘制的立体。
综合法
总结词
结合坐标系法和辅助面法，根据立体的 特点和需求，选择最合适的方法绘制立 体投影。
建筑设计
在建筑设计中，设计师可以使用立体投影法来展示建筑物的外观、内部结构和空间布局。这种方法有助于评估建筑设 计的可行性和美观性，并提供更好的建筑设计方案。
景观设计
在景观设计中，设计师可以使用立体投影法来展示景观的布局和设计效果。这种方法有助于评估景观设 计的可行性和美观性，并提供更好的景观设计方案。
建筑设计
在建筑设计中，通过正投影可以将建筑物的三维形态准确地表现在 二维图纸上，方便施工和规划。
动画制作
在动画制作中，通过中心投影可以得到逼真的立体效果，使动画更 加生动和真实。
02
立体的投影
正投影
01
02
03
定义
正投影是指平行投影光线 与投影面垂直时的投影方 式。
特点
正投影能够真实地反映物 体的形状和大小，且投影 图形相对简单。
这种方法有助于工程师和制造商更好地理解产品的工作原理和构造。
产品设计
外观设计
在产品设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品的外观和形状。这种方法有助于评 估产品的美观性和功能性，并在早期阶段发现潜在的问题和改进点。
结构设计
设计师可以使用立体投影法来展示产品的内部结构和组件关系。这种方法有助于优化产品 的结构和功能，提高产品的稳定性和可靠性。
人机交互设计
在人机交互设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品与人之间的交互方式和效果。 这种方法有助于评估产品的易用性和用户体验，并提供更好的交互设计方案。
辅助面法是一种常用的绘制立体投影的方法。通过选择与立体相切的辅助面，将立体置于辅助面上， 根据辅助面上的投影，再结合辅助面的位置和形状，绘制出立体表面交线。这种方法适用于具有复杂 形状的立体，特别是难以用坐标系法绘制的立体。
综合法
总结词
结合坐标系法和辅助面法，根据立体的 特点和需求，选择最合适的方法绘制立 体投影。
建筑设计
在建筑设计中，设计师可以使用立体投影法来展示建筑物的外观、内部结构和空间布局。这种方法有助于评估建筑设 计的可行性和美观性，并提供更好的建筑设计方案。
景观设计
在景观设计中，设计师可以使用立体投影法来展示景观的布局和设计效果。这种方法有助于评估景观设 计的可行性和美观性，并提供更好的景观设计方案。
建筑设计
在建筑设计中，通过正投影可以将建筑物的三维形态准确地表现在 二维图纸上，方便施工和规划。
动画制作
在动画制作中，通过中心投影可以得到逼真的立体效果，使动画更 加生动和真实。
02
立体的投影
正投影
01
02
03
定义
正投影是指平行投影光线 与投影面垂直时的投影方 式。
特点
正投影能够真实地反映物 体的形状和大小，且投影 图形相对简单。
这种方法有助于工程师和制造商更好地理解产品的工作原理和构造。
产品设计
外观设计
在产品设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品的外观和形状。这种方法有助于评 估产品的美观性和功能性，并在早期阶段发现潜在的问题和改进点。
结构设计
设计师可以使用立体投影法来展示产品的内部结构和组件关系。这种方法有助于优化产品 的结构和功能，提高产品的稳定性和可靠性。
人机交互设计
在人机交互设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品与人之间的交互方式和效果。 这种方法有助于评估产品的易用性和用户体验，并提供更好的交互设计方案。
第3章立体及其表面交线
辅助平面的选择原则
使辅助平面与两回转体表面截交线的投 影简单易画，例如直线或圆，一般选择投 影面平行面
（机工多3）机械制图教学软件
第三章 立体及其表面交线
【例3-9】 圆柱与圆锥轴线正交，求作相贯线的投影
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
（机工多3）机械制图教学软件
解题步骤
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点●●●
●
●
●
●
●
●
（机工多3）机械制图教学软件
空间及投影分析 小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线 的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于 W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上 求相贯线的投影 利用积聚性，采用表面取点法 ☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆ 光滑连接
1．平面切割圆柱
截平面与轴线平行
截平面与轴线垂直
截平面与轴线倾斜
截交线为矩形
（机工多3）机械制图教学软件
截交线为圆
第三章 立体及其表面交线
截交线为椭圆
【例3-3】 求作圆柱被正垂面截切时截交线的投影
●
●
●
（机工多3）机械制图教学软件
● ●
● ●
●
●
●
●
●
第三章 立体及其表面交线
截交线的空间形状？ 截交线的已知投影？ 截交线的侧面投影是什么形状？ ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
（2）圆锥的三视图
俯视图的圆形，反映圆锥底面的实形，同时也表示圆 锥面的投影。主、左视图的等腰三角形线框，其下边为 圆锥底面的积聚性投影
《机械制图与AutoCAD》课件 第3章
(2)在截平面垂直于投影面的视图上确定截 平面的位置。因截平面垂直于该投影面，所以 截断面在该投影面上的投影为直线。
曲面立体的截交线
