电磁场理论第三章

D1n sf
E1n sf /
2) 当媒质1、2均为介质时
sf 0 D1n D2n 但 E1n E2n 在任意媒质分界面上， E的切向分量连续。
对于介质（1）和导体（2）分界面：
E2 0 E2t 0 E1t 0
所以，电力线垂直于导体表面，沿导体表面电场力 不做功，导体表面为等位面。
第三章 静态电磁场
研究静态场的意义： •静态场本身在实际问题中非常有用，如用静态场 方法所求得的电容、电感和电阻可近似地应用于高 频电路分析中。 •静态场的基本特性和解法对学习时变电磁场奠定 基础。
§1 静电场理论
静电场：静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场。 静电场是一种相对状态，是时变场的极限情况。
0 J sf
1 2
et
在不同媒质分界面上，B的法向分量总是连续的;
当
J sf
时0，
的H切向分量是不连续的。
二、矢量磁位 A
1、定义：根据恒定磁场的基本方程： B，0 B可以用另外一个矢量函数的旋度 来表示： B， 称A为矢A量磁位，又
称为磁矢位（矢位、矢势）
在恒定磁场情况下，令： A 0 称为库仑规范
一、静电场的基本方程和边界条件
微分形式： 积分形式：
E 0
D f
l
E
dl
0
DdS S
f d
Qf
在均匀、线性、各向同性媒质（简单媒质）中，基本
物理量 E和辅助物理量 之D 间满足本构关系： D。由E
此可以得出限定形式的基本方程：
微分形式：
E 0
E f /
vv
积分形式：
Ñl E dl 0
ab c
1 2
例3、一个有两层媒质1、的2 平行板电容器，两层媒 质都具有电导率，分别为 和1 ，电2 容器极板面积为 S。在外加电压U时，求通过电容器的（漏）电流和 两层介质分界面上的自由电荷密度。
d1
1 1
U
d2
2 2
例4、两个偏心球面之间均匀充满着密度为 （f 库仑/
米3）的体电荷，如图所示。求小球中心上一个点电 荷q所受的力。
4
N i 1
qi r ri '
r ri ' 3
v
E
v dE
1
v'
4
v'
rv rv'
rv rv' 3
f
d
'
2、间接法：适用于已知电荷分布的具体形式，但直接积 分和求和求场强比较困难的静电场问题。
d
v '
1
4 0
v'
1 rv rv'
f d
'
E
3、高斯定律：
v
Ñ D
dsv
f
B(r) 0
4
'
Jf
(r') (r r r' 3
r' )
d
'
利用矢量恒等式：
Hale Waihona Puke Baidu
1 r r'
r r' r r' 3
B(r) 0
4
'
1 r r'
Jf
(r')d '
再利用矢量恒等式：
(uF)
u F u F
1 r
r'
Jf
(r' )
Jf
(r' )
r r'
1 r r'
Jf
d
Q
V
V
一般适用于均匀带电的球体和球面问题、均匀带电
的无限长圆柱体和圆柱面问题、均匀带电的无限大
平面和无限长直线问题。
4、求解泊松方程或拉普拉斯方程：
2
2
x2
2
y 2
2
z 2
f
/
E
是求解静电场问题的经典方法。
二、已知电位或场强求电荷分布
1、静电场的基本方程（高斯定律）：
D f f D E
利用矢量恒等式：
1 r
r'
r r' r r' 3
E(r)
q
4 0
1 r
r'
(r)
(r) q 40
1 r
r'
C
2) 对于体分布、面分布、线分布电荷：
体分布：(r)
1
40
'
(r' )
r r'
d
'
C
面分布：(r) 1
40
s' rs(rr'') ds' C
线分布：(r) 1
40
' r(rr'') d' C
2、矢量磁位所满足的方程
2A J f
当 J f 时0：
2A 0
磁矢位 A的泊松方程 磁矢位 A的拉普拉斯方程
A的边值关系：
A1 1
1
A2 (
A1 )t
1
1
(
A1 )t
J sf
3、 A在无界空间的形式解
B A
可以通过 B的表达式得出 的A 表达式
体分布电流在场点产生的 B为：
（2）两圆弧间的电阻
R2
R1
例3、计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻。同轴电 缆的内导体（芯线）半径是a，外导体（外壳）半
