(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习
容斥原理之最值问题
7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．1．先包含——A+B重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：A+B+C重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数7-7-1 容斥原理之重叠问题(一).专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）知识要点教学目标1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
五年级奥数第7课时容斥原理
容斥原理【例1】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练 习 一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？【例2】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练 习 二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？【例3】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练 习 三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？【例4】1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 分析：从1到100的自然数中，5的倍数有（ ）个，6的倍数有（ ）个，其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有（ ）。
因此，是6或5的倍数的个数是（ ）个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：（ ）个。
(小学奥数)容斥原理之最值问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。
小学奥数专题之容斥问题
小学奥数专题之容斥问题小学奥数专题之容斥问题1.47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。
问：两门都得100分的有多少人？3.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问：两个频道都没看过的有多少人？4.一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们游览了长廊。
问：既划了船也爬了山的同学有多少？6.全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。
求两样都不会的人数。
10.64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，并且同时订A、B报的`10人，同时订A、C报的12人，同时订B、C报的也是12人。
问：三种报都订的有多少人？11.六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。
其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。
问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？12.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：仅参加跑和投掷两项的有多少人？13.学校数学竞赛出了A、B、C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。
如果三道题都做对的只有一人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？14.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。
小学奥数容斥原理之最值问题
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
奥数 容斥原理(例题+详解)
容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。
解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
(小学奥数)容斥原理之数论问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：教學目標知識要點1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．7-7-4 容斥原理之數論問題第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然數中，不是3的倍數也不是5的倍數的數有多少個？A B【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖，用長方形表示1~100的全部自然數，A 圓表示1~100中3的倍數，B 圓表示1~100中5的倍數，長方形內兩圓外的部分表示既不是3的倍數也不是5的倍數的數．由1003331÷=可知，1~100中3的倍數有33個；由100520÷=可知，1~100中5的倍數有20個；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍數又是5的倍數的數有6個．例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數． 1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．由包含排除法，3或5的倍數有：3320647+-=(個)．從而不是3的倍數也不是5的倍數的數有1004753-=(個)．【答案】53【巩固】 在自然數1100~中，能被3或5中任一個整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根據包含排除法，能被3或5中任一個整除的數有3320647+-=(個)．【答案】47【巩固】 在前100個自然數中，能被2或3整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖所示，A 圓內是前100個自然數中所有能被2整除的數，B 圓內是前100個自然數中所有能被3整除的數，C 為前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數．前100個自然數中能被2整除的數有：100250÷=(個)．由1003331÷=知，前100個自然數中能被3整除的數有：33個．由10023164÷⨯=（）知，前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數有16個．所以A 中有50個數，B 中有33個數，C 中有16個數．因為A ，B 都包含C ，根據包含排除法得到，能被2或3整除的數有：50331667+-=(個)．【答案】67【例 2】 在從1至1000的自然數中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有多少個?【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 1～1000之間，5的倍數有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200個，7的倍數有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142個，因為既是5的倍數，又是7的倍數的數一定是35的倍數，所以這樣的數有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28個．所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有1000-200-142+-28=686個．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然數中能被3或7整除的數的個數．【考點】容斥原理之數論問題【難度】2星【題型】解答【解析】記A：1～100中3的倍數，1003331÷=，有33個；B：1～100中7的倍數，1007142÷=，有14個；A B：1～100中3和7的公倍數，即21的倍數，10021416÷=，有4個．依據公式，1～100中3的倍數或7的倍數共有3314443+-=個，則能被3或7整除的數的個數為43個.【答案】43【例 3】以105為分母的最簡真分數共有多少個？它們的和為多少？【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答【解析】以105為分母的最簡真分數的分子與105互質，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍數的數有多少個，3的倍數有35個，5的倍數有21個，7的倍數有15個，15的倍數有7個，21的倍數有5個，35的倍數有3個，105的倍數有1個，所以105以內與105互質的數有105-35-21-15+7+5+3-1=48個，顯然如果n與105互質，那麼（105-n）與n互質，所以以105為分母的48個最簡真分數可兩個兩個湊成1，所以它們的和為24.【答案】48個，和24【巩固】分母是385的最簡真分數有多少個？並求這些真分數的和.【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答【解析】385=5×7×11，不超過385的正整數中被5整除的數有77個；被7整除的數有55個；被11整除的數有35個；被77整除的數有5個；被35整除的數有11個；被55整除的數有7個；被385整除的數有1個；最簡真分數的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.對於某個分數a/385如果是最簡真分數的話，那麼（385-a）/385也是最簡真分數，所以最簡真分數可以每兩個湊成整數1，所以這些真分數的和為120.【答案】240個，120個【例 4】在1至2008這2008個自然數中，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的數共有 個．【考點】容斥原理之數論問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】西城實驗【解析】 1到2008這2008個自然數中，3和5的倍數有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，3和7的倍數有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，5和7的倍數有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，3、5和7的倍數有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個．所以，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的共有1331995195719228-+-+-=個．【答案】228個【例 5】 求1到100內有____個數不能被2、3、7中的任何一個整除。
小学奥数计数之容斥原理练习题
小学奥数计数之容斥原理练习题1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.9.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.【篇二】知识要点：排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这个排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。
[例1]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：两块手帕有一边重叠，用3个夹子。
三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，所以8块手帕就要用9个夹子。
[例2]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
能够看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
1.有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是20厘米。
(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案
⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案年级班姓名得分⼀、填空题1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈.2.有长8厘⽶,宽6厘⽶的长⽅形与边长为5厘⽶的正⽅形,如图,放在桌⾯上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌⾯的⾯积是平⽅厘⽶.3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈.5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈.6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个.8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈.69.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.⼆、解答题11.某进修班有50⼈,开甲、⼄、丙三门进修课、选修甲这门课的有38⼈,选修⼄这门课有的35⼈,选修丙这门课的有31⼈,兼选甲、⼄两门课的有29⼈,兼选甲、丙两门课的有28⼈,兼选⼄、丙两门课的有26⼈,甲、⼄、丙三科均选的有24⼈.问三科均未选的⼈数?12.求⼩于1001且与1001互质的所有⾃然数的和.13.如图所⽰,A、B、C分别代表⾯积为8、9、11的三张不同形状的纸⽚,它们重叠放在⼀起盖住的⾯积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的⾯积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的⾯积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45⼈,借语⽂或数学课外读物的共39+32=71(⼈),超过全班⼈数71-45=26(⼈),这26⼈都借了语⽂、数学两种课外书。
容斥原理50经典例题
容斥原理50经典例题容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
它在解决排列组合问题时有着广泛的应用，能够帮助我们更快速、更准确地求解问题。
接下来，我们将通过50个经典例题来深入理解容斥原理的应用。
1. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。
解析，首先，我们可以分别求出是3的倍数和是5的倍数的整数个数。
然后利用容斥原理求出既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。
2. 在1至100的整数中，有多少个整数的个位和十位数字都不是7？解析，我们可以利用容斥原理来求出个位是7的整数个数，十位是7的整数个数，然后再利用容斥原理求出个位和十位都是7的整数个数，最后用总数减去这个数就是答案。
3. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了篮球比赛的方案数。
解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。
4. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为偶数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和为奇数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。
5. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。
解析，首先，我们可以分别求出是2的倍数和是3的倍数的整数个数。
然后利用容斥原理求出既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。
6. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数。
解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。
7. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为7的倍数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和不是7的倍数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。
容斥原理最值问题
容斥原理最值问题嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理最值问题，这可真是个有意思的玩意儿啊！你说啥是容斥原理最值问题呢？咱打个比方哈，就好比你去参加一个大聚会，里面有喜欢吃苹果的人，有喜欢吃香蕉的人，还有既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉的人。
那怎么能知道最多有多少人喜欢吃这两种水果，或者最少有多少人喜欢呢？这就是容斥原理最值问题啦！咱想想啊，要是只知道喜欢苹果的有多少人，喜欢香蕉的有多少人，可直接把这俩数加起来，那肯定不对呀，因为里面有重复的部分呢，这时候就得用容斥原理来好好算算了。
那最值又是咋回事呢？就好比你想让喜欢吃水果的人最多或者最少，那可得好好琢磨琢磨条件，找到那个最极端的情况。
比如说，有一个班级，会唱歌的有 20 人，会跳舞的有 15 人，既会唱歌又会跳舞的有 5 人。
那这时候让你求既不会唱歌也不会跳舞的最多有多少人，你就得好好想想啦。
要是想让这个最多，那是不是得让会唱歌和会跳舞的人尽可能地重复呀，这样既不会唱歌也不会跳舞的人不就多了嘛！你说是不是这个理儿？再举个例子，有一堆水果，苹果有 10 个，香蕉有 8 个，橘子有 6 个，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有 3 个，既喜欢苹果又喜欢橘子的有 2 个，既喜欢香蕉又喜欢橘子的有 1 个，三种都喜欢的有 1 个。
那这时候让你求喜欢至少一种水果的最少有多少人，这可得好好动动脑筋了。
是不是得让那些重复的部分尽可能地少呀，这样喜欢至少一种水果的人不就最少了嘛！哎呀呀，这容斥原理最值问题是不是挺好玩的？就像解一个小谜题一样，得仔细琢磨条件，找到那个最关键的点。
有时候你可能会觉得有点绕，但别着急，慢慢来，多想想，肯定能搞明白的。
你想想，生活中不也经常会遇到这样的问题嘛。
比如说你组织一个活动，要知道最多能有多少人参加，或者最少需要准备多少东西，这不就和容斥原理最值问题差不多嘛！所以说呀，学会这个可有用啦！咱再回到学习上，遇到这种问题可别头疼，要把它当成一个挑战，一个让你变得更聪明的机会。
奥数容斥问题
奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。
通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。
本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。
首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。
在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。
具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。
接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。
假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。
利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。
具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。
根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。
上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。
交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。
了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。
例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。
请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。
根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。
小学奥数容斥原理之最值问题(完整版)
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数容斥原理之最值问题
⼩学奥数容斥原理之最值问题⼩学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理⼆量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个⽅⾯的应⽤．⼀、两量重叠问题在⼀些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，⽽要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，⽤式⼦可表⽰成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中⽂“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中⽂“且”的意思．)则称这⼀公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图⽰如下:A 表⽰⼩圆部分，B 表⽰⼤圆部分，C 表⽰⼤圆与⼩圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影⾯积．图⽰如下:A 表⽰⼩圆部分，B 表⽰⼤圆部分，C 表⽰⼤圆与⼩圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影⾯积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进⾏：第⼀步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起)；第⼆步：从上⾯的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．⼆、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类⼜是B 类的元素个数-既是B 类⼜是C 类的元素个数-既是A 类⼜是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．⽤符号表⽰为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图⽰如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利⽤圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学⽬标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中⼩圆表⽰A 的元素的个数，中圆表⽰B 的元素的个数，⼤圆表⽰C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进⾏A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 “⾛美”主试委员会为三～⼋年级准备决赛试题。
小学奥数 容斥原理之数论问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
奥数训练专题——容斥原理
