11 三角函数

c 2 +θ
1 2 r θ 2 c 2θ = = 2θ 2 + 8θ + 8
8
c2 c2 c2 ≤ = 8 16 2θ + + 8 2 2θ ⋅ 8 + 8
θ
θ
θ 3．若角 θ 的终边与函数 y=-2|x|的图象重合，求 θ 的各三角函数值。 [解] ∵角 θ 的终边与函数 y=2|x|的图象重合 ∴ θ 为第三、四象限的角 若 θ 为第三象限的角，取终边上一点 P（-1，-2），|OP|=r= 5 ，则 θ 的各三角函数值分
5
∴sin α =
2 5
=
2 5 5
cos α =
−1 5
=−
1 5 5
sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ×
2 1 4 5 × (− 5) = − 5 5 5 2 3 1 cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = ( − 5)2 − ( 5)2 = − 5 5 5 2π 2π 2π + cos 2α sin sin( 2α + ) = sin 2α cos 3 3 3 4 1 3 3 4−3 3 = − × (− ) + (− ) × = 5 2 5 2 10
若 θ 在第四象限，可取点 P（1，-2），易得 θ 的各三角函数值：
sin θ = −
2 5 5 ，cos θ = ，tan θ = −2 5 5 5 1 cot θ = − ，sec θ = 5，csc θ = − 2 2
4．已知角 α 为第一象限的角。确定角
α
2
所在的象限，并画出其变化区别。
o o o
360 − α ，360 ·k+ α 等同角的三角函数之间的关系，其内容相似，极易混淆。
o o
10 k·3600+α, -α, 1800±α, 3600-α的三角函数值等于α的同名三角函数值前面加上一 个把α看作锐角时原函数在相应象限的符号； 20 900±α， 2700±α的三角函数值等于α的相应余函数的值，前面加上一个把α看作 锐角时，原函数在相应象限的符号；
。
[解]（1）注意到分式的分子与分母均关于 sin α 、cos α 的一次齐次式，将分子、分母同
2 sin α − 3 cos α 2 tan α − 3 2 × 2 − 3 = = = −1 4 sin α − 9 cos α 4 tan α − 9 4 × 2 − 9 ∴ 应填 − 1
o o
180
π
) o ,1o =
π
180
rad
4．弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α (rad ) ，半径为 r，则 l=r α 扇形的面积为
S=
1 1 lr = r 2α 2 2
同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识要点 1．同角三角函数的三个基本关系式
sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α = tan α cos α tan α ⋅ cot α = 1
综合记之 :
kπ ±α 2
(k ∈ Z )
其记忆规律是：奇变偶不变、符号看象限。 利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：
任意角的三角函数
正角的三角函数 锐角三角函数
0 o ~360 o 的角的三角函数
1．函数 y= A．{-2，4} [解]
sin x cos x tan x cot x 的值域是（ ） + + + sin x cos x tan x cot x
说明：新教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式，而老教材除此之外，还有如下五 个关系式：
1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α cos α cot α = sin α cos α ⋅ sec α = 1 sin a ⋅ csc α = 1
可见，新教材在三角部分降低了难度，但是，若能掌握这补充的五个关系式，对做题肯定 是有帮助的，这五个关系式，用定义很容易给予证明，在此略。 2．诱导公式 诱导公式是指角 α 的三角函数与诸如— α ，180 ± α ，90 ± α ，270 ± α ，
α
2
＜(2m+1) π +
π
4
(m ∈ Z)，此
α
2
是第三象限的角；
（2）当 k 为偶数时，设 k=2m（m ∈ Z），则 2m π ＜
α
2
＜2m π +
π
4
(m ∈ Z ) ，此时角
α
2
是第一象限的角。
综上，角
α
2
的第一象限或第三象限的角。
其变化区域如图 16—2 中阴影部分，这样的区域称为一、三象限的前半区域。 5．解答下列问题： （1）若 θ 在第四象限，试判断 sin(cos θ )·cos(sin θ )的符号； （2）若 tan(cos θ )·cot(sin θ )＞0，试指出 θ 所在象限。 [解]显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论，其中还应注意 cos θ 、sin θ 本身的 取值限制。 （1）∵ θ 在第四象限 ∴0＜cos θ ＜1＜
