第三章静态场及其边值问题

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谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】

第3章　静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。

3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

因为电场强度大小是该点电位的变化率。

3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

此时该点电位可能是任一个不为零的常数。

3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。

3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。

答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。

答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。

计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。

表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。

电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如何运用数学方法求解静态场的边值问题。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容器间的电场，通过建立微分方程和边界条件，采用有限差分法或有限元法进行数值求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态场用于解释金属屏蔽壳对内部电荷或电场的隔离作用。
高压输电
在高压输电线路中，静态场用于分析电场分布和绝缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性

电磁场与波课件教学PPT-第三章静态场及其边值问题的解共154页PPT资料

静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
第三章静态场及其边值问题的解
5
电磁场与电磁波
静态（恒定）磁场问题
出发点 Maxwell方程组
H J B 0
条件
本构关系
H B
边界条件 en (H1 H2) J s en (B1 B2) 0
2
2
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体情况
静电平衡

介质
en E 1 E
导体内部的电场为零
1, 1 0
导体en表 D面的边S 界条件或
en E 0

常取无限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参
考点应是固定的。
第三章静态场及其边值问题的解
20
电磁场与电磁波
例均匀电场的电位分布。选择点O为电位参考点
例求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位。无限长直均匀线电荷产生的电位，任选有限远处的某点为电位参考点，例如，ρ= a 点例点电荷（带电球）的电位。选择无限远处为电位参考点
0
介质2 2
E2 2
2
2

0
第三章静态场及其边值问题的解
15
电磁场与电磁波
4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况： 2(r)q(rr)
Rrr
E ( r ) 4 qR R 3 4 q R 1 4 qR 1

《电磁》第三章静态场及其边值问题的解

选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
选择电位参考点的原则应使电位表达式有意义。
两点间电位差有定值
应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无
限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。
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电磁场与电磁波第3章静态电磁场及其边值问题的解
10
例 3.1.1 求电偶极子的电位. 解在球坐标系中
(P) E0 r
P
r
O
z E0
在球坐标系中，取极轴与的E方0 向一致，
即
，E则0 有 ez E0
(P) E0 r ez r E0 E0r cos
在圆柱坐标系中，取 E0与x 轴方向一致，即 E0 exE0 ，而 r e ez z ，故 (P) E0 r ex E0(e ez z) E0 cos
(6) 求比值 C q U，即得出所求电容。
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电磁场与电磁波第3章静态电磁场及其边值问题的解
22
例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间
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电磁场与电磁波第3章静态电磁场及其边值问题的解
20
1. 电容电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
C q
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为

静态电磁场及其边值问题的解

E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )

C

C

p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对的曲线) ，而
dr Er

rd
E

r sind
E
dr
2 cos

rd sin

dr r

2d (sin sin
)
r

C2 sin2

第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1

设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )

p cos 4 0r 2

p er
4 0r 2

p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解

第3章静态电磁场及其边值问题的解剖析

2r ρr
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常数需要应用电位的边界条件确定：
第三章静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点

第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理

l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷，代替圆柱导体上的感应电荷. l
第3 章
若令镜像线电荷产生的电位也取相同的 l
作r0为参考点，则
及l
在圆柱面上 P 点共同产生的电位为
R
l
h
R′
x
-h
l ln x2 (z h)2 ， z 0
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
3、对于均匀分布在球面上的-q'电荷，可用另一个镜像电荷q"= q' 代替，但必须位于球心。
第3 章
结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：
镜像电荷1：电量：q ' a q
位置： d ' a2
d
镜像电荷2： d
电量： q '' q ' a q
d
r r'
q O
'' d'
q' d
q
4 0 r
0
q q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了
导体上的感应电荷。
在z>0区域内，P点的电位为

第三章静态场边值问题的解析解1

第三章静态场边值问题的解法静电场和恒定电场的边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。

求解边界值问题的方法，可以分为解析法和数值法两大类。

解析法中的分离变量法是解拉普拉斯方程的最基本方法，本章将介绍在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中拉普拉斯方程的解；以及某些特定情况下，用镜像法求拉普拉斯方程的特解。

3.1唯一性定理静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程式或拉普拉斯方程式的解，这种求解称为偏微分方程法。

3.3.1边值问题的分类根据问题所给的边界条件不同，边值问题分为以下三类：1）第一类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位值，又称为狄里赫利问题；2）第二类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位法向导数值，又称为纽曼问题；3）第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数值，又称为混合边值问题。

如果边界是导体，则上述三类问题变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。

3.3.2唯一性定理在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。

在讨论这些方法之前，需要解决这样一个问题：满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解，这就是唯一性定理。

