线性代数行列式的性质山东财经大学线性代数

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《线性代数》1.3行列式的性质

a1n ain ka jn D1 a jn ann
n 2 ka j1 an1ai1 a a j1 an1
证由行列式性质4 以及性质3 的推论2 可得到
a11 ai1 D1 a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a11 ka j1 a12 ka j 2 a1n ka jn
x n 1 a r2 , r3 rn都减去r1 0 0
a xa 0
a 0 xa
x n 1 a x a
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习计算
a1 0 Dn 1 0 1
a1 a2 0 1
0

0 0
0 0 an 1
a2 0 1
an 1
c2 c1后c3 c2 类推 1 a1a2
n
a1 0 0 a2 0 1 0 2
0 0 0 3
0 0 an n
0 0 0 n 1
an n 1
例4
计算 2 n 阶行列式（行列式的空白处为零）
a a a b b a b b a a b b
D2 n
同理 ci c j ; kci ; ci kc j 分别表示行列式互换第 i列与第 j
列；数k乘以第 i列；第 i列的各元素加上第 j列对应元素的k倍.
例1 计算
1 2 D 1 1 3 2 2 1 1 4 0 3 2 1 0 1 2 3 1 5 1
3 1 2 1 1 2 0 3
b
a b
小结：本次课我们学习了行列式的性质，重点要掌握如何灵活应用行列式的性质来计算行列式。作业： P26 习题一：5⑥⑦,6①②

大学线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数克莱姆(Cramer)法则山东财经大学线性代数

x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
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例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
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证明用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
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定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xj
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
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例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3

线性代数1-4 行列式的性质

(1)N( j1 js jt jn)b1j1 bsjs btjt bnjn (1)N( j1 js jt jn)a1j1 atjs asjt anjn (1)N( j1 js jt jn)a1j1 asjt atjs anjn
(1)N( j1 jt js jn)a1j1 asjt atjs anjn 它与D的一般项相差一个负号所以D1D
因为由推论1 可将行列式中这两行(列)的比例系数提到行列式外面则余下的行列式有两行(列)对应元素相同由性质2可知此行列式的值等于零所以原行列式的值等于零
性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两个数的和则此行列式可以写成两个行列式的和例如
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
则 DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
显然若D|aij| DT|bij| 则bijaji(i j1 2 n)
行列式的转置将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置
§1.4 行列式的性质
n阶行列式共有n!项因此定义计算n阶行列式是较为困难的只有少数行列式用定义计算比较方便
我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算这就需要研究行列式的性质
行列式的转置
将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式记为DT或D 即如果
a12 a1n
ai1 ai2 ain ai1 kas1 ai2 kas2 ains1

线性代数行列式的性质与计算

线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。

行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。

一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。

2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。

3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。

4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。

5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。

6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。

二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。

2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。

b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。

c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。

它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。

行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。

一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。

对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。

对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。

对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。

对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。

二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。

2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。

3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。

4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。

5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。

利用行列式的性质求解线性方程组

利用行列式的性质求解线性方程组在线性代数中，线性方程组是一组关于未知数的线性方程的集合。

求解线性方程组的传统方法包括高斯消元法、克拉默法则等。

而利用行列式的性质求解线性方程组则是一种更为简便和高效的方法。

本文将介绍利用行列式的性质来求解线性方程组的方法及其应用。

1. 行列式的定义及性质行列式是一个矩阵所固有的一个数值，用于描述线性变换对于面积（或体积）的影响。

行列式的定义如下：设A为一个n阶矩阵，其行列式记为det(A)或|A|，定义为：det(A) = a11a22...ann - a12a21...an1 + a13a21...an2 - ... + (-1)^(n+1)a1na2n...an(n-1)行列式具有以下性质：（1）行列式与其转置矩阵的值相等：det(A) = det(A^T)（2）如果A的某两行（或两列）元素对应相等，则行列式的值为0。

（3）如果A的某行或某列的元素全为0，则行列式的值为0。

（4）若A的某行（或某列）的元素均乘以常数k，则行列式的值变为原来的k倍，即k * det(A)。

（5）若A的某行（或某列）的元素经过线性组合得到另一行（或另一列），则行列式的值不变。

2. 利用行列式求解线性方程组对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量，我们可以利用行列式的性质来求解。

