福建省2020届高三数学模拟考试试题文(含解析)
2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)
2．若复数 满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（ ）
．
故选：D．
【点睛】 本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方 法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：C． 【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若 【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
福建省福州2020届新高三第一次月考数学文试题版含答案
福州格致中学2016～2017学年度高三年级7月月考数学（文）试卷说明：本试卷共150分，考试时间150分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1.设集合{}{}21,0,1,,M N a a =-=，则使M N N =成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12. 设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．已知命题:R p x ∀∈， sin 1x ≤，则（ ）A ．:R p x ⌝∃∈，sin 1x ≥B ．:R p x ⌝∀∈，sin 1x ≥C ．:R p x ⌝∃∈，sin 1x >D ．:R p x ⌝∀∈，sin 1x >4．已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤22x y x xy ，则y x z +=2的最大值与最小值的比值为（ ）A ．21B ．34C ．23 D ．25．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12 6．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）A ． )1(2-=x e yB ．1-=ex yC ．)1(-=x e yD ．e x y -=7．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能（ ） 8．已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则实数k ＝（ ） A ．152 B ．3 C ．0 D ． 92- 9．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（ ）（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）310．已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>-'x f x f x ， 则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A.)1,0()1,( --∞B.),1()0,1(+∞-C.)1,0()0,1( -D.),1()1,(+∞--∞ 11．已知函数1ln ()x f x x +=在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1(,1)3C ．1(,1)2D ．2(,1)312．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,120,1)(2x x x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=-x axf x f 恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 （ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()0,3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.） 13．函数x x y ln =的单调减区间是14．．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 . 15．函数()x x a x f +=ln 在1=x 处取到极值，则a 的值为 16．设12,12,211-+=+==+n n n n n a a b a a a ，*∈N n ,则数列{}n b 的通项=n b . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为0的等差数列，11=a 且931,,a a a 成等比数列.⑴求数列{}n a 的通项；⑵求数列{}na 2的前n 项和nS.18．(本小题满分12分）已知函数(1)()ln ,()k x f x x g x x-==． （1）当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． ⑴从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．⑵规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中d c b a n +++=）20.（本小题满分12分）已知等比数列{n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．⑴求数列{a n }的通项公式；⑵若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n +1＋47<0成立的n 的最小值．21．（本小题满分12分）设函数1()ln f x x m x x=--． ⑴若函数()f x 在定义域上为增函数，求实数m 的取值范围； ⑵在⑴的条件下，若函数1()ln h x x x e=--，12,[1,]x x e ∃∈使得12()()f x h x ≥成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题卡上注明所选题目的题号.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，在ABC ∆中,CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，AC AB 2=．⑴求证：AD BE 2=；⑵当6,3==EC AC 时，求AD 的长．23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)
专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
2020届九师联盟高三10月质量检测数学(文)试题(解析版)
九师联盟高三10月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合3210{}A ＝，，，，01{}1B ＝－，，，则A B ⋂＝（ ） A ．{1}0， B ．{210}，， C ．{321}，， D ．{2}1，【答案】A【解析】根据交集的定义直接运算可得答案. 【详解】因为3210{}A ＝，，，，01{}1B ＝－，，， 所以A B ⋂＝{0,1}. 故选：A 【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2．命题“x ∀∈R ，3220x x －＞”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，32002<0x x － B ．0x ∃∈R ，320020x x ≤－C ．x ∀∈R ，322<0x x －D ．x ∀∈R ，3220x x ≤－【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，否定方法是先改变量词，然后否定结论，可得结论. 【详解】命题“x ∀∈R ，3220x x －＞”的否定是“0x ∃∈R ，320020x x ≤－”．故选：B ． 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ＜时，()243f x x x ＝－，则()1f ＝（ ）A ．7B ．-7C ．1D ．-1【答案】B【详解】()()()()21141317f f =-=⨯--⨯-=-．故选：B ． 【点睛】本题考查了利用偶函数的性质求函数值，属于基础题.4．曲线()2xf x e x x -+＝在点()()00f ，处的切线方程是（ ）A ．210x y ++＝B ．210x y +-＝ C ．210x y -+＝ D ．210x y --＝ 【答案】C【解析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式可求得切线方程. 【详解】因为()21xf x e x '=-+，所以切线的斜率是()02f '=．又()01f =，所以()120y x -=-，即210x y -+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.5．已知1sin 33a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 23a π⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3±C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用三角函数诱导公式和二倍角的余弦公式逐步化简求值得解. 【详解】 因为2522cos 2cos 2cos 22sin 13333ππππααπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21213⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭79=-.故选C. 【点睛】解掌握水平和计算能力.6．已知在等差数列{}n a 中，5=5a ，3=3a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和是（ ）A ．20202019B ．20192020C ．20182019 D ．20192018【答案】B【解析】设出公差，利用等差数列的通项公式列方程组解出1a 和d ，可得通项公式n a ，再利用裂项求和可得结果. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由5353a a =⎧⎨=⎩得114523a d a d +=⎧⎨+=⎩解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．则()1111n n a a n n +==+111n n -+． 故前2019项和2019111111112232018201920192020S =-+-++-+-L 12019120202020=-=故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，考查了裂项求和，属于基础题.7．已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v的关系是（ ）A ．2AD AE =u u u v u u u vB ．12AD AE =u u u v u u u vC ．AD AE ⊥u u u v u u u vD ．AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角【答案】A【解析】先求出=6,8AD u u u r （），=3,4AE u u u r （），所以2AD AE =u u u r u u u r ，即得解.【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r (3,4)=，所以2AD AE =u u u r u u u r. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．函数sin sin 122xxy =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据偶函数的定义得函数为偶函数，其图像关于y 对称，由此排除A 选项，根据()2f π和(0)f 的值分别排除选项C 和B ，从而可得答案.【详解】 因为()()()1sin sin sin 1si ()n sin sin ()111222222x xx x xx f x -------=+=+=+()sin sin 122x xf x =+=，且函数sin sin 122x xy +=的定义域为R ，所以函数sin sin 122xxy +=是偶函数，排除A 选项；又sin 222f ππ⎛⎫+ ⎪=⎝⎭11sin 21152222π=+=，排除C 项． sin 00sin 011(0)2211222f =+=+=+=，排除B 项， 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性，考查了利用函数的性质判断函数的图像，属于基础题. 9．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量)cos (a B α=u r，，cos ()A b β-u r＝，，若αβ⊥u r u r ，则ABC V 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】根据向量垂直的坐标表示得cos cos b B a A =，再根据正弦定理边化角以及二倍角的正弦公式可得sin2sin2A B =，根据,A B 为三角形的内角可得22A B =，或22A B π+=，进一步可得答案.因αβ⊥u r u r，所以cos cos 0a A b B -=，所以cos cos b B a A =，由正弦定理可知sin cos sin cos B B A A =，所以sin2sin2A B =． 又(0)A B π∈，，，且()0A B π+∈，，所以22A B =，或22A B π+=， 所以A B =，或2A B π+=．则ABC V 是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，属于基础题.10．已知奇函数()()()cos f x x x ωϕωϕ+-+(02πϕω<，＞)对任意x ∈R都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．12C D 【答案】C【解析】利用两角差的正弦公式的逆用公式可得()2sin()6f x x πωϕ=+-，根据奇函数的性质可得6π=ϕ，将()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭化为sin 2x ωπω⎛⎫⎪⎝⎭+=sin x ω-,可得42k ω=-(k ∈Z ),故ω的最小值为2，此时()2sin2f x x =，由此可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】因为()cos 2si (n ())()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，又()f x 为奇函数，所以()02sin 06f πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以6k πϕπ-=(k ∈Z )． 