电磁场理论(柯亨玉)答案第三章静态电磁场.pdf
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场理论-静态场的解法共72页PPT
▪28、知之者不如好之Fra bibliotek，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
72
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
电磁场理论-静态场的解法
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
电磁学答案第3章
电磁学答案第3章第三章 静电场的电介质3.2.1 偶极矩为p →=q l →的电偶极子，处于场强为E 的外电场中，p →与E →的夹角为θ。
（1） 若是均匀的，θ为什么值时，电偶极子达到平衡？（2）如果E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？ 解： （1）偶极子受的力：F + =F _=qE因而F →+=-F →_∴偶极子受合力为零。
偶极子受的力矩T =p ⨯E即 T=qEsin θ当 T=0时，偶极子达到平衡，∴ pEsin θ=0p →≠0 E →≠0 ∴θ=0 , πθ=0这种平衡是稳定平衡。
θ=π是不稳定平衡。
（2） 当E →不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个 力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。
所以不能达到平衡。
3.2.2 两电偶极子1p→和2p →在同一直线上，所以它们之间距r比它们自己的线度大的很多。
证明：它们的相互作用力的大小为F=402123rp p πε，力的方向是：1p→与2p→同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。
证： 已知当r >>l 时，偶极子在其延长线上一点的场强：E →=302rpπε→当 1p →与2p →同方向时，如图2p →所受的力的大小：+→F =E →q=r lr q p ∧+3201)2(2πε-→F = -E→q=r lr q p ∧--3201)2(2πε∴F→= +→F +-→F =r l r l r q p ∧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+323201)2(1)2(12πε =r l r l l r q p ∧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅3222322201)2()2(2262πε略去 422l 及 832l 等高级小量。
F→=-r r qlp ∧402146πε= -r r pp ∧402123πε当 1p →与2p →反方向时（如图），同理： F→= r l r l r q p ∧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+323201)2(1)2(12πε =012πεq p ⨯r lr l l r ∧-+32223222)4()2(23略去高级小量得：F→=r rP P ∧402123πε3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ，其所在处的电场强度为 。
电磁场理论 柯亨玉 著 人民邮电出版社 课后答案
v v v v v v ∇ ⋅ ( E × H ) = ∇ ⋅ ( Ec × H ) + ∇ ⋅ ( E × Hc )
再 ∇ 算子的矢量性，并据公式
v v v v v v v v v a ⋅ (b × c ) = c ⋅ (a × b ) = b ⋅ (c × a )
1-6. (1) 证： ∇ ⋅ A =
v
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂z ∂x ∂y dAx ∂u dAy ∂u dAz ∂u + + du ∂x du ∂y du ∂z
=
v dA = ∇u ⋅ du
ˆx ( (2) 证： ∇ × A(u ) = e
v
∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ˆy ( ˆz ( − )+e − )+e − ) ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x
v
性质
a）偶函数： δ ( x ) = δ ( − x ) b）取样性：
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
有机会用到的表达式：
δ (r − r ') = −
v
1 2 1 ∇ v 4π r − r'
1-1.
