天津市静海县第四中学数学1.3三角函数的诱导公式一学案新必修4

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高中数学 1.3三角函数的诱导公式教案3 新人教A版必修4

三角函数的诱导公式一、素质教育目标(一)知识教学点1．理解诱导公式的推导方法．2．掌握并运用诱导公式求三角函数值、化简或证明三角函数式．(二)能力训练点1．理解掌握诱导公式及应用，提高三角恒等变形能力．2．树立化归思想方法，将任意角的三角函数值问题转化为0°～90°间的角的三角函数值问题，培养学生化归转化能力．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：理解并掌握诱导公式．2．教学难点：运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．3．教学疑点：运用诱导公式时符号的确定．三、课时安排本课题安排1课时．四、教与学过程设计(一)复习诱导公式一师：我们已经学习过诱导公式一，即终边相同的角的同一三角函数的值相等，这组公式是如何表达的？它们的作用是什么？生：诱导公式一可这样表达：sin(2kπ+α)=sinα； cosα(2kπ+α)=cosα；tg(2kπ+α)=tgα； ctg(2kπ+α)=ctgα．利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(0～2π)间角的三角函数值的问题．师：学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求90°～360°间的角的三角函数值转化为求0°～90°间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．设0°≤α≤90°，则90°～180°间的角，可以写成180°-α；180°～270°间的角，可以写成180°+α；270°～360°间的角，可以写成360°-α．下面我们依次讨论180°+α，-α，180-α，360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．为了使讨论更具有一般性，这里假定α为任意角．(布置学生阅读P．152—153初步了解诱导公式二、公式三的推导过程．)(二)诱导公式二、三师：首先我们先介绍单位圆概念，如图2-18示，以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．推导之前，请一位同学回答分别关于x轴，y轴，原点对称的两个点的坐标间的关系．生：设点P(x、y)，它关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是P1(x，-y)，P2(-x，-y)，P3(-x，-y)．师：请同学们作出一个任意角α的终边，再作出180°+α角的终边，它们与单位圆的交点有何特征？为什么？生：如图2-18，任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)．由于角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交点P′，是与点P关于点O对称的。

必修四1.3诱导公式第1课时学案

§1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）一、学习目标1.理解诱导公式的推导方法.2.记住并熟练应用公式进行求值、化简、计算. 重点难点:熟练应用公式进行求值、化简、计算二、知识回顾（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！） 1.三角函数的正弦线、余弦线和正切线是怎样定义的?2.诱导公式一: ________)2sin(=⋅+παk ________)2cos(=⋅+παk________)2tan(=⋅+παk 其中Z k ∈三、新课导学自主学习课本23-25页内容，尝试解决下列问题. 给定任意一个角α，回答下列问题问题1：角απ+的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？探究过程：结合三角函数的定义，设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()y x P ,1，由于角απ+的终边与角α的终边对称，角απ+的终边与单位圆的两交点21,P P 关于原点O 对称，因此点2P 的坐标是（），由三角函数的定义， =αsin ， αcos = ， αtan = 得=+)sin(απ ，)cos(απ+= ，)tan(απ+=从而得公式二：________)tan(________)cos(________)sin(=+=+=+απαπαπ问题2：（1）απ-的终边与角α的终边关于对称；（2）－α的终边与角α的终边关于对称；它们的三角函数之间有什么关系？你会推导它们吗？结论：公式三：________)tan(________)cos(________)sin(=-=-=-ααα公式四： ________)tan(________)cos(________)sin(=-=-=-απαπαπ问题3：你能用简洁的语言概括一下公式一至公式四吗？他们的作用是什么？总结：)(2Z k k ∈∙+πα，α-，απ±的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把α看成时原函数值的符号.练习：1.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上。

数学必修4教学案：1.3.1三角函数的诱导公式(一)(教、学案)

1.3.1三角函数的诱导公式（一）一、教学目标：1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；三、学法与教学用具：（1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；（2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．四、教学过程：创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π的角，如何进一步求出它的三角函数值？我们对)2,0[π围的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2[ππ的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。

【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos)3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的【讨论】：利用诱导公式（一），将任意围的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三）特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四）所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)导学案新人教A版必修4(2021年整理)

2018版高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（一）导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（一）导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