此定理的表述十分简单：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解ϕ是唯一的。

也就是说，若要保证ϕ为问题的唯一正确解，ϕ必须满足两个条件。

第一，要满足方程2ρϕε∇=-或20ϕ∇=，这是必要条件；第二，在整个边界上满足所给定的边界条件。

所谓边界条件包含了边值问题给出的三种情况。

证明解的唯一性定理证明用的是反证法，即假定在表面为S 的空间V 内有两组不同的解ϕ和ϕ'，它们都满足同一个边界条件及方程，即有2ρϕε∇=-和 2ρϕε'∇=-取两解之差ϕϕϕ*'=-，在V 内ϕ*一定满足拉普拉斯方程 2222()0ϕϕϕϕϕ*''∇=∇-=∇-∇= 利用格林第一恒等式， 2()VSdV dS nψϕψϕψϕ∂∇+∇⋅∇=∂⎰⎰令式中的ϕψϕ*==，得22[()]VSdV dS nϕϕϕϕϕ*****∂∇+∇=∂⎰⎰因为20ϕ*∇=，所以2()VSdV dS nϕϕϕ***∂∇=∂⎰⎰ （3.1）1）在边界S 上，对于第一类边值问题，由于两个解ϕ和ϕ'都满足同样的边界条件，所以有|||0S S S ϕϕϕ*'=-=，代入（3.1）式得到2()0VdV ϕ*∇=⎰因为被积函数2()φ*∇ 一定为正值，因此要使积分为零，必须有20ϕ*∇=，即ϕϕϕ*'=-=常数我们在引入电位函数时就曾指出，电位ϕ的绝对值无意义，因为ϕ和C ϕ+代表的是同一电场，所以ϕ和ϕ'实际上是一个解，亦即解是唯一的。

第三章静态电磁场及其边值问题的解(课后题).

第三章静态电磁场及其边值问题的解
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0 ( , ) E0 x C E0 cos C 感应电荷的电位 in (r , )应与 0 ( , )一样按cos变化，
且在无限远处为 0。
E0 y a O x
( , ) n ( , ) Rn ( ) n ( ) n m B n sin n )(C n D n ) (( r, ) Cn0( ( A cos ,D 0)ln Rn ( ) ( ) (C Bn sinnn ) n Dn )( n An cos n n ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化电流的分布
I 解：（ 1 ）由安培环路定律，可得H e 2 0 I I B1 0 H e , B2 H e 2 2 (2)磁介质的磁化强度 ( 0 ) I 1 M B2 H e 0 20
将上式两边同乘以 sin(
ny )，并从0到a对y积分，有 a 2ql a 2ql ny nd An Bn ( y d ) sin( )dy sin( ) 0 n 0 a n 0 a

电动力学第三章静态电磁场及其边值问题的解

最后得
所以
第3章静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值

电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解

n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波第3章静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波第3章静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl

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第3章　静态电磁场及其边值问题的解一、判断题1．为了简化空间电位分布的表达式，总可以将电位参考点选择在无穷远处。