证明：
v v ˆx9 + e ˆy 2 − e ˆz 6) ⋅ (e ˆx 2 + e ˆy3 + e ˆz 4) A ⋅ B = (e =18+6-24
1 ∂u ∂ 2 u 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z 2
《电磁场与电磁波》第3章(3.2之后的章节)
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
恒定电场与静电场的比拟
静电场（ 区0域）
恒定电场（电源外）
基本方程 本构关系
位函数 边界条件
S D dS 0, C E dl 0
D 0, E 0
D E
E ,2 0
E1t E2t D1n D2n
1 2 ,
1
1 n
2
2 n
静电场
ED
对应物理量 恒定电场 E J
S J dS 0, C E dl 0
J 0, E 0
J E
E ,2 0
E1t E2t J1n J2n
1 2 ,
1
1 n
2
2 n
q C I G
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
14
3.2.3 漏电导
工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间， 填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金 属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时， 必定会有微小的漏电流 J 存在。
漏电流与电压之比为漏电导，即
G I U
其倒数称为绝缘电阻，即
l
ba
R 1 U GI
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
15
例3.2.2 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b， 长度为l ，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。
解：1) 直接用恒定电场的计算方法
设由内导体流向外导体的电流为I。
• 导电媒质分界面上的电荷面密度
即 E1t E2t
媒质1
en 1
E1
1
媒质2
E2
第三章 例题
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
例1 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚
度可忽略不计，其半径为b，空气填充。 解：先求内导体的内自感。设同轴
I I 2 2 C H i dl I πa 2 π a 2 0 I I 得 Hi , Bi (0 a ) 2 2
0 I 1
o B dS
电子科技大学编写
0 I
2π
Da a
0 I D a 1 1 ( )dx ln x Dx π a
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
于是得到平行双线传输线单位长度的外自感
o 0 D a 0 D Lo ln ln I π a π a
故单位长度的外自感为 单位长度的总自感为
电子科技大学编写
Li
o 0 b Lo ln I 2π a 0 0 b L Li Lo ln 8π 2π a
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
例2 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径
两根导线单位长度的内自感为
0 0 Li 2 8π 4π
故得到平行双线传输线单位长度的自感为
0 0 D L Li Lo ln 4π π a
电子科技大学编写
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
5
例3 如图所示，长直导线与三角 形导体回路共面，求它们之间的互感。
《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。
当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。
静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。
由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。
本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。
3.1 静电场分析静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件1． 基本方程考虑到电磁场的源量（静止电荷q ）和场量（E 、D ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为积分形式d d (3.1.1)d 0(3.1.2)SV cVρ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰D S E l微分形式(3.1.3)0(3.1.4)ρ⎧∇⎪⎨∇⨯=⎪⎩D =E以及ε=D E （3.1.5）基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线（E 线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。