又2πϕ<，所以6π=ϕ．所以()2sin f x x ω=． 又因为对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ωπ⎫⎛ωπ⎛⎫所以()212k πωπ=-(k ∈Z )，所以42k ω=-(k ∈Z )．又0>ω，故ω的最小值为2，此时()2sin2f x x =，所以2sin 63f ππ=⎫ ⎪⎝⎭=⎛ 故选：C ． 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，考查了奇函数的性质，考查了诱导公式的应用，属于中档题.11．设函数()326f x x x a -+＝，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(1)-∞-，上单调递增 B ．函数()f x 在区间(11)-，上单调递减 C ．函数()f x 的极大值是()1f -，极小值是()1f D ．存在某一个实数a 的值，使得函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】利用导数可得函数的单调性和极值，可知A ，B ，C 项都是正确的，可以排除A ，B ，C 项，假设存在实数a 的值，使得数()f x 是偶函数，推出矛盾，故D 项错误. 【详解】因为()326f x x x a =-+，所以()266f x x '=-．令()0f x '=，得1x =-或1x =；令()0f x <′，得11x -<<；令()0f x >′，得1x <-或1x >，所以函数()f x 在区间(1)-∞-，和(1)+∞，上单调递增，在区间(11)-，上单调递减．故A ，B 项都是正确的，排除A 、B 项；根据单调性易知，函数()f x 在1x =-处取得极大值，在1x =处取得极小值，所以函数()f x 的极大值是()1f -，极小值是()1f ，故C 项都是正确的，排除C 项； 假设存在实数a 的值，使得数()f x 是偶函数，则由()()f x f x -=对任意x ∈R 恒成立，得()()332626x x a x x a ---+=-+对任意x ∈R 恒成立，这显然不可能，所以不存在实数a 的值，使得数()f x 是偶函数．故D 项错误．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题.12．如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼（The London Eye ）是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮，已知其旋转半径60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）A ．95米B ．100米C ．105米D ．110米【答案】C【解析】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，根据已知条件求出()f t =60cos7515t π-+，再求(10)f 得解.【详解】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，由题意可知60A =，1356075B =-=，230T πω==，所以15πω=，即()60sin 7515f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 又因为(0)13512015f =-=， 解得sin 1ϕ=-，故32πϕ=， 所以()f t =360sin 7560cos 7515215t t πππ⎛⎫++=-+⎪⎝⎭， 所以2(10)60cos 751053f π=-⨯+=. 故选C.本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．已知向量a (2,1)k =v ，b (1,3)k =+-v ，若a b v P v，则实数k 的值为________.【答案】17-【解析】由题得2(3)(1)10k k ⨯--+⨯=，解方程即得解. 【详解】由题意，2(3)(1)10k k ⨯--+⨯=，解得17k =-. 故答案为：17- 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14．已知函数()()2213f x x f x =+'-，则()2f '=__________．【答案】0【解析】求导后代入1x =，解得()12f '=-，再代入2x =即可得到答案. 【详解】对()2213f x x f x =+'-（），求导得()()221f x x f '=+'， 令1x =，得()()12121f f '=⨯+'，解得()12f '=-． 所以()24f x x '=-．再代入2x =，即可求得()20f '=． 故答案为：0 【点睛】本题考查了求导公式，考查了求导函数值，属于基础题.15．已知函数()2log 1f x x m ++＝(m 为实数)是偶函数，记201612a f -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，()20172b f ＝，()1c f m +＝，则a b c ，，的大小关系为__________．(用“＜”连接)【答案】c a b <<()2log 1f x x =+，然后求出,,a b c 的值即可得到答案.【详解】因为函数()2log 1f x x m =++为偶函数，且由0x m +>，得x m ≠-，故函数()2log 1f x x m =++的定义域是()()m m -∞-⋃-+∞，，． 而偶函数的定义域需关于坐标原点对称，所以0m -=，解得0m =． 即()2log 1f x x =+．所以20162016211log 122a f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭=+=20162log 212017+=，()2017201722log 212018b f ==+=， ()()211log 11c f m f =+==+=011+=．所以c a b <<． 故答案为：c a b << 【点睛】本题考查了偶函数的定义域特征，考查了对数的运算性质，属于基础题. 16．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[3,1]3=，[2,9]3-=-，若函数2()[][]()f x x x x =-∈R ，则方程2()()2f x f x -=的解集是________.【答案】[1,0)[2,3)-U【解析】由2()()2f x f x -=，得()2f x =或()1f x =-.当()2f x =时，求出方程2()()2f x f x -=的解集，当()1f x =-时，无解.即得方程2()()2f x f x -=的解集.【详解】由2()()2f x f x -=，得[()2][()1]0f x f x -+=， 解得()2f x =或()1f x =-.当()2f x =时，2[][]2x x -=，解得[]2x =或[]1x =-， 当[]2x =时，解得[2,3)x ∈；当()1f x =-时，2[][]1x x -=-，无解.综上，方程2()()2f x f x -=的解集是[1,0)[2,3)-U .故答案为：[1,0)[2,3)-U【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知函数2()4cos sin cos ()f x x m x x m =+∈R ，且满足44f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求m 的值及()f x 的最小正周期；（2）若30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调区间. 【答案】（1）4m =.最小正周期T π=.（2）单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据44f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出m 的值，再利用三角恒等变换求出()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭即得()f x 的最小正周期；（2）利用复合函数的单调性原理求出()f x 的单调区间.【详解】（1）由44f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得244m ⨯+=⎝⎭， 解得4m =. 2()4cos 4sin cos f x x x x =+1cos 242sin 22x x +=⨯+ 22cos22sin 2x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期T π=.（2）由222()242k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ， 得3()88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z . 又30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，所以0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，或53,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 即()f x 的单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由3222()242k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ， 得5()88k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，又30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的最小正周期的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积．【答案】（1）3C π=（2 【解析】试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得a =，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221222a b ab ab ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=． （2）由()22sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-，得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=，得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac +-=．① 又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，② 由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =， 联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得3a =，3b =． 所以222b a c =+．所以2B π=． 所以ABC V的面积1122233S ac ==⨯=． 19．已知函数()321f x x ax bx +-+＝(a b ∈，R )在23x -＝和2x ＝处取得极值． （1）求a b ，的值．（2）求()17f x ≤的解集． 【答案】（1）24a b =-⎧⎨=⎩，．（2）(]4-∞， 【解析】（1）求导后，利用可导函数在极值点处的导数值为0可解得24a b =-⎧⎨=⎩，．，然后验证函数在23x -＝和2x ＝处取得极值即可； （2）因式分解即可求得高次不等式的解集.【详解】解：（1）()232f x x ax b '=+-，由题意，得()20320f f⎧⎛⎫'-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪'=⎩，则22223203332220a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪⨯+⨯-=⎩，， 解得24a b =-⎧⎨=⎩，． 经检验，此时()32241f x x x x =--+满足在23x =-和2x =处取得极值，符合题意． （2）由（1）得()32241f x x x x =--+， 所以()17f x ≤可化为3224160x x x ---≤，可得2(4)(24)0x x x -++≤，因为2224(1)30x x x ++=++>，所以40x -≤，即4x ≤，所以()17f x ≤的解集是(]4-∞，． 【点睛】本题考查了由可导函数的极值点求参数，考查了利用因式分解法解高次不等式，属于基础题.20．如图，在ABC ∆中，,484C CA CB π=⋅=u u uv u u u v ，点D 在BC 边上，且352,cos 5AD ADB =∠=. （Ⅰ）求,AC CD 的长；（Ⅱ）求cos BAD ∠的值.【答案】(1) 8,2AC CD ==5cos BAD ∠=【解析】试题分析：（1）由34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∠=得，进而得2sin 10CAD ∠=，然后利用正弦定理求边长；（2）由48CA CB ⋅=u u u v u u u v ，得62CB =. 52BD =余弦定理得210AB =，从而5cos BAD ∠=试题解析：（Ⅰ）在ABD ∆中，∵34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∴∠=.∴()sin CAD sin ADB ACD ∠=∠-∠ sin cos cos sin 44ADB ADB ππ=∠-∠43525210=⨯-⨯=. 在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin sin AC CD AD ADC CAD ACD==∠∠∠，即45AC ==，解得8,AC CD ==（Ⅱ）∵48CA CB ⋅=u u u v u u u v ，∴848CB ⋅=，解得CB =∴BD CB CD =-=ABC ∆中，AB ==ABD ∆中，222cos BAD +-∠==.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.21．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和【答案】（1）1232;2,212n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭． 所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122n n B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】 这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.22．