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9 人既爱打篮球又爱踢足球， 4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？3、四年级一班有46名学生参加3 项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3 项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10 人．求参加文艺小组的人数．（ 6 级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9 人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（ 6 级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42 人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（ 6 级）6、新年联欢会上，共有90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？7、五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24 人参加了绘画小组，20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍,既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数.8、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人.问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？9、在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡, 6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问：三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？9、盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.10、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？11、在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓; 11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有 _____ 人摘了山莓；②有______ 人同时摘了三种水果；③ 有 ____ 人只摘了山莓；④ 有_____ 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有 _____ 人只摘了草莓• 12、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加 B 组的有多少人？13、五一班有28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6 个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数的 5 倍，并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？图形中的重叠问题1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长 3 厘米，焊接后这根铁条有多长？3、两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4、如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为 6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为 4 厘米的正方形，求这个组合图形的面积．5、一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长 4 厘米的正方形，求这个组合图形的面积．6、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60 平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？8、如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38 •若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7 , A、B、C这三张纸片的公共部分为3 •求A与C公共部分的面积是多少？容斥原理在数论问题中的应用1、在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？2、在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？3、在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4、在从1 至1000的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被7除尽的数有多少个?5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．5、以105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？7、分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和8、在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 ___________ 个.9、在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个?10、50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1, 2, 3,…，49, 50依次报数; 再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？11、有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1, 2, 3,…，2000, 然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关, 第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成_______ .15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段.16、一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？容斥原理中的最值问题1、将1〜13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星•如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个？3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球•那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？4、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有_____________ 人.2 3 45、60人中有3的人会打乒乓球，4的人会打羽毛球，5的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？6、图书室有100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44 和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29 本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36 本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100 个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60 个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个?8、在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100 盆花浇水，已知甲浇了30 盆，乙浇了75 盆，丙浇了80 盆，丁浇了90 盆，请问恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68 盆，丙浇了58盆，那么 3 人都浇过的花最少有多少盆?。
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1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。
如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。
本届活动至少要准备 道决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】 每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有864256⨯+⨯=（道）题目。
【答案】56题【例 2】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.【答案】240【例 3】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．【答案】9960【例 4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812+-=人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484+-=人.该情况可以用线段图来构造和示意：40人33人游泳自行车总人数48人游泳（法2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y 人，只会一项的有z 人， 那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式：3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩由第一条方程可得到10032z x y =--，将其代入第二条式子得到：100248x y --≤，即252x y +≥①而第二条式子还能得到式子48x y +≤，即248x y x +≤+②联立①和②得到4852x +≥，即4x ≥．可行情况构造同上．【答案】4【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35【巩固】60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x 人，只会打乒乓球和排球两项的有y 人，只会打羽毛球和排球两项的有z 人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x 、y 、z 有如下关系：()()()402204522048220x y x z y z ⎧-++≥⎪⎪-++≥⎨⎪-++≥⎪⎩将三条关系式相加，得到33x y z ++≤，而60人当中会至少一项运动的人数有()40454822256x y z ++-++-⨯≥人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当x 、y 、z 分别取7、11、15时，不等式组成立）． 【答案】4【例 5】 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?C丙B乙A甲【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设甲借过的书组成集合A ，乙借过的书组成集合B ，丙借过的书组成集合C ．A =33,B =44，C =55，A B =29，A C =25，B C =36． 本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可． AB C A B C A B A C B C A B C =++---+, 当A B C 最大时，A B C 有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多． 而AB C 最大不超过A 、B 、C 、A B 、B C 、AC 6个数中的最小值，所以A B C 最大为25．此时A B C =33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．【答案】33【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．【答案】12【例6】某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。
在这次决赛中至少有____得满分。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题【解析】设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少，有136+125+118+104-160⨯3=3(人)。
【答案】3人【例7】某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该班这四项运动都会的至少有人。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】不会骑车的6人，不会打乒乓球的8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会一项的最多只有6+8+11+19=44人，那么思想都会的至少44人【答案】44人【例8】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有-=盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单1003070的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506014015++-=盆．【答案】15【巩固】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．【答案】4【巩固】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．【答案】27。