2. 边界条件在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式()120n ⨯-=e E E 或 12t t E E = （3.1.6）表明电场强度的切向分量是连续的。
电位移矢量满足的关系式是()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.1.7）表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。
若分界面上不存在面电荷，即0S ρ=，则()120n -=e D D 或 12n n D D = （3.1.8）此时，在分界面上，D 的法向分量是连续的。
式（3.1.8）可改写为1122n n E E εε=可见，当12εε≠时E 的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。
大学电磁场课后答案第三章
ε1 ε 2 − ) σ1 σ 2 ε1 ε 2 ≠ σ1 σ 2
因此，分界面上存在自由电荷的条件是
3-8
在导体中有恒定电流而其周围媒质的电导率为零时，试证明导体表面电通量密度的法 向分量 Dn = σ ， 但矢量关系 D = e n σ 不成 立( 式中 e n 是导体表面向 外的法 线单位矢 量)。
W = ∑ σϕi ∫
i =1 n
n
Si
n ∂ϕ ∂ϕ − dS dS = ∑ σϕi ∫ S i ∂n ∂n ' i =1 n n Jn ' dS = ∑ ϕi J ' dS ϕi I i = ∑ ∫ Si n ∂n i =1 i =1
= ∑ σϕi ∫
i =1
Si
故命题得证。 3-10 有一非均匀导电媒质板，厚度为 d ，其两侧面为良导体电极，下板表面与坐标 z = 0 重 ρ − ρ R2 1 合， 介质的电阻率为 ρ R = = ρ R1 + R1 z， 介电常数为 ε 0 ， 而其中有 J = e z J 0 的 γ d 均匀电流。试求：1) 介质中的自由电荷密度。2) 两极板间的电位差。3) 面积为 A 的 一块介质板中的功率损耗。
u v
R铁＝
单位长度的水柱电阻为
ρ铁 S铁
＝
8.7 × 10 −8 π (0.025 2 − 0.02 2 ) ρ水 S水
R水＝
＝
0.01 π 0.02 2
当水管中的电流为 20A 时，水柱和铁管中的电流之比为
I水 I铁
又根据题意
＝
R铁 R水
＝1.5 × 10 −5
(1)
I 水＋I 铁＝20 A
所以将(1)、(2)联立求解，可得管壁和水中的电流强度
电磁3章1
①当各带电体与电源相连接时，电位不变： 当各带电体与电源相连接时，电位不变：
第三章 静态场
静电场 恒定电场 静态场 恒定场 恒定磁场 似稳电磁场
3-1 静态场理论 3-2 分布型问题 3-3 边值型问题 计算
3-1静态场理论
3.1 .1 静电场理论 3.1.2 恒定电场理论 3.1.3 恒定磁场理论 3.1.4 静态场的能量 •似稳电磁场 似稳电磁场 场 位 能
3.1 .1 静电场理论
W1 = q1 ∫
∞ a n n qn qi q2 E dl = q1φa = q1 ( +L+ ) = q1 ∑ = q1 ∑φi 4πε R12 4πε R1n i =2 4πε R i i =2 1
n n n 1 1 W e = ( q1 ∑ φ i + q 2 ∑ φ i + L + q n ∑ φ i ) = 2 2 i= 2 i =1 i =1
∂φ1 ∂φ2 ∴ −ε1—— + ε2 —— =ρs ∂n ∂n ∂φ2 ∂φ1 整理得： 边值条件： 整理得： 边值条件： ε2——－ε1 —— = ρs ∂n ∂n
Z,n
en
En E Et
· ·
1
τ
2
证毕
静电场的电位能 电位能We
We =
克服电场力作的功
电能密度
1 2
∫
V
wedV =
电磁场理论第三章静态电磁场及其边值问题的解(1)
电磁场理论
第3 章
静态电磁场及其边值问题的解
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C )
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考
点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确 定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差)
若分界面上不存在面电荷，即 S 0 ，则
en ( D1 D 2 ) 0 en (E1 E 2 ) 0
或
D1n D2 n E1t E2t
电磁场理论
第3 章
静态电磁场及其边值问题的解
场矢量的折射关系
en
介质1 介质2
2 1 2 1 S n n
1 2
2
1 P1 2 Δl
P2
2 1 2 1 • 若介质分界面上无自由电荷，即 S 0 n n • 导体表面上电位的边界条件： 常数， S n
电磁场理论
第3 章
静态电磁场及其边值问题的解
z E0
( P ) E0 r ez r E0 E0 r cos