设A为一个n阶方阵，b为n维向量。

当det(A)≠0时，方程组有唯一解，可以通过以下方法求解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵。

当det(A) = 0时，方程组可能有无穷多个解或无解。

我们可以进一步利用行列式的性质来判断具体的解的情况。

3. 判断线性方程组的解对于线性方程组Ax = b，当det(A) = 0时，可以通过计算方阵A的秩和增广矩阵[A|b]的秩来判断方程组的解的情况。

（1）当rank(A) = rank([A|b]) = n时，方程组无解。

行列式的性质及应用论文

行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。

本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。

首先，我们来讨论行列式的性质。

行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。

行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。

下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。

即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。

2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。

即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。

3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。

即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。

4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。

即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。

行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。

接下来，我们来探讨行列式的应用。

行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。

对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。

2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。

对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。

3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 § 行列式的性质考虑111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n Tnn nna a a a a a D a a a =L L L L L L L称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212nnT n n nnb b b b b b D b b b =LL L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑LL 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212n n i i in i i in n n nn n n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=LL L L L L L L L L L111211212n i i in n n nn a a a a a a a a a +LL L L L L L L L L L111211212n i i in n n nna a ab b b a a a L L L L L L L L L L L. 证: 由行列式定义1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即111211212i jn r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L11121112212n i j i j in jn n n nna a a a ka a ka a ka a a a +++LL LL LL L L L L L计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式2324311112321311(1)(2)3234113104251113D --=-解: 211231231232123223240188(1)323408620425425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式12111111(1)(2)111(0,1,2,,)n n ni a x a a a ax a D D a a a xa i n ++==+≠=LL L L L L L L L L L L LL L 解: (1)1112132,3,11111000000i r r n i nn a a a D a a a a -=+---=L L L L M M M M ML22111111100100010n na a a a a -=+-L L L L L L L L L L L L L L(箭形行列式) 11223122,3,,11110000iinc c i ia n i nna a a a a a a +==++∑=L LL L L L L L L2312122111(1)(1)nnn n n i i i ia a a a a a a a a a a ===++=+∑∑L L L(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,(1)(1)(1)i c c ni nx n aa a x n a x a D x n a ax+=+-+-+-=L L L L L L L L11[(1)]1a a x a x n a ax=+-L L L L L L L12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=L L L L L L L L1[(1)]()n x n a x a -=+--. 例3: 设1111111111110,k k kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =L M M L L L M M M M LL11111,kk kka a D a a =L M M L11121,n n nnb b D b b =L M M L证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:1111110;kk k kk p D p p p p ==M OL L对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:1121110.nn n nk q D q q q p ==M OL L先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:11111111110,k kk k n nkn nnp p p D c c q c c q q =M O L L M M M O LL故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=L L . 思考练习 1.计算行列式111222122512123714(1)(2)(2)5927124612n n n n a a a na a a nD D n a a a n+++-+++--==≥-+++-L L M M M M L2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac aeb b b b bd cdde abcdef c c c c bf cf efd d d d +++-+++-==+++-+++ 4.计算行列式2324323631063abcda ab a bc a b c dD a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案134152217341.(1)29571642c c D ↔------=3243422152215220113011311(3)39003000300333r r r r r r -++--⨯⨯-⨯---====112122,3,,111111,2(2)0,2111i c c ni nn a n a n a a n D n a n -=+-+--=⎧==⎨>⎩+-L LL M M M M L 2.左边=21111111111111222222222222c c a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32111111111122222222222222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+-2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b c cd d --++==++=右边4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，002320363a bcda ab a bc D a a b a b ca ab a bc +++=++++++4332r r r r -=-0002003a b c d a a b a b c a a b a a b +++++43r r -=0002000a b c da ab a bc a a b a++++4a =§ 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：111213212223313233a a a a a a a a a 222321232123111213323331333133a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132a a M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式11102511230301x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--=二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即11221122(1,2,,)(1,2,,)i i i i in inj j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++=L L L L 或证（1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200nn n nna a a a D a a a =L LL L L L L1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑L LL L2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑LL L 1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）1111100j n ij n nj nna a a a D a a a =L L M M M M ML LM M M M M L L 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行;将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000n i i in n n nn a a a D a a a a a a =+++++++++LL LL LL L L L L L L L L11121111211112112121212000000n n n i i in n n nn n n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LLL1122i i i i in in a A a A a A =++L1122j j j j nj nj D a A a A a A =++L 同理有.推论 n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即112211220()0()i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++=≠L L 或证考虑辅助行列式1111121222112j j n j j nn nj nj na a a a a a a a D a a a a i j =L L L L L L M M M M M M M L L L 列列1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠L 按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=L （.关于代数余子式的重要性质1,,0,;n ki kj ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑ 1,,0,;nik jk ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑1,0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩，其中在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式414243443402222,..075322ij ij D M M M M M a =+++--求的值其中为的余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-⋅+⋅+-⋅+⋅3040222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-.例6: 计算n 阶行列式00001000000020(1)(2)0000001000000n n x y x y D D x y n y x n ==-L L L L M M M M M M M M M M M L L L L解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++L 按第列展1110000000000000(1)(1)00000000000000n xy y x y x y x y x y y x x y++=-+-L L L L M M M M M M M M M M M M L L L L1(1)n n n x y +=+-.11111212111(2)nn n D a A a A a A =++L 按第列展1110000200(1)(1)!00200001n n n n n n ++=-=---LL M M M M M L L .例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得 22[()()]a b a bD a b a b a b a b +-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)n n i j j i n n n n n x x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏L L LL L L L , 其中1()i j j i n x x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.21311222221331111121222133111111000n n n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------L L L M MM M M L 2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------L L L M M M M ML112()n i i x x ==-∏按第列展提取公因子 2322223111n n n n n x x x x x x ---L L L L L L L 1()i j j i nx x ≤<≤=-∏. 例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式 1111437516949256427343125D -=- 解：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====-所以有14()i j j i D x x ≤<≤=-∏213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---⋅--⋅-(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----⋅---⋅--=.第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式1424344411713180,..21435125ij ij D A A A A A a -=+++-求的值其中为的代数余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 14243444142434441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅ 它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 142434440.A A A A +++=。