(3)判断截交线的形状并取点。首先根据截平面和 圆柱轴线的位置关系，判断截交线的形状，然后利用 在圆柱表面上取点的方法来作图。取点时，应先取特 殊位置的点(如截交线上最高、最低、最前、最后、最 左、最右的点以及能决定截交线位置的点，如椭圆的 长、短轴的端点，转向轮廓线上的点等)，再取一般位 置的点。其中，立体对投影面转向轮廓线上的点和立 体的特征点总被称为特殊点。
圆锥体及其表面上点的投影
(1)辅助素线法
步骤1由于点M的正面投影可见，因此点M位于圆锥体的前半圆锥 面上，且其水平投影和侧面投影都可见。由于圆锥面没有积聚性，因 此必须利用辅助线才能求出点M的其他两面投影，即在主视图上用细直 线连接三角形的顶点s'和m'，并延长与底边相交于点e'。
步骤2由于点E位于圆锥底面上且可见，因此根据点的投影规律， 可直接求得该点的水平投影e。
平面立体的截交线
例如，已知正六棱柱被正垂面所切割，如图所示，求其侧面投 影。
分析：正六棱柱被正垂面切割时， 正垂面与正六棱柱的6个侧面相交，其 截交线在H面上的投影与棱柱的水平投 影重合，在V面上的投影积聚为一直线， 在W面上的投影是一个六边形。
平面立体的截交线
步骤1 首先在V面和H面上分别找出正垂面与六棱柱截交线的各个交 点，并用相应数字或字母标注。 步骤2 根据点的两面投影，在侧平面上分别找出交点在侧平面中的 投影点1″、2″、3″、4″、5″步骤1由于圆柱面的水平投影积聚为圆，因此点 M的水平投影一定在此圆上。又因为点M的正面投 影可见(不可见时，用圆括弧括起来)，所以点M位 于前半个圆柱面上。根据“长对正”的投影规律即 可求出点M的水平投影m。
曲面立体的截交线
(3)判断截交线的形状并取点。首先根据截平面和 圆柱轴线的位置关系，判断截交线的形状，然后利用 在圆柱表面上取点的方法来作图。取点时，应先取特 殊位置的点(如截交线上最高、最低、最前、最后、最 左、最右的点以及能决定截交线位置的点，如椭圆的 长、短轴的端点，转向轮廓线上的点等)，再取一般位 置的点。其中，立体对投影面转向轮廓线上的点和立 体的特征点总被称为特殊点。
圆锥体及其表面上点的投影
(1)辅助素线法
步骤1由于点M的正面投影可见，因此点M位于圆锥体的前半圆锥 面上，且其水平投影和侧面投影都可见。由于圆锥面没有积聚性，因 此必须利用辅助线才能求出点M的其他两面投影，即在主视图上用细直 线连接三角形的顶点s'和m'，并延长与底边相交于点e'。
步骤2由于点E位于圆锥底面上且可见，因此根据点的投影规律， 可直接求得该点的水平投影e。
平面立体的截交线
例如，已知正六棱柱被正垂面所切割，如图所示，求其侧面投 影。
分析：正六棱柱被正垂面切割时， 正垂面与正六棱柱的6个侧面相交，其 截交线在H面上的投影与棱柱的水平投 影重合，在V面上的投影积聚为一直线， 在W面上的投影是一个六边形。
平面立体的截交线
步骤1 首先在V面和H面上分别找出正垂面与六棱柱截交线的各个交 点，并用相应数字或字母标注。 步骤2 根据点的两面投影，在侧平面上分别找出交点在侧平面中的 投影点1″、2″、3″、4″、5″步骤1由于圆柱面的水平投影积聚为圆，因此点 M的水平投影一定在此圆上。又因为点M的正面投 影可见(不可见时，用圆括弧括起来)，所以点M位 于前半个圆柱面上。根据“长对正”的投影规律即 可求出点M的水平投影m。
机械制图第三章 几何体表面点、线、平面的投影
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
图3-2 点的投影
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
例3-1 已知点的两面投影，求作第三面投影(图3-3)。 解 分析：因为空间点的每一面投影都反映了两个坐标值，所以 只要已知点的两面投影，就等于知道了点的三个坐标值，因而点 的第三面投影也能确定。 根据点的投影规律，过已知点的两面投 影图按箭头指示方向分别作出相应的投影线，两垂线的交点即为 所求，如图3-3a、b、c所示。
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
表3-3 投影面的平行面
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
表3-3 投影面的平行面
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
3.投影面垂直面 投影面垂直面是指垂直于一个投影面，且与另外两个投影面倾斜 的平面形。 1)铅垂面。 2)正垂面。 3)侧垂面。
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
(1)真实性 当直线AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影ab 的长度与空间线段AB相等，这种性质称为真实性，如图3-10b所示。 (2)收缩性 当直线AB倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影ab 的长度比空间线段AB的长度短。 (3)积聚性 当直线AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影a(b) 重合成一点。
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
图3-19 正棱柱表面上点的投影
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
二、辅助直线法 1.作图方法、步骤分析 1)判断点在物体的哪个表面上，并分析该表面的空间位置和点在 该表面上的具体部位。 2)如该表面为一般位置面，则可用辅助直线法求作点的投影。
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
第三章 几何体表面点、线、平面的投影