在圆柱坐标系中，取 E0 与x 轴方向一致，即 E0 ex E0 ，而
r e e z z ，故
( P ) E0 r ex E 0 (e e z z ) E 0 cos
3.6 分离变量法
电磁场理论
第3 章
静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第三章)
【习题 3.1】
解：设导线沿 ez 方向，电流密度均匀分布 则
J ez
4
I d
2
ez
4
2 (10 )
3
2
cos(2 50t ) ez
8
106 cos(2 50t（ ) A
m2
）
导线内的电场
E
J
ez
8 106 cos 2 50t ez 4.39 102 cos 2 50t (V / m) 7 5.8 10
J s n H er H ez 395.1cos(4 108 t ) A / m
（3） r 20mm, z 25mm 处的表面电荷密度
7 2 s n D 0 r er E 0. 7 8 1 0 sin ( 48 t1 0 C ) m /
B 1.328 6 107 0 sin 6 107 t cos zex t
1.328 6 107 4 107 sin 6 107 t cos zex 100sin 6 107 t cos zex
所以有
E
B t
ex
又因为
ey y 0
ex 1 1 E ( D) [ ( z 6 107 t )ex ] 2.5 0 2.5 0 x Ex (e y Ex E 1 ez x ) ey 4.52 1010 ey z y 2.5 0
ey y 0
ez z 0
12
= 4 81 8.854 10
i 6.28 109 E = i 4.5 i 4 E
6
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
电磁场理论基础第三版答案柯亨玉
电磁场理论基础第三版答案柯亨玉1.磁感应强度的单位是( ) [单选题] *A)T(正确答案)B)WbC)N/AD)Wb/m2.水的温度从17℃升高到100℃，用热力学温标表示，水温升高了( ) [单选题] *A)83K(正确答案)B)300KC)356KD)373K3.物体沿斜面匀速下滑，在此过程中物体的( ) [单选题] *A)机械能守恒B)机械能增加C)重力势能增加D)重力势能减少(正确答案)4.下列过程中，主要通过做功方式改变物体内能的是( ) [单选题] *A)湿衣服中的水蒸发B)水中的冰融化C)池水在阳光的照射下温度升高D)锤子敲击钉子后钉子变热(正确答案)5.直流电动机通电后，使线圈发生转动的力是( ) [单选题] *A)电场力B)磁场力(正确答案)C)万有引力D)重力6．在国际单位制中，属于基本单位的是 [单选题] *A)牛顿B)米(正确答案)C)特斯拉D) 焦耳7．电场强度的单位是 [单选题] *A) N/C(正确答案)(B) V/C(C) J/CD) T/C8．电子是原子的组成部分，一个电子带有 [单选题] *A) l.6×l0的-19次方C的正电荷(B) l.6×l0的-19次方C的负电荷(正确答案)(C) 9.l×l0的-31次方C的正电荷D) 9.l×l0的-31次方C的负电荷9．气体由无规则运动的分子组成，分子间有相互作用，因此气体的内能 [单选题] *A)仅包含分子动能B)仅包含分子势能C)与分子动能及分子势能无关D)包含分子动能及分子势能(正确答案)10．两个分子从相距很远(分子间作用力可忽略)变到很难靠近的过程中，表现为[单选题] *A)相互吸引B)相互排斥C)先排斥后吸引D)先吸引后排斥(正确答案)11．一杯水含有大量的水分子，若杯中水的温度升高，则( ) [单选题] *A)水分子的平均动能增大(正确答案)B)只有个别水分子动能增大C)抽有水分子的动能都增大D)每个水分子的动能改变量均相同12.下列物理量中，属于标量的是( ) [单选题] *A)功(正确答案)B)位移C)加速度D)电场强度13.静电场的电场线( ) [单选题] *A)可以相交B)是闭合的曲线C)起始于正电荷，终止于负电荷(正确答案)D)是点电荷在电场中运动的轨迹14.a、b和c三个带电小球，c带负电，a和b相互排斥，b和c相互吸引。
《电磁场理论》练习题与参考答案（最新版）
《电磁场理论》练习题与参考答案（最新版）第1~2章矢量分析宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则M （1，1，1）处A= ，=??A 0 。
2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的旋度及散度。
4. 任一矢量场在无限大空间不可能既是无源场又是无旋场，但在局部空间可以有以及。
5. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H、J 所满足的方程（结构方程）：。
6. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为和。
7. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。
（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。
（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。