行列式知识点汇总

行列式知识点汇总在数学中，行列式是一个重要的概念，用于描述线性代数中的一些性质和运算。

它在各个领域中都有广泛应用，如线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算等。

本文将对行列式的相关知识点进行汇总介绍，帮助读者更好地理解和应用行列式。

1. 行列式的定义行列式是一个用来对方阵进行运算的函数。

对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算通常通过对方阵进行按行展开或按列展开的方式来进行，根据展开的元素进行递归计算。

2. 行列式的性质行列式具有以下性质：- 性质1：互换行（列）会改变行列式的符号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示通过互换A的两行（两列）得到的新方阵。

- 性质2：如果行（列）中有零元素，则行列式的值为0。

- 性质3：行（列）成比例，则行列式的值为0。

- 性质4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以k，等价于行列式乘以k。

- 性质5：若A的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可以分解为两个行列式的和。

- 性质6：若A的某一行（列）元素都是两数之差，则行列式可以分解为两个行列式的差。

3. 行列式的计算方法行列式的计算可以根据方阵的阶数和具体性质来选择不同的方法，主要有以下几种方法：- 按行（列）展开法：通过按行（列）展开元素，并对展开的结果进行递归计算。

- 初等行变换法：通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角矩阵，再利用三角矩阵行列式的计算公式求解。

- 对角线法则：将方阵按对角线划分为若干小方阵，利用小方阵行列式的性质求解。

4. 行列式的重要应用行列式在线性代数中有广泛的应用，下面介绍几个重要的应用：- 线性方程组的求解：利用行列式可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷解，并可以通过克拉默法则求解方程组。

- 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为0，则A可逆，且可以通过行列式求解矩阵的逆。

- 特征值和特征向量：方阵A的特征值为使得det(A-λI)=0成立的λ值，其中I为单位矩阵。

线性代数期末复习知识点参考

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。

线性代数行列式的概念和性质

det A a11 a12
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB

山东财经大学线性代数行列式(《线性代数》)