第3章 基本立体及其表面交线的投影
互贯
两轴线平行
[例] 画出两圆柱相贯线的投影
圆柱与圆柱相贯之二
3.4.3 圆柱与圆锥相贯
[例]求圆柱与圆锥的相贯线
3.4.4 圆柱与球相贯
[例]求圆柱与球体的相贯线
()
a) 求特殊点
b）求一般点，连线，整理 圆柱与圆锥相贯举例
圆柱与球体相贯
求作相贯线的一般方法及步骤：
(1) 分析立体的构成方式、基本形状、空间位置(即立体为何种基 本几何体，处于何种空间位置)；
§3 基本立体及其表面交线的投影
摘要： 本章介绍平面立体和回转体的投影特性及其表面取 点、取线的作图方法以及截交线的投影和作图方法；平面 立体与回转体以及回转体与回转体相贯线的投影和作图方 法。
§3.1 平面立体及其表面交线的投影
§3.2 曲面立体
§3.3 回转体截交线的投影
§3.4 立体上相贯线的投影
（2）分析截平面P的形 状以及与立体得位置关系 ，判定截交线的形式和走 向；
（3）利用棱线法求截交线。 交点为特殊位置平面P与四条 棱线的交点；V面投影已知；
（4）按照顺序连接同面投影 ，得截交线
s'
Pv
4'
2'3'
1'
s''
4''
2''
3''
1''
2
s
1
4
3
（5）截交线可见性判定。 可见的截交线画粗线，不可 见画细线；
(4) 判别可见性，整理、加深完成全图
平面与圆柱体相交举例之一
平面与圆柱体相交举例之一
平面与圆柱体相交举例
§3.3.3.平面与圆锥体相交 平面与圆锥体相交的各种形式
现代工程制图基础教学课件第3章 立体及其表面交线的投影
轴线的水平投影
投影特点:
1) 轴线的水平投影积聚为一点 （对称中心线的交点）。
2) 圆母线的水平投影成为直线， 延长后通过轴线的有积聚性的水 平投影。
3) 圆心O 旋转成的水平圆的水 平投影，用点画线表示。
4) 正面投影中，上、下两条水 平线是圆母线上最高点C 和最低点 D 旋转形成的纬圆的正面投影。
交线 情况
截平面垂直于 轴线(θ=90°)， 交线为圆
截平面倾斜 于轴线，且θ ＞ 90°,交线为椭圆
截平面倾斜 于轴线，且θ =α，交线为抛 物线
截平面倾斜于 轴线,且θ ＜α，或 平行于轴线 (θ=0°),交线为 双曲线
第3章 立体及其表面交线的投影
截平面通过 锥顶，交线为通 过锥顶的两条相 交直线
第3章 立体及其表面交线的投影
3.1 平面立体的投影及其与平面相交 3.2 曲面立体的投影及其与平面相交 3.3 相贯线
第3章 立体及其表面交线的投影
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3.1 平面立体的投影及其与平面相交
3.1.1 平面立体的投影 3.1.2 平面与平面立体相交
第3章 立体及其表面交线的投影
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基本立体可分为
作截交线的步骤：
1) 求特殊点
转向轮廓线上的点
特殊点是一些能确定截交线形状和范围的点，包括 截交线在对称轴上的顶点
2) 求一般点
极限位置点
为了能光滑地作出截交线的投影，还需在特殊点之间再作一些中间点。
3) 判别可见性并光滑连线
第3章 立体及其表面交线的投影
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平面与圆柱面的交线有三种情况：
s
●
s●
s
注意：转向轮廓素线的投影与可见性的判断
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1．当圆柱直径相等且轴线正交时，相贯线为椭圆。 若椭圆平面垂直于某一投影面，则相贯线在该投影 面上的投影积聚为直线
单击立体模型区可观看三维动画
2．具有公共轴线的回转体相交，或当回转 体轴线通过球心时，其相贯线为垂直于轴 线的圆。
例2：补全主视图
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★ 外形交线
二、回转体的截交线
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法：
求截平面与回转体表面的共有点。
⒉ 求截交线的步骤： 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
k
k
圆的半径？
k
辅助圆法
3.4 平面与立体表面相交——截交线
用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的性质：
⒈ 是一封闭的平面多边形。 ⒉ 截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的 相对位置。 截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。 ⒊ 截交线是截平面与立体表面 的共有线。
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
例2：补全主视图
小 结：
无轮是两外表面相贯， 还是一内表面和一外表面 相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是 相同的。
单击图形区可观看三维动画
返 回
●
S O N● A
圆锥面是由直线SA绕 ⑵ 圆锥体的三视图
s
O1
●
s
●
(n)
k
b″ 如何在圆锥面 过锥顶作一 上作直线？ 条素线。 圆的半径？
●
d
k
3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 ⑶ 轮廓线的投影与曲 个和圆球的直径相等的 面可见性的判断 圆，它们分别是圆球三 ⑷ 圆球面上取点 个方向轮廓线的投影。
k n (n) b c a(c) b c s k n
b
1.圆柱体
3.3
曲面立体
O A