（d ）E 、B 皆与A 平行。
答案：B8. 两种不同的理想介质的交界面上，（A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C)1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C9. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E eE y -=，其中0E 、ω、β为常数。
则空间位移电流密度d J（A/m 2）为：222x y z e e e ++AA ??E J HB E Dσ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=?? 0A ??=0A ??=（a ）)cos(?0βz ωt E ey - （b ）)cos(?0βz ωt ωE e y -（c ）)cos(?00βz ωt E ωey -ε （d ）)cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：C 10. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ?0dxeE x πρ=，其中0ρ、d 为常数。
电磁场理论 武汉大学 柯亨玉chap3[1]
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i sids
1 2
si Eds
si
f ds
si
得到单位导体表面积受到的静
电力是：
| f
1 2
s E
导体表面
其中 E|导体表面为系统总电荷在导体 表面处产生的电场。
| f
1 2
s
E
导体表面
含受力面元本 身的电荷在内
3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势
恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H r dl J r ds H r J r
Laplace方程
r
ε
S
2 静电场的边界条件
Poisson方程或Laplace方程的求解，必需
知道位函数所在区域边界上的状态，即边
界条件。所谓边界条件即电场在介质交界
面两侧所满足的方程。可直接从静电场满
足的方程（积分）导出。
D2 D1 nˆ s
22
12
nˆ
s
2
2 n
1
1 n
s
nˆ E2 E1 0
L
s
Br ds 0 Br 0
s
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
Br Ar
磁感应强 度矢量是 一个无散 场，一个 无散矢量 场可以表 示为某个 矢量函数 的旋度。
称矢量函数 Ar 为磁矢势。
由磁感应强度的无散性引入的磁矢势不是唯一确定的
如果： Br Ar 设： Ar Ar r
电位 和标 量磁 位之 间的 比较
3.5 电感与磁场的能量
1 自电感与互电感
电流环C1在空间产生 磁场，该磁场对以回 路C2为边界的曲面的 磁通量（又称为磁通
匝链数）为：
12
电磁场理论 答案 习题3
m r ≤ a 时
o ∫ v H
⋅
v dl
=
0
⇒
v H
=
0
⇒
v B
=
0
l
c a < r ≤ b 时
. ∫ v H
⋅
v dl
=
I
⋅π (r 2 − a2 )
π (b2 − a 2 )
l
课 后 答 案 网
aw ⇒ H ⋅2π r = (r2 − a2)I b2 − a2
hd ⇒
H
=
(r 2 − a2 )I 2π r(b2 − a 2 )
− a2)
=
I(r2 − a2) b2 − a2
∫ om 由
v B
⋅
v dl
=
2π
rB
=
µ0 I ′
，得
c B = µ0I(r 2 − a2 ) 2π r(b2 − a 2 )
课 后 答 案 网
w. 当r
>
b
时，回路内包围的总电流为
I
，于是
B
=
µ0I 2π r
。
3-12 两个半径都为 a 的圆柱体，轴间距为 d ， d < 2a (如图 3-4)。除两柱重叠部
选取球坐标系。设转轴和直角坐标系的 z 轴重合，球内某一点的坐标为 ( r,θ ,φ )，则电流密度为
m v o J
=
ρ
vv
=
q 4π a 2
⋅ω
r sinθ
ev φ
=
3qω r sinθ 4π a3
evφ
3
课 后 答 案 网
c 注意到球面坐标的有向面积元为
. d
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H J
B A
B 0
2 A J
A
4
Jdv' v r r'
电流环
A
4
L
I dl' r r'
磁
1 ( 2
A2
1 1
A1 )
s
磁失势所满足的方程及边界条件： 磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示
B 0
H m
B
0
(H
)
0 m
LH dl I
I 其中 L 是穿过电流环的。所以
。另外
H L
dl
L m
dl
L dm
m2
m1
I
m2 、m1 是闭合线积分始点与终点的值。这说明对空间同一点，m 不是单值的。若要
求 m 单值，对上述积分路径应有限制，即积分路径不允许旁边以电流环为边界的任意
曲面。 引入磁标势和磁荷的概念在于我们可借助于静电学中的方法使之简化计算。
若
为极小，则：
