电磁场理论(柯亨玉)答案第三章静态电磁场.pdf

sf 1 D1n 1 2 ( 1l2 2l1 )
sf 2 D2n 1 2 ( 1l2 2l1 )
sf 3
D2n
D1n
( 2 1
1 2 ) ( 1l2
2l1 )
介质漏电，介质分界面上
sp
P2n
P1n
D2n
(1
0 2
)
D1n
(1
0 1
)
[ 1( 2
0
)
2
(1
0
)] ( 1l2
H
m
0
H 0
2 m
m 0
m (Vp ) m (r0 )
V0
H
dl
Vp
其中m 引入的条件是无传导电流的单连通区域
如电流是环形分布的，磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的
区域。否则对于空间同一点， m 值就不是单值的。例如，我们讨论一个环形电流附近
区域（电流环除外）。该区域由于无传导电流，据条件 1）可用m 描述。利用
若 为极大或极小值，则
0 x y z
2 2 2 0
x 2 y 2 z 2 依前分析， 既不能达到极大值，也不能达到极小值。
3-4. 解：
① 介质界面上： D1n D2n
sf 0
电容器内 E 与 D 只有法向分量： 1E1 2 E2
E2
1 2
E1
电容器极板上： D1n sf 1
第三章 静态电磁场
1. 静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件 电位函数的引入及其方程的推导过程。我们以图解的方式表示
D
E
E 0
2
泊松方程
0
2 0 拉普拉斯方程
（0）
0
E
dl
关于 ，一方面它有确切的物理含义，即表示空间任意两点的电势差，等于将单位电荷
在电场 E 中从一点 p 移到另一点 p0 所作的功。另一方面在计算上它又带来极大的方便。 通常计算标量比计算矢量容易得多，这就是在计算静电场时经常从计算 入手的原因。
若
为极小，则：
2 x 2
0 ， 2 y 2
0 ， 2 z 2
0
不满足拉普拉斯方程，即 不能有极小值。
若介质为非均匀介质
D (E) E E 2 0
2 1
取直角坐标：
2 2 2 1 ( ) x2 y 2 z 2 x x y y z z
D2n sf 2
E1l1
E2l2
D1
(
l1 1
l2 2
)
( l1 1
l2 2
)
sf
1
sf1
( l1
l2
sf 2 )
1 2
② 介质分界面上： D1n D2n
sp P2n P1n D2n (1 0 2 ) D1n wenku.baidu.com1 0 1 )
0
(
1 1
1 2
)Dn
0 ( 2 1 ) 2l1 1l2
LH dl I
I 其中 L 是穿过电流环的。所以
。另外
H L
dl
L m
dl
L dm
m2
m1
I
m2 、m1 是闭合线积分始点与终点的值。这说明对空间同一点，m 不是单值的。若要
求 m 单值，对上述积分路径应有限制，即积分路径不允许旁边以电流环为边界的任意
曲面。 引入磁标势和磁荷的概念在于我们可借助于静电学中的方法使之简化计算。
ar b
D s
ds
2rlD
2
al s
D
sa
r
r2
E
sa
r
r r
内外导体的电势差
V
b
E
dr
sa
b dr s a ln b
a
ar a
s
V a ln(b / a)
则
E
V
r
r ln(b / a) r
磁场分布：根据安培环路定理，
ar b
LH dl I
能流密度矢量
2rH I
H
I 2r
e
ar b
IV
S E H 2r 2 ln(b / a) ez
3-3. 在无电荷区域，
若介质为均匀介质，电势 满足拉普拉斯方程 2 0
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2
若
为极大，则：
2 x 2
0，
2 y 2
0 ， 2 z 2
0
这不满足拉普拉斯方程，即 不能有极大值；
2l1 )
3-6. 解：
电位 满足的边界条件：
1 2
2
2 n
1
1 n
s
3 种情况下电位满足的边界条件： 介质 1，2 均为理想介质
1 2
2
2 n
1
1 n
s
介质 1 为导体，介质 2 为理想介质
0 (常数)
n
s
介质 1，2 均为导电介质，在恒定电流情况
1 2
2
2 n
1
1 n
0
2. 静电场的能量，能密度；导体上的静电力 与一个电荷分布相联系的势能可写成：
We
1 2
dv
v
或
We
1 2
D Edv
v
其中第一个积分中的 v 包含所有的电荷分布，第二式则包含所有 E 不为零的空间。
能量密度为： We
1 2
DE
当D
E 时：We
1 E 2 2
导体上的静电力分两种情况：
F We 常 F We q常
3. 恒定电场的方程和边界条件
微分方程： E 0
磁标势m 满足的边界条件：
m1 m2
1
m1 n
2
m2 n
5. 磁场的能量与能密度 磁场的能量
Wm
1 2
J Adv
v
或Wm
1 2
H Bdv
v
其中第一个积分式中的 v 包含所有不为零的区域，第二式则包含所有 B 不为零的空间。
3-2. 解：
电场分布：设同轴线内导体上电荷面密度为 s ，利用高斯定理，
J 0 J (E K)
积分方程： E dl 0 L
sJ ds 0
其中 K 表示电源作用在单位正电荷上的非静电力。
电位 所满足的方程
2 0 (K电 (电源源外内部部) )
在两导体交界面上的边界条件：
1 2
1
1 n
2
2 n
4. 恒定电流的磁场 磁失势所满足的方程及边界条件 磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示
H J
B A
B 0
2 A J
A
4
Jdv' v r r'
电流环
A
4
L
I dl' r r'
磁失势满足的边界条件：
A2 A1
nˆ
1 ( 2
A2
1 1
A1 )
s
磁失势所满足的方程及边界条件： 磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示
B 0
H m
B
0
(H
)
0 m
③ 若介质漏电： J E
J1n J 2n J
1E1n 2 E2n
E1l1
E2l2
J1n 1
l1
J 2n 2
l2
( l1 1
l2 ) 2
J 1 2 ( 1l2 2l1 )
E1
J 1
2 ( 1l2
2l1 )
E2
J 2
1 ( 1l2
2l1 )
据 nˆ (D2 D1) D2n D1n sf 得：