上海市闵行区2014届高三三模冲刺理科数学试卷(带解析)

上海市闵行区2014届高三三模冲刺理科数学试卷（带解析）1．下列函数中，与函数3y x =的值域相同的函数为（ ）（A ）112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭ （B ）ln(1)y x =+ （C ）1x y x +=（D ）1y x x =+【答案】B【解析】试题分析：函数3y x =的值域为R ，而1102x y +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1111,x y x x +==+≠1[2,)(,2]y x x =+∈+∞-∞-只有ln(1)y x R =+∈，所以选B. 考点：函数值域2．角α终边上有一点)2,1(-，则下列各点中在角α2的终边上的点是 （ ） (A)(3,4) (B)(3,4)-- (C)(4,3) (D) (4,3)-- 【答案】B 【解析】试题分析：因为角α终边上有一点)2,1(-，所以sin αα==因此2243sin 22sin cos ,cos2cos sin ,55αααααα==-=-=-即角α2的终边上的点在第三象限，所以选C.考点：三角函数定义3．一无穷等比数列{}n a 各项的和为32，第二项为13，则该数列的公比为 （ ） （A ）13 （B ）23 （C ）13-（D ）13或23【答案】D 【解析】试题分析：设公比为,||1,0.q q q <≠由题意得1131,,123a a q q ==-消1a 得29920q q -+=解得11,13q a ==或121,.32q a == 考点：无穷等比数列各项的和4．下图揭示了一个由区间()1,0到实数集R 上的对应过程：区间()1,0内的任意实数m 与数轴上的线段AB （不包括端点）上的点M 一一对应（图一），将线段AB 围成一个圆，使两端B A ,恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)（图三）.图三中直线AM 与x 轴交于点()0,n N ，由此得到一个函数)(m f n =，则下列命题中正确的序号是 （ ）21)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ； )()2(x f 是偶函数；)()3(x f 在其定义域上是增函数；)()4(x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,21对称.（A ）（1）（3）（4） （B ）（1）（2）（3） （C ）（1）（2）（4） （D ）（1）（2）（3）（4）. 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得：1()2f 对应点M 为1(0,1)π-，此时直线AM 与x 轴交于坐标原点，所以021)1(=⎪⎭⎫⎝⎛f 成立，由于函数()f x 定义区间为()1,0，所以)()2(x f 是偶函数不成立，由题意得：直线AM 与x 轴的交点从左到右，因此)()3(x f 在其定义域上是增函数成立，根据直线AM 与x 轴的交点关于原点对称，而由021)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知)()4(x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,21对称成立.考点：函数对应关系5．集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A B 等于 ． 【答案】()1,2-【解析】试题分析：因为2{|20}(0,2),A x x x =-<={|1}(1,1),B x x =<=-所以结合数轴可得：(1,2).B A =-考点：集合运算6．函数=y 的定义域是 ． 【答案】(],0-∞【解析】试题分析：根据偶次根式下被开方数非负得：0.210,0.21,0x xx -≥≥≤，因此函数=y 的定义域是(],0-∞.考点：函数定义域7．已知函数11()12x f x =，则1(1)f -= ． 【答案】1【解析】试题分析：因为11()2112x xf x ==-，所以12()log (1),f x x -=+因此12(1)log 2 1.f -== 考点：反函数8．若复数11()12i b b i ++∈-R 的实部与虚部相等，则b 的值为 ．【答案】2 【解析】试题分析：因为111122i b i b i ++=+-，所以由题意得：11, 2.2b b ==考点：复数概念9．若对任意正实数a ，不等式21<+x a 恒成立，则实数x 的最小值为 ．【答案】1- 【解析】试题分析：因为对任意正实数a ，不等式21<+x a 恒成立，所以2min 1,(0,)x a a -<∈+∞，因此2min 10,11, 1.x x x -≤-≤≤=- 考点：不等式恒成立 10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323S S S 、、成等差数列，则数列{}n a 的公比为 ．【答案】13【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为,q 则由12323S S S 、、成等差数列得：22131111113,4()3()S S S a a q a a a q a q =++=+++4，因为10,a ≠所以23,q q =而0,q ≠所以1.3q = 考点：等比数列11．已知平面上四点O A B C 、、、，若1233=+OB OA OC，则=．【答案】32【解析】试题分析：因为1233=+OB OA OC，所以12121122,,33333333OB OB OA OC OB OA OC OB +=+-=-12||2,||2||,.333||AB AB BC AB BC AC ===考点：向量表示12．如图，在底面边长为a 的正方形的四棱锥P ABCD -中，已知PA AC ⊥平面，且PA a =，则直线PB 与平面PCD 所成的角大小为 ．【答案】30 【解析】试题分析：将四棱锥P ABCD -补成一个正四面体PEFM ABCD -,则有,B N C D ⊥平面P 如图：因此直线PB 与平面PCD 所成的角大小为.BPN ∠因为2,BP BN =所以直角三角形RT PBN ∆中有30.BPN ∠=考点：线面角13．在极坐标系中,曲线4cos()3πρθ=-与直线cos 2ρθ=的两个交点之间的距离为 ． 【答案】32PA B CD【解析】试题分析：因为4cos()3πρθ=-表示圆222,x y x +=+直线2x =，所以两个交点纵坐标为因此两个交点之间的距离为32.考点：极坐标化为直角坐标 14．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是 ．