径是b，内外导体之间充满一种介电常数为 、电导 率为 的绝缘材料。
b
a
§4 恒定电流的磁场
一、恒定磁场的基本方程和边界条件
微分形式
H
J
f
B 0
安培环路定律的 微分形式
积分形式
(3)定义计算法 R U
I
一般思路：假设U，求解 2 0
E
J f E
I
sJ f
ds
RU I
对于平行板电容器、同轴线、同心球等形状规则的问题：
假设I，
Jf
I S
E Jf
U E d
RU I
假设U，E d U
J f E
I
sJ f
ds
RU I
例1、一同轴圆柱形电容器，内导体的半径为a，外导
2 0 拉普拉斯方程
电位 所满足的边界条件：
1 2
1
1
n
2
2
n
三、恒定电场与静电场的比较
静电比拟法：
对于结构相同的两个导体组成的系统
C Q
U
D
ds
E
ds
s1
2
s1
2
E d Ed
1
1
s1
1、2导体之间的漏电导：
1
G I
U
J
ds
E
ds
s1
2
s1
2
Ed Ed
1
1
H d
B
ds
0
s
sJ f
ds
I
安培环路定律的 积分形式
对简单媒质， B和
H之间满足本构关系：
B H
可以得到限定形式的基本方程：
微分形式
H
J
f
H 0
积分形式
H H
d ds
s
0
J
f
s
ds
I
边界条件：
在两种不同媒质分界面上：
en
enen
(
(B1 B2 H1 H2
) )
(r' )
Jf
(r' )
0
B(r) 0
4
'
Jf
(r' )
r r'
d
'
0 4
'
Jf
(r' )
r r'
d
'
A
A
0
4
'
Jf
(r' )
r r'
d
'
对于面分布电流：
A
0
4
s'
J sf
(r' )
r r'
ds'
对于细导线电流：
nv0
v (D1
v D2
)
sf
D2n 0
1
1
n
sf
此式经常用于确定导体表面的面电荷密度
2) 在两种不同介质分界面上：
sf 0
2
2
n
1
1
n
4、已知电荷分布情况下的 的表达式：
1) 对于点电荷q，位于 r点' ，空间任一点的电场强度：
E(r) q
4 0
R q
R3 40
r r' r r' 3
例1、半径为 （a 米）的球内充满体电荷密度为 f
（库仑/米3）的电荷。已知球内外的电场强度为
r3 Ar2 Er (a5 Aa4 )r 2
(r a) (r a)
求体电荷密度 （f 全部空间的介电常数均为 ）0
例2、同轴线的横截面如图所示。设外导体电位 ，0 内导体电位 U，0 求内外导体之间任一点的 和E，并求 处的束 缚 b面电荷密度。
体的内半径为b，长为L，两电极间填充了电导率为 的
物质。已知电极间的电压为U0
（1）求填充物质中的电流密度和电场强度 （2）求由于漏电流所引起的功率损耗 （3）若填充物质的电导率 ，0 忽略电容器两端的
边缘效应，求电极间的电场强度。
例2、一扇形电阻片的电导率为，厚度为d，
如图所示。求：
（1）沿厚度方向的电阻
E2 0
在导体表面 E1t E2t 0
E1
en E1n
恒定电流情况下，理想导体中的电场强度为0，导
体表面为等位面，导体为等位体。
（3）1 （ 2真实情况） 在工程计算中近似为情况（2）
二、电位函数
恒定电场中
E
0
E
在导体内、电源外、简单媒质中，为常数
J 0
J f
0
() 0
J）v 才0 有：
en
2、边界条件
1
eenn ((JE11JE22))00
J1n J2n E1t E2t
2
et
在通过不同的媒质分界面时， 的J法向分量连续； E的切向分量连续。
两种特殊情况：
（1）1 （0理想介质）， （2 导0 体）
J1 0
J的法向分量连续
J2
en J2n
et J2t
如果电偶极子的中心不在坐标原点，而在空间任一
点，其矢径为 ，r' 也不平行于z轴，则空间任一点的
电位函数为：
p (r r' )
4 r r' 3
此处
p
q
四、静电场的能量
离散分布电荷：We
1 2
N
qkk
k 1
体分布电荷：
We
1 2
d
面分布电荷：
We
1 2
s sds
电场能量密度：
we
1 2
DE
三、电偶极子
电偶极子的定义：由相距一个小距离的等值异号
的点电荷所组成的系统。
z
q •
0 •
y
q
x