3 三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2。

理解诱导公式的推导过程。

3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α）.知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos（π＋α)，sin(π＋α))与点P（cos α,sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系?答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二sinπ＋α＝－sin α，cosπ＋α＝－cos α，tanπ＋α＝tan α.知识点二诱导公式三思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos（－α)，sin(－α））与点P(cos α，sin α）有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称,它们的三角函数关系如下:诱导公式三sin－α＝－sin α，cos－α＝cos α，tan－α＝－tan α。

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(1)学案(含解析)新人教A版必修4(202

高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）学案（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）学案（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

3 三角函数的诱导公式(一)班级：__________姓名：__________设计人：__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语攻克科学堡垒，就像打仗一样，总会有人牺牲，有人受伤,我要为科学而献身。

——罗蒙诺索夫学习目标1．能借助于单位圆中的三角函数线推导诱导公式.2．能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

学习重点1．诱导公式一到四的推导2．熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题学习难点诱导公式的灵活运用自主学习诱导公式预习评价1．计算：sin 600°=A。

B。

C。

D.2．计算的值为A. B. C。

D.3．sin 210°＝_________。

4．已知sin=，则sin（π－）=____________.5．若tan（π+)=，则tan＝_______________。

♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究观察，π－,π+，－的终边思考下列问题.s根据上图，完成下面的填空。

①π+与的终边关于_________对称；②π－与的终边关于__________对称；③－与的终边关于____________对称.(2)根据任意角三角函数的定义,并结合探究1的结论,探究下面的问题。

高中数学必修四导学案1.3三角函数的诱导公式

高中数学必修四导学案1.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的诱导公式（小结）【学习目标】1.理解正弦、余弦和正切的诱导公式；2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；3.会解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.预习课本P23---26页，理解记忆下列公式【新知自学】知识梳理：公式一：公式二：公式三：公式四：记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；公式五：公式六：记忆方法：“正变余不变，符号看象限”；注意：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；感悟：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：(1)______________；(2)________________；(3)_______________对点练习：1.化简的结果是（）A．B．C．D．2.sin（－）=_______________3．若，则=________题型一：利用诱导公式求值例1.计算:.变式1.求值：题型二：利用诱导公式化简例2.化简：（）．变式2.化简：题型三：利用诱导公式证明三角恒等式例3.在△ABC中，求证:.变式3.在△ABC中，求证:【课堂小结】知识----方法---思想【当堂练习】1．求下列三角函数值：（1）；（2）；2.已知tanα=m，则3.若α是第三象限角，则=_________．4.化简【课时作业】1．设，且为第二象限角，则的值为（）A．B．－C．D．－2．化简：得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)3．下列三角函数值：①；②；③；④；⑤（其中）．其中函数值与的值相等的是（）A．①②B．①③④C．②③⑤D．①③⑤4.设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=sinCC．tan（A+B）=tanCD．sin=sin5.已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A.B.—C.D.—6.已知值7.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，则的值是．8.若，则。