【答案】49【解析】试题分析：4名学生选择，每名学生各有3种不同选择，共有4381=种基本事件，若这3个专业都有学生选择，则必有一个专业有两个学生同时选，另两个专业各有一个学生选，即有122342,C C A 因此所求概率为1223424.819C C A =考点：排列组合15．函数)12sin(2)(-+=x x x f 图像的对称中心是 ．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛121，【解析】试题分析：因为()2sin(21)21sin(21)1f x x x x x =+-=-+-+，而函数()sin g x x x =+为奇函数，对称中心是(0,0)，因此函数)12sin(2)(-+=x x x f 图像的对称中心是⎪⎭⎫ ⎝⎛121，考点：奇函数性质，图像变换16．设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212,PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为【答案】43y x=± 【解析】试题分析：设1PF 中点为M ，因为212,PF F F =所以2MF 为2F 到直线1PF 的距离，即2112,2,4,MF a MF b PF b ===由122PF PF a -=得：422,2b c a b a c -==+，因此::3:4:5a b c =，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即43y x =±.考点：双曲线定义，双曲线渐近线17．设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当yx ≥时，有)()sin 1(sin )()2(y f x f y x f αα-+=+，则使等式11()44f =成立的α的集合为 ．【答案】|2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ 【解析】试题分析：令1,0x y ==得：1()(1)sin (1sin )(0)sin 2f f f ααα=+-=，令1,02x y ==得：211()()sin (1sin )(0)sin 42f f f ααα=+-=，由11()44f =得：21sin 4α=，又角α的终边在第一象限，所以1sin ,2α=因而α的集合为|2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 考点：抽象函数赋值法18．直角坐标平面上，有2013个非零向量1232013a a a a 、、、、，且1(1,2,,2012)k k a a k +⊥=，各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若1232013a a a a l =++++（常数），则1232013a a aa ++++的最小值为 ．【答案】2【解析】试题分析：因为1(1,2,,2012)k k a a k +⊥=，所以13520a a a a 、、、、共线，2462012a a a a 、、、、共线. 又各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，所以2212320132221232013132013242012()()2()22a a a a l a a a a a a a a a a =+≥=++++++++++++++即12320132,a a a a≥++++最小值为.考点：向量平行与垂直关系19．已知复数13cos sin i i αα-++、（0,2iπα<<是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A B 、，点O 是坐标原点. （1）若OA OB ⊥,求tan α的值；（2）若B 点的横坐标为45,求AOB S ∆.【答案】（1）1tan 3α=，（2）3.2【解析】试题分析：（1）根据复数与平面上点一一对应关系有：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα，从而(1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα=，由O AO ⊥得0OA OB ⋅= ∴cos 3sin 0αα-+=，1tan3α=，（2）由⑴OA == 记AOx β∠=，(,)2πβπ∈∴sin β==，cos β==，43sin sin()55AOB βα∠=-=+=∴11sin 122AOB S AO BO AOB ∆=∠=32= ⑴解法1:由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα，∵1OB =4cos 5α=，得3s i n 5α==(1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα= 2分OA OB ⊥，得0OA OB ⋅= ∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α=4分解法2:由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα，3OA k =-， tan OB k α= 2分∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- 3tan 1α-=-， 得1tan 3α=4分(2)解法1:由⑴OA == 记AOx β∠=，(,)2πβπ∈∴sin β==，cos β==（每式1分） 6分 ∵1OB =4cos 5α=，得3sin 5α==（列式计算各1分） 8分43sin sin()55AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分）10分∴11sin 122AOB S AO BO AOB ∆=∠=32=（列式计算各1分）12分 解法2:由题意得：AO 的直线方程为30x y += 6分则3sin 5α= 即43(,)55B （列式计算各1分） 8分则点B 到直线AO的距离为d ==（列式计算各1分） 10分又OA ==113222AOB S AO d ∆=⨯== 12分解法3:3sin 5α==即43(,)55B （每式1分） 6分即：(1,3)OA =-，43(,)55OB = 7分OA ==1OB =，4313cos 10OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠=== 9分∴sin AOB ∠==10分则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯=（列式计算各1分）12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B 点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分） 考点：向量垂直坐标表示，两角差正弦公式20．