2
1.1.3 n 阶行列式
为了把二阶、三阶行列式的概念推广到 n 阶行列式，我们首先分析二阶、三阶行列式的特点：
由(1-3)式和(1-5)式可以看出： (1) 二阶行列式有 2!项，每一项是两个元素的乘积，且这两个元素既位于不同行又位于不同列，一般项可写成 a1 j1a2 j2 ，其中 j1 j2 是两个数码 1 与 2 的排列．当行标按标准顺序 12 排列时，列标取尽了 1,2 数码的所有排列；同样，三阶行列式共有 3!项，每一项是三个元素的乘积，且这三个元素既位于不同行又位于不同列，一般项可写成 a a a 1 j1 2 j2 3 j3 ，其中 j1 j2 j3 是三个数码 1,2,3 的排列．当行标按标准顺序 123 排列时，列标取尽了 1,2,3 数码的所有排列． (2) 每一项前面所带符号(正号或负号)与该项列标所成排列的奇偶性有关．(1-5)式中第一、二、三项的列标所成排列分别是 123，231，312，它们都是偶排列，这三项前面都带正号；第四、五、六项的列标所成排列分别是 321，213，132，它们都是奇排列，这三项前面都带负号．二阶行列式显然也符合这个原则．上面对二阶和三阶行列式的分析对于我们理解一般行列式定义是有帮助的，下面给出 n 阶行列式的定义．定义 1.1.3 由 n 2 个元素 aij( i, j = 1, 2,..., n) 组成的记号
例 1.1.2
解线性方程组
2x 3x
5 7
y y
1 2.
解因为 D 2 3
5 7
1
0 ， D1
1 2
5
2
7 3 ， D2 3
1 1， 2
所以，方程组的惟一解为: 对于三元线性方程组
x D1 3 3, y D2 1 1.

行列式的性质与计算

行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。

行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。

一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。

这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。

行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。

二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。

2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。

即，如果i≠j，那么Dij=Dji。

3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。

即，如果k为常数，那么Dk=kD。

4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。

即，如果i=j，那么Dij=0。

5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。

下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。

对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。

利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。

2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。

行列式性质详解及应用

行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。

一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。

设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。

根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。

若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。

二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。

该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。

2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。

通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。

三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。

1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。

对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。

2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。

线性代数行列式的计算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。

十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。

十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。

十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。

矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。

绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。

不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。

此外，矩阵的绝对值是没有定义的。

因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。

例如，一个矩阵： A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作： A=i h gf e dc b a，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：其中，是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对全部元素的求和，即对于每个，在加法算式中出现一次；对于每一对满足的数对，是矩阵 A 的第i 行第j 列的元素。

线性代数计算行列式

线性代数计算行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，用于刻画矩阵的性质和运算。

行列式可以看做是一个线性变换对体积的放缩比例，它可以用来描述矩阵的可逆性、线性相关性、多项式方程的根等。

本文将从行列式的定义、性质、计算方法以及一些应用等方面详细介绍线性代数中行列式的相关知识。

首先，我们来定义什么是行列式。

给定一个n阶矩阵A = [a_ij]（其中i表示行数，j表示列数），则A的行列式记作，A，或det(A)，它是一个标量，表示一个n维线性变换的放缩比例。

根据矩阵的行列数不同，行列式可以分为一阶行列式、二阶行列式、三阶行列式等。

一阶行列式就是一个数本身，即，a，=a。

二阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22-a_12*a_21三阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22*a_33+a_12*a_23*a_31+a_13*a_21*a_32-a_13*a_22*a_31-a_11*a_23*a_32-a_12*a_21*a_33根据行列式的定义，我们可以推导出一些重要的性质：1. 行列式与转置：对于任意的n阶矩阵A，有det(A) = det(A^T)。

2. 行列式的性质：如果A的行元素全为0，则det(A) = 0。

如果A的两行元素相同，则det(A) = 0。

如果A的行元素与另一行元素成比例，则det(A) = 0。

3. 行列式的性质：行列式的值不变，当交换A的两行或两列的顺序时。

即det(A) = det(A')，其中A'是A的两行或两列交换后得到的矩阵。

4. 行列式的性质：如果A的行元素加上行元素的k倍得到B，则det(B) = det(A)。

有了这些性质，我们可以通过行列式的性质进行计算，并进行一些变换，使得计算行列式的过程更加简单。

下面，我们来介绍一些行列式的计算方法：1.二阶行列式的计算：根据二阶行列式的计算公式，直接计算即可。

2.三阶及以上的行列式的计算：一般采用代数余子式和按行展开的方法。