“十字相乘法”的妙用

“十字相乘法”的妙用

“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式与解一元二次方程中有广泛的应用。

十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

一、用十字相乘法分解一般的二次三项式

例1 、把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题

解：因为1 -2

╳

16

所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)

例2、把x²-5x+6分解因式

解：因为1-2

╳

1-3

所以x²-5x+6=（x-2）(x-3)

例3、把x²-5x-6分解因式

解：因为1+1

╳

1-6

所以x²-5x-6=（x+1）(x-6)

例4、把x²+5x-6分解因式

解：因为1-1

╳

1+6

所以x²+5x-6=（x-1）(x+6)

例5、把x²+5x+6分解因式

解：因为1+2

╳

1+3

所以x²+5x+6=（x+2）(x+3)

二、用十字相乘法分解特殊的多项式

例6、把x²- y²分解因式

解：因为

11

╳

1 -1

所以x²- y²=（x+y）（x-y）

例7、把x²+2 xy+ y²分解因式解：因为11

╳

11

所以x²+2 xy+ y²=（x+y）(x+y)

例8、把x²-2 xy+ y²分解因式

解：因为1 - 1

╳

1 - 1

所以x²-2 xy+ y²=（x-y）(x-y)

三、用十字相乘法解一些比较难的题目：

例9、把5x²+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题

解：因为1 2

╳

5-4

所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4)

例10、把14x²-67xy+18y²分解因式

分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y

解: 因为2-9y

╳

7-2y

所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)

例11、把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=10x²-(27y+1)x -(28y²-25y+3)

4y-3

╳

7y-1

=10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)

2-(7y – 1)

╳

5+( 4y – 3)

=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

=(2x -7y +1)(5x +4y -3)

说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1)，再用十字相乘法把10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为：

[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3

2 -7y

╳

5 4y

=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3

2 x-7y 1

╳

5x+4y-3

=[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3]

=(2x -7y+1)(5x +4y -3)

说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].

四、利用十字相乘法解一元二次方程

例12 、解方程x²-8x+15=0

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，

-3×（-5）。

解：因为1-3

╳

1-5

所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0

所以x1=3，x2=5

例13、解方程6x²-5x-25=0

分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，

则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解：因为

2 -5

╳

3 5

所以原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0

所以x1=5/2 x2=-5/3