那么
同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1．化简：
(
1 + sin α 1 − sin α sec α + 1 sec α − 1 − − )⋅( ) 1 − sin α 1 + sin α sec α − 1 sec α + 1
[分析]“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数 的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标。 [解] 原式 = (
三角函数的概念 知识要点 1．角的有关概念： （1）正角、负角和零角、终边相同的角、象限角等概念. （2）角的度量：包括角的角度制与弧度制及换算关系. 2．任意角的三角函数： 包括三角函数的定义，三角函数线的意义，任意角的三角函数值在各象限中的符号、 特殊角的三角函数值，同角的三角函数的基本关系式及诱导公式.进一步的，应掌握两角 和、差、倍、半的公式.详细内容如下： （1）设 P（x,y）是角 α 终边上任一点，且|PO|=r(r＞0)，则有
＜0 ＜0
0＜cos θ ＜1， 0＜sin θ ＜1；
即 θ 在第一或第三象限。 6．学科内综合已知角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 x 轴的正半轴上，终边 经过点 P（-1，2），求 sin（2 α +
2π ）的值。 3
（上海高考题）
2 2
[解] ∵P（-1，2）是角 α 终边上一点，由此求得 r=|OP|= (−1) + 2 =
2014-2015 学年
第一学期 第十一周
[课程内容]
三角函数概念、同角三角函数关系、诱导公式
1、准备知识要点： 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。 2、本阶段知识要点： 理解三角函数概念，熟练使用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行相关计算。
B．{-2，0，4} C．{-2，0，2，4} D．{-4，-2，0，2，4}
当 x 在第一象限时，各种三角函数值均为正值： y=
sin x cos x tan x cot x + + + =4 sin x cos x tan x cot x sin x − cos x tan x − cot x + + + = −2 sin x cos x − tan x cot x
[解]首先写出角 α 的一般形式：2k π ＜ α ＜ 2kπ +
π
2
(k ∈ Z ) ，两边同时除以 2，得 k π ＜
α
2
＜ kπ +
π
4
(k ∈ Z ) ，运用分类讨论的数学思想，讨论 k 为奇数和 k 为偶数两种情况。
（1）当 k 奇数时，设 k=2m+1(m ∈ Z)，则(2m+1) π ＜ 时角
π
2
，−
π
2
＜-1＜sin θ ＜0
∴sin(cos θ )＞0，cos(sin θ )＞0，∴sin(cos θ )·cos(sin θ )＞0 （2）即 ⎨ ∴
⎧tan(cos θ ) ＞0 ⎩cot(sin θ )
＞0
或⎨ 或
⎧tan(cos θ ) ⎩cot(sin θ )
-1＜cos θ ＜0 -1＜sin θ ＜0
⎧4 =⎨ ⎩− 4 (α在第一、 三象限时) (α在第二、 四象限时)
2．已知 f( α ) =
sin(π − a ) cos(2π − α ) tan(−α + cot(− a − π ) sin( −π − α )
3π ) 2
（1）化简 f( α )； （2）若 α 是第三象限的角，且 cos(α − （3）若 α = − 1860 ，求 f( α )的值。
1 =2 sin α 4．已知 tan α =2，则 =−
（1）
2 sin α − 3 cos α = 。 4 sin α − 9 cos α 2 sin 2 α − 3 cos 2 α = 。 （2） 4 sin 2 α − 9 cos 2 α （3）4sin2 α -3sin α cos α -5cos2 α =
(1 + sin α ) 2 (1 − sin α ) 2 (sec α + 1) 2 (sec α − 1) 2 )( − − ) cos 2 α cos 2 α tan 2 α tan 2 α 1 + sin α 1 − sin α | sec α + 1 | | sec α − 1 | )( =( − − ) | cos α | | cos α | | tan α | | tan α | 2 sin α 1 + cos α 1 − cos α = ( − ) | cos α | | cos α | | sin α | 2 sin α 2 cos α = ⋅ | cos α | | sin α |