福建省2020届高三数学模拟考试试题文(含解析)

，解得： 8 4
，
f
x的对称中心为
8
k 4
,
0
，
k
Z
，
当k
1时， 8
k 4
3 8
3 ，故 8
,
0
是
f
x 的一个对称中心.
故选： D .
【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求解问题，关键是熟练掌握整体对应的方式，属于 基础题. 4.下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这 5 次统计，下列说法正确的是（ ）
故选：B.
【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.
ln x 2, x 0
11.已知
f
(
x)
2x
1,x0 2
，则满足 2 f ( f (m)) 1 2 f (m)1 的实数 m 的取值范围是（
）.
A. (, 1]
B. (, 1] 0,e2
C. (,1]
造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 4，则输出的 a 的值为（ ）.
A. 6 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 7
C. 8
D. 9
按照程序框图运行程序，直到不满足 M N 时输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入 a 4 ， M 100 ， N 1，满足 M N ，循环； M 100 4 104 ， N 1 4 4 ， a 5 ，满足 M N ，循环； M 104 5 109 ， N 4 5 20 ， a 6 ，满足 M N ，循环； M 109 6 115 ， N 20 6 120 ， a 7 ，不满足 M N ，输出 a 7 .
…，如此进行“ n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长 度达到初始线段的 1000 倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取 lg 3 0.4771 ，
lg 2 0.3010 ）
A. 16 【答案】D
B. 17
C. 24
D. 25
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“
当
x
0,
2
时，
sin
x
0
，
cos
x
0
，
f
x
0
，
f
x 在
0,
2
上单调递增，③正确.
故选： D .
【点睛】本题考查函数性质与零点的相关知识，涉及到奇偶性和单调性的判断、零点的求解
等知识；关键是能够熟练掌握奇偶性和函数单调性的判断方法，同时熟悉正弦函数的相关知
识.
9.已知圆锥 SC 的高是底面半径的 3 倍，且圆锥 SC 的底面直径、体积分别与圆柱 OM 的底
n
次构造”后的折线长度为
4 3
n
a
，由此得到
4 3
n
1000
，利
n
3
用运算法则可知 2 lg 2 lg 3 ，由此计算得到结果.
4 a
【详解】记初始线段长度为 a ，则“一次构造”后的折线长度为 3 ，“二次构造”后的折线
长度为
4 3
2
a
，以此类推，“
n
次构造”后的折线长度为
2
4
1
cos
2
10
x0
1
cos
2
5
x0
1
cos
2
3 10
x0
1
cos
2
2 5
x0
8
4
cos
5
2
x0
cos
2 5
2
x0
cos
3 5
2
x0
cos
4 5
2
x0
8
因为
cos
5
2
x0
cos
4 5
2
x0
0,
cos
2 5
2
x0
cos
3 5
2x0
0
4 1 所以原式 8 2 ，
3.下列是函数
f
(x)
tan
2x
4
的对称中心的是（
）.
A.
4
,
0
【答案】D
B.
4
,
0
C. (0, 0)
D.
3 8
,
0
【解析】
【分析】
2x k k Z
令 42
解出 x 后可得函数的对称中心，对应各个选项可得结果.
2x k k Z
x k k Z
【详解】令 4 2
4 3
n
a
，
若得到的折线长度为初始线段长度的1000 倍，则
4 3
n
a
1000a
，即
4 3
n
1000
，
lg
4 3
n
n
lg
4 3
n lg
4
lg 3
n 2 lg
2
lg
3
lg1000
3
，
n
3
24.02
即 2 0.3010 0.4771
，至少需要 25 次构造.
故选： D .
【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构
【详解】由韦恩图可知所求阴影部分为 A∩ ðU B ，
A
2,
1,
0,1,
2,
3,
4
，
B
集合表示所有
2
的倍数，
A
ðU
B
1,1,
3
.
阴影部分所表示的集合的元素个数为 3 个.
故选： B .
【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到根据韦恩图确定所求集合，属于基
础题.
2.若复数
z
2 ai 1i
线垂直于弦.
8.关于函数 f (x) x sin x ， x [ , ] ，有下列三个结论：① f (x) 为偶函数；② f (x) 有 3
个零点；③
f
(x)
在
0,
2
上单调递增.其中所有正确结论的编号是（
）.
A. ①② 【答案】D
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可知①正确；令 f x 0 可求得零点，知②正确；根据导函数恒正可确定③正
R
，则实数
a
（
）.
A. 2 【答案】A
B. 2
C. 1
D. 1
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算可整理得到 z ，根据实数的定义可知虚部为零，由此可求得结果.
z
【详解】
2 ai 1i
2 ai1 i 1 i1 i
2
a
2
2
a i
2 2
a
2
2
a
iR
，
2a 0
2
，解得： a 2 .
故选： A .