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两个底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕与 它平行的轴线OO1旋转而成。 3′ 1′ 直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 a 一直线称为圆柱面的素线。
(
a b)
b
b
a
2.棱锥 ⑴ 棱锥的组成
由一个底面和若干 侧棱面组成。侧棱线交 A 于有限远的一点——锥 顶。
S
C B
k
a a
s
s
⑵ 棱锥的三视图
棱锥处于图示位置 ⑶ 在棱锥面上取点 时，其底面ABC是水平 面，在俯视图上反映实 同样采用平面上取 形。侧棱面SAC为侧垂 点法。 面，另两个侧棱面为一 般位置平面。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 1 2 4
● ●
1
●
2
Ⅳ Ⅱ
4
3
●
●
★ 投影分析 ★ 空间分析
●
1
●
2
交线的形状？ ★ 求截交线 截交线在俯、左视 截平面与体的几 图上的形状？ ★个棱面相交？ 分析棱线的投影
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3.1 立体的三面投影与三视图 3.2 平面立体
3.3 曲面立体 3.4 平面与立体表面相交—截交线 3.5 立体与立体表面相交—相贯线
结束放映
3.1 立体的三面投影与三视图
1.视图 机件的正投影称为视图。
两不同立体的投影相同
对机件用三视图来表示，每个视图表示物 体的一个方面。可唯一确定其形状和大小。
● ●
e′
●
B
c′ d′
● ●
a′
b′
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
（3） 正棱柱的投影特性
一个视图积聚，反映棱柱的形状特征；另外 两个视图均为矩形线框。
（4） 棱柱面上取点
点的可见性规定： 由于棱柱的表面都 若点所在的平面的投影 是平面，所以在棱柱的 可见，点的投影也可见；若 表面上取点与在平面上 平面的投影积聚成直线，点 取点的方法相同。 的投影也可见。
a
画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，再补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
㈠ 圆柱体表面的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直 圆
倾斜 椭圆
例1：求左视图
同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
● ● ● ● ●
●
●
空间及投影分析： 求相贯线的投影：
小圆柱轴线垂直于H面，水平 ☆ 找特殊点 投影积聚为圆，根据相贯线的共有 性，相贯线的水平投影积聚在该圆 ☆ 补充中间点 上。大圆柱轴线垂直于W面，侧面 ☆ 光滑连接 投影积聚为圆，相贯线的侧面投影 应积聚在该圆上，为两圆柱面共有 ☆ 判别可见性 的一段圆弧。
与它相交的轴线OO1旋转而 在图示位置，俯视图 ⑶ 轮廓线素线的投影与 成。 为一圆。另两个视图为等 S称为锥顶，直线SA称 曲面的可见性的判断 k(n) 边三角形，三角形的底边 为母线。圆锥面上过锥顶 为圆锥底面的投影，两腰 b′ ⑷ 圆锥面上取点 的任一直线称为圆锥面的 d′ 分别为圆锥面不同方向的 素线。 ★辅助直线法（辅助素线法） n 两条轮廓素线的投影。 s b ★辅助圆法
★ 相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线，它是两回转体表面 的共有线。 (一)表面取点法求相贯线 ★ 作图过程
先找特殊点。 补充中间点。 光滑连接各点。 判别可见性。
确定交线的 弯曲趋势 确定交线 的范围
同时位于两回转体可见表面上的点其投 影可见,否则为不可见
例1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
棱线法！
我们采用的是哪 种解题方法？
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
●
1
●
注意：
2 1
要逐个截平面分析和 三面共点： 绘制截交线。当平面体只 Ⅰ、Ⅱ两点分别 有局部被截切时，先假想 同时位于三个面上。 为整体被截切，求出截交 线后再取局部。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
2.三视图的形成及位置关系
三投影面体系
水平投影面（H 面）
正面投影面（V 面） 侧面投影面（W 面） 两投影面相交，其交线称为投影轴。
V ∩ H = OX 轴 H ∩ W = OY 轴 V ∩ W = OZ 轴
投影面展开
V
不动
Y
向右翻
W
X H
O
Yw
YH
向下翻
3. 三视图的投影规律
V投影反映长度和高度 H投影反映长度和宽度 W投影反映高度和宽度
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例3：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下 投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45°时。
例5：求左视图 例4：求左视图
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
㈢ 圆球表面的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面与圆球面的 两个侧平面与圆球面 交线的投影，在俯视图 的交线的投影，在侧视上 上为部分圆弧，在侧视 为部分圆弧，在俯视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