已知函数()()21f x x x a x=-+． （1）证明：对任意a ∈R ，函数()f x 的导函数()f x '是偶函数；（2）若0a ＜，()()11ln 9g x f x x x =--，讨论函数()g x 的零点个数 【答案】（1）见解析（2）零点个数为0．【解析】（1）求导后，利用偶函数的定义可证结论；（2）对()g x 求导，再通分并对分子构造函数求导，利用导数求得函数()g x 的单调性，利用单调性求得函数()g x 的最小值，根据最小值大于0可得函数的零点个数.【详解】（1）证明：函数()()21f x x x a x=-+的定义域是(0)(0)-∞+∞，，U ． 则()2213f x x a x'=--，函数()f x '的定义域是(0)(0)-∞+∞，，U ， 因为对任意a ∈R ，都有()()22221133x a x a x x ---=---， 即()()f x f x '-='． 因此，对任意a ∈R ，导函数()f x '是偶函数．（2）解：()()31ln 09g x x ax x x =-->，()3212791399x ax g x x a x x --'=--=， 令()()327910h x x ax x =--≥，则()2819h x x a '=-． 因为0a <，所以()0h x '>．所以()h x 在[0)+∞，上单调递增． 因为3111279130333h a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010h =-<， 所以一定存在0103x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()300027910h x x ax =--=． 所以在0(0)x ，上，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减；在0()x +∞ ，上，()0h x >，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以()()0min g x g x =． 又()300001ln 9g x x ax x =--中，300x >，00ax ->，01ln 09x ->， 所以()00g x >，即()0min g x >，所以函数()g x 的零点个数为0．【点睛】本题考查了利用导数公式求函数的导函数，考查了用定义证明函数为偶函数，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了求函数零点的个数，属于中档题.。
2020届高三数学第一次月考试题 文(含解析)新 人教
2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。
2020届高三数学 章末综合测试题(20)计数原理、概率、随机变量及其分布
2020届高三数学章末综合测试题（20） 计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A 33＝6个，后者有C 13·A 33＝18个，共24个．2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 C T r ＋1＝C r 24(x )24－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x 12－56r ，当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，共5项，故选C.3．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元解析 C 设11时至12时销售额为x 万元，由直方图，得0.10.4＝2.5x，∴x ＝10. 4．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析 B 对于T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，则含x 4的项的系数是C 25(－1)2＝10.5．在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ( )A.13B.35 C.34D.56解析 A 由题意1－(1－p )4＝6581，p ＝13.6．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200,182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )(参考数据：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析 B P (200－18<X ≤200＋18)＝0.682 6.7．从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有( )A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种解析 B 不受限制的选法有A 37＝210种，其中全为男生的选法有A 34＝24种，故3人中至少有一名女生的选派方案有210－24＝186种．8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A.310B.25C.12D.35解析 C 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n ＝10，不相克的事件数为m ＝10－5＝5，∴m n ＝510＝12.9．已知C 7n ＝C 711＋C m11，则m ，n 的值为( )A ．m ＝7，n ＝12B ．m ＝7，n ＝11C ．m ＝6，n ＝11D ．m ＝6，n ＝12解析 D ∵C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，∴n ＝12，m ＝6.10．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为( )A.27B.29C.310D.15解析 B 设第一次抽到中奖券为事件A ，第二次抽到中奖券记为事件B ，则两次都 抽到中奖券为事件AB .则P (A )＝310；P (AB )＝3×210×9＝115；P (B |A )＝P ABP A ＝115310＝29.11．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析 C 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个，其选法有C 12·C 27＝42种；另一类是甲乙都去，其选法有C 22·C 17＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．12．选择薪水高的职业是人之常情，假如张伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资资料，统计如下：甲公司 最大值 2 500 最小值 800 极差 1 700 众数 1 200 中位数 1 200 平均数 1 320 标准差433.128 2乙公司 最大值 20 000 最小值 700 极差 19 300 众数1 000根据以上的统计信息，若张伟想找一个工资比较稳定的工作，而李强想找一个有挑战性的工作，则他俩分别选择的公司是( )A ．甲、乙B ．乙、甲C ．都选择甲D ．都选择乙解析 A 由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，张伟想找一个工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一个有挑战性的工作，会选择乙公司．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)． 解析 易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13，C 23，C 33，即 所求系数是3＋3＋1＝7. 【答案】 714．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析 数0向上的概率为36＝12，数1向上的概率为26＝13，数2向上的概率为16，设向上的数字之积为ξ，ξ＝0,1,2,4，P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34； P (ξ＝1)＝13×13＝19； P (ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；P (ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.【答案】 4915．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝____，b ＝____.解析 由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，①∵EX ＝0， ∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0，② ∵DX ＝1，∴(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23，③ 联立①②③解得a ＝512，b ＝14.【答案】512 1416．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是________．解析 试验结果共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.【答案】512三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(1)在(1＋x )n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．解析 (1)由已知，得C 2n ＝C 5n ⇒n ＝7. (2)由已知，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128,2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T 4＋1＝C 48(x x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理，有10＋12＝22(种)取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理，有10×12＝120(种)取法．19．(12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ>0)＝710. (1)求文娱队的人数；(2)写出ξ的概率分布并计算Eξ.解析 设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队共有(7－x )人，那么只会一项的人数是(7－2x )人．(1)∵P (ξ>0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，∴P (ξ＝0)＝310，即C 27－2x C 27－x ＝310，∴7－2x6－2x 7－x6－x ＝310，∴x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，ξ的概率分布为：ξ 0 1 2 P31035110∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×10＝5.20．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产缺损零件数y (件)11985(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解析 (1)根据表中的数据画出散点图，如图：(2)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x i y i1761269640x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729， a ^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.∴y ∧＝0.729x －0.863.(3)令0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望Eξ.解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14， 从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.(2)显然，随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34， 故P (ξ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＝2764.ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3 4 P125636427128276481256∴Eξ＝0×1256＋1×64＋2×128＋3×64＋4×256＝3.22．(12分)在2020年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．(1)求这名大学生先去买火车票的概率；(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的期望值．解析 (1)设先去买火车票的概率为P (A )，先去买汽车票的概率为P (B )， 则由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝3P B ，PA ＋PB ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝0.75，PB ＝0.25.即先去买火车票的概率为0.75.(2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6＝0.45， ∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：ξ 120 280 P0.450.55Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.。
全国卷Ⅱ2020届高三高考压轴卷数学试题(文)(含解析)
【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}． 故选：A． 2. 答案 A
解析
，则 ，则复数 的虚部是 z
=
1− i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
−
3i 5
z =−1+3i 55
z
3
.
5
故选：A. 3. 答案 D
命题 ，使 的否定是： 均有 C. “∃x∈ R x2 + x −1 < 0 ”
“ ∀x ∈ R x2 + x −1 > 0 ”
D. 命题“若 x = y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
D. − 3 i 5
sin (α −π ) + cos(π −α )
角4. α 的终边在直线 y = 2x 上，则 sin (π +α ) − cos(π −α ) = （ ）
线方程．
23. （本小题 10 分）
设函数 f (x) = x +1 − x 的最大值为 m.