高中数学 1.3 《三角函数的诱导公式》教学设计新人教

1.3 《三角函数的诱导公式》教学设计【教学目标】1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式．2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明．【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程新授课阶段 1．诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+o的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+o的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+o呢？结论：任意α与180α+o的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=； sin(180)y α+=-o ， cos(180)x α+=-o ．从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=o sin α-；cos(180)α+=-ocos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-o oo ． 2．诱导公式三：思考：（1）360α-o的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任何角α与α-的终边位置关系如何？可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20︒与20180︒+︒，20︒与20180︒-︒的终边的关系．从而易知，,33)k z απαπαπαπαπ+-+-+∈L 与，，，（2k+1），(终边相同，所以三角函数值相等．由α与απ+的终边与单位圆分别相交于P 与 P ´，它们的坐标互为相反数P(x ，y )，P ´(-x ，-y)（见课本图1-18），所以有[]cos (21)-cos k απα++=[]sin (21)-sin k απα++= （三） []tan (21)tan k απα++=结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-． 3．诱导公式四：sin(180)sin αα-=o；cos(180)cos αα-=-o ．4．诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o；cos(360)cos αα-=o ．说明：①公式四、五中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-o；tan(360)tan αα-=-o． 5．公式六：ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+说明：①公式六中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限．结合公式（一）和（三）可以得出下结论：sin ,sin()sin a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数cos ,cos()cos a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数tan()tan ,n n Z απα+=∈由α与πα-和单位圆分别交于点P ´与点P ，由诱导公式（二）和（三）或P ´与点P 关于y 轴对称，可以得到 α与πα-只见的三角函数关系（见课本图1-19）ααπsin sin(=-） ααπ-cos cos(=-）例1 下列各三角函数值：219sin120cos135tancos()34ππ-oo解：3sin120sin(3090)cos302=+==oooo2cos135cos(4590)sin 452=+=-=-o o o o 2tantan()cot 33626ππππ=+=-=- 191932cos()cos cos(4)cos()sin 4444242πππππππ-==+=+=-=- 例2 将下列三角函数化为0o到45o之间角的三角函数：sin 68cos 75tan126oo o解：略．例3 求下列三角函数值：（1）sin 960o；（2）43cos()6π-．解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=oooo（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-o o o （诱导公式二）32=-．（2）4343cos()cos 66ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos 66πππ=+=（诱导公式一）cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式二）32=-．例4 （1）化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--；（2）sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765⋅+--++oooooo．解：（1）原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅- 2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=．（2）原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)=-⋅-+--ooooooootan(675720)cot(765720)+-+-o o o o sin 60cos30sin 30cos 60tan(45)cot 45=++-+o o o o o o3311tan 4512222=⨯+⨯-+o 3111144=+-+=．例5 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例6 已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值．解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-．由已知得：43cos ,tan 54αα==-， ∴原式2120=．例7 化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．解：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-．②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+．课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-ooo的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为α±⋅ok 90（k 为常整数）；3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）4．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．作业课本第32页习题B 组第1、2题拓展提升 1．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（）A ．}42|{Z k k ∈+=ππααB ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα2．已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin（） A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-3．设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（）A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－3 4．当Z k ∈时，])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为（）A ．－1B ．1C ．±1D ．与α取值有关5．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f 那么=)2004(f （）A ．1B ．3C ．5D ．76．已知3sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（） A.21 B. —21C. 23D. —237．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（） A.23 B. 21C. 23±D. —23 8．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（）A. sin 2cos2+B. cos2sin 2-C. sin 2cos2-D.±cos2sin 2- 9．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（） A ．231+-B ．231+-C ．231-D ． 231+ 10．已知,0cos 3sin =+αα则=+-ααααcos sin cos sin .11．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第象限． 12．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝．13．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．14．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值．参考答案1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C 7．Ａ 8．C 9．B 10．2 11．二 12．-213．解：θθθθθθcos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-=f =θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++--=θθθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++ =θθθθθθcos 2cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++． ∴()3f π＝cos3π＝21 14．解： ∵sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)， ∴- sin(3π - α) = 2cos(4π - α) ∴- sin(π - α) = 2cos(- α) ∴sin α = - 2cos α 且cos α ≠ 0 ∴43cos 4cos 3cos 2cos 2cos 5cos 2sin cos 2cos 5sin -=-=--+-=+-+=αααααααααα原式。

必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)