某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元. （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.【答案】（1）rc r c y πππ6)412(2-+=，25≥r （2）52r =.【解析】试题分析：（1）求实际问题函数解析式，关键正确理解题意，列出正确的等量关系，明确自变量取值范围. 储油罐的建造费用等于圆柱形部分建造费用与半球形部分建造费用之和，rc r c y πππ6)412(2-+=由2l ≥得：25≥r ，（2）所研究函数rc r c y πππ6)412(2-+=是一个关于r 的一元二次函数，求其最值关键在于研究对称轴3124c r c =+与定义区间5[,)2+∞之间位置关系，43)331(434123<+-=+c c c5[,)2y ∴+∞在上是增函数，所以当52r =时，储油罐的建造费用最小.[解] ：(1）3422⋅+=r rlc y ππ 3分 rc r c y πππ6)412(2-+=（25≥r ） 6分(2)c c c c r c y 4129])412(3)[412(22+-+-+=πππ 8分 43)331(434123<+-=+c c c5[,)2y ∴+∞在上是增函数 12分所以当52r =时，储油罐的建造费用最小. 14分考点：函数解析式，二次函数最值21．已知1()1((0,),,2)n n f x x x x x n n -=+++-∈+∞∈≥N .(1)当2n =,(]0,1x ∈时,若不等式()f x kx ≤恒成立,求k 的范围；(2)试判断函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内零点的个数，并说明理由.【答案】（1）1k ≥，（2）存在唯一的零点.【解析】试题分析：（1）不等式恒成立问题，通常利用变量分离法转化为求最值问题. 由2()1f x kx x x kx ≤⇔+-≤, 则11k x x ≥-+,不等式()f x kx ≤恒成立就转化为max 1(1)k x x ≥-+，又1()1gx x x =-+在(]0,1上是增函数, max ()(1)1g x g ==，所以1k ≥.（2）判断函数()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内零点的个数，关键分析其在1,12⎛⎫⎪⎝⎭图像走势，即单调性变化情况. 因为1()1((0,),,2)n n f x x x x x n n -=+++-∈+∞∈≥N 是增函数, 所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至多存在一个的零点.又(1)10f n =->，111(1())1111122()()()11()012222212n n n n f --=+++-=-=-<-由零点存在性定理有()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个的零点.两者综合得： ()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点.[解] (1)由2()1f x kx x x kx ≤⇔+-≤, 则11k x x ≥-+, 2分又1()1g x x x =-+在(]0,1上是增函数, max ()(1)1g x g == 4分所以1k ≥. 6分(2)1()1((0,),,2)n n f x x x x x n n -=+++-∈+∞∈≥N 是增函数,且(1)10f n =->，8分111(1())1111122()()()11()012222212n n n n f --=+++-=-=-<- 12分所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. 14分考点：不等式恒成立，函数零点22．已知椭圆C 过点A ，两焦点为1(F 、2F ，O 是坐标原点，不经过原点的直线l y kx m =+：与该椭圆交于两个不同点P 、Q ，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列.(1)求椭圆C 的方程； (2)求直线l 的斜率k ； (3)求OPQ ∆面积的范围.【答案】（1）2214x y +=，（2）1,2k =±（3）(0,1). 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，通常利用待定系数法求解，即只需两个独立条件解出a,b即可. 由c =221314a b +=，解得21b =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）涉及斜率问题，通常转化为对应坐标的运算. 由22,440.y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得:222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，212122284(1),1414km m x x x x k k -+=-=++，2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，所以2222121212121212()()0y y k x x km x x m k km x x m x x x x +++⋅==⇒++=22228014k m m k ⇒-+=+，故21142k k =⇒=±（3）解几中面积问题，通常转化为点到直线距离.121122OPQ S d PQ x ∆===-12==OPQ S ∆的取值范围为(0,1).[解] (1)由题意得c =可设椭圆方程为222213x y b b +=+ 2分则2213134b b +=+，解得21b =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. 4分(2)22,440.y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得:222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 6分 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+> 212122284(1),1414km m x x x x k k -+=-=++故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 8分因为直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列所以2222121212121212()()0y y k x x km x x m k km x x m x x x x +++⋅==⇒++=22228014k m m k ⇒-+=+,由于0,m ≠故21142k k =⇒=± 10分 (3)因为直线OQ 的斜率存在且不为0,及2002,m ∆>⇒<<且1m ≠. 