（1）求 m 的值；
（2）若正实数 ，a b 满足 a + b = m，求 a2 + b2 的最小值. b+1 a +1
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2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析
参考答案
1. 答案 A 解析 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
（）
A.
B.
C.
D.
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11.双曲线
C：
2024届福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题(含解析)
莆田一中2024届高三模拟卷试卷数学试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．1．已知i 是虚数单位，，，则（ ）．A ．5BC ．2D ．42．已知各项均为正数的等比数列，若，则（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．93．在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知函数，若，则（ ）．A ．B ．C ．D ．5．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．A ．B ．C ．4D ．56．生活中很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如畚箕，其结构为如图所示的五面体ADEBCF ，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若面ABFE ，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（ ）．,a b ∈R ()2i i i a b +=-i a b +={}n a 59a =3436log log a a +=ABC △EB =3144AB AC-1344AB AC-3144AB AC+1344AB AC+()22xf x x =+()3f a <()1,a ∈+∞()0,1a ∈(),1a ∈-∞()1,1a ∈-24y x =3y x =+AD ⊥222EF AB AE BF ===D ABF -1VA ．B ．C ．D ．7．已知，，则（ ）．A．B ．C ．D ．8．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C 的左右两支分别交于M ，N 两点．若且，则双曲线的离心率为（ ）．ABCD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．已知一组正实数样本数据，满足，则（ ）．A ．样本数据的第80百分位数为B ．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C ．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D ．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍10．如图，在正方体中，P 为棱AB 上的动点，平面，Q 为垂足，则（）．A ．B ．平面截正方体所得的截面可能为三角形18V 15V 14V 13V π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 22tan sin sin βαββ=+2αβ+=π3π22π3π()2222:1,0x y C a b a b-=>1F 2F 1F 114F M MN = 121cos 4F NF ∠=()1,2,3,,10i x i =L 12310x x x x ≤≤≤≤L 8x 1111ABCD A B C D -DQ ⊥1D PC 1QD QC=1D PCC ．当P 位于AB 中点时三棱锥的外接球半径最大D ．线段DQ 的长度随线段AP 的长度增大而增大11．已知，分别是函数和的零点，则（ ）．A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，若，则实数__________．13．从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种．14．已知函数，如图，A ，B ，C 是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC 交曲线于点M ，若直线AM ，BM 的斜率分别为，3，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线；（2）讨论的单调性．16．（15分）已知正项数列的前n 项和为，且，．（1）求；（2）在数列的每相邻两项、之间依次插入、、…、，得到数列：、、、、、、、、、、…，求的前20项和．17．（15分）如图所示的空间几何体是以AD 为轴的圆柱与以ABCD 为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD 为半圆柱的母线，点G 为弧CD 的中点．1D DCP -1x 2x ()1e xf x x =-()1ln g x x x=-1102x <<12ln ln 0x x +=12e ln 1xx =1213562x x <+<{}1,3,21A m =--{}23,B m=B A ⊆m =()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭()y f x =()y f x =37ω=()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦12a =()y f x =()()0,0f ()f x {}n a n S 11a =2218n n S S n +-=n S {}n a k a 1k a +1a 2a k a {}n b 1a 1a 2a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 4a {}n b 20T 14（1）求证：平面平面BCG ；（2）若，且平面BDF 与平面ABGE 到直线BG 的距离．18．（17分）已知椭圆的离心率为，A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且．若P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．19．（17分）设离散型随机变量X ，Y 的取值分别为，．定义X 关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A 的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A 的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．设第n 天上午培养皿中A 的个体数量为．规定，．（1）求，；（2）证明；（3）已知，求，并结合（2）说明其实际含义．附：对于随机变量X ，．BDF ⊥4AB =()2222:10x y M a b a b+=>>121F 1ABF △2QN QC k k -QN k QC k {}12,,,p x x x L {}()12,,,,q y y y p q *∈N L j Y y =()1j q ≤≤()()1pj iiii E X Y y x P X x Y y =====∑()()()1qjjj E X E X Y y P Y y ====∑n X ()110E X =()10D X =()24P X =()434E X X =()10n E X =()()221n n E X X t t t t *-==+∈N ()nD X ()()()22D XE XE X -⎡⎤⎣⎦=参考答案一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．1．【答案】B【解析】由题设有，而，故，，故，故选：B ．2．【答案】C【解析】由题意得．故选：C法2．（特值法），则．3．【答案】A【解析】在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，，故选A ．4．【答案】D【解析】因为的定义域为R ，且，所以为偶函数，又当时，单调递增，且，所以由可得，即，解得．故选D ．法2．，，所以符合题意排除AB ，又，不符合题意，排除C ，选D ．5．【答案】A【解析】转化为焦点到直线的距离6．【答案】C【解析】（割补法）因为ABCD 为平行四边形，所以，2i 1i a b +=+,a b ∈R 1a =2b =i a b +==()23436346353log log log log log 814a a a a a +====9n a =3log 2n a =ABC △()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-()22xf x x =+()()()2222xxf x x x f x --=+-=+=()f x 0x ≥()22xf x x =+()13f =()3f a <()()31fa f <=1a <11a -<<0a =()03f <0a =()13f -=()1,0F 3y x =+d ==ABD BCD S S =△△所以．（等底同高）记梯形ABFE 的高为h ，因为，所以，所以，（同高）所以该五面体的体积．故选C ．7．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，，所以，所以，所以B ．法2．（特值法）令，则，选B ．令，则，选B ．8．【答案】D【解析】由双曲线定义可知，，1F BCD F ABD V V V --==2EF AB =112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅=△△122D AEF D ABF V V V --==111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=2sin 22tan sin sin βαββ=+22sin 2sin cos 2cos cos sin sin 1sin αβββαβββ==++sin sin sin cos cos ααβαβ+=()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ=-=+()πcos cos 2ααβ⎛⎫-=+⎪⎝⎭π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,22α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()0,παβ+∈π2ααβ-=+π22αβ+=π5πcos 2cos 36αβ⎛⎫++== ⎪⎝⎭π6β=π2tan tan 6ααα==⇒=⇒=π4α=2sin 22sin 2sin cos 1sin 0ββββββ=+⇒=+⇒=122NF NF a -=212MF MF a -=设，则有，，，由余弦定理可得，整理可得：，故，，则有，整理可得：，．故选D ．【备注】可设，则，计算更简便．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．【答案】BC【解析】对于A ，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A 错误；对于B ，由题意存在这样一种可能，若，则极差为，此时样本数据的极差不变，故B 正确；对于C ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故C 正确；对于D ，，故错误．故选BC ．10．【答案】ABD【解析】选项A ，连接，CQ ，则，，因为，所以，选项A 正确；选项B ，当P 位于点A 时，截面为三角形，选项B 正确；1MF m =22MF a m =+15NF m =252NF m a =-()()()()2221245221cos 24524m m a m a F NF m m a +--+∠==⨯⨯-23m a =1103NF a =243NF a =()222121042133cos 1044233a a c F NF a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯2283a c =2228e 3c a ==11MF =4MN =892x x +12310x x x x =≤≤≤L 101102x x x x -=-224S S '=1D Q 1DQ D Q ⊥DQ CQ ⊥1DD DC =1QD QC =选项C ，平面DCP ，记的外接圆半径为r ，则外接球半径，由正弦定理得，当P 位于AB 中点时，，选项C 错误；选项D ，为定值，过P 作于点M ，过M 作，则，可知随AP 的增大而变小，所以选项D 正确．CD 选项可直观感知，再论证，寻找变化中的不变量．【辨析】（1）存在点P 使得；（2）存在点Q ，使得平面；（3）点Q 在圆上运动？【练习】如图，在直三棱柱中，，，E 、F 分别为，的中点，过点A 、E 、F 作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（）．A ．三棱柱外接球的表面积为B ．C ．若交于M ，则D ．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为5∶4【详解】如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A 错误；延长AF 与交于点P ，连接PE 交于M ，连接FM ，则平面AEMF 即为截面．因为，F 是中点，所以是PC的中点，1DD ⊥DCP△R =2sin CDr DPC=∠45DPC DAC ∠>∠=︒11113D D CPD DCP DCP V V S DD --==⋅△PM CD ⊥1MN CD ⊥1PN CD ⊥1D CP S QA QB ⊥PQ ∥11ADD A 111ABC A B C -16AC BC CC ===AC BC ⊥1BB 11A C α111ABC A B C -108π1BC α∥α11BC EM =α111ABC A B C -1111ABCD A B C D -111ABC A B C-2R=R =24π108πR =1CC 11B C α1FC AC ∥1C由与相似，得，得，而E 是的中点，所以ME 与不平行且相交，所以与截面不平行，故B 项错误；因为，又，所以在中，，故C 项正确；延长PE 交BC 于点Q ，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D 项错误．