必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.3 三角函数的诱导公式教案 A教学目标一、知识与技能1．理解诱导公式的推导过程；2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．二、过程与方法的轴对称性以及关于原点利用三角函数线，从单位圆关于x轴、y轴、直线y xO的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．1.充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；2.强调记忆规律，加强公式的记忆；3.通过对例题的学习，完成学习目标．教学准备教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生准备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入新课1我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y 轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作交流提出问题①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为研究对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2 (-x，-y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．2提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．我们可以用下面一段话来概括公式一～四：α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．提出问题终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系？师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导．讨论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角π2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(π2-α)=y，sin(π2-α)=x．从而得到公式五：cos(π2-α)=sinα， sin(π2-α)=cosα．提出问题能否用已有公式得出π2+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？34 师生互动：教师点拨学生将π2+α转化为π- (π2-α)，从而利用公式四和公式五达到我们的目的．因为π2+α可以转化为π- (π2-α)，所以求π2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六： sin (π2+α)=cos α， cos(π2+α)=-sin α．提出问题你能概括一下公式五、六吗？师生互动：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括．讨论结果：2π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～六都叫做诱导公式．三、拓展创新，应用提高例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225°；（2）sin 11π3；（3）sin(16π3-)；（4）cos(-2 040°)．解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-；（2）sin 11π3=sin(4ππ3-)=-sin π3=23-；（3）sin(16π3-)=-sin 16π3=-sin(5π+π3)=-(-sin π3)=23；（4）cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-．点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：5上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法．例2 化简 0cos(180)sin(360).sin(180)cos(180)αααα︒++︒---︒- 解：sin(180)sin[(180)]αα--︒=-+︒ sin(180)(sin )sin ααα=-+︒=--= cos(180)cos[(180)]cos(180)cos .αααα-︒-=-︒+=︒+=-所以，原式cos sin 1.sin (cos )αααα-==- 例3 证明：（1）sin(3π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=-sin α．证明：（1）sin(3π2-α)=sin[π+(π2-α)]=-sin(π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=cos[π+(π2-α)]=-cos(π2-α)=-sin α．点评：由公式五及六推得3π2±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到212+k π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用．例4 化简π11πsin(2π)cos(π)cos()cos()22.9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin()2a a a a a a a a -++-----+ 解：原式=π(sin )(cos )(sin )cos[5π()]2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin[4()]2a a a a a a a a π---+----+++6 =2πsin cos [cos()]2π(cos )sin [(sin )]sin()2a a a a a a a ------+=a a cos sin -=-tan a ．四、小结①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值；③运用诱导公式进行简单的三角化简．课堂作业1．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin 2B A +=-cos 2C B ．sin(2A +2B )=-cos2C C ．sin(A +B )=-sin CD ．sin(A +B )=sin C2．如果f (sin x )=cos x ，那么f (-cos x )等于( )A ．sin xB ．cos xC ．-sin xD ．-cos x3．计算下列各式的值：（1）sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°；（2）tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．4．化简：sin(540)tan(270)cos(270).cos(180)tan(810)sin(360)a a a a a a •---︒-+-- 参考答案：1．D 2．A3．（1）2；（2）-1．4．-tan a ．教案 B教学目标一、知识与技能1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．学法与教学用具78学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知1. 诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+呢？结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α；③公式特点：函数名不变，符号看象限；9 ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-．用弧度制可表示如下： sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任意角α与α-的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-．用弧度制可表示如下：sin(πsin αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）． 4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系．结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2-α的终边与10角α的终边关于直线y =x 对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ； sin(π2-α) = x ， cos(π2-α) = y ．从而得到诱导公式五： sin(π2-α) = cos α， cos(π2-α) = sin α．由于π2+α =π-(π2-α)，由公式四及五可得公式六 sin(π2+α) = cos α， cos(π2+α) =- sin α．公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式.三、例题讲解例1 求下列三角函数值：（1）sin 960；（2）43cos()6π-．解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-=．（2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos 66=+= ππcos(π)cos 66=+=-=．11例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值. 解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ．解：①当2n k k =∈Z ，时，原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-． ②当21,n k k =+∈Z 时，原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+ 例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值．解：因为2πππ()33αα-=-+，所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m . 由于π2π63α<<所以2ππ032α<-< 于是2πsin()3α-21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21--12 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。

高中数学必修四教案：1.3.3三角函数的诱导公式(2)

格一课堂教学方案章节：课时： 2 备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

天津市静海县第四中学高中数学 1.3 三角函数的诱导公式(二)学案新人教A版必修4

1.3三角函数的诱导公式（二）学习目标：1理解三角函数诱导公式；2能灵活运用诱导公式解决问题；学习指导：重点难点：能灵活运用诱导公式解决问题：（一）自主探究在直角三角形ABC 中．角C =90o（二）合作探讨公式五：sin （π2 －α）＝_________，cos （π2 －α）＝_________公式六：sin （π2 ＋α）＝__________，cos （π2 ＋α）＝_________总结：公式特点：___________________。

（三）巩固练习：1、填表：2、若角A 是三角形的一个内角，且21sin =A ，则角A ＝＿＿＿。

3、若角A 是三角形的一个内角，且21sin =A 且0cos <A 则角A ＝＿4、在ABC 三角形中，21sin =A ，cos 0B <且,则角A ＝＿＿ 5、如果A 为锐角，31)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π_________=+)2cos(A π______6、在△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠为内角，下列说法正确的是（）（一）2k πα+（二） α- （三） πα+ （四）πα- （五）2πα- （六）2πα+正弦余弦正切A B b Ca c0sin(90)_______,cos(90)_______,A A -=-=A.cos()cos A B C +=B.sin()cos A B C +=C.tan()tan A B C +=D.sin cos 22A B C+=7、已知54)180sin(-=+αο，则=-)90cos(οα＿＿＿；8、计算： 20222sin 1sin 2sin 3sin 4++++ (2)22sin 88sin 89sin 90+++9、已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-10、已知f (α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---; （1）化简f (α);（2）若α是第三象限角，且1cos()23πα+=，求f (α)的值.(四)课后总结知识：方法。

高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)全册精品教案新人教A版必修4

1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒对于五组诱导公式的理解： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为：符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简二、新课讲授：1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos(cos )2sin(ααπααπ-=+=+总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan)1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。