【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
【详解】对于 A ， 2016 年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为
6.3 0.8 100% 687.5%
47.7 23.2 100% 105.6%
0.8
，高于 2018 年的增长率 23.2
， A错
误；
对于 B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是 21.4 ，故中位数为
xn
相对于
x0
的
,
, 3
, 2
“余弦方差”，则集合 10 5 10 5 相对于 x0 的“余弦方差”为（ ）
1 A. 4
1 B. 2
2 C. 2
3 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得 的表达式，结合余弦降幂
公式及诱导公式化简，即可求解.
21.4 万台， B 错误；
对于 C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为
4.9 14.1 21.4 30.0 44.7 23.02
5
万台， C 错误；
对于 D ，从 2017 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 52.0% ， 61.4% ， 57.5% ，
均超过 50% ， D 正确. 故选： D .
确.
f x x sin x x sin x f x f x
【详解】
，
为偶函数，①正确；
令 f x 0 ，则 x 0 或 sin x 0 ，
当 sin x 0 时， x 0 或 x 或 x ，
f
x 的零点为
x
0
或
x
或
x
，共 3 个，②正确；
f x sin x x cos x ，
【点睛】本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属 于基础题.
5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到， 任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去
掉，这样，原来的一条线段就变成了 4 条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的 方法把每条小线段重复上述步骤，得到 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，
【详解】设圆锥 SC 的底面半径为 r ，则高为 3r ，圆锥 SC 的母线长
l r2 9r2 10r ， 圆锥 SC 的侧面积为 rl 10 r2 ；
圆柱 OM 的底面半径为 2r ，高为 h ，
V
又圆锥的体积
1r2 3
3r
r3
，4 r2h
r
3
，
h
r 4
，
圆柱 OM 的侧面积为 2 2rh 4 rh r2 ，
福建省 2020 届高三数学模拟考试试题 文（含解析）
本试卷共 23 题，共 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018 年
B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 25.7 万台 C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 23.12 万台
D. 从 2017 年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过 50%
【答案】D 【解析】
【分析】
根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
圆锥 SC 与圆柱 OM 的侧面积之比为 10 r2 : r2 10 :1. 故选： A .
【点睛】本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于
基础题.
10.对于集合
x1
,
x2
,
Biblioteka Baidu
,
xn
，定义：
cos2
x1
x0
cos2
x2
n
x0
cos2
xn
x0
为集合 x1 ,
x2 ,,
D. (, 1] (0,1]
【答案】B
【解析】 【分析】
t
令
f
m，可求得
f
t 2t
1 2 ，知
f
m t
0 ，分别在 m 0 和 m 0 两种情况下
解不等式求得结果.
【详解】令 t
f
m，则 2 f
t 1 2t1
，
f
t
2t
1 2
，
f
m t
0，
当 m 0 时， ln m 2 0 ，解得： 0 m e2 ；
,
, 3
, 2
【详解】由题意可知，集合 10 5 10 5 相对于 x0 的“余弦方差”代入公式可得
cos2
10
x0
cos
2
5
x0
cos
2
3 10
x0
cos2
2 5
x0
4
1
cos
2
10
x0
1
cos
2
5
x0
1
cos
2
3 10
x0
1
cos
2
2 5
x0
2
2
2
面半径、体积相等，则圆锥 SC 与圆柱 OM 的侧面积之比为（ ）.
A. 10 :1
【答案】A 【解析】 【分析】
B. 3 :1
C. 2 :1
D. 10 : 2
设圆锥 SC 的底面半径为 r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆
锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积， 从而求得比值.
理求得半弦长，进而得到弦长.
【详解】 直线
ax
y
1
0
平分圆
C
，直线
ax
y
1
0
过圆
C
C
的圆心
1,
2 ，
a 2 1 0 ，解得： a 3 ，
圆心
C
1,
2到点
a 3
,
a 3
的距离为
112 2 12 1
，
所求弦长为 2 4 1 2 3 .
故选： C .
【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是熟练掌握圆的性质，即圆心与弦中点连
2m 1 0 当 m 0 时， 2 ，解得： m 1；
综上所述： m 的取值范围为 , 1 0, e2 .
故选： B .
【点睛】本题考查根据方程有解求解参数范围问题，关键是能够采用换元法将问题转化为函
数不等式的求解问题，进而利用分类讨论构造不等式求得结果.
故选： B . 【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.
7.已知直线
ax
y
1
0
将圆 C
:
(x
1)2
(y
2)2
4
平分，则圆 C
中以点
a 3
,
a 3
为中
点的弦的弦长为（ ）.
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线平分圆可知其过圆心，从而求得 a ，根据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定
1.已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 4, x Z} 与 B {x | x 2k, k Z} 的关系的韦恩
图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）.
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
【答案】B
【解析】
【分析】
由韦恩图确定所求集合为 A∩ ðU B ，由交集和补集定义即可求得结果.