故选AC ．11．【答案】BCD【解析】思路1．（同构）令，得，即，，令，得，即，即，，记函数，，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以，故A 错误；又，，所以，，所以，故B 正确；所以，故C 正确；又，所以，结合，得，因为，所以，且，因为在区间上单调递减，所以，即，故D 正确．1MPC △1MEB △11112PC MC EB MB ==11113B M BC =1BB 1BC 1BC α12B M =13B E =1Rt B EM △13EM ==α111ABC A B C -1111111681234626378323232P ACQ P FMC A QBE V V V -----=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=166678302⨯⨯⨯-=7813305=()0f x =111e xx =11e 1xx =10x >()0g x =221ln x x =22ln 1x x =2ln 2ln e 1xx =21x >()e xh x x =0x >()()1e 0xh x x '=+>()e xh x x =()0,+∞()111e 1x h x x ==112h ⎛⎫=<⎪⎝⎭112x >()111e 1xh x x ==()2ln 22ln ln e1x h x x ==12ln x x =12e x x =()()112121ln ln ln ln e ln10xx x x x x +====1222e ln ln 1xx x x ==()23122e 133h h x ⎛⎫=>=⎪⎝⎭123x <112x >11223x <<121x x =12111x x x x +=+11223x <<1y x x =+12,23⎛⎫⎪⎝⎭1123112322x x +<+<+1213562x x <+<【思路2】问题转化为函数图像，分别与交点问题，由与互为反函数，图像关于直线对称；图像本身关于对称，如图点，，则，依题意得．选项B ．所以选项C ．可以发现选项BC 等价，要么全对要么全错，而A 错，则BC 必然正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．12．【答案】1【解析】由题知，，若，则或，当时，方程无解；当时，，解得：，此时，，，符合题意，所以．故答案为：1．13．【答案】54【解析】理解关键词“若干人”的含义①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有e xy =ln y x =1y x=e xy =ln y x =y x =1y x=y x =()11,ex P x ()22,ln Q x x 1122ln e x x x x =⎧⎨=⎩11112222111e ln x x x x x x x x ⎧=⎪⇒=⇒=⎨⎪=⎩()121212ln ln 0ln 01x x x x x x +=⇔=⇔=1121121222e ln 1e 1ln 1ln 1x xx x x x x x x x ⎧=⎪=⇔=⇔=⎨⎪=⎩{}1,3,21A m =--{}23,B m =B A ⊆21m =-221m m =-21m =-221m m =-2210m m -+=1m ={}1,3,1A =-{}3,1B =1m =13C 3=24C 6=种结果，所以不同的安排方案共有种，②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生，有种结果，所以不同的安排方案共有种，综合得不同的安排方案共有种．14．【答案】【解析】关键在于逆用“五点法”，，，，则四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）当时，函数，则，切点坐标为，，则曲线在点处的切线斜率为，所求切线方程为，即．（2），函数定义域为R ，，①，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．②，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．③，恒成立，在上单调递增．22A 2=36236⨯⨯=23C 3=2422C 3A =22A 2=33218⨯⨯=361854+=π()0,sin B ϕ,0C ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭2,sin M ϕϕω-⎛⎫-⎪⎝⎭π,0A ϕω-⎛⎫⎪⎝⎭sin 3π71ππsin π763AM BMk k ϕϕϕωϕωϕϕϕω⎧==⎪-⎪⎪⇒=⇒=⇒=⎨+⎪==⎪⎪⎩12a =()()2e 21xf x x x =-+()01f =()0,1()()2e 1x f x x '=-()y f x =()0,1()01f '=-()10y x -=--10x y +-=()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦()()()()2e 122e 21x xf x x a x a x a x '⎡⎤=+--=-+⎣⎦12a >-()0f x '>1x <-2x a >()0f x '<12x a -<<()f x (),1-∞-()2,a +∞()1,2a -12a <-()0f x '>2x a <1x >-()0f x '<21a x <<-()f x (),2a -∞()1,-+∞()2,1a -12a =-()0f x '≥()f x (),-∞+∞综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增．16．【详解】（1）解：对任意的，因为，当时，，因为，所以，故．当时，适合，所以，．（2）解：因为，，所以当时，，所以，，所以，数列的前20项分别为：1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2，所以的前20项是由6个1与14个2组成． 所以．【备注】6分处容易漏写，累加法，累乘法都需补充说明的情况．17．【解析】【思路1】（1）过G 作交弧AB 上一点，连结GB ，则G 为弧AB 的中点，则且，所以四边形HBCG 为平行四边形，所以．由题意可知，，为等腰直角三角形，则．因为G 为弧AB 的中点，则为等腰直角三角形，则，12a >-()f x (),1-∞-()2,a +∞()1,2a -12a <-()f x (),2a -∞()1,-+∞()2,1a -12a =-()f x (),-∞+∞n *∈N 2218n n S S n +-=2n ≥()()2222221211n n n S S S S S S -=-++-+L ()()81811812311n n =-++⨯+=++++-+⎡⎤⎣⎦L L ()()2181212n n n -=⨯+=-0n a >0n S >21n S n =-1n =111S a ==21n S n =-21n S n =-n *∈N 21n S n =-n *∈N 2n ≥()()1212112n n n a S S n n -=-=----=⎡⎤⎣⎦1,12,2n n a n =⎧=⎨≥⎩{}n b {}n b 206114234T =⨯+⨯=1n =1n =GH BC ∥GH BC ∥GH BC =HB CG ∥FB BC ⊥Rt ABF △π4ABF ∠=Rt ABH △π4ABH ∠=所以，则．因为，则．又因为BC 、面BCG ，，所以平面BCG ，因为面BDF ，所以平面平面BCG ．思路2．（建系简答）以A 为原点，AF ，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，设，，，，，则，，，，设平面ABD 和平面BCG 的一个法向量为，，由，可取，由，可取，所以，所以，所以平面平面BCG ．（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，，，设平面BDF 的一个法向量为，则，即，令，．设平面ABG 的一个法向量为，则，即，令，，π2FBH ∠=FB BH ⊥HB GC ∥FB CG ⊥CG ⊂BC CG C = BF ⊥BF ⊂BDF ⊥()2,0,0F a ()0,2,0B a ()0,0,D b ()0,2,C a b (),,G a a b -()2,2,0BF a a =- ()0,2,BD a b =- ()0,0,BC b = (),,0CG a a =--()111,,m x y z = ()222,,n x y z =111122020m BF ax ay m BD ay bz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ (),,2m b b a = 22200n BC bz n CG ax ay ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ()1,1,0n =- 0m n b b ⋅=-+= m n ⊥ABD ⊥AD a =()0,0,0A ()4,0,0F ()0,4,0B ()0,0,D a ()2,2,G a -()0,4,BD a =- ()4,4,0BF =- ()0,4,0AB = ()2,2,AG a =- ()2,2,BG a =--()1111,,n x y z =1100n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111140440y az x y -+=⎧⎨-=⎩11y =141,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2222,,n x y z =2200n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222240220y x y az =⎧⎨-++=⎩21x =221,0,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得，所以，，，则，，，所以点E 到直线BG．18．【解析】【详解】（1）由题意得又，解得，∴椭圆M的标准方程为．（2）【分析】目标涉及直线QN ，QC 的斜率，考虑直接引进直线QC 的斜率为参数进行运算更为直接．【思路1．设线法】（设x 型直线）直线，依题意可设直线（且，（注：P不为椭圆顶点）121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====4a =()2,2,4G -()0,4,0B ()4,0,4E ()2,2,4BG =-- ()4,4,4BE =-d =()1212c a a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩222c a b =-21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=):2AB y x =+:2PC x my =+0m ≠m ≠由，则，所以，由，，所以，由B ，P ，N 三点共线得，所以，所以．【思路2．设线法】（设y 型直线）设直线QC 的斜率为k ，则直线QC 的方程为：，又，，直线AB 的方程为，由，解得，所以，)22Q x my y y x =+⎧⎪⇒=⎨=+⎪⎩2Q Q x my =+=Q ()22222212341203434120P xmy m m y my y m x y =+⎧-⇒++=⇒=⎨++-=⎩2268234P P P m x my xm -+=+⇒=+2226812,3434m m P m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭BP BN kk ==n x⇒=====QNk ==12QN QC k k m -==()2y k x =-(B ()2,0A -)2y x =+())22y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩Q由，得，由，则，所以，则，∴，依题意B 、P 不重合，所以，即，所以，∴直线BP 的方程为，令，解得，∴，∴，∴为定值．【思路3．（设点法+椭圆参数方程）】设点，则，，，由B ，P ，N 三点共线得，()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()2222341616120k x k x k +-+-=()()42225643416120k kk∆=-+->221612234P k x k -=+228634Pk x k -=+()2228612223434P P k ky k x k k k ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2860k -≠k ≠BPk ==y x =+0y =0=x =N ⎫⎪⎪⎭12QNk k ===2QN QC k k -=()2cos P θθ0θ≠π2±πBP BN k k =，，，联立，得，所以所以【思路4．（设点法）+点满足方程】设点，则（且）由B ，P ，N 三点共线得直线，，2cos1sin N x θθ=⇒=-):2AB l y x =+):2CD l y x =-))22y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2sin cos 1sin cos 1Q x θθθθ+-=-+sin cos 122sin cos 1sin cos 12cos 2sin cos 11sin Q QNQ N y k x x θθθθθθθθθθ+-⎫+⎪-+===⎪+--⎪--+-⎝⎭==()1sin sin 221sin cos 2cos 1QN QC QN PC k k k k θθθθθ⎫--=-=-⎪⎪---⎭()cos sin 11sin cos 2cos 1θθθθθ⎫=+-⎪⎪---⎭()22cos 2cos sin 1sin cos 122cos cos sin cos 1sin θθθθθθθθθθ⎫--++⎪=+⎪---+⎝⎭112⎫=-=⎪⎭()00,P x y 2200143x y +=00x ≠02x ≠±BP BN k k =N x =⇒=):2AB l y x =+()00:22CPy l y x x =--联立，得，，所以，【备注】当P →B 时，Q 与B 重合，，此时，，所以【其他解法】有待诸君补充19．