2012高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)学案新人教A版必修4

§1.3 三角函数的诱导公式(一)自主学习1．设α.相关角终边之间的对称关系 π＋α与α关于____对称；－α与α关于____对称； π－α与α 关于____对称.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________.你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？对点讲练给角求值问题例1 求下列各三角函数值．(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6；(3)tan 945°.回顾归纳此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．变式训练1 求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．给值求值问题例2 已知sin 3π－αcos 3π－α＝2，求sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值．回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．变式训练2 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．化简三角函数式例3 化简：sin －2π－θcos 6π－θtan 2π－θcos θ－πsin 5π＋θ.回顾归纳解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k (k 为整数)一般需按k 的奇、偶性分类讨论．变式训练3 化简：sin[k ＋1π＋θ]·cos[k ＋1π－θ]sin k π－θ·cos k π＋θ(其中k ∈Z )．课时作业一、选择题1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．若n 为整数，则代数式sin n π＋αcos n π＋α的化简结果是( ) A ．tan nα B ．－tan nα C ．tan α D ．－tan α3．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k2 4．tan(5π＋α)＝m ，则sin α－5πcos π＋α的值为( ) A ．m B ．－m C ．－1 D ．15．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53 C ．±53 D ．以上都不对题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π3＋3sin 2π3＝______. 7．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是________． 8．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 009)＝1，则f (2 010)＝________.三、解答题9．若cos(α－π)＝－23，求sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.§1.3 三角函数的诱导公式(一)参考答案知识梳理1.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称；－α与α关于x 轴对称； π－α与α关于y 轴对称.2.(1)sin α cos (2)－sin α －cos α tan α(3)－sin α cos α －tan α(4)sin α －cos α －tan α 自主探究解设P (x ，y )为角α终边上任一点，∵角α与π＋α终边关于原点对称．∴P (x ，y )关于原点的对称点P ′(－x ，－y )位于角π＋α的终边上．∴|OP ′|＝|OP |＝x 2＋y 2＝r .由任意角三角函数的定义知：sin(π＋α)＝－y r＝－sin α， cos (π＋α)＝－x r＝－cos α， tan(π＋α)＝－y －x ＝y x＝tan α. 借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．对点讲练例1 解 (1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32；(2)cos 47π6＝cos(11π6＋6π)＝cos 11π6 ＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32； (3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.变式训练1 解原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°)＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝－32×32＋12×12＋1＝12. 例2 解 ∵sin 3π－αcos 3π－α＝2， ∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2.∵sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1∴sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α＝1－2－2－1＝13. 变式训练2 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝－33－23＝－2＋33. 例3 解原式＝－sin 2π＋θ·cos θ·－tan θcos π－θ·sin π＋θ＝sin θ·cos θ·tan θ－cos θ·－sin θ＝sin θ·cos θ·tan θsin θ·cos θ＝tan θ变式训练3 解当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[2n ＋1π＋θ]·cos[2n ＋1π－θ]sin 2n π－θ·cos 2n π＋θ＝sin π＋θ·cos π－θ－sin θ·cos θ＝－sin θ·－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[2n ＋2π＋θ]·cos[2n ＋2π－θ]sin[2n ＋1π－θ]·cos[2n ＋1π＋θ]＝sin[2n ＋1π＋θ]·cos[2n ＋1π－θ]sin π－θ·cos π＋θ＝sin θ·cos θsin θ·－cos θ＝－1.∴上式的值为－1.课时作业1．A [sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－22.] 2．C [若n 为偶数，则原式＝sin αcos α＝tan α；若n 为奇数，则原式＝sin π＋αcos π＋α＝tan α.] 3．B [∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .]4．A [∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴tan α＝m .原式＝－sin α－cos α＝tan α＝m .] 5．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53.] 6．0解析原式＝－sin π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＋3sin 2π3 ＝－32－2×32＋3×32＝0. 7．－1解析原式＝1＋2sin 180°＋110°·cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 2×360°＋70° ＝1－2sin 110°cos 70°cos 70°－sin 70° ＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝－1.8．3解析 f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1.∴a sin α＋b cos β＝1.f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.9．解原式＝－sin 2π－α－sin 3π＋αcos 3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，则原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，则原式＝52. 10．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．。