高 宽 长 宽
三等规律:
V、H两投影：长对正
V、W两投影：高平齐
W、H两投影：宽相等
三等关系
长对正 高平齐 宽相等
3.2
平面立体
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
1.棱柱 ⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
在图示位置时，六棱柱 的两底面为水平面，在俯视 图中反映实形。前后两侧棱 面是正平面，其余四个侧棱 面是铅垂面，它们的水平投 影都积聚成直线，与六边形 的边重合。
单击立体模型区可观看三维动画
2．具有公共轴线的回转体相交，或当回转 体轴线通过球心时，其相贯线为垂直于轴 线的圆。
例2：补全主视图
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●
●
● ●
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★ 外形交线
二、回转体的截交线
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法：
求截平面与回转体表面的共有点。
⒉ 求截交线的步骤： 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
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圆的半径？
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辅助圆法
3.4 平面与立体表面相交——截交线
用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的性质：
⒈ 是一封闭的平面多边形。 ⒉ 截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的 相对位置。 截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。 ⒊ 截交线是截平面与立体表面 的共有线。
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
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★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
例2：补全主视图
小 结：
无轮是两外表面相贯， 还是一内表面和一外表面 相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是 相同的。
单击图形区可观看三维动画
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圆锥面是由直线SA绕 ⑵ 圆锥体的三视图
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b″ 如何在圆锥面 过锥顶作一 上作直线？ 条素线。 圆的半径？
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3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 ⑶ 轮廓线的投影与曲 个和圆球的直径相等的 面可见性的判断 圆，它们分别是圆球三 ⑷ 圆球面上取点 个方向轮廓线的投影。
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1.圆柱体
3.3
曲面立体
O A
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两个底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕与 它平行的轴线OO1旋转而成。 3′ 1′ 直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 a 一直线称为圆柱面的素线。
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2.棱锥 ⑴ 棱锥的组成
由一个底面和若干 侧棱面组成。侧棱线交 A 于有限远的一点——锥 顶。
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⑵ 棱锥的三视图
棱锥处于图示位置 ⑶ 在棱锥面上取点 时，其底面ABC是水平 面，在俯视图上反映实 同样采用平面上取 形。侧棱面SAC为侧垂 点法。 面，另两个侧棱面为一 般位置平面。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
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Ⅳ Ⅱ
4
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★ 投影分析 ★ 空间分析
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交线的形状？ ★ 求截交线 截交线在俯、左视 截平面与体的几 图上的形状？ ★个棱面相交？ 分析棱线的投影
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3.1 立体的三面投影与三视图 3.2 平面立体