【解析】（1）事件发生当且仅当在第1天内A 个体有2个分裂，8个死亡．所以．写法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k 个个体分裂，则的取值为，所以的取值集合为，，所以．写法2．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K 个个体分裂，则，，所以，．【注】引进基础随机变量，寻找目标随机变量与基础随机变量的一次函数关系，类题：4月11日周考T18)()00222y x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩Q x =Q y =0Q QN Q Ny k x x -==-0022QN QCy k k x -=-=-==N →+∞0QN k →QC k =2QN QC k k -→24X =()1022101454C 21024P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭34X =4X ()442k k k +--=4X {}0,2,4,6,8()423441124C C 216k k P X k X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭()012344444443C C C C C 40246841616161616E X X ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=34X =14,2K B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()1422E K =⨯=42X K =()()4342224E X X E K ===⨯=【背景】对一个个体来说，一次生理反应要么死亡，要么变成2个，即个数从1变成0和2是等可能的，记一个A 个体一次生理反应后的个体数为X ，则，2，，，所以，即1个个体一次反应后的期望依然是1．这是一种变异型的二项分布，可以理解为：一个质点从数轴上1出发，往右走1格（试验成功）即为2，往左走1格（试验失败）即为0，只不过与一个质点的一维随机连续游走不同的是，这里是多个独立的质点同时进行试验，且每轮试验每个个体都是从数轴1开始运动．然后再利用公式可得n 个个体试验的期望．（2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，有k 个个体分裂，则的取值为．在事件发生的条件下，令随机变量Z 表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且．因此．设的取值集合为，则由全期望公式可知．这表明是常数列，所以．思路2．先计算，则可取0，2，4，…，，且，所以．0X =()102P X ==()122P X ==()1102122E X =⨯+⨯=()()()1212E X X E X E X +=+1n X t -=1n -n X ()2t k t k k +--=1n X t -=1n -1,2Z B t ⎛⎫~ ⎪⎝⎭2n X Z =()()11022tn n nn k E X X t k P Xk X t --===⋅==∑()()012222tk k P Z k E Z t t ==⋅===⨯⨯=∑1n X -{}12,,,r x x x L ()()()()()111111r rn n n i n i i n i n i i E X E X X x P X x x P X x E X ----========∑∑(){}n E X ()()110n E X E X ==()1n n E X X t -=n X 2t ()12C 2ti n t P X i ⎛⎫== ⎪⎝⎭()100112C 2C 22t ttt i i n n tt i i E X X t i i -==⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()000111C C C 2222tttt ttit i i tt t t i i i i t i t t t -===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-==⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑【备注】这里没有利用二项分布的期望公式，相当于重新推导了p 取下的二项分布期望公式．（3）由（2）可知．这表明是公差为10的等差数列．又因为，所以，从而．可以看出，随着n 的增大而增大，而为定值．这表明药物的介入会使得微生物A 的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．【备注说明】第二行．12()()()22111rnnn i n i i E XE XX x P X x --====∑()()()221111r i i n i n n i x x P X x E X X ---==+==+∑()2110n E X -=+(){}2nE X ()()()22111100E X D X E X =+=⎡⎤⎣⎦()()2100101n E X n =+-()()()()22101n n n D X E X E X n =-=-⎡⎤⎣⎦()n D X ()n E X ()()()2211rnii n i i E Xxx P X x -==+=∑()()21111rri n i i n i i i x P X x x P X x --====+=∑∑()()211n n E X E X --=+。
2020学年崇明区高三一模数学试卷(含解析)
高三数学 共4页 第1页崇明区2020学年第一次高考模拟考试试卷（含解析）数学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A B = ．2．不等式102x x -<+的解集是 ． 3．已知复数z 满足(z 2)i 1-=（i 是虚数单位），则z = ． 4．设函数1()1f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f -= ． 5．点(0,0)到直线2x y +=的距离是 ． 6．计算：123lim(2)n nn n →∞+++⋅⋅⋅+=+ ．7．若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，则实数a = ．8．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．（结果用数值表示）9．若23(2)n a b +的二项展开式中有一项为412ma b ，则m = ．10．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为1，则双曲线C 的焦距的最小值为 ． 11．已知函数()=y f x ，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x k +⋅=(k 为常数)，且当[0,2]x ∈时，2()1f x x =+，则(2021)f = ．12．已知点D 为圆22:4O x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1,0)，且1AM AN ⋅=，则OA OD ⋅的范围是 ．高三数学 共4页 第2页二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．11a b> B ．a b ->C ．22a b >D ．33a b <14．正方体上的点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线PQ 与直线RS 异面的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m a a +∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于下列四个命题： （1）若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f f x =是奇函数； （2）若函数()y f x =是周期函数，则函数()()y f f x =是周期函数； （3）若函数()y f x =是单调减函数，则函数()()y f f x =是单调减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点；其中正确的命题共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，直线AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==．（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.SRP QQ PRS Q PS RRPS Q高三数学 共4页 第3页18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()sin 23cos 2f x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足13()f A -=，6C π=， 2c =，求ABC △的面积．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示．当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.8log ()80y x a =++图像的一部分．当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）yx 12 16 4080 84 O· · ·· ·· · ·20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）已知椭圆22:14xyΓ+=的左右顶点分别为A、B，P为直线4x=上的动点，直线P A与椭圆Γ的另一交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一交点为D．（1）若点C的坐标为(0,1)，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为(4,1)，求以BD为直径的圆的方程；（3）求证：直线CD过定点．高三数学共4页第4页高三数学 共4页 第5页21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列． （1）若数列1,2,,8x 是P 数列，求实数x 的取值范围； （2）设数列12310,,,,a a a a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T ，2T ． 求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列．高三数学 共4页 第6页崇明区2021届第一次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准一、填空题1. {3}；2.(2,1)-；3.2i +；4.1-； ； 6.12； 7.2-； 8.48； 9.60； 10. 11. 2； 12.[-1，2).二、选择题13.D; 14.B; 15.C;16.B三、解答题17.解：（1）因为AB ⊥平面BCD ，所以ADB ∠就是直线AD 与平面BCD 所成的角，所以30ADB ∠=︒...............3分 所以BD =所以13A BCD BCD V S AB -=⋅=...........................7分 （2）取线段AB 的中点N，联结CN 、MN ，则//MN AD所以CMN ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角...........................4分 在CMN 中，2MN =，CN=CM =所以222cos 214CM MN CN CMN CM MN +-∠==⋅...........................7分18.解：（1）1()sin 2sin(2)23f x x x π==-分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分 （2）由()f A =，得：1sin(2)=32A π-因为(0,)2A π∈，所以22(,)333A πππ-∈-，所以2=36A ππ-，4A π=...........................3分所以22224cos 242b c a b A bc b +--===2b =...........................6分所以1sin 12ABC S bc A ==...........................8分19.解：（1）当[0,16]x ∈时，设2()(12)84(0)f x b x b =-+<由(16)80f =，得：2(1612)84=80b -+，故14b =-...........................2分当[16,40]x ∈时，由(16)80f =，得：0.8log (16)8080a ++=，故15a =-.................4分高三数学 共4页 第7页所以20.81(12)84,[0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩...........................6分（2）当[0,16]x ∈时，由21(12)84684x --+≤，得：[0,4]x ∈...........................3分当[16,40]x ∈时，由0.8log (15)8068x -+≤，得：12150.829.6x -≥+≈ 所以[30,40]x ∈...........................3分因此，在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有14分钟..............8分. 20. 