高中数学必修四 (1.3 三角函数的诱导公式)教案新人教A版必修4

1.3 三角函数的诱导公式教学过程第1课时导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途.思路 2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(2π到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 推进新课新知探究提出问题由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180βββa a a提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与180°+α呢?活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么?②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆. 我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数. 示例应用思路1例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-; (2)sin311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-;(3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π) =-(-sin3π)=23;(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 变式训练利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′ =cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′) =-cos29°45′=-0.868 2; (2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23. 例2 2007全国高考,1cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23-答案:C变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21++++-+=70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--. 例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----.分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+----=)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+----=θθθθθsin cos cos sin tan =tan θ=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简. 知能训练课本本节练习1—3. 解答:1.(1)-cos94π;(2)-sin1;(3)-sin 5π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2.(1)21;(2)21;(3)0.642 8;(4)23-. 点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin 2αcos α;(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简. 课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想. 作业课本习题1.3 A 组2、3、4.设计感想一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称. (2)角α的终边与角-α的终边关于x 轴对称. (3)角α的终边与角π-α的终边关于y 轴对称. 二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.” (2)公式中的α是任意角.(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.基本步骤是:任意负角的三角函数−−−→−公式三或一相应的正角的三角函数−−→−公式一0到2π角的三角函数−−−→−四公式二、锐角的三角函数−−→−查表三角函数. 即负化正,大化小,化为锐角再查表.(设计者：沈献宏)第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题. 推进新课新知探究提出问题终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系?活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系. 教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.图3讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x,y),由于角2π-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称,角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称,因此点P 2的坐标是(y,x),于是,我们有 sin α=y,cos α=x, cos(2π-α)=y,sin(2π-α)=x. 从而得到公式五:能否用已有公式得出2π+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式? 活动:教师点拨学生将2π+α转化为π-(2π-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为2π+α可以转化为π-(2π-α),所以求2π+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.讨论结果:公式六提出问题你能概括一下公式五、六吗?活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括. 讨论结果:2π±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一—六都叫做诱导公式. 提出问题学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2k π+α(k∈Z ),π±α,-α(可看作0-α).其中2k π,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是2π±α,23π-α.其中2π,23π是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了. 示例应用思路1 例1 证明(1)sin(23π-α)=-cos α;(2)cos(23π-α)=-sin α. 活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.证明:(1)sin(23π-α)=sin[π+(2π-α)]=-sin(2π-α)=-cos α; (2)cos(23π-α)=cos[π+(2π-α)]=-cos(2π-α)=-sin α.点评:由公式五及六推得23π±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到212+k π(k∈Z )的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.例2 化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.解:原式=)]2(4sin[)]sin()[sin()cos ()]2(5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---ππππππ=)2sin()]sin ([sin )cos ()]2cos([cos sin 2a a a a a a a +------ππ=aacos sin -=-tan α. 思路2例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 证明:(1)f(sinx)=f[cos(2π-x)]=cos[17(2π-x)]=cos(8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin(2π-x)]=sin[n(2π-x)]=sin(2πn -nx)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-,,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n x故所求的整数n=4k+1(k∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在. 变式训练已知cos(6π-α)=m(m≤1),求sin(32π-α)的值. 解:∵32π-α-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α).∴sin(32π-α)=sin ［2π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是2π的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.例2 已知sin α是方程5x 2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +∙--∙-∙-∙+ππππππ的值.活动:教师引导学生先确定sin α的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁. 解:∵5x 2-7x-6=0的两根x=2或x=53-, ∵-1≤x≤1,∴sin α=53-. 又∵α为第三象限角,∴cos α=2sin -1-=54-. ∴tan α=43. ∴原式=)sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2a a a a a a -∙-∙∙-∙-=tana=43点评:综合运用相关知识解决综合问题.变式训练若函数f(n)=sin6πn (n∈Z ),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________. 解:∵=sin 6πn (6πn +2π)=sin 6)12(π+n ,∴f(n)=f(n+12).从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6) =2［f(1)+f(2)+f(3)］ =2+3.例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asin α-bcos β =-(asin α+bcos β), ∵f(2 003)=-1, ∴asin α+bcos β=1.∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β) =asin α+bcos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asin α+bcos β=1,它是联系已知和未知的纽带. 知能训练课本练习4—7. 4.5.(1)-tan5;(2)-tan79°39′;(3)-tan 36;(4)-tan35°28′.6.(1)23(2)22-;(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5)3;(6)-0.647 5. 7.(1)sin 2α;(2)cos 2α+acos 1课堂小结本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度. 作业1.课本习题1.3 B 组2.2.求值:sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°. 答案:44.5.。