第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
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第3 章
§3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的 位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中， 对一些简单的场源分布情况求出了场的解。
但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题 就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即 通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。
唯一性定理的意义：
1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。
5
第3 章
§ 3.5 镜 像 法
依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程， 又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。 基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界 面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷 （电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条 件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解 关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以 及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像 电流）只能置于求解区域外。
3
第3 章
静电场唯一性定理的表述
对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉 普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是 正确的，且是唯一的。
静电场唯一性定理的证明
设有两个解1和2，分别满足方程
21
和 2 2
令 0 1 2
则在V内
2 0
21
22
0
在格林第一恒等式中，令 0 则 g00 020 (0)2
Ñ V g00 dV V (0 )2 dV S 00 gdS V (0 )2 dV
4
第3 章
对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q
q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
|z0 0
z
|z0 2 (x2
qh y2 h2 )3/2
导体表面总的感应电荷：
q
S dS
qh
2
dxdy
(x2 y2 h2 )3/2
qh 2d
2
0 ( 2 h2 )3/2 q
0
S
1
S
2
S
0和
0
n
S
1
n
S
2
n
S
0
Ñ S
0
0
n
dS
V (0 )2 dV 0 0 0
0
1
2
C
1和
只相差一个常数
2
设 E1 1 和 E2 2 E1＝E2 1和2描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。 对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。
Q
|z0
q
4 0 r
q
4 0 r
0
q q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了
导体上的感应电荷。
在z>0区域内，P点的电位为
q [1 1 ] 40 r r
r [x2 y2 (z h)2 ]1/2 r [x2 y2 (z h)2 ]1/2
S1 f1 S1 ,
n S2 f2 S2
2
第3 章
自然边界条件
如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界 条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有
lim r 有限值 它表明在无限远处位函数取值为零。
r
涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。
第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值
狄里赫利问题 S f1 S
如果f1(S)=0称为 齐次边界条件
第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数
纽曼问题
n
S
f2 S
第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时
给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。
混合边值问题
求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜 像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包 括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经 典的解析法。
1
第3 章
3.4.1 边值问题的类型
边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界 条件，根据在场域V的边界S上的边界条件，边值问题类型有：
3.5.1接地导体平面的镜像
例1、求置于无限大接地平面导体上方，
距导体面为h 处的点电荷q 的电位。
6
第3 章
分析： 在导体上方， 2 0 在导体表面处， |z0 0
导体平面上空的电场是由点电荷 q和导体表面的感应电荷
共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。
设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 （q像电 荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 q后，就
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第3 章
在z>0区域内，电场为
r E
q
4 0
r
[
r 来自百度文库3
rr r3
]
Ex
qx
40
1 r3
1 r3
,
Ey
qy
40
1 r3
1 r3
,
Ez
q
40
zh r3
zh r3
则，面密度S
0Ez
3.4.2 解的唯一性定理
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 • 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 • 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是 否会发生很大的变化。 • 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信 无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到 证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。
§3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的 位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中， 对一些简单的场源分布情况求出了场的解。
但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题 就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即 通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。
唯一性定理的意义：
1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。
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第3 章
§ 3.5 镜 像 法
依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程， 又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。 基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界 面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷 （电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条 件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解 关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以 及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像 电流）只能置于求解区域外。
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第3 章
静电场唯一性定理的表述
对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉 普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是 正确的，且是唯一的。
静电场唯一性定理的证明
设有两个解1和2，分别满足方程
21
和 2 2
令 0 1 2
则在V内
2 0
21
22
0
在格林第一恒等式中，令 0 则 g00 020 (0)2
Ñ V g00 dV V (0 )2 dV S 00 gdS V (0 )2 dV
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第3 章
对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
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第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q
q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
|z0 0
z
|z0 2 (x2
qh y2 h2 )3/2
导体表面总的感应电荷：
q
S dS
qh
2
dxdy
(x2 y2 h2 )3/2
qh 2d
2
0 ( 2 h2 )3/2 q
0
S
1
S
2
S
0和
0
n
S
1
n
S
2
n
S
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Ñ S
0
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n
dS
V (0 )2 dV 0 0 0
0
1
2
C
1和
只相差一个常数
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设 E1 1 和 E2 2 E1＝E2 1和2描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。 对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。
Q
|z0
q
4 0 r
q
4 0 r
0
q q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了
导体上的感应电荷。
在z>0区域内，P点的电位为
q [1 1 ] 40 r r
r [x2 y2 (z h)2 ]1/2 r [x2 y2 (z h)2 ]1/2
S1 f1 S1 ,
n S2 f2 S2
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第3 章
自然边界条件
如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界 条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有
lim r 有限值 它表明在无限远处位函数取值为零。
r
涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。
第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值
狄里赫利问题 S f1 S
如果f1(S)=0称为 齐次边界条件
第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数
纽曼问题
n
S
f2 S
第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时
给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。
混合边值问题
求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜 像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包 括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经 典的解析法。
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第3 章
3.4.1 边值问题的类型
边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界 条件，根据在场域V的边界S上的边界条件，边值问题类型有：
3.5.1接地导体平面的镜像
例1、求置于无限大接地平面导体上方，
距导体面为h 处的点电荷q 的电位。
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第3 章
分析： 在导体上方， 2 0 在导体表面处， |z0 0
导体平面上空的电场是由点电荷 q和导体表面的感应电荷
共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。
设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 （q像电 荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 q后，就
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第3 章
在z>0区域内，电场为
r E
q
4 0
r
[
r 来自百度文库3
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]
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40
1 r3
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,
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40
1 r3
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,
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q
40
zh r3
zh r3
则，面密度S
0Ez
3.4.2 解的唯一性定理
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 • 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 • 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是 否会发生很大的变化。 • 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信 无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到 证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。