（）【答案】×2．焦耳定律只适用于传导电流，不适应于运流电流。

（）【答案】√3．绝缘介质与导体分界面上，在静电情况下导体外的电力线总是垂直于导体表面的。

（）【答案】√4．位移电流的假说就是变化的磁场产生电场的假说。

（）【答案】×5．任意两个带电导体之间都存在电容，对电容有影响的因素包括导体几何形状，导体上的电荷量、两导体相对位置和空间介质。

（）【答案】×6．恒定电场中理想导体内的电场强度为零。

（）【答案】√7．空间体积中有电流时，该空间内表面上便有面电流。

（）【答案】×8．应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。

（）【答案】×9．一个点电荷Q放在球形高斯面中心处。

如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。

（）【答案】×台10．在线性磁介质中，由的关系可知，电感系数不仅与导线的几何尺寸、材料L Iψ=特性有关，还与通过线圈的电流有关。

（）【答案】×二、填空题1．镜像法是在所求场的区域之外，用_______来代替场问题的边界。

假想电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场必须要满足_______。

【答案】一些假想电荷；原问题的边界条件。

2．磁介质中恒定磁场的基本方程为：_______。

【答案】，；，.d 0S B S =⎰v v Ñ0B ∇⋅=v d 0CH l ⋅=⎰v v ÑH J ∇⨯=v v 3．位移电流假说的实质是_______。

【答案】变化的电场可以产生磁场4．位移电流和真实电流（如传导电流和运流电流）的区别在于_______。

【答案】位移电流不对应任何带电质点的运动，只是电场随时间的变化率5．已知磁感应强度为，则m 的值为_______。

静态场的解法

▪ 常遇到旳边值问题有三种：（1）全部边界上旳位函数是已知旳，称为第一类边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。（2）全部边界上旳法线方向旳位函数旳导数是已知旳，称为第二类边值问题，又称为纽曼（Neumann）问题。
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题，它是第一类和第二类边值问题旳混合型。
式中常数Am、Bm由边界条件决定。例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一种半径为a旳球形空腔，介质旳介电常数为ε，求空腔内、外旳电位分布及电场强度。
解本题为球坐标系中具有轴对称性旳二维场问题在空腔内旳通解为
在介质中旳通解为
下面利用边界条件拟定各个系数。所以B1=0 ③ 系数A1、C1、D1能够由r=a时旳边界条件求出，当 r=a时由φ1=φ2 所以能够得出
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为
(3.4.8) 用n替代k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一种欧拉方程，其解为
(3.4.10)
式中旳系数由边界条件拟定
（3.4.11）
球坐标系中旳拉普拉斯方程为 ▪ 2.在球坐标系旳分离
变量法在球坐标系中具有轴对称旳二维场旳解
按照梯形算法，每一种小梯形区间宽度为
，
第n个梯形采样点为
则然后编写程序计算数值解。
2.有限差分法
在一种闭合边界L所界定旳平面域，其定解问题可表述为
首先是把求解旳场域离散化，即在求解旳场域划提成网格，网格旳划分有许多种措施，最简朴旳是正方形网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维场域中取一点P，则沿x轴方向并经过P点旳直线上任意一点旳数值ux用泰勒公式展开为

第三章静态电磁场及其边值问题

第三章静态电磁场及其边值问题1. 电容与下列物理量中无关的是：A. 电容器尺寸B. 电容器形状C. 填充电介质参数D. 电容器带电量答：D2. 互感与下列物理量中无关的是：A. 回路几何尺寸B. 回路形状C. 回路的相对位置D. 回路的电流答：D3. 已知场域边界面上的位函数值，属于第__类边值问题。

答：一4. 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，属于第__类边值问题。

答：二5. 分离变量法的理论依据是___________。

惟一性定理6. 如图所示的平行双线传输线，设两导线单位长度带电量分别为l ρ和-l ρ，导线半径为a ，两导线的轴线距离为D ，且D >> a ，求传输线单位长度的电容。

（本题10分）解：应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为011()()2l x E x e x D xρπε=+-r r （5分）两导线之间的电压差为：210011d ()d ln 2D a l l a D a U E l x x D x aρρπεπε--==+=-⎰⎰r r g （3分）电容为：01F/m ln[()]ln ()lC UD a a D a ρπεπε==≈- （2分）7. 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为为b ，设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为l ρ和-l ρ，内外导体间填充的介电常数为ε的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。

解：应用高斯定理有：()d l C E l ερρ⋅=⎰r r Ñ （3分）可得到内外导体间任一点的电场强度为()2lE e ρρρπερ=r r（2分）内外导体间的电位差1()d d ln(/)22b b lla a U E eb a ρρρρρρπερπε===⎰⎰r r g （3分）故得同轴线单位长度的电容为12F/m ln(/)lC U b a ρπε==。

静态电磁场及其边值问题36分离变量法37有限差分法

3.1 静电场分析
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
3.5 镜像法
3.6 分离变量法
3.7 有限差分法
电磁场与电磁波
3
3.6 分离变量法
3.6.1 3.6.2 3.6.3
直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法
n
0
4U 0
sinh(n b / a)
n 1,3,5, n 2, 4, 6,

故得到 x, y
4U 0
sin n x sinh n y
n1,3,5 n sinh(n b / a)
a
a
电磁场与电磁波
15
利用数值计算，可以画出该导体槽内的电位分布如图。
其中实线代表等位面，而虚线代表的是电力线。
即：
泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解
电磁场与电磁波
6
3.6 分离变量法
分离变量法是求解边值问题的一种经典方法
分离变量法解题的基本思路：
将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
Y ( y)
d2 X (x) dx2

X
(x)
d2Y ( y) dy 2

0
再除以X(x) Y(y) ，有
X
1(Xx1)( xd)2ddXx2d(2Xxx(2)x)

Y
1 ( yy))
dd22YY((yy)) ddyy22

第三章静态电磁场及其边值问题

q 在闭合面内 q 在闭合面外
D0
（高斯定理的微分形式）
二、电场的旋度
在点电荷 q 的电场中，任取一条曲线 l ，积分
q E d l 4 0 l
e r dl q 2 R 4 0 l
dR q 2 R 4 0 RA
RB
1 1 R R A B
◇ 电位满足的边界条件
1 d 2 d r 2 r dr dr
r a
U 0
因此
C2 0
C1 aU
r
2
直接积分

aU r
E r er
aU er 2 r r
电位的边界条件：
3.1.19
若分界面上不存在面自由电荷，即 s 0，则
e n E 1 E 2 0 1E 1n 2E 2 n
或
此时电位移矢量连续
3.1.2
电位函数
1.电位和电位差由 E 0 E ，称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直角坐标系
E x x E e x ey ez E x y z y y E z ◇ E在任意方向上的分量 z El l ◇ 若选取 P( xP , yP , zP ) 为电位参（即 P 0 ◇ 由此可求得电位的微分则任意点 A( x, y, z ) 的电位为 d El dl E dl
利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解
1 r r ' G r, r ' d ' G r, r ' ' r ' r ' ' G r, r ' dS 0 S

第三章 静态场及其边值问题

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