为了反映电偶极子的强度，定义：
z
电偶极矩
p
q
q •
由负电荷指向正电荷
0 •
q x
y
沿z轴放置、中心在坐标原点的电偶极子，空间
任一点的电位为：
p er p cos （伏特） 4r 2 4r 2
v
ÑS E
v dS
f
d
Qf Qp
0
边界条件：
根据时变电磁场中边界条件的一般形式：
nnnn0000((((HBDE1111BDHE222)2)))00Jssff
en
1
在静电场中：
2
et
nv0 nv0
vv (vE1 vE2 (D1 D2 )
)0
sf
1) 当媒质1为介质，媒质2为导体时：
空间任一点的电场强度为：
E
p
4r 3
(er 2 cos
e
sin
)
（伏特/米）
特点：
E
p
4r 3
(er 2 cos
e
sin
)
1) E只有 E和r 分E量，没有 分E量 ，而且两分量与坐标
无关（ 轴对称）。
2) 电位与距离的平方成反比，电场强度与距离的立
方成反比。（单个点电荷：电位与距离成反比；
电场强度与距离的平方成反比。）
1
2
E2
电场能量：
We
1 2
D Ed
1 2
E 2d
五、导体的电容
电容是导体的基本属性。电容的大小只与导体的形 状、尺寸、相对位置以及导体间介质的介电常数有 关，与导体间所加电压无关。
对于双导体系统，电容的计算式为：
C Q Q
A B U AB
B A
A
B
例：同心导体球壳，半径分别为a和b（b>a）。在 a<r<b中充满介电常数为 的理想介质。设外球电位
et J2t
E2
et E2t
媒质2中，在分界面上，电流只有切向分量；电场
也只有切向分量。
而 E的切向分量连续
E1
en E1n
et E2t
E1 既有法向分量又有切向分量。
不E1垂直于导体表面，导体表面不为等电位面，
有电阻存在。
（2）1 （0理想介质）， 2（理 想导体）
J2 2E2
J为有限值、为无穷大
a
b
f
o
o'
c
er
例5、在电场中有一个半径为a的圆柱体。已知圆柱
内、外的电位函数 和1 （2用柱坐标表示）是：
1 0 ( a)
2
A(
a2
) cos
，A是常数，(
a)
1) 求圆柱表面的面电荷密度 sf (C / m2 )
2) 求圆柱面内、外的电场强度 E和1
E2
a
2
1
§3 恒定电流的电场
导电媒质中恒定电流电场的性质
二、电位函数
电位函数是求解电磁场问题的辅助函数。
1、定义：
E 0
E
2、电位 的微分方程：
2 f / （静电场电位的泊松方程） 当 f 时0 ：
2 0 （静电场电位的拉普拉斯方程）
3. 电位 的边值关系
en
P•
1
h0
2
P0 •
et
(P) (P0 )
2
2
n
1
1
n
sf
1) 在介质与导体分界面上：
一、恒定电场的基本方程和边界条件
1、基本方程
恒定电流的电场，其基本场量为电场强度 E， 辅助场
量为电流密度 J（ J）f ，基本方程是关于此两场量的旋度
和散度方程。
E 0
J
0
E sJ
d ds
0 0
本构关系：
J J f Jv Ji
只有在电源外（Ji ）0，导体内（
J J f E
2、静电场的边界条件：
n0
(D1
D2
)
sf
sf D1n D2n
如果媒质2为导体，媒质1为电介质，则sf D1n
3、电位函数的边界条件：
2
2
n
1
1
n
sf
三、电容的计算
C Q Q
A B U AB
A
B
A
B
电容计算的一般方法：
1、假定
Q
(l
)
v E
U
C
Q U
2、假定
U
E
D
sf
QC
Q U
为零，内球电位为U0，求内外球之间的 和 。E
0
a
b
U0
§2 静电场计算
本节的内容可以分为三大部分： • 已知电荷分布求场强（电位）； • 已知电位或场强求电荷分布； • 电容的计算。
一、已知电荷分布求场强
1、直接法：适用于已知电荷分布的具体形式，而且 积分和求和比较容易的静电场问题。
E
1
2
C
G C
G
上述方法可以用于传输线（同轴线、平行双导线）， 如果求出了单位长度的电容，利用上式可以直接写出 单位长度的漏电导。
四、绝缘电阻（漏电导）的计算
求绝缘电阻主要有三种方法：
(1)直接积分法
R
d
S
d为 沿电流方向的长度元，S为长度元上垂直电
流方向的面积。
(2)静电比拟法
R 1 G C