2 x 2
0 ， 2 y 2
0 ， 2 z 2
0
不满足拉普拉斯方程，即 不能有极小值。
若介质为非均匀介质
D (E) E E 2 0
2 1
取直角坐标：
2 2 2 1 ( ) x2 y 2 z 2 x x y y z z
③ 若介质漏电： J E
J1n J 2n J
1E1n 2 E2n
E1l1
E2l2
J1n 1
l1
J 2n 2
l2
( l1 1
l2 ) 2
J 1 2 ( 1l2 2l1 )
E1
J 1
2 ( 1l2
2l1 )
E2
J 2
1 ( 1l2
2l1 )
据 nˆ (D2 D1) D2n D1n sf 得：
D2n sf 2
E1l1
E2l2
D1
(
l1 1
l2 2
)
( l1 1
l2 2
)
sf
1
sf1
( l1
l2
sf 2 )
1 2
② 介质分界面上： D1n D2n
sp P2n P1n D2n (1 0 2 ) D1n (1 0 1 )
0
(
1 1
1 2
)Dn
0 ( 2 1 ) 2l1 1l2
We
1 2
dv
v
或
We
1 2
D Edv
v
其中第一个积分中的 v 包含所有的电荷分布，第二式则包含所有 E 不为零的空间。
能量密度为： We
1 2
DE
当D
E 时：We
1 E 2 2
导体上的静电力分两种情况：
F We 常 F We q常
3. 恒定电场的方程和边界条件
微分方程： E 0
J 0 J (E K)
积分方程： E dl 0 L
sJ ds 0
其中 K 表示电源作用在单位正电荷上的非静电力。
电位 所满足的方程
2 0 (K电 (电源源外内部部) )
在两导体交界面上的边界条件：
1 2
1
1 n
2
2 n
4. 恒定电流的磁场 磁失势所满足的方程及边界条件 磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示
sf 1 D1n 1 2 ( 1l2 2l1 )
sf 2 D2n 1 2 ( 1l2 2l1 )
sf 3
D2n
D1n
( 2 1
1 2 ) ( 1l2
2l1 )
介质漏电，介质分界面上
sp
P2n
P1n
D2n
(1
0 2
)
D1n
(1
0 1
)
[ 1( 2
0
)
2
(1
0
)] ( 1l2
2l1 )
3-6. 解：
若 为极大或极小值，则
0 x y z
2 2 2 0
x 2 y 2 z 2 依前分析， 既不能达到极大值，也不能达到极小值。
3-4. 解：
① 介质界面上： D1n D2n
sf 0
电容器内 E 与 D 只有法向分量： 1E1 2 E2
E2
1 2
E1
电容器极板上： D1n sf 1
磁标势m 满足的边界条件：
m1 m2
1
m1 n
2
m2 n
5. 磁场的能量与能密度 磁场的能量
Wm
1 2
J Adv
v
或Wm
1 2
H Bdv
v
其中第一个积分式中的 v 包含所有不为零的区域，第二式则包含所有 B 不为零的空间。
3-2. 解：
电场分布：设同轴线内导体上电荷面密度为 s ，利用高斯定理，
e
ar b
IV
S E H 2r 2 ln(b / a) ez
3-3. 在无电荷区域，
若介质为均匀介质，电势 满足拉普拉斯方程 2 0
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2
若
为极大，则：
2 x 2
0，
2 y 2
0 ， 2 z 2
0
这不满足拉普拉斯方程，即 不能有极大值；
H
m
0
H 0
2 m
m 0
m (Vp ) m (r0 )
V0
H
dl
Vp
其中m 引入的条件是无传导电流的单连通区域
如电流是环形分布的，磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的
区域。否则对于空间同一点， m 值就不是单值的。例如，我们讨论一个环形电流附近
区域（电流环除外）。该区域由于无传导电流，据条件 1）可用m 描述。利用
ar b
D s
ds
2rlD
2
al s
D
sa
r
r2
E
sa
r
r r
内外导体的电势差
V
b
E
dr
sa
b dr s a ln b
a
ar a
s
V a ln(b / a)
则
E
V
r
r ln(b / a) r
磁场分布：根据安培环路定理，
ar b
LH dl I
能流密度矢量
2rH I
H
I 2r
电位 满足的边界条件：
1 2
2
2 n
1
1 n
s
3 种情况下电位满足的边界条件： 介质 1，2 均为理想介质
1 2
2
2 n
1
1 n
s
介质 1 为导体，介质 2 为理想介质
0 (常数)
n
s
介质 1，2 均为导电介质，在恒定电流情况
1 2
2
2 n
1
1 n
0
2. 静电场的能量，能密度；导体上的静电力 与一个电荷分布相联系的势能可写成：
第三章 静态电磁场
1. 静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件 电位函数的引入及其方程的推导过程。我们以图解的方式表示
D
E
E 0
2
泊松方程
0
2 0 拉普拉斯方程
（0）
0
E
dl
关于 ，一方面它有确切的物理含义，即表示空间任意两点的电势差，等于将单位电荷
在电场 E 中从一点 p 移到另一点 p0 所作的功。另一方面在计算上它又带来极大的方便。 通常计算标量比计算矢量容易得多，这就是在计算静电场时经常从计算 入手的原因。