3.3 曲面立体 3.4 平面与立体表面相交—截交线 3.5 立体与立体表面相交—相贯线
结束放映
3.1 立体的三面投影与三视图
1.视图 机件的正投影称为视图。
两不同立体的投影相同
对机件用三视图来表示，每个视图表示物 体的一个方面。可唯一确定其形状和大小。
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例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
（3） 正棱柱的投影特性
一个视图积聚，反映棱柱的形状特征；另外 两个视图均为矩形线框。
（4） 棱柱面上取点
点的可见性规定： 由于棱柱的表面都 若点所在的平面的投影 是平面，所以在棱柱的 可见，点的投影也可见；若 表面上取点与在平面上 平面的投影积聚成直线，点 取点的方法相同。 的投影也可见。
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画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，再补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
㈠ 圆柱体表面的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直 圆
倾斜 椭圆
例1：求左视图
同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
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空间及投影分析： 求相贯线的投影：
小圆柱轴线垂直于H面，水平 ☆ 找特殊点 投影积聚为圆，根据相贯线的共有 性，相贯线的水平投影积聚在该圆 ☆ 补充中间点 上。大圆柱轴线垂直于W面，侧面 ☆ 光滑连接 投影积聚为圆，相贯线的侧面投影 应积聚在该圆上，为两圆柱面共有 ☆ 判别可见性 的一段圆弧。
与它相交的轴线OO1旋转而 在图示位置，俯视图 ⑶ 轮廓线素线的投影与 成。 为一圆。另两个视图为等 S称为锥顶，直线SA称 曲面的可见性的判断 k(n) 边三角形，三角形的底边 为母线。圆锥面上过锥顶 为圆锥底面的投影，两腰 b′ ⑷ 圆锥面上取点 的任一直线称为圆锥面的 d′ 分别为圆锥面不同方向的 素线。 ★辅助直线法（辅助素线法） n 两条轮廓素线的投影。 s b ★辅助圆法
★ 相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线，它是两回转体表面 的共有线。 (一)表面取点法求相贯线 ★ 作图过程
先找特殊点。 补充中间点。 光滑连接各点。 判别可见性。
确定交线的 弯曲趋势 确定交线 的范围
同时位于两回转体可见表面上的点其投 影可见,否则为不可见
例1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
棱线法！
我们采用的是哪 种解题方法？
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
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1
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注意：
2 1
要逐个截平面分析和 三面共点： 绘制截交线。当平面体只 Ⅰ、Ⅱ两点分别 有局部被截切时，先假想 同时位于三个面上。 为整体被截切，求出截交 线后再取局部。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
2.三视图的形成及位置关系
三投影面体系
水平投影面（H 面）
正面投影面（V 面） 侧面投影面（W 面） 两投影面相交，其交线称为投影轴。
V ∩ H = OX 轴 H ∩ W = OY 轴 V ∩ W = OZ 轴
投影面展开
V
不动
Y
向右翻
W
X H
O
Yw
YH
向下翻
3. 三视图的投影规律
V投影反映长度和高度 H投影反映长度和宽度 W投影反映高度和宽度
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★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例3：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下 投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45°时。
例5：求左视图 例4：求左视图
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
㈢ 圆球表面的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面与圆球面的 两个侧平面与圆球面 交线的投影，在俯视图 的交线的投影，在侧视上 上为部分圆弧，在侧视 为部分圆弧，在俯视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
高 宽 长 宽
三等规律:
V、H两投影：长对正
V、W两投影：高平齐
W、H两投影：宽相等
三等关系
长对正 高平齐 宽相等
3.2
平面立体
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
1.棱柱 ⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
在图示位置时，六棱柱 的两底面为水平面，在俯视 图中反映实形。前后两侧棱 面是正平面，其余四个侧棱 面是铅垂面，它们的水平投 影都积聚成直线，与六边形 的边重合。