解：（1）由题意，(2,0)A -，直线AP 的方程是：12xy =-...........................3分 由124xy x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得：点P 的坐标是(4,3)...........................4分 （2）由题意，(2,0)B ，直线PB 的方程是：22x y -=，代入2214x y +=，得：220x x -=，解得：0x =，或2x =，所以点D 坐标为（0，-1），线段BD 中点为1(1,)2-，||BD =分所以以BD 为直径的圆的方程是2215(1)()24x y -++=...........................5分（3）设0(4,)P y ，11(,)C x y ，22D(,)x y ，则直线AP 的方程是：0(2)6y x y +=代入2214x y +=，得：2222000(9)44360y x y x y +++-=所以20120218=9y x y -++，012069y y y =+ 同理，可得：2022022=1y x y -+，022021y y y -=+..........................4分 所以直线CD 的方程为：2220000002222220000002622222182()()()()191191y y y y y y x y y y y y y y ----+---=--++++++ 令0y =，得：1x =所以直线CD 过定点（1，0）..........................7分21.解：（1）由题意，得：12812x x>+⎧⎨>++⎩，所以35x <<..........................4分(2)由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+， 由数列12310,,,,a a a a P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >..........................3分高三数学 共4页 第8页21311022n n d S a n d n +⎛⎫-=-++< ⎪⎝⎭对满足1,2,3,9n =的任意n 都成立，则239911022d d ⎛⎫⋅-++< ⎪⎝⎭，解得827d <， 故d 的取值范围为80,27⎛⎫⎪⎝⎭..........................6分 (3)若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，因为0a >，所以1q >，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q ->⋅-，即12nq q ⎛⎫-< ⎪⎝⎭对一切正整数n 都成立，由10nq ⎛⎫> ⎪⎝⎭，1lim 0nn q →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，故20q -≤，可得2q ≥..........................3分若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <； 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T ；若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{}n b '，{}n c '是将{}n b ，{}n c 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为1T '，2T '，不妨设{}n b '，{}n c '中最大的项在{}n b '中，设为)2(m a m ≥， 则21211m m T a a a a T -≤+++<≤''，故21T T '<'，故总有12T T ≠与12T T =矛盾，故假设错误，原命题正确...........................8分。
福建省南平市第一中学2025届高三冲刺模拟数学试卷含解析
福建省南平市第一中学2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．5323．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．434．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( ) A．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛- ⎝⎭或1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ 5．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-B ．1-C ．3-D ．26．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．19．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．25211． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252D ．127212．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省龙岩高中2025届高三最后一模数学试题含解析
福建省龙岩高中2025届高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞2．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5BC ．13D3．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35D ．45-4．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 5．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．26．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） AB ．3C ．1D ．57．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）.A ．92B ．9C ．5D ．528．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．210．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届福建省漳浦达志中学高三4月第二次模拟考试数学试题
2024届福建省漳浦达志中学高三4月第二次模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=2．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-3．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或55．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=6．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．8．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．132B ．5C ．25D ．1310．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+11．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -12．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届福建省泉州市高三一模(文科)数学试题
2020年高考(文科)数学一模试卷一､选择题(共10小题).1.已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|(2)(1)0N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （ ） A. {}1,0,1-B. {}0,1,2C. {}1,0,1,2-D. {}2,1,0,1,2--2.若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A. 0B. 3C. －1D. 43.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A. 5B. 3C. －12D. －134.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 45-B.45C. 35-D.355.执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 76.已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A. 2214036x y +=B. 2212016x y +=C. 221106x y +=D. 2215x y +=7.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b a c << B. c b a << C. b c a << D. c a b <<8.ABC ∆中，BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A. B.C. 6D. 29.若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A. []1,1-B. []2,2e e --C. []2e,1-D. []2ln 22,1-10.若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A.B.C. 2D. 2二､多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分，只选出部分正确选项得3分，选出全部正确选项得5分.11.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m ）的折线图，则下列说法正确的是（ ）A. 这10天中PM2.5日均值的众数为33B. 这10天中PM2.5日均值的中位数是32C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D. 这10天中PM2.5日均值前4天方差大于后4天的方差12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. 1AC B E ⊥B. 1//B C 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为13D. 异面直线1B C 与BD 所成的角为45o三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分､将答案填在答题卡的相应位置13.已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，则a b +=r r _________.14.若函数2,0()2,0x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则使得不等式(())0f f a >成立的a 的取值范围为_________. 15.函数()3sin 2f x x x =-[]()0,2x π∈的最大值为_________，所有零点之和为_________. 16.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.四､解答题：共70分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤､第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答､17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知2n S n =，等比数列{}n b 满足11b a =，35b a =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T .18.唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：的（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率； （2）已知检索关键字的选取规则为：①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字； ②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的2K 的观测值越大，排名就越靠前； 设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的2K 观测值分别为1k ，2k ，3k .已知10.516k ≈，231.962k ≈，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.的19.如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ； （2）求点D 到平面PAB 的距离.20.已知F 是抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点，点A 在C 上，A 到y 轴的距离比||AF 小1.（1）求C 的方程；（2）设直线AF 与C 交于另一点B ，M 为AB 的中点，点D 在x 轴上，||||DA DB =.若||DM =，求直线AF 的斜率.21.已知函数2()sin 2xf x e x ax x =+--.（1）当0a =时，判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并加以证明； （2）若0x ≥，()1f x ≥，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.23.记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.。
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【点睛】本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属 于基础题.