12分 设d 为点O 到直线l 的距离,则121122OPQ S d PQ x ∆===-12==分则OPQ S ∆ <22212m m +-=,所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1). 16分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 23．如果数列{}n a 同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k, 对任意*212,n n n n a a a k ++∈=+N 都成立，则称这样的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问： （1）各项均不为0的等差数列{}n b 是否为“类等比数列”？说明理由.（2）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n ∈N 都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．（3）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22k a b =+(a ，b 为常数)，求数列{}n a 的前n 项之和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为n T ，求43()k T k *-∈N .【答案】（1）是，（2）ab k b a -+=22λ，（3）2()(1).a b k a +-+【解析】试题分析：（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，根据“定义”判断. 因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数），由212n n n b b b k ++=+得[][]2(1)()(2)d n b dn b d n b k++=++++得2k d =为常数，所以各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列”，（2）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手2212213113222a ka a a a ab ka a a a a ab λλ-+++-+=⇒===，再从充分性上证明：因为,221k a a a n n n +=++所以211,n n n a a a k -+=+所以,112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a 即.221121nn n n n n a a a a a a+=+++-+得nn n n n n a a a a a a 1112+-+++=+所以,2311112a a a a a a a a a n n n n n n +==+=++-++而⋅-+=-+=+ab k b a b a k b a a a a 222231（3）由（2）易得20n n a a ++=，{}{}n n a a 212,-∴均为公比为1-的等比数列，1212(1),(1),n n n a n a b n --⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，0,4,43(),42,41nn k a n k S k a b n k b n k *=⎧⎪=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪=-⎩N ，434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+[解] （1）因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b为常数）1分由212n n n b b b k ++=+得[][]2(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++ 2分 得2k d =为常数，所以各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列” 4分（2）存在常数,22ab kb a -+=λ使12++=+n n na a a λ （只给出结论给2分） （或从必要条件入手2212213113222a ka a a a ab ka a a a a ab λλ-+++-+=⇒===）证明如下：因为,221k a a a n n n +=++所以211,2,*n n n a a a k n n -+=+≥∈N 所以,112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a 即.221121n n n n n n a a a a a a +=+++-+ 6分 由于0,n a ≠此等式两边同除以,1+n n a a得nn n n n n a a a a a a 1112+-+++=+ 8分所以,2311112a a a a a a a a a n n n n n n +==+=++-++即当*n ∈N 都有12312+++=+n n n a a a a a a因为,,,22121k a a a b a a a n n n +===++所以a kb a -=23所以⋅-+=-+=+ab k b a b a kb a a a a 222231所以对任意*n ∈N 都有,12++=+n n n a a a λ此时ab kb a -+=22λ 10分（3）00)(313112221313122=+⇒=+⇒++=+=a a a a a a a a a k a a a 11分022311112=+⇒=+==+=+++-++n n n n n n n n a a a a a a a a a a a{}{}n n a a 212,-∴均为公比为1-的等比数列 12分1212(1),(1),n n na n ab n --⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 14分0,4,43(),42,41n n k a n k S k a b n k b n k *=⎧⎪=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪=-⎩N 16分434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+18分考点：新数列，数列通项，数列求和。