5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到， 任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去
掉，这样，原来的一条线段就变成了 4 条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的 方法把每条小线段重复上述步骤，得到 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，
21.4 万台， B 错误；
对于 C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为
4.9 14.1 21.4 30.0 44.7 23.02
5
万台， C 错误；
对于 D ，从 2017 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 52.0% ， 61.4% ， 57.5% ，
均超过 50% ， D 正确. 故选： D .
线垂直于弦.
8.关于函数 f (x) x sin x ， x [ , ] ，有下列三个结论：① f (x) 为偶函数；② f (x) 有 3
个零点；③
f
(x)
在
0,
2
上单调递增.其中所有正确结论的编号是（
）.
A. ①② 【答案】D
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可知①正确；令 f x 0 可求得零点，知②正确；根据导函数恒正可确定③正
当
x
0,
2
时，
sin
x
0
，
cos
x
0
，
f
x
0
，
f
x 在
0,
2
上单调递增，③正确.
故选： D .
【点睛】本题考查函数性质与零点的相关知识，涉及到奇偶性和单调性的判断、零点的求解
等知识；关键是能够熟练掌握奇偶性和函数单调性的判断方法，同时熟悉正弦函数的相关知
识.
9.已知圆锥 SC 的高是底面半径的 3 倍，且圆锥 SC 的底面直径、体积分别与圆柱 OM 的底
故选：B.
【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.
ln x 2, x 0
11.已知
f
(
x)
2x
1,x0 2
，则满足 2 f ( f (m)) 1 2 f (m)1 的实数 m 的取值范围是（
）.
A. (, 1]
B. (, 1] 0,e2
C. (,1]
…，如此进行“ n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长 度达到初始线段的 1000 倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取 lg 3 0.4771 ，
lg 2 0.3010 ）
A. 16 【答案】D
B. 17
C. 24
D. 25
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“
故选： B . 【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.
7.已知直线
ax
y
1
0
将圆 C
:
(x
1)2
(y
2)2
4
平分，则圆 C
中以点
a 3
,
a 3
为中
点的弦的弦长为（ ）.
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线平分圆可知其过圆心，从而求得 a ，根据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定
理求得半弦长，进而得到弦长.
【详解】 直线
ax
y
1
0
平分圆
C
，直线
ax
y
1
0
过圆
C
C
的圆心
1,
2 ，
a 2 1 0 ，解得： a 3 ，
圆心
C
1,
2到点
a 3
,
a 3
的距离为
112 2 12 1
，
所求弦长为 2 4 1 2 3 .
故选： C .
【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是熟练掌握圆的性质，即圆心与弦中点连
造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 4，则输出的 a 的值为（ ）.
A. 6 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 7
C. 8
D. 9
按照程序框图运行程序，直到不满足 M N 时输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入 a 4 ， M 100 ， N 1，满足 M N ，循环； M 100 4 104 ， N 1 4 4 ， a 5 ，满足 M N ，循环； M 104 5 109 ， N 4 5 20 ， a 6 ，满足 M N ，循环； M 109 6 115 ， N 20 6 120 ， a 7 ，不满足 M N ，输出 a 7 .
圆锥 SC 与圆柱 OM 的侧面积之比为 10 r2 : r2 10 :1. 故选： A .
【点睛】本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于
基础题.
10.对于集合
x1
,
x2
,
,
xn
，定义：
cos2
x1
x0
cos2
x2
n
x0
cos2
xn
x0
为集合 x1 ,
x2 ,,
面半径、体积相等，则圆锥 SC 与圆柱 OM 的侧面积之比为（ ）.
A. 10 :1
【答案】A 【解析】 【分析】
B. 3 :1
C. 2 :1
D. 10 : 2
设圆锥 SC 的底面半径为 r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆
锥体积与圆柱体积相等可构造程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积， 从而求得比值.
2m 1 0 当 m 0 时， 2 ，解得： m 1；
综上所述： m 的取值范围为 , 1 0, e2 .
故选： B .
【点睛】本题考查根据方程有解求解参数范围问题，关键是能够采用换元法将问题转化为函
数不等式的求解问题，进而利用分类讨论构造不等式求得结果.
3.下列是函数
f
(x)
tan
2x
4
的对称中心的是（
）.
A.
4
,
0
【答案】D
B.
4
,
0
C. (0, 0)
D.
3 8
,
0
【解析】
【分析】
2x k k Z
令 42
解出 x 后可得函数的对称中心，对应各个选项可得结果.
2x k k Z
x k k Z
【详解】令 4 2
，解得： 8 4
，
f
x的对称中心为
8
k 4
,
0
，
k
Z
，
当k
1时， 8
k 4
3 8
3 ，故 8
,
0
是
f
x 的一个对称中心.
故选： D .
【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求解问题，关键是熟练掌握整体对应的方式，属于 基础题. 4.下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这 5 次统计，下列说法正确的是（ ）
【详解】由韦恩图可知所求阴影部分为 A∩ ðU B ，
A
2,
1,
0,1,
2,
3,
4
，
B
集合表示所有
2
的倍数，
A
ðU
B
1,1,
3
.
阴影部分所表示的集合的元素个数为 3 个.
故选： B .
【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到根据韦恩图确定所求集合，属于基
础题.
2.若复数
z
2 ai 1i
确.
f x x sin x x sin x f x f x
【详解】
，
为偶函数，①正确；
令 f x 0 ，则 x 0 或 sin x 0 ，
当 sin x 0 时， x 0 或 x 或 x ，
f
x 的零点为
x
0
或
x
或
x
，共 3 个，②正确；
f x sin x x cos x ，
4 3
n
a
，
若得到的折线长度为初始线段长度的1000 倍，则
4 3
n
a
1000a
，即
4 3
n
1000
，
lg
4 3
n
n
lg
4 3
n lg
4
lg 3
n 2 lg
2
lg
3
lg1000
3
，
n
3
24.02
即 2 0.3010 0.4771
，至少需要 25 次构造.
故选： D .
【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构
【详解】设圆锥 SC 的底面半径为 r ，则高为 3r ，圆锥 SC 的母线长
l r2 9r2 10r ， 圆锥 SC 的侧面积为 rl 10 r2 ；
圆柱 OM 的底面半径为 2r ，高为 h ，
V
又圆锥的体积
1r2 3
3r
r3
，4 r2h
r
3
，
h
r 4
，
圆柱 OM 的侧面积为